DAI NUMERI NATURALI
AI RAZIONALI E OLTRE
La misura
L'aspetto di misura dei numeri
naturali
Un numero (naturale) può esprimere la quantità dei
campioni di unità di misura in cui è stata suddivisa o
può essere suddivisa, fisicamente o idealmente, una
data grandezza.
Nelle scienze sperimentali il risultato della misura
non è un numero, ma un numero dimensionato, cioè
accompagnato dall'indicazione dell'unità di misura
utilizzata.
In matematica l’unità è sottintesa e la misura è un
numero puro, inteso come rapporto tra la grandezza
da misurare e l’unità di misura
La misura è importante
Dal punto di vista applicativo
(es. esperienza quotidiana)
MATEMATICA COME
LINGUAGGIO DELLE SCIENZE
(in questo caso spesso si parla di Misurazione)
Dal punto di vista teorico
(es. esperimenti mentali)
MATEMATICA COME
DISCIPLINA AUTONOMA
La misura è importante
Dal punto di vista applicativo
MATEMATICA COME
LINGUAGGIO DELLE SCIENZE
Dal punto di vista teorico
MATEMATICA COME
DISCIPLINA AUTONOMA
Strumenti
(misura
indiretta)
Campioni
(misura
diretta)
Nella scuola si possono (si devono)
intrecciare i due percorsi
MISURA
INDIRETTA
(lettura di strumenti)
MISURA
DIRETTA
(didatticamente: premisura)
Strumenti
(misura
indiretta)
Campioni
(misura
diretta)
Nella scuola si possono (si devono)
intrecciare i due percorsi
MISURA
INDIRETTA
(lettura di strumenti)
MISURA
DIRETTA
(didatticamente: premisura)
Strumenti
(misura
indiretta)
Campioni
(misura
diretta)
Campioni
(misura diretta)
Strumenti
(misura indiretta)
Osservazione di
Oggetti e/o eventi
Individuaz. di proprietà
oggetto di misura
Osservaz e uso di strum.
di misura del quotidiano
Individuazione di unità
Individuazione delle
propr. riferite agli strum.
Descrizione dei procedim.:
- congiunz. dei campioni
- replicaz. dei gesti
Conteggio dei campioni
o dei gesti
Descrizione dei procedim.
di uso degli strumenti
Lettura dei risultati
Scrittura
del risultato
Antiche unità – Ruolo del corpo
Strumenti
(misura indiretta)
Osservazione di
Oggetti e/o eventi
Individuaz. di proprietà
oggetto di misura
Osservaz e uso di strum.
di misura del quotidiano
Individuazione di unità
Individuazione delle
propr. riferite agli strum.
Descrizione dei procedim.:
- congiunz. dei campioni
- replicaz. dei campioni
Conteggio dei campioni
o dei gesti
Descrizione dei procedim.
di uso degli strumenti
Lettura dei risultati
Scrittura
del risultato
Uso degli strumenti scientifici
Campioni
(misura diretta)
Approfondimenti: [BB 1992]
Campioni
(misura diretta)
Costruz. del
Risultato
Conteggio
dei campioni / gesti
(unità di misura
con multipli e
sottomultipli)
Strumenti
(misura indiretta)
Lettura del
Risultato
numero che dipende
dalla
sensibilità
dello strumento
Campioni
(misura diretta)
Costruz. del
Risultato
Conteggio
dei campioni / gesti
(unità di misura
con multipli e
sottomultipli)
Strumenti
(misura indiretta)
Lettura del
Risultato
numero che dipende
dalla
sensibilità
dello strumento
Campioni
(misura diretta)
Strumenti
(misura indiretta)
Che cosa si
misura?
NON gli oggetti
ma loro proprietà
ovvero grandezze
associate agli
oggetti
(es. lunghezza,
peso, …)
Campioni
(misura diretta)
Strumenti
(misura indiretta)
Data una grandezza
Replicando il
campione (multipli e
sottomultipli)
si trova
uno e un solo
Numero
(Che tipo di
numero?)
Lo strumento
associa
uno e un solo
numero razionale
dimensionato
(espresso in forma
decimale)
1,5 kg ; 2,8 m; 1°
Strumenti
(misura indiretta)
Per approfondimenti epistemologici,
vedi Carnap F., I fondamenti filosofici della fisica, Il Saggiatore
Campioni
(misura diretta)
Campioni
(misura diretta)
Due problemi
1) Grandezze: come si definiscono le grandezze?
2) Numeri: che numeri si ottengono?
Grandezze
come si definiscono le grandezze?
Partiamo dal caso classico:
LUNGHEZZE
Consideriamo l’insieme dei segmenti del piano
(o dello spazio)
Partiamo dal caso classico:
LUNGHEZZE
Consideriamo l’insieme dei segmenti del piano
(o dello spazio)
LUNGHEZZE
Uguaglianza (o congruenza)
di segmenti.
Due segmenti a e b sono
Uguali (o congruenti)
a=b
quando sono sovrapponibili, cioè
tali che
trasportando il primo sul secondo
sia possibile farli coincidere,
punto per punto, esattamente.
