Introduzione alla statistica
per la ricerca
Lezione III
Dr. Stefano Guidi
Siena, 18 Ottobre 2012
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Esempi di affermazioni statistiche
• Gli studenti di Science della Comunicazione hanno un QI
più alto della media
• La memoria a breve termine (linguistica) ha una
maggiore capacità per le parole concrete che per quelle
astratte
• Guardare film violenti aumenta l’aggressività nei bambini
• L’efficacia di un farmaco sulla concentrazione dipende
dal dosaggio
• Le persone tendono ad essere più persuasive quando
guardano gli altri negli occhi e parlano al alta voce e
velocemente
2
Dalla statistica descrittiva
alla statistica inferenziale…
• Descrittiva
 Descrivere, riassumere (indicatori) e visualizzare
(grafici) insiemi di dati
• Statistica matematica
 Probabilità, distribuzioni, ecc…
• Inferenziale
 Fare inferenze su una popolazione in base ad un
campione estratto dalla popolazione
3
Statistica Inferenziale
Trarre inferenze su una popolazione a partire da
un campione
Inferenze probabilistiche:
•Conclusioni basate sulla probabilità di osservare i dati per
caso
•In pratica si basano su misure di variabilità
•Possono sempre essere errate, ma decido il rischio di
errore (livello di significatività)
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Distribuzioni e probabilità
Conoscere una distribuzione vuol dire poter
calcolare la probabilità
P(a<t<b)
P(t>b)
0
a
b
• Area sotto la curva è 1
• Probabilità di ogni singolo
valore di x è 0
• L’area sottesa dalla curva tra
2 punti sull’asse x è la
probabilità che un numero
scelto a caso cada tra i due
punti
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t (ms)
Distribuzioni e probabilità
μ (media)
(punteggio QI
di 100)
σ (dev.
standard) (15
punti QI)
Area della parte colorata
è la probabilità di
osservare per caso un
valore di QI compreso tra
85 e 115 (68.27% di
probabilità).
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Statistica Inferenziale
• Verifica di Ipotesi
 Decidere se i dati a mia disposizione forniscono
evidenza per rigettare una data ipotesi
 Ex: capacità MBT parole concrete ≠ parole astratte?
• Stima
 Stimare un intervallo dei valori più probabili per un
parametro di una popolazione a partire da un
campione: Intervallo di confidenza
 Ex: capacità MBT = 7 parole?
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Un Esperimento
• Studiare l’effetto della mancanza di sonno nell’effettuare
un compito
 Assenza di sonno influenza l’attenzione?
• 20 Soggetti effettuano un compito in 2 condizioni
controllate dallo sperimentatore
 10 hanno dormito una notte (controllo)
 10 non hanno dormito da 24h
• Misura della performance nel compito
 Numero di errori commessi nel compito
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Un Esperimento II
• Come verificare se la mancanza di sonno
(variabile indipendente) influenza la
performance (variabile dipendente)?
• I punteggi osservati saranno naturalmente
diversi:
 Tra soggetto e soggetto
 E tra le medie di due gruppi
• Dobbiamo formulare due ipotesi alternative
 Ipotesi nulla (H0)
 Ipotesi alternativa (H1)
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Ipotesi Nulla (H0)
(H0): La privazione del sonno non influenza il compito
•È sempre un’ipotesi di uguaglianza. Io voglio dimostrare
che è falsa. In realtà non posso dimostrare che è vera.
(vedi dopo)
•Ma assumo inizialmente che lo sia.
I gruppi appartengono alla stessa popolazione
Le differenze osservate tra le medie dei punteggi sono dovute solo:
 al caso
 e/o ad altri fattori non controllati e ignoti
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Ipotesi Alternativa (H1)
H1: La privazione del sonno influenza il compito
•È quello che in realtà voglio dimostrare, in genere una
differenza.
•Ragionando in modo controfattuale, a ritroso
•Dimostrando la differenza io dimostro che cosa la causa.
Dimostro una relazione tra due fenomeni.
