Valutazione INValSI degli
apprendimenti:
Quadro di riferimento di
matematica I e II ciclo
•
•
Stefania Pozio
Gruppo di lavoro SNV
Ancora sulle competenze
• Non è possibile promuovere competenze se non si
promuovono contemporaneamente anche i saperi a queste
correlati.
• Lo sviluppo di una competenza implica un esercizio graduale
e sistematico all’interno di una buona pratica didattica.
• L’avanzare delle conoscenze deve accompagnarsi a una loro
vera comprensione e a una loro progressiva valorizzazione
per leggere e interpretare situazioni interne alla propria
disciplina e esterne a essa, per quanto possibile, per passare
poi a qualche forma di esercitazione o di produzione
personale.
Primo principio:
coinvolgimento
• Una competenza si sviluppa in un
contesto nel quale lo studente è coinvolto,
personalmente o collettivamente,
nell’affrontare situazioni, nel portare a
termine compiti, nel realizzare prodotti, nel
risolvere problemi, che implicano
l’attivazione e il coordinamento operativo
di quanto sa, sa fare, sa essere o sa
collaborare con gli altri.
Secondo principio:
apprendimento significativo
• La progettazione di un’attività formativa diretta
allo sviluppo di competenze deve tener conto
della necessità che le conoscenze fondamentali
da questa implicate siano acquisite in maniera
significativa, cioè comprese, organizzate e
ricordate in modo adeguato, che le abilità
richieste siano disponibili a un livello confacente
di correttezza e di consapevolezza di quando e
come utilizzarle, che si sostenga il desiderio di
sviluppare conoscenze e abilità nell’affrontare
compiti e attività che ne esigono l’attivazione e
l’integrazione.
Secondo principio:
apprendimento significativo
• Per questo è necessaria l’individuazione chiara dei
saperi fondamentali da promuovere e delle conoscenze
e abilità fondamentali che le varie competenze
implicano, tenendo conto del livello di profondità e
padronanza da raggiungere.
• Su questa base andrebbe fatto un bilancio iniziale delle
conoscenze, delle abilità già acquisite ed evidenziate da
parte dello studente (o, eventualmente, delle
competenze da lui già raggiunte).
• Dal confronto tra questi due riferimenti è possibile
elaborare un progetto formativo coerente. Ciò è
particolarmente importante nel caso delle competenze
riferibili allo scrivere, al leggere e alla matematica,
competenze che condizionano non poco lo sviluppo di
Terzo principio:
consapevolezza
• Implica l’uso di metodi che coinvolgono l’attività degli
studenti nell’affrontare questioni e problemi di natura
applicativa (alla propria vita, alle altre discipline, alla vita
sociale e lavorativa), sia nell’introdurre i nuclei
fondamentali delle conoscenze e abilità, sia nel
progressivo padroneggiarli.
• Un ambiente di lavoro nel quale si realizzano
individualmente o collettivamente prodotti che richiedono
un utilizzo intelligente di quanto studiato, o sollecitano un
suo approfondimento, è la chiave di volta metodologica.
• Ad esempio: ricerca di applicazioni di concetti e principi
matematici, scientifici e/o tecnici a casi di vita quotidiana.
Quarto principio: approccio
laboratoriale
• L’ambiente nel quale si svolgono le lezioni
dovrebbe assumere sempre più le
caratteristiche di un laboratorio, soprattutto
mentale, nel quale si opera individualmente
o in gruppo al fine di acquisire e controllare
la qualità delle conoscenze e delle abilità
progressivamente affrontate, mentre se ne
verifica la spendibilità nell’affrontare
esercizi e problemi via via più impegnativi
sotto la guida dei docenti.
Quarto principio: approccio
laboratoriale
• In particolare, una didattica per progetti risulterà
del tutto proficua. Lavorare per progetti, infatti,
consente di cogliere lo scopo di molti
apprendimenti anche di tipo ripetitivo, come quelli
connessi con lo sviluppo di alcune abilità
strumentali.
• L’impostazione di un lavoro collettivo al fine di
conseguire il risultato o prodotto finale del
progetto permette anche di far pratica di attività di
natura progettuale, gestionale e collaborativa.
