Presupposti alla lezione
Si presuppone che sia noto:
L’analisi della varianza a una via
L’analisi della varianza a più vie fattoriale
Contrasti e confronti multipli tra medie
Argomenti trattati
Gli schemi più usati in Agronomia
 Schema a randomizzazione completa
 schema a blocchi randomizzati
 schema a quadrato latino
 Schemi a split-plot
ulteriori trattamenti nello split-plot
 schemi a strip splot
ulteriori trattamenti nello strip-plot
Il dimensionamento degli esperimenti
 criteri per la determinazione del numero
di ripetizioni
 criteri per la determinazione della
dimensione delle unità sperimentali
Cenni a schemi sperimentali meno
frequentemente utilizzati
Schema a randomizzazione completa
Consiste:
 Nell’attribuire
mediante
sorteggio,
un
trattamento a a ogni unità sperimentale, non
considerando la sua posizione fisica
Si usa:
 in indagini territoriali scegliendo campioni
completamente casuali. (non è possibile
predisporre uno schema)
 Talvolta in prove in ambiente controllato o in
laboratorio (situazioni in cui i fattori non
sperimentali sono controllati al meglio).
Non si usa:
 In prove impostate in campo poiché non offre
nessun controllo della variabilità accidentale,
che è sempre elevata
Il MODELLO dell’ANOVA a BLOCCHI
Yij=  + i + j + ij
ij
1
1
2
1
ij
Il valore di un dato (Yijk) è la somma dell’effetto
di uno specifico livello del 1° fattore (i) ,
dell’effetto del blocco di appartenenza (j ) e di
una componente accidentale (ij). E’
esplicitamente esclusa l’interazione tra blocco e
trattamento
Schema a randomizzazione completa:
esempio
4 trattamenti, 3 ripetizioni
1) tracciare 4 * 3 =12 parcelle
2) attribuire a ogni parcella il proprio trattamento
mediante sorteggio
3) esecuzione esperimento e raccolta risultati
4) elaborazione dei dati secondo la tecnica
usuale di analisi della varianza a 1 via
A1
A4
A2
A2
A3
A1
A3
A1
A2
A4
A3
A4
Qui le unità sperimentali sono rappresentate
come adiacenti ma non è affatto necessario che
lo siano
Schema a blocchi randomizzati
Consiste:
 nel suddividere l’area sperimentale in blocchi in
modo che i blocchi abbiano la massima
omogeneità al loro interno e siano il più possibile
differenziati tra loro.
 Disporre casualmente i trattamenti in modo che
in ogni blocco sia rappresentato uno e un solo
trattamento.
Si usa:
 nella gran parte delle prove di tipo manipolativo
(è lo schema più usuale in prove agronomiche).
Richiede:
 esperimenti bilanciati
Offre:
 la possibilità di controllare, almeno in parte, gli
effetti dell’eterogeneità del terreno, migliorando
la potenza dell’esperimento. Consente di
eliminare dall’errore sperimentale la variabilità
tra i blocchi.
 La possibilità di suddividere il lavoro tra più
operatori o in più giorni (1 per blocco) ed
eliminarne la conseguente variabilità.
Disposizione e forma dei blocchi
Dipende dai gradienti di fertilità. In caso di un solo
gradiente, predisporre blocchi lunghi e stretti
perpendicolari al gradiente stesso.
Blocco 4
Blocco 3
Blocco 2
Blocco 1
gradiente
In presenza di 2 gradienti perpendicolari,
predisporre blocchi in quadrato e di forma
quadrata. Lo stesso non conoscendo i gradienti
Blocco 1
Blocco 3
gradiente
Blocco 2
Blocco 4
gradiente
Schema a blocchi randomizzati: esempio
4 trattamenti, 3 ripetizioni
1) tracciare 3 blocchi, suddividerli in 4 parcelle
2) attribuire, nell’ambito di ogni blocco, a ogni
parcella il proprio trattamento mediante
sorteggio (occorrono 3 sorteggi)
3) esecuzione esperimento e raccolta risultati
4) elaborazione dei dati sottraendo devianza e
gradi di libertà dei blocchi da quelli dell’errore
di una ANOVA a 1 via eseguita trascurando i
blocchi.
Blocco 1
Blocco 2
Blocco 3
A1
A4
A2
A2
A2
A1
A3
A1
A3
A4
A3
A4
Schema a blocchi randomizzati: calcoli
Per il calcolo della devianza trattamenti procedere
come in ANOVA ordinaria
Per il calcolo della devianza blocchi, procedere
usualmente, considerando i blocchi come fossero
trattamenti (ovvero sostituire a ogni parcella del
blocco il valore medio del blocco e calcolare la
devianza di tutti i dati).
