Idrodinamica (a.a. 2011/2012)
Moto uniforme
negli alvei naturali
Marco Toffolon
con contributi da presentazioni di
Guido Zolezzi
Matilde Welber
Gary Parker
Contatti
Marco Toffolon
email: [email protected]
Laboratorio Didattico
di Modellistica Idrodinamica
(2° piano, corridoio centrale)
tel.: 0461 28 2480
Moto uniforme:
introduzione
Introduzione
Moto uniforme:
cosa significa?
perché è importante?
uniforme: «uguale» ovunque
quali condizioni devono essere soddisfatte?
quali sono i limiti di questa definizione?
utilizzo: scala delle portate (principalmente)
nota la profondità  stima della portata (locale)
o viceversa
Equazioni
Equazioni 1D (De Saint Venant)
Equazione di continuità (conservazione della massa)
 Q

0
t x
Equazione di bilancio della quantità di moto (2° principio della dinamica)
U
U
h
U
g
 gj  0
t
x
x
U
U
Y
U
g
 gi f  gj  0
t
x
x
(con sistema di riferimento inclinato)
Equazioni
U
U
Y
U
g
 gi f  gj  0
t
x
x
0
u*2
j

gRh gRh
Termine
d’attrito
Moto uniforme

0
t

0
x
j  if
Raggio idraulico

Rh 
B
Bilancio di forze all’equilibrio
u* 
0

Relazioni (generali)
di moto uniforme
 0 B x     x gi f
 0 A  Vgi f  mg tan 
Velocità d’attrito

 0  gRhi f
mg
u*  gRh i f
Moto uniforme
0
u*2
j

 if
gRh gRh
Chiusura
Problema della chiusura: definire un legame tra tensioni e velocità
Coefficiente di Chézy (adimensionale)
j
U2
2
h
C gRh
Ch 
U
u*
U  Ch g i f Rh
 if
Rh 
Q  U  Ch g i f Rh
alveo rettangolare “largo”
  bY
b  Y
Q  bCh g i f Y 3 2
Rh 
bY
Y
b  2Y
U
b
Q
bY

B
Y
Formule di resistenza
Moto turbolento pienamente sviluppato (Re>105)
Coefficiente di Chézy
(adimensionale)
Ch 
U
 10  20
u*
“scabro”
Coefficiente di Chézy
(dimensionale)
Coefficiente di
Gauckler-Strickler
(dimensionale)
Alveo rettangolare largo
Re 

Q  Ch g i f Rh1 2
“liscio”
  Ch g  30  60 m s
1 2 1
k s  20  60 m1 3 s 1
UY
Ch 
Q   i f Rh
12
ks 1 6
Rh
g
Q  k s i f Rh2 3
U  k s i f Rh2 3
u*  gi f Rh
Q  Bk s i f Y 5 3
U  ks i f Y 2 3
u*  gi f Y
Confronti con moto nei tubi
Darcy-Weisbach
Chiusura
j
Stima coefficiente
di resistenza
2
U
D 2g
diagramma
di Moody
Colebrook-White
1 
 2.5
 2 log 


3
.
71
Y

 Re 

1
Rh 
D
4
Chézy
U2
2
2 U
j 2  2
 Rh Ch Rh 2 g
Ch 
8

Resistenza nei canali
Colebrook-White (tubazioni)
1 
 2.5
 2 log 


3
.
71
Y

Re



1
Canale a sezione circolare
in regime liscio
 Re 
C  2.5 log    Bl
C 
Bl  0
Canale a sezione circolare
in regime scabro
R 
C  2.5 log  h   Br
C
Br  6.46
Canale di forma regolare
in regime liscio
 Re 
C  2.5 log  f