Valutare le competenze
• In un processo valutativo un conto è la
raccolta di elementi informativi, di dati,
relativi alle manifestazioni di competenza,
un altro conto è la loro lettura e
interpretazione al fine di elaborare un
giudizio comprensivo.
Valutare le competenze
• La raccolta di informazioni: occorre che queste
siano pertinenti (cioè si riferiscano
effettivamente a ciò che si deve valutare) e
affidabili (cioè degne di fiducia, in quanto non
distorte o mal raccolte).
• La loro lettura, interpretazione e valutazione
esigono che preventivamente siano stati definiti i
criteri in base ai quali ciò viene fatto, deve cioè
essere indicato a che cosa si presta attenzione e
si attribuisce valore e seguire effettivamente e
validamente in tale apprezzamento i criteri
determinati.
Valutare le competenze
• L’elaborazione di un giudizio che tenga
conto dell’insieme delle manifestazioni di
competenza, anche da un punto di vista
evolutivo, non può basarsi su calcoli di tipo
statistico, alla ricerca di medie: assume
invece il carattere di un accertamento di
presenza e di livello, che deve essere
sostenuto da elementi di prova (le
informazioni raccolte) e da consenso (da
parte di altri).
Valutare le competenze
• Le fonti informative sulla base delle quali
esprimere un giudizio di competenza,
possono essere classificate secondo tre
grandi ambiti specifici:
• i risultati ottenuti nello svolgimento di un
compito o nella realizzazione del prodotto;
• quello relativo a come lo studente è giunto
a conseguire tali risultati;
• quello relativo alla percezione che lo
studente ha del suo lavoro.
Risultati ottenuti
• Il primo ambito riguarda i compiti che
devono essere svolti dallo studente e/o i
prodotti che questi deve realizzare. Essi
devono esigere la messa in moto non solo
delle conoscenze delle abilità possedute,
ma anche una loro valorizzazione in
contesti e ambiti di riferimento
moderatamente diversi da quelli ormai già
resi famigliari dalla pratica didattica.
Osservare lo studente
• Una osservazione sistematica del
comportamento dello studente mentre
svolge il compito; ciò comporta una previa
definizione delle categorie osservative,
cioè di quegli aspetti specifici che
caratterizzano una prestazione e sui quali
concentrare l'attenzione per poter decidere
se una certa competenza sia stata
raggiunta o meno.
Percezione dello studente
• Qualche forma di narrazione di sé da parte dello
studente, sia come descrizione del come e perché ha
svolto il compito assegnato in quella maniera, sia come
valutazione del risultato ottenuto.
• Ciò coinvolge una capacità di raccontare, giustificandole,
le scelte operative fatte;
• di descrivere la successione delle operazioni compiute
per portare a termine il compito assegnato,
evidenziando, eventualmente, gli errori più frequenti e i
possibili miglioramenti;
• di indicare la qualità non solo del prodotto, risultato del
suo intervento, ma anche del processo produttivo
adottato.
La struttura del Quadro di Riferimento
Quadro di riferimento
per la valutazione
Quadro di riferimento
per i curricoli
Prassi scolastica
Quadri di riferimento
per le valutazioni
internazionali
Esiti delle rilevazioni
precedenti
16
PISA: dal 2003 al 2012
“La Mathematical Literacy la capacità di un individuo di individuare e
comprendere il ruolo che la matematica gioca nel mondo reale, di
operare valutazioni fondate e di utilizzare la matematica e
confrontarsi con essa in modi che rispondono alle esigenze della
vita di quell’individuo in quanto cittadino impegnato, che riflette e
che esercita un ruolo costruttivo .”
La literacy matematica è «la capacità di un individuo di utilizzare e
interpretare la matematica, di darne rappresentazione mediante
formule, in una varietà di contesti. Tale competenza comprende la
capacità di ragionare in modo matematico e di utilizzare concetti,
procedure, dati e strumenti di carattere matematico per descrivere,
spiegare e prevedere fenomeni. Aiuta gli individui a riconoscere il
ruolo che la matematica gioca nel mondo, a operare valutazioni e a
prendere decisioni fondate che consentano loro di essere cittadini
impegnati, riflessivi e con un ruolo costruttivo» .