I gruppi appartengono a popolazioni diverse
Le differenze riscontrate tra le medie dei punteggio sono dovute:
 al trattamento sperimentale, oltre che
 al caso
 e/o ad altri fattori non controllati e ignoti
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Verifica delle Ipotesi
• Non è possibile verificare direttamente l’ipotesi
alternativa
• Io posso solo stimare la probabilità che le
differenze osservate tra i due gruppi siano
dovute solo al caso, e che quindi i due gruppi
siano campioni estratti dalla stessa popolazione
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Verifica delle Ipotesi
Processo di verifica di ipotesi:
 Assumo che l’ipotesi nulla sia vera
 Stimo la probabilità di ottenere i risultati
osservati a partire da campioni estratti dalla
stessa popolazione (p value)
 Se la probabilità stimata è bassa, inferiore a
una data soglia (p<5%), decido di rigettare
l’ipotesi nulla e assumere l’ipotesi alternativa
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Verifica delle Ipotesi
• I test statistici di verifica di ipotesi calcolano
questa probabilità basandosi sulle proprietà
della distribuzione, o più precisamente in base
alla distribuzione campionaria di una statistica.
• Si calcola sempre una statistica che mi
quantifica questa probabilità . Una statistica di
cui conosco la distribuzione (t, F, ecc…).
• In genere tanto più grande è il valore, tanto
minori saranno le probabilità di osservarlo per
caso.
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Alcune considerazioni
• Le statistiche che calcolo sui campioni,
rapportano la differenza che osservo tra le
medie dei campioni (o cmq tra una data
caratteristica dei campioni) alla variabilità
intrinseca all’interno dei campioni.
• Esistono diversi test statistici per la verifica di
ipotesi:
 T-test (statistica t di student)
 Analisi della varianza (statistica F di Fisher)
…
• I test differiscono nel tipo di ipotesi
15
Alcune considerazioni
• I test forniscono evidenza
 Un risultato improbabile non è impossibile
 Non potrò mai essere sicuro al 100% delle mie
conclusioni
 La decisione spetta a noi
• Statistica necessaria ma non sufficiente
 Design sperimentale
 Evitare che altre cause nascoste influiscano sul risultato
(controllo)
 Assegnamento casuale alla condizioni
 Raccogliere un numero sufficiente di dati
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Film violenti ed aggressività
• Guardare film violenti spinge i bambini a mettere in atto
comportamenti violenti?
• 2 gruppi:
 10 bambini guardano un film in cui adulti maltrattano un pupazzo
(Bobo)
 10 non guardano film
• Tutti i bambini sono lasciati in una stanza a giocare con
Bobo, e si conta il numero di comportamenti sul pupazzo
per ogni bambino
• Faccio un test di significatività per verificare se i
comportamenti violenti nei due gruppi sono diversi
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Test di significatività
Ipotesi:
•H1: quello che voglio provare
 Chi ha guardato il film è più violento
•H0: Ipotesi nulla (che voglio rigettare)
 Non ci sono differenze tra chi ha guardato il film e chi
non l’ha fatto
Se H0 fosse vera,
allora quello che osservo sarebbe molto
improbabile
Quindi H1 è (probabilmente) vera!
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5% di significatività?
Dice che:
se
H0 è vera
allora la probabilità che l’effetto
osservato sia dovuto al
caso è minore di 1 su 20 (5%)
pertanto H0 è improbabile che sia vera
e
H1 è probabile che lo sia
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5% di significatività
NON vuole dire che:
•La probabilità di H0 è < 1 su 20 (5%)
•La probabilità di H1 è >0,95
•L’effetto osservato è importante
 i.e. significativo nel senso comune del termine
20
5% di significatività
TUTTO quello che posso dire:
Se H0 fosse vera …
… l’effetto sarebbe improbabile
(prob. < 1 su 20)
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Vero o falso?
1. Test significativo al 5% 
H0 è falsa e H1 vera
(i gruppi sono diversi)
2. Test non significativo 
H0 è vera e H1 è falsa
(i gruppi sono uguali)
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Nessuna delle 2!