C


Canale di forma regolare
in regime scabro
R 

C  2.5 log 13.3 f h 
C

Formula di Marchi (1961)
per sezioni di forma regolare
 C

C  2.5 log 

 Re f 13.3Rh f
Re 
4 RhU

fattore di forma
f
per sezioni rettangolari larghe
f  0.824



Variabili
Problema idraulico: stima della portata
Problema semplificato (alveo rettangolare largo): 5 variabili
Q  Bk s i f Y 5 3
Note 4 grandezze, la quinta può essere determinata
In generale:
Q  z Ch d s , z  g i f Rh z 
12
5 «variabili»:
• portata Q
• pendenza if
• livello idrico z
• geometria della sezione (~larghezza)
• scabrezza Ch (~diametro caratteristico dei sedimenti)
Problema di progetto
• Determinare la profondità richiesta per il deflusso in moto uniforme
della portata Q in un canale di larghezza b con pareti in cemento
non perfettamente lisciate.
• (Determinare il coefficiente m della scala di deflusso)
• Dati:
Q = 10 m3/s
b=4m
coefficiente di Manning
if = 0.001
n = 1/ks [s m-1/3]
scabrezza cemento  tabella
Portata negli
alvei naturali
ALVEI NATURALI
• Geometria irregolare
• Variazione di scabrezza lungo il contorno
• Come determinare la scala di deflusso e in generale le proprietà
idrauliche f(Y) della sezione?
Q  Ch g i f Rh1 2
Q  k Ym
Adige, Trento, ponte S. Lorenzo, 24 gennaio 2002
quota [m s.l.m.]
~ 100 m³/s
198
196
B = 75 m
194
192
Y=2m
190
188
186
184
20
40
60
80
100
Corso di Idrodinamica – Anno 2009
120
140
160
coordinata trasversale [m]
Adige, Trento, ponte S. Lorenzo, 26 novembre 2002
quota [m s.l.m.]
~ 1400 m³/s
198
B = 100 m
196
194
Y=6m
192
190
188
186
184
20
40
60
80
100
Corso di Idrodinamica – Anno 2009
120
140
160
coordinata trasversale [m]
Adige, Trento, ponte S. Giorgio, 24 gennaio 2002
~ 100 m³/s
Corso di Idrodinamica – Anno 2009
Adige, Trento, ponte S. Giorgio, 26 novembre 2002
~ 1400 m³/s
Corso di Idrodinamica – Anno 2009
Scala di deflusso
Adige a Trento, ponte S. Lorenzo
scala idrometrica
Qz   a b  z 
c
Qz   z k s i f Rh z 
23
sezione rettangolare
Adige, Trento, Lungadige G. Leopardi
Corso di Idrodinamica – Anno 2009
Adige, Trento Nord, zona depuratore
…ma quanto vale il
coefficiente di
scabrezza per l’Adige??
Corso di Idrodinamica – Anno 2009
Resistenze negli
alvei naturali
Resistenze negli alvei naturali
VAL RIDANNA, ALTO ADIGE
VAL PASSIRIA, ALTO ADIGE
Resistenze
granulometria grossolana
granulometria fine
RESISTENZA DI GRANO
RESISTENZA DI GRANO
+ RESISTENZA DI FORMA
ESEMPI
Sforzo al fondo maggiore
Granulometria
< −8
−6 to −8
Intervallo
dimensionale
(metrico)
> 256 mm
64–256 mm
Classi
granulometriche
(Wentworth)
Blocchi
Ciottoli
−5 to −6
32–64 mm
Ghiaia molto grossa
−4 to −5
−3 to −4
−2 to −3
−1 to −2
16–32 mm
8–16 mm
4–8 mm
2–4 mm
Ghiaia grossa
Ghiaia media
Ghiaia fine
Ghiaia molto fine
0 to −1
1–2 mm
Sabbia molto grossa
1 to 0
2 to 1
3 to 2
4 to 3
½–1 mm
¼–½ mm
125–250 µm
62.5–125 µm
Sabbia grossa
Sabbia media
Sabbia fine
Sabbia molto fine
8 to 4
3.90625–62.5 µm
Silt o Limo
>8
< 3.90625 µm
Argilla
Scala φ
ghiaia
(gravel)
sabbia
(sand)
Granulometria
Fiume Tevere
monte
valle
Granulometria
Fiume Tagliamento
superficiale
(Wolman count)
sabbia
ghiaia
sotto lo strato
di corazzamento
(vagli)
Riferimenti
bibliografici
http://vtchl.uiuc.edu/people/parkerg/
RESISTANCE RELATIONS FOR HYDRAULICALLY ROUGH FLOW
Keulegan (1938) formulation:
U
1  Y 
Ch   C f 1/ 2  ln 11 
u
  as 
U2
 0  u   2  C f U 2
Ch
2
*
where  = 0.4 denotes the dimensionless Karman constant and as = a roughness
height characterizing the bumpiness of the bed [L].
notazione
Manning-Strickler formulation:
as  k s 
1/ 6
Y 
U
1 / 2
Ch   C f   r  
u
 as 
where r is a dimensionless constant between 8 and 9. Parker (1991) suggested
a value of r of 8.1 for gravel-bed streams.
Roughness height over a flat bed (no bedforms):
as  nk Ds 90
where Ds90 denotes the surface sediment size such that 90 percent of the
surface material is finer, and nk is a dimensionless number between 1.5 and 3.
For example, Kamphuis (1974) evaluated nk as equal to 2.
COMPARISION OF KEULEGAN AND MANNING-STRICKLER RELATIONS
r = 8.1
100
1/ 6
Y 
Ch  8.1 
 as 
Keulegan
Cz
Ch
10
Parker Version of ManningStrickler
1
1
10
100
YH/kass
1000
Note that Ch does not
vary strongly with depth.
It is often approximated
as a constant in broadbrush calculations.
Ricostruzione di una relazione per il coefficiente di Gauckler-Strickler
1/ 6
1/ 6
Y 
Ch   r  
 as 
 1 
 Y 1/ 6
Ch   r 
 nk Ds 90 
as  nk Ds 90
1/ 6
 1 
ks