 RIPRODUZIONE (quesiti abbastanza familiari; esecuzione
di procedure di routine, applicazione di algoritmi standard)
 CONNESSIONI
(problemi che non sono di routine, ma
comunque sempre ambiti familiari o semi-familiari;saper fare
collegamenti tra diverse rappresentazioni di una determinata
situazione,collegare
diversi
aspetti
unasuccesso
situazione
problematica
al fine
Una persona
che
affrontadicon
il processo
di
nell’ambito di una molteplicità di
di sviluppare unamatematizzazione
soluzione)
 RIFLESSIONE
8 competenze tipiche (Niss et al., 1999
situazioni e contesti, extra e intra-matematici, e di
(pianificare
strategie
di soluzione
e
diverse idee chiave,
deve possedere
un certo
numero
applicarle affrontando
ambitimatematiche
problematici
più
riflessione sui
di competenze
che,
nelcomplessi,
loro insieme,
)
possono
essereper
considerate
come
processi richiesti
o utilizzati
risolvere
un costitutive
problema)della
matematica. Ciascuna di queste
• Pensierocompetenza
e ragionamento
competenze può essere posseduta a diversi livelli di
• Argomentazione
padronanza.
•
•
•
•
•
•
Comunicazione
Modellizzazione
Formulazione e risoluzione di problemi
Rappresentazione
Uso del linguaggio simbolico, formale e tecnico delle operazioni
Uso di strumenti e sussidi
PISA 2012
Formulare
un modello
Problema
in contesto
Problema
matematico
Utilizzare
la matematica
Validare i risultati
Risultati
contestualizzati
Interpretare
i risultati
Nel PISA 2012, per la prima volta, i risultati
degli studenti saranno riportati in funzione dei
3 processi
Risultati
matematici
Dare una rappresentazione di una situazione
utilizzando la Matematica (formulate)
Capacità di un individuo di riconoscere e identificare opportunità per utilizzare
la matematica e così fornire una struttura matematica a un problema
presentato in un contesto reale.
Impiegare concetti, fatti, procedure e ragionamenti
matematici (employ)
Capacità di un individuo di applicare concetti, fatti,procedure e ragionamenti
per risolvere problemi matematici al fine di ottenere conclusioni matematiche.
ANDATURA
La figura mostra le orme di un uomo che cammina. La lunghezza P del passo è la distanza tra la
parte posteriore di due orme consecutive.
Per gli uomini, la formula
n
 140 fornisce una relazione approssimativa tra n e P dove:
P
n = numero di passi al minuto, e
P = lunghezza del passo in metri.
Domanda 1: ANDATURA
Se la formula si applica all’andatura di Enrico ed Enrico fa 70 passi al
minuto, qual è la lunghezza del passo di Enrico? Scrivi qui sotto i passaggi
che fai per arrivare alla risposta.
Domanda 2: ANDATURA
Bernardo sa che la lunghezza del suo passo è di 0,80 metri. La formula viene
applicata all’andatura di Bernardo.
Calcola la velocità a cui cammina Bernardo esprimendola in metri al minuto e
in chilometri all’ora. Scrivi qui sotto i passaggi che fai per arrivare alla risposta.
Interpretare, applicare e valutare risultati
matematici (interpret)
Capacità di un individuo di riflettere su soluzioni, risultati e conclusioni
matematiche e interpretarle alla luce del contesto dei problemi di vita reale.
Questo comprende anche il saper tradurre le soluzioni o i ragionamenti
ritornando al contesto del problema e determinare se i risultati hanno senso in
quel determinato contesto.
RIFIUTI
Nell’ambito
di
una
ricerca
sull’ambiente, gli studenti hanno
raccolto informazioni sui tempi di
decomposizione di diversi tipi di
rifiuti che la gente butta via:
Uno studente prevede di presentare
i risultati con un diagramma a
colonne.
Scrivi un motivo per cui un
diagramma a colonne non è adatto
per rappresentare questi dati.
Tipo di rifiuto
Tempo di
decomposizione
Buccia di banana
1–3 anni
Buccia d’arancia
1–3 anni
Scatole di cartone
0,5 anni
Gomma da masticare
20–25 anni
Giornali
Pochi giorni
Bicchieri di plastica
Oltre 100 anni
STRUTTURA del Quadro di Riferimento
AMBITI