LUNGHEZZE
L’uguaglianza dei segmenti gode
delle proprietà
Riflessiva
a=a
LUNGHEZZE
L’uguaglianza dei segmenti gode
delle proprietà
Riflessiva
a=a
Simmetrica
Se a = b
allora b = a
LUNGHEZZE
L’uguaglianza dei segmenti gode
delle proprietà
Riflessiva
a=a
Simmetrica
Se a = b
allora b = a
Transitiva
Se a = b e b = c
Allora
a=c
(in breve)
E’ una relazione di equivalenza
LUNGHEZZE
Si può quindi ripartire l’insieme
dei segmenti del piano (spazio) in
classi di equivalenza (congruenza)
Ogni classe contiene tutti e soli i
segmenti uguali (congruenti)
a un segmento dato
O
A
B
Una rappresentazione (ideale)
di tutte le classi è data su una
semiretta di origine O:
ogni punto X della semiretta
individua un segmento OX e
quindi una classe di equivalenza.
C
D
LUNGHEZZE
Le lunghezze sono le classi di equivalenza
Espressioni linguistiche
Un segmento a ha lunghezza A.
Un segmento a sta nella classe di lunghezze A.
La lunghezza A è rappresentata dal segmento a
 Due segmenti congruenti hanno la stessa lunghezza
 Due segmenti non congruenti non hanno la stessa lunghezza
e simili …….
Nel seguito indicheremo (senza più dirlo) con la stessa lettera
(minuscola o MAIUSCOLA) il segmento a e la sua
lunghezza A. Quando servirà indicheremo gli estremi del segmento:
a = AB
LUNGHEZZE
Ordinamento di segmenti
(di lunghezze)
Dati due segmenti diversi
a e b si dice
che a è minore di b o che
b è maggiore di a
scrivendo a < b o b > a
quando
a è uguale ad una parte di b.
Si usano le stesse espressioni
per le lunghezze
A<B o B>A
a
b
LUNGHEZZE
Addizione di segmenti
(di lunghezze)
Dati due segmenti a e b
a = AB b = BC
(con A, B, C allineati
e consecutivi, cioè con
B compreso tra A e C)
diciamo che
AB + BC = AC
(il segmento AC è somma dei
segmenti AB e BC)
A
B
C
LUNGHEZZE
Addizione di segmenti
(di lunghezze)
La somma di due lunghezze
A B
è la lunghezza C
del segmento AC
ottenuto sommando
due segmenti
allineati e consecutivi
AB con lunghezza A e
BC con lunghezza B.
A
B
C
LUNGHEZZE
Alcune proprietà delle lunghezze
ADDIZIONE
Proprietà commutativa:
Proprietà associativa
A+B=B+A
A + (B + C) = (A + B) + C
ORDINAMENTO
Proprietà transitiva
se A < B e B < C allora A < C
Proprietà di tricotomia:
Date A e B vale una e una sola delle relazioni:
A=B
A<B
B<A
Vediamo un altro caso:
PESI
Consideriamo un insieme di oggetti
ed una bilancia a due piatti
PESI
Equivalenza per peso.
Due oggetti a e b sono
equipesanti
a b
quando, posti sui piatti
di una bilancia la mettono in
equilibrio.
PESI
L’equivalenza per peso degli
oggetti gode delle proprietà
Riflessiva
aa
PESI
L’equivalenza per peso degli
oggetti gode delle proprietà
Riflessiva
Simmetrica
Se a  b
allora b  a
aa
PESI
L’equivalenza per peso degli
oggetti gode delle proprietà
Riflessiva
aa
Simmetrica
Se a  b
allora b  a
Transitiva
Se a  b e b  c
Allora
ac
PESI
Si può quindi ripartire un insieme
di oggetti in
classi di equivalenza (pesi)
e poi procedere come nel caso delle lunghezze ….
… definendo operativamente il confronto (ordinamento) e l’addizione
per mezzo della bilancia. Ad esempio:
PESI
Nella situazione rappresentata
dalla figura a lato diremo che
il peso di a è minore
del peso di b
anche che
il peso di b è maggiore
del peso di a
a
b
PESI
Nella situazione rappresentata
dalla figura a lato diremo che
la somma del peso di a e del
peso b è uguale al peso di c
E così via ….
ab
c
Numeri:
che numeri si ottengono?
Un caso storico
Due grandezze G e H sono commensurabili se esiste una grandezza
S che è sottomultipla di entrambe, cioè se si può scrivere:
G =mS e H =nS
(cioè 1/m G = 1/n H)
In caso contrario, cioè se non esiste un sottomultiplo comune, G e
H sono incommensurabili.
Dire che G e H sono commensurabili equivale a dire che
H =n/mG
(n / m è una frazione – detta anche numero razionale)
Numeri:
che numeri si ottengono?