1. Test significativo al 5% 
i gruppi sono diversi
quasi vero
2. Test non significativo 
I gruppi sono uguali
NO!!!
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1) Significativo (5%)
Ragionamento:
risultato significativo  H0 falsa
I gruppi sono diversi
•1 volta su 20 sarò in errore
ex: concludo che un farmaco migliora la
salute (p<5%)
1 possibilità su 20 che sia mortale!
•1 risultato significativo su 20 è falso
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Prove statistiche
TUTTO quello che si può fare:
•Dire che qualcosa è vero
•Sapere quanto spesso sbaglieremo (in
media)
•Scegliere quanto spesso sbaglieremo!
(scelta del livello di significatività)
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2) Risultato non significativo
Non possiamo MAI ragionare così:
•Risultato non significativo  H1 falsa
(non ci sono differenze)
Possiamo solo dire che:
•H1 non è statisticamente dimostrata
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Provare l’uguaglianza
• Non significativo – non ci sono prove di
una differenza
• Può sempre esserci una differenza reale,
ma troppo piccola per poterla
cogliere/dimostrare
 Non possiamo mai dimostrare l’uguaglianza
• Possiamo stimare i limiti della differenza
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Intervallo di confidenza (CI)
• È un limite al valore reale della media
la media dei dati è 0.6
95% CI è [-0.7, 1.3]
• Vuol dire che se concludo che:
La media della popolazione è
nell’intervallo [-0.7, 1.3]
• Il 95% dei casi avrò ragione
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Intervallo di confidenza
• 95% CI è [-0.7, 1.3]:
• NON vuol dire che:
c’è il 95% di probabilità che la
media
reale sia in quell’intervallo
• La media o lo è o non lo è!
• Tutto quello che significa:
95% di probabilità di avere ragione
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Provare l’uguaglianza
H0: nessuna differenza (la media reale è 0)
risultato sperimentale: media è 0.6
test di significatività: n.s. al 5%
95% CI:
[-0.7, 1.3]
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Quali test?
• T-test
 Confrontare le medie di due campioni, o
quella di un campione rispetto ad un valore di
riferimento
• ANOVA
 Confrontare le medie di due o più campioni.
 Verificare l’effetto di diverse variabili
indipendenti (fattori)
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Quali gruppi?
• I campioni si riferiscono a persone diverse:
 T-test a campioni indipendenti
 ANOVA between-subjects
• I campioni si riferiscono alle stesse
persone
 T-test a campioni accoppiati (paired)
 ANOVA within-subject (misure ripetute)
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Altri test
• X2 (Chi-square)
 Dati categoriali
 Confrontare le proporzioni
 Verificare associazioni
• E per le correlazioni?
 Testi di significatività del coefficiente di
correlazione (r):
r≠0?
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Distribuzioni Campionarie
• Immaginiamo avere una popolazione la cui distribuzione
ha media e varianza note (μ e σ2), e di ripetere molte
volte questo processo:
 Prendere un campione di n elementi
 Calcolare una statistica, come la media del campione (m)
• I valori ottenuti costituiranno un insieme di cui potrò:
 Visualizzare la distribuzione di frequenza (Istogrammi)
 Calcolare indicatori (media, varianza)
• E’ ragionevole ipotizzare un legame tra le proprietà di
questo insieme e quelli della popolazione di partenza
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Distribuzione Campionaria
• Una distribuzione campionaria o sampling
distribution (di una statistica) è la distribuzione di
probabilità dei valori di quella statistica calcolati su infiniti
campioni di una data dimensione n, estratti da una
popolazione con date media e varianza (μ e σ2)
• Distribuzione teorica
• E’ possibile caratterizzarla esattamente in certe
condizioni, e
• Usare la distribuzione campionaria per calcolare la
probabilità di estrarre un campione con date
caratteristiche (media e varianza) a partire dalla
popolazione di partenza!