Blocco 1
Blocco 2
Blocco 3
M blocco 1 M blocco 2 M blocco 3
M blocco 1 M blocco 2 M blocco 3
M blocco 1 M blocco 2 M blocco 3
M blocco 1 M blocco 2 M blocco 3
n blocchi
Dev. Blocchi  n.tratt.  ( xi  x )
i 1
2
Schema a blocchi randomizzati: calcoli
(segue)
Le devianze:
dev. tot.   xi - x 
2
n
i 1
dev. tratt  nr  xi  x 
2
nt
i1
nb
dev. blocchi  nt  ( xi  x )2
i 1
dev. err  dev.tot - dev. tratt. - dev.blocchi
I gradi di libertà
GL trattamenti = nt - 1
GL blocchi = nb-1
GL errore = (nt-1) x (nb-1) o per sottrazione
Le varianze e i rapporti F sono quelli usuali
Schema a blocchi randomizzati: tabella
ANOVA e interpretazione
Fonti di variazione devianze
totale
blocchi
trattamenti
errore
dtot
db
dt
de
GL
varianze F calcolato P(F)
p*q*nrip-1
nb-1
db/gl
nt-1
dt/gl
(nb-1)(nt-1) de/gl
vb/verr
vt/ve
Il giudizio sulla significatività dell’effetto dei trattamenti è
in base al valore di P(F) . La P(F) relativa ai blocchi
indica se l’applicazione dello scema a blocchi è risultata
efficace; se P(F) >  i blocchi sono inutili. Viceversa, i
blocchi hanno apportato una significativa riduzione
dell’errore sperimentale.
SE l’effetto dei blocchi è significativo, si può valutare il
parametro di efficienza relativa (R.E.) rispetto allo
schema a randomizzazione completa:
(nrip - 1) * vb  nrip(nt - 1) * ve
R.E. 
(nrip * nt - 1) * ve
(la formula è valida se Gle >20, se no è necessaria una
correzione, altrimenti R.E. è sovrastimata)
R.E. è il fattore moltiplicativo del numero di ripetizioni di
un esperimento a randomizzazione completa
necessario per ottenere la stessa potenza
dell’esperimento a blocchi in esame
Contrasti e confronti multipli in uno
schema a blocchi randomizzati
Sono eseguiti come ordinario, utilizzando per
calcolare l’errore standard della differenza tra
medie la varianza errore
Requisiti per l’ANOVA a blocchi
randomizzati
Gli stessi dello schema a randomizzazione
completa:
1) Normalità delle popolazioni da cui sono tratti i
campioni (verificata attraverso la normalità dei
residui).
2) Omogeneità delle varianze.
3) Indipendenza dei trattamenti.
4) In più: ASSENZA DI INTERAZIONE TRA
TRATTAMENTI E BLOCCHI.
Analisi di normalità dei residui e omogeneità delle
varianze
1) calcolo dei residui: in base al modello
dell’ANOVA a blocchi, il valore medio atteso dell’
i-esimo trattamento appartenente al J-esimo
blocco è:
yˆij  yi  yj  y
e quindi
eij  yij  yˆij
Analisi dei residui nell’ANOVA a blocchi
randomizzati
I residui così calcolati si possono sottoporre agli
usuali test di normalità (P-P plot, Shaphiro & Wilks,
Kolmogorov) e si possono fare test di omogeneità
delle varianze, sia rispetto ai trattamenti sia rispetto
ai blocchi (Levene test). E’ interessante anche
l’analisi grafica, che può visualizzare la presenza di
interazioni trattamenti-blocchi.
residui rispetto ai blocchi
2
scarto
1
t1
t2
0
-1
1
2
3
4
t3
t4
-2
blocchi
residui rispetto ai trattamenti
2
scarto
1
b1
b2
0
-1
b3
1
2
3
4
b4
-2
trattamenti
In questi grafici non si evidenzia né interazione né
non omogeneità delle varianze.
Analisi dei residui nell’ANOVA a blocchi
randomizzati (segue)
residui rispetto ai trattamenti
3
scarto
2
b1
1
b2
0
-1 1
b3
2
3
4
b4
-2
-3
trattamenti
residui rispetto ai blocchi
3
scarto
2
t1
1
t2
0
-1 1
2
3
4
t3
t4
-2
-3
blocchi
In questi grafici si evidenzia non omogeneità delle
varianze e possibile interazione trattamento x blocchi
Esiste un test, dovuto a Tukey, per verificare la
presenza di interazione, basato sull’assumere
l’interazione in una forma particolare:
()ij= ij; in questa forma si ha 1 GL per l’interazione.
La derivazione matematica è oltre gli obbiettivi del
corso; l’applicazione, semplice, si trova su tutti i testi