  r 
g
 nk Ds 90 
ks 1 6
Ch 
Rh
g
k s   r g nk 
1 / 6
1
/6
Ds190
Formula empirica:

 r  8.1
nk  2
Parker
(1991)
Kamphuis
(1974)
Strickler (1923):
22.6 m1 2 s 1
ks 
/6
Ds190

21.1 m1 2 s 1
ks 
/6
Ds150
Meyer-Peter & Müller (1948):

Ds 90
m
diametro passante
90% dei sedimenti


26 m1 2 s 1
ks 
/6
Ds190

D90  D50  1g.28
SKIN FRICTION AND FORM DRAG: THE CONCEPTS
«resistenza di grano»
resistenza di forma
The drag force acting on a body can be decomposed into skin friction and form
drag. The former is generated by the viscous shear stress acting tangentially to
the body. The latter is generated by the normal stress (mostly pressure) acting on
a body. The Newtonian constitutive relation for water is
 ij   p ij   v ,ij ,  v ,ij
 ui u j 

  

 x


x
j
i


Here ij denotes the stress acting in the jth direction on a face normal to the ith
direction, p denotes the pressure, ij denotes the Kronecker delta ( = 1 if i = j and 0
if i  j), ui = (u1, u2, u3) denotes the velocity vector and xi = (x1, x2, x3) denotes the
position vector.
The drag force Di on a body is given as
Di    ji n j dS
where ji is evaluated at the surface of the body, ni denotes a local unit vector
outward normal to the surface of the body, and dS denotes an infinitesimal element
of surface area.
SKIN FRICTION AND FORM DRAG: THE CONCEPTS contd.
The drag force Di can be decomposed into a component due to skin friction Dsi and
a component due to form drag Dfi as follows:
Di  Dsi  Df i
 ui u j 
n jdS , D f i   pnidS
Dsi    v, jin jdS    


 x x 
i 
 j
Drag due to skin friction consists of that part of the drag that pulls the surface of the
body tangentially. Form drag consists of that part of the drag that pushes the body
in normally. Only the former is thought to directly contribute to sediment transport.


Now in the diagrams below let D and D denote the skin friction and form drag
f
s
forces on the area element dS, n̂tx denote a unit tangential vector to the surface in
the x direction and n̂ denote a unit vector normal to the surface.
n