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Distribuzione Campionaria della Media
• La distribuzione campionaria più importante è quella della media
• Se il campionamento è casuale, e la distribuzione di partenza è
normale, si può dimostrare che la distribuzione campionaria della
media ha queste proprietà:
 Media μM = μ
 Varianza σM2= σ2/n
 E’ normale
• La sua deviazione standard si indica come il termine standard error
se = σM/√n
• E’ possibile quindi convertirla in forma normale, e calcolare la
probabilità di estrarre un campione con una certa media dalla
popolazione
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Test di una media di una campione
• Calcolo i parametri della distribuzione campionaria
mM = m = 50
s
se = s M =
=
n
5
100
• Converto in punteggi z
z=
m - mM
sM
48 - 50
=
=4
0.5
• Converto il
punteggio z
in una probabilità
La probabilità di ottenere un valore simile è 0.00003167!
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Introduzione al t-test
• Confronto la media di un campione con un
valore di riferimento
 H0: μ=μ0
 Ha:μ≠μ0
• Confronto le medie di due campioni:
 H0: μfilm=μnon film
 Ha:μfilm ≠μnon film
• La statistica test si chiama t di Student
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La Distribuzione t di Student
•
•
•
•
William Gonnet (Student)
Famiglia di distribuzioni
Simmetriche
Indicizzate dai gradi di libertà (df)
 df=n-1
 numero di osservazioni indipendenti usate per una stima (della varianza)
 Approssimativamente indicizzano il grado di accuratezza della stima
• Tendono a diventare normali al crescere dei df
• E’ possibile trasformare un t in una probabilità
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Distribuzioni di t per vari df
• Al variare di df cambia la proporzione dell’area
compresa tra valori uguali di t
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T critici e significatività del test
• Il t ottenuto a partire da un campione è quello che mi
serve per verificare una ipotesi su di una popolazione
• In quanto permette di misurare la probabilità p di aver
ottenuto quella media per caso
• La sua grandezza indicizza, a parità di df, indica quanto è
violata l’ipotesi nulla H0
• Se p è minore di una soglia convenzionale, detta livello di
significatività (α)
 Rigetto H0 a favore di Ha (implausibile)
• Se p > α
 Ritengo H0 (come spiegazione possibile dei dati)
• Soglie sono convenzionali in genere 0.05 o 0.01
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Esempio di T test (un campione)
• La media del QI degli studenti universitari è 105
• Ipotizzo che quella degli studenti iscritti a Siena
sia più alta
• Ho raccolto un campione di 40 studenti a cui ho
somministrato un test per il QI
• Compio un t test per testare la mia ipotesi
 H0:μ=105
 Ha:μ≠105
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Assunzioni del test
• I test si basano sulla conoscenza distribuzione campionaria di una
statistica
• Questa conoscenza mi richiede di fare assunzioni, di specificare
delle condizioni in cui la mia statistica test (t) è distribuita in un modo
noto
• Assunzioni basate
 Sulle modalità di campionamento
 Osservazioni hanno la stessa distribuzione
 Sono mutuamente indipendenti
 Sono rappresentative della popolazione
 Sulla forma della distribuzione
 Normale
• Soddisfatte se:
 il campionamento è casuale
 Il numero degli elementi nel campione >20
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Direzionalità del t test I
• Se un t test è significativo
 H0: μ=μ0 falsa
• Ma Ha è generica
 Ha: μ≠μ0
• 2 possibilità:
 μ>μ0 oppure μ<μ0
• La regione di rigetto è equamente
distribuita sotto le due code della
distribuzione
 Qualunque sia il segno di t, quello che
conta è il suo valore assoluto
• Test omnidirezionale (a 2 code, two
tailed)
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Direzionalità del t test II
• Se mi interessa una specifica Ha
 Ha: μ>μ0 oppure μ<μ0
• Posso usare un t critico che metta α
solo sotto una sola coda della