Un caso storico
Due grandezze G e H sono commensurabili se esiste una grandezza
S che è sottomultipla di entrambe, cioè se si può scrivere:
G =mS e H =nS
(cioè 1/m G = 1/n H)
In caso contrario, cioè se non esiste un sottomultiplo comune, G e
H sono incommensurabili.
Dire che G e H sono incommensurabili equivale a dire che non c’è
nessuna frazione – numero razionale – n/m tale che:
H =n/mG
Un esempio
Date due grandezze G e H , rappresentate ad esempio da due
segmenti g e h, esiste un sottomultiplo comune?
Vediamo qualche caso:
1. Un triangolo rettangolo con cateti AB = 3 u e AC = 4 u .
L’ipotenusa BC è commensurabile con AB e AC?
A
C
B
…. Nel senso comune
1. Un triangolo rettangolo con cateti AB = 3 u e AC = 4 u .
L’ipotenusa BC è commensurabile con AB e AC?
Empiricamente: Riportando l’unità u su BC si verifica che
BC = 5 u
A
C
B
C’è una argomentazione teorica
1. Un triangolo rettangolo con cateti AB = 3 u e AC = 4 u .
L’ipotenusa BC è commensurabile con AB e AC?
Empiricamente: Riportando l’unità u su BC si verifica che
BC = 5 u
Teoricamente (Teorema di Pitagora): 32 + 42 = 52
Sono
commensurabili!
A
C
B
Un secondo esempio
Date due grandezze G e H , rappresentate ad esempio da due
segmenti g e h, esiste un sottomultiplo comune?
Vediamo un altro caso:
2. Un triangolo rettangolo isoscele con cateti AB = u = AC.
L’ipotenusa BC è commensurabile con AB e AC?
A
C
B
…. Nel senso comune
2. Un triangolo rettangolo isoscele con cateti AB = u = AC.
L’ipotenusa BC è commensurabile con AB e AC?
Empiricamente: supponiamo che u sia il metro; immaginiamo
di avere un righello graduato in dm e cm. Otteniamo:
AB = AC = 1,00 m
e
BC = 1,41 m
A
B
C
1,4
0
1
…. Nel senso comune
2. Un triangolo rettangolo isoscele con cateti AB = u = AC.
L’ipotenusa BC è commensurabile con AB e AC?
Empiricamente: ciò significa che:
AB = AC = 100 cm
e
BC = 141 cm
e il centimetro (1/100 di metro) è il sottomultiplo comune
A
B
C
1,4
0
1
C’è una argomentazione teorica?
2. Un triangolo rettangolo isoscele con cateti AB = u = AC.
L’ipotenusa BC è commensurabile con AB e AC?
Proviamo a ragionare come nel caso precedente, utilizzando il
Teorema di Pitagora.
Se AB (= AC) e BC hanno un sottomultiplo comune s
AB = m s e BC = n s.
Per il Teorema di Pitagora
AB2 + AC2 = BC2
m2 + m2 = n2
2 m2 = n2 …………………… (continua).
A
C
B
C’è una argomentazione teorica?
……………………(segue).
2 m2 = n2 cioè
n2 è divisibile per 2 (pari) e quindi:
n è pure divisibile per 2 (pari)
n = 2k
e quindi:
2 m2 = 4k2 cioè:
m2 = 2k2 cioè
m2 è divisibile per 2 (pari)
m = 2h.
Allora sia m che n sono pari, quindi, nella scomposizione in fattori
primi, il fattore 2 compare in m2 e in n2 con esponente pari.
Dunque nell’uguaglianza:
2 m2 = n2
Il primo membro contiene il fattore 2 con esponente dispari, mentre
il secondo membro contiene il fattore 2 con esponente pari.
…. E questo non può accadere!
C’è una argomentazione teorica?
Riassumendo
Abbiamo dimostrato che
Se AB e BC (cateto e ipotenusa di un triangolo
rettangolo isoscele) hanno un sottomultiplo
comune s c’è una contraddizione.
Tutto il ragionamento si basa su presupposti solidi ed accettati:
il Teorema di Pitagora
e
le proprietà della divisibilità nell’insieme dei numeri naturali.
Dunque la contraddizione dipende dall’avere supposto che:
AB e BC abbiano un sottomultiplo comune
Abbiamo trovato una coppia di grandezze
G ed H
(rappresentate da cateto e ipotenusa di un
triangolo rettangolo isoscele)
per le quali non c’è nessun numero razionale
n/m
che consente di scrivere:
H = n/m G
Abbiamo trovato una coppia di grandezze
G ed H
(rappresentate da cateto e ipotenusa di un
triangolo rettangolo isoscele)
per le quali non c’è nessun numero razionale
n/m
che consente di scrivere:
H = n/m G
Possiamo costruire infiniti esempi di segmenti incommensurabili
con un segmento dato OA1.
Nella figura che segue sono costruiti dei triangoli rettangoli con:
OA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5 = A5A6 = A6A7 = …..
Per esercizio si può trovare in quali casi l’ipotenusa è
commensurabile con OA1.
A4
A3
A5
A2
A6
A7
O
A1