u
dDs  
n̂ tx dS
z body
u
p
z
x
n̂tx
dS

dDf  p body n̂ndS
n̂n
dS
SKIN FRICTION AND FORM DRAG: THE CONCEPTS contd.
Let D denote the drag force in the flow direction and nx denote the component of the
unit outward normal vector to the surface in the flow direction. At sufficiently high
Reynolds number, the drag on a streamlined body is mostly skin friction. The drag
on a blunt body behind which flow separation occurs is mostly form drag. (The
pressure in the separation bubble equilibrates with the low pressure at the point of
separation.)
separation
bubble
p
u
z
flow
flow
p
p
u
u
D  Ds   
dS
z body
D  Df   p body nx dS
EINSTEIN DECOMPOSITION
Einstein (1950); Einstein and Barbarossa (1952)
When bedforms are not present, all of the drag on the bed is skin friction. This
tangential drag force acts to pull the sediment along. When bedforms such as
dunes are present, part of the drag is form drag associated with (most prominently)
flow separation behind the dunes. Since this form drag is composed of stress that
acts normal to the bed surface, it does not contribute directly to the motion of bed
grains. As a result it is usually subtracted out in performing bedload calculations.
YH
U
separation bubble
RELATIONS FOR HYDRAULIC RESISTANCE IN RIVERS
Sediment transport often creates bedforms such
as dunes. These bedforms are accompanied by
form drag, and so reduce the ability of the flow to
transport sediment.
Dunes in the Mississippi River, New
Orleans, USA
Image from LUMCON web page:
http://weather.lumcon.edu/weatherdata/audubon/map.html
Dunes on an exposed point bar in
the meandering Fly River, Papua
New Guinea
EINSTEIN DECOMPOSITION contd.
Consider an equilibrium (normal) flow over a bed with mean streamwise slope if
that is covered with bedforms. The flow has average depth Y and velocity U
averaged over depth and the bedforms. The boundary shear stress averaged
over the bedforms is given by the normal flow relation
 0  C f U 2  gYi f
YH
U
separation bubble
EINSTEIN DECOMPOSITION contd.
Now smooth out the bedforms, “glue” the sediment to the bed so it remains flat but
offers the same microscopic roughness as the case with bedforms, and run a flow
over it with the same mean velocity U and bed slope S. In the absence of the
bedforms, the resistance is skin friction only. Due to the absence of bedforms the
skin friction coefficient Cfs and the flow depth Hs should be less than the
corresponding values with bedforms.
 0s  C fsU 2  gYsi f
Skin friction + form drag
H
U
Skin friction only
Hs
U
separation bubble
The difference between the two characterizes form drag.
EINSTEIN DECOMPOSITION contd.
0f = 0 - 0s = mean bed shear stress due to form drag of bedforms
Cff = Cf – Cfs = friction coefficient associated with form drag
Yf = Y – Ys = mean depth associated with form drag
 0s  C fsU 2  gYsi f
 0 f  C ff U 2  gY f i f
 0s   0 f   C fs  C ff U 2  g Ys  Y f i f
 0  C f U 2  gYi f
Skin friction + form drag
H
U
Skin friction only
Hs
U
separation bubble
The difference between the two characterizes form drag.
SKIN FRICTION
Skin friction can be computed using the techniques developed in Chapter 5;
where  = 0.4 and r = 8.1,
C
1/ 2
fs
 Ys 
 ln 11 
  as 
1
C
or
1 / 2
fs
 Ys
  r 
 as
1/ 6



as  nk Ds 90 , nk  2
 0s  C fsU 2  gYsi f
Skin friction + form drag
H
U
Skin friction only
Hs
U
separation bubble
The difference between the two characterizes form drag.
FORM DRAG OF DUNES: EINSTEIN AND BARBAROSSA (1952)
One of the first relations developed to predict the form drag in rivers in which dunes
predominate is that of Einstein and Barbarossa (1952). They obtained an empirical
form for Cff as a function of qs, where
gDs 35
u2s

gDs 35
denotes the Shields
number due to skin
friction and D35 is the
grain size such that 35
percent of a bed surface
sample is finer. Note
that
u s 
 0s

(numero di Shields)

s
 1  1.65

0.1
0.01
Cff
q s 35 
 0s
0.001
0.0001
0.01
0.1
1
qs35
*
s 35
10
FORM DRAG OF DUNES: ENGELUND AND HANSEN (1967)
The total shear velocity u*, shear velocity due to skin friction u*s and shear velocity
due to bedforms u*f, and the associated Shields numbers are defined as

u  0

0 f
, u f 


, us  0 s

u2
q
gDs 50
u2s
, qs 
gDs 50
, qf 
u2f
gDs 50
Engelund and Hansen (1967) determined the following empirical relation for lowerregime form drag due to dune resistance;
q s  0.06  0.4q 2
q f  q  q s  q  0.06  0.4q 2 
or thus
Note that bedforms are absent (skin friction only) when qs = q; bedforms are
present when qs < q. The relation is designed to be used with the following
skin friction predictor:
C
1/ 2
fs
 Ys 
 n11 
  as 
1
as  2 Ds 65
Engelund and Hansen (1967) also present a form drag relation for upperregime bedforms (antidunes).
FORM DRAG OF DUNES: ENGELUND AND HANSEN (1967) contd.
Engelund-Hansen Bedform Resistance Predictor
3
2.5
No form drag
Engelund-Hansen
2
x
qs
E-H Relation
No form drag
1.5
1
resistenza di forma
0.5
qf
qs
resistenza di grano
0
0
0.5
1
1.5
q
x
2
2.5
3
FORM DRAG OF DUNES: WRIGHT AND PARKER (2004)
The form drag predictor of Engelund and Hansen (1967) tends to work well for
sand-bed streams at laboratory scale. It also works well at small to medium field
scale, i.e. in streams in which dunes give way to upper-regime plane bed before
bankfull flow is achieved. It works rather poorly for large, low-slope sand-bed
rivers, in which dunes are usually never washed out even at or above bankfull
flow. Wright and Parker (2004) have modified it to accurately cover the entire
range.
q s  0.05  0.7q Fr