distribuzione
• In questo modo anche t più piccoli
potranno portare ad un risultato
significativo
 Più probabilità di rigettare H0 (potenza),
che esprimerò come
 H0: μ≤μ0 oppure μ≥μ0
• Test unidirezionale (ad 1 coda, one
tailed)
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Tipi di Errori
• Rigettare o ritenere H0 è una decisione basata
su un calcolo di probabilità
• Rischiosa
• 2 possibili errori
 Tipo I: Rigetto H0 quando è vera
 Tipo II: Non rigetto H0 quando è falsa
• Io vorrei quantificare il rischio
 Calcolare il tasso di commettere i diversi tipi di errore
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Tipi di Errori
Rigetto H0
Accetto H0
H0 Falsa
H0 Vera
Decisione
Corretta (1)
Errore Tipo II
()
Errore Tipo I
()
Decisione
Corretta (1)
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Errori Tipo I
• Abbiamo detto che io rigetto H0 se
 La probabilità di ottenere quel valore per caso, se H0 è vera, è
minore del livello di significatività scelto α
• Questo avviene quando
 tobt > tcrit
• Ma il modo con cui scelgo tcrit è che:
 la probabilità di osservarlo per caso, se H0 è vera, è pari ad α
 Poiché la proporzione dell’area sottesa dalla distribuzione t,
nell’intervallo che fa da t crit in poi è α
• Quindi se H0 è vera, ho α probabilità di rigettarla!
• α = tasso di errore di Tipo I
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Errori Tipo II e Potenza di un Test
• Il tasso di errori di Tipo II (β)
 Probabilità che ho di NON rigettare (ritenere) H0 se falsa
• Potenza (power) di un test è
 Probabilità di rigettare H0 se falsa
 Power = 1 - β
• Io voglio una buona potenza!
• Dipende da
 Livello di α scelto
 Aumento power abbassando α
 Rischioso cambiarla
 Dimensione del campione
 Dimensione dell’effetto
y - m0
t=
s
n
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H0
1- H1
1 coda aumenta la potenza

La dimensione dell’effetto
aumenta la potenza
La diminuzione della dispersione
aumenta la potenza
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Dimensione dell’effetto e Power
• Misura di quanto l’ipotesi nulla è violata
 Più sono diverse le caratteristiche della vera popolazione da cui
viene il campione, più è facile che io rigetti H0
• Posso stimare la potenza a posteriori basandomi su
stime da precedenti studi per avere d
• Calcolare da tabelle o grafici (power charts) la
dimensione del campione adatta per cogliere un effetto
di dimensione d con la potenza che voglio
my - m0
y - m0
d=
Þd=
s
s
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Raccomandazioni
• Per ottenere una buona potenza è consigliabile
 Formulare l’ipotesi alternativa nel modo più specifico
possibile
 Raccogliere un adeguato numero di soggetti:
 Per dimostrare un effetto piccolo servono molti soggetti!
 Cercare di basarsi su una stima della dimensione
dell’effetto (prevista o in letteratura)
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T test a 2 campioni (indipendenti)
• In genere io non testo la media di un campione contro un
valore ipotizzato nella popolazione, ma confronto quelle
di 2 campioni per vedere se
 H0:μ1=μ2
 Ha:μ1≠μ2
• Ma questo è analogo a dire
 H0:μ1-μ2=0 (o in generale μ1-μ2=γ0)
 Ha:μ1-μ2≠0 (μ1-μ2≠γ0)
• Posso ricondurmi al t test classico, usando la
distribuzione campionaria delle differenze tra le medie di
2 campioni
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Esempio 1
• Sono interessato al potenziale di un nuovo
metodo per l’apprendimento della
statistica
• 40 studenti
 20 metodo classico
 20 metodo innovativo
• Test di comprensione statistica
 Numero di risposte corrette
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Risultati
• Le medie dei punteggi dei sue gruppi sono
significativamente diverse
• Il gruppo sottoposto al metodo innovativo ha in
media un punteggio più alto di 6.2
• t(38)=2.043; p<0.05
• È utile riportare anche altri indici (medie e
deviazioni standard dei gruppi, intervalli di
confidenza)
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