0.7 0.8
U
Fr 
 Froude number
gY
This relation is designed to be used with the skin friction predictor
C
1 / 2
fs
8.32  Ys 
 

 strat  as 
1
6
as  3Ds 90
where strat is a correction for flow stratification which can be set equal to unity in
the absence of other information (see original reference).
COMPARISON OF FORM DRAG PREDICTORS AGAINST FIELD DATA
The Niobrara and Middle Loup are small sand-bed streams. The Rio Grande is a
middle-sized sand-bed stream. The Red, Atchafalaya and Mississippi Rivers are
large sand-bed streams.
2.0
Middle Loup
Rio Grande
Atchafalaya
Engelund-Hansen
1.8
1.6
qs
 * sk
2.0
Niobrara
Red
Mississippi
1.8
1.6
1.4
1.4
1.2
1.2
q* sk
 * sk   *
1.0
Middle Loup
Rio Grande
Atchafalaya
New relation
s
0.8
Niobrara
Red
Mississippi
1.0
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
*
q
2.0
2.5
Engelund and Hansen (1967)
3.0
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
 * Fr
0 .7
2.0
q Fr 0.7
Wright and Parker (2004)
2.5
3.0
Morfologia degli
alvei naturali
Configurazione planimetrica:
• mono-pluricursale
• struttura del campo di moto
Alatna river, Alaska
Nepal
FORME PLANIMETRICHE: meandri e braiding
Fly river, Papua
Tagliamento River, Italy
Meandri “siberiani”
Waimakariri, NZ
MEANDRI
Forma tipica in presenza di sponde coesive
Scala temporale di erosione del
fondo delle sponde diversa
Corso di Idrodinamica – Anno 2009
ALVEI INTRECCIATI - “BRAIDING”
Forma tipica quando il fiume non ha “costrizioni” laterali
SCALE SPAZIALI DIVERSE  PROCESSI SIMILI
Tagliamento, Italia (larghezza ~ 1 km)
Val Martello, Italia
(larghezza ~ 0.1 km)
Brahmaputra, Bangladesh
(larghezza ~ 10 km)
FORMA DELLA SEZIONE
quanto è “largo” un fiume?
di quanto spazio ha bisogno un fiume?
che struttura ha il campo di moto?
Drau River, Austria
CONFIGURAZIONE ALTIMETRICA
quali forme di fondo si sviluppano ?
quali effetti di “scavo” e “deposito” producono ?
che struttura ha il campo di moto ?
BARRE FLUVIALI
Naka river, JPN
Toyotte pass, USA
Val Passiria
Congo river
BARRE FLUVIALI
Barre “forzate”
- Sviluppo forzato:
curvatura,confluenze, manufatti
- Forme “stazionarie”
Barre “libere”
- Sviluppo spontaneo
(instabilità)
- Forme “migranti”
BARRE ALTERNATE
• Si formano spontaneamente in alvei “rettilinei”
• Velocità di migrazione (m/d) << velocità della corrente
• Problemi pratici: erosione localizzata, interazione con manufatti, navigazione
• Secondo la ”bar theory” sono la “causa” dei meandri
L
• Sequenza longitudinale di zone di deposito e scavo alternate
• Lunghezza L  (5-15) larghezza Bo
• Massimo scavo  profondità
• Effetti topografici sul campo di moto
Classificazione
Granulometria GROSSOLANA
Granulometria FINE
Materiale eterogeneo
Materiale uniforme
D50 > 10 mm
D50 = 0.1 - 1 mm
Pendenza 1 - 0.1 %
Pendenza 0.5 - 0.01 %
Trasporto di fondo
Trasporto in sospensione
Macroforme di fondo: BARRE
Macroforme di fondo: DUNE
Regime pluricursale
Regime monocursale
TAGLIAMENTO vs ADIGE
Verona
Cornino
Forgaria
Trento
Ponte di Pinzano
~ 4m
~ 1000m
~ 10m
~
100m
EFFETTI IDRODINAMICI
COSA SUCCEDE AL PASSAGGIO DI UNA PIENA?
3.5
Adige
4.5
4
velocità media [m/s]
profondità media [m]
5
Tagliamento
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
Adige
3
Tagliamento
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0
200
400
600
800
portata [m³/s]
1000
1200
portata [m³/s]
larghezza [m]
1000
900
Adige
800
Tagliamento
Velocità corrente ↑
700
600
Celerità onda di piena ↑
500
400
300
Picco dell’onda di piena ↑
200
100
0
0
200
400
600
800
1000
1200
portata [m³/s]
1400
1400
LA STRUTTURA DEL CAMPO DI MOTO
U=f(Y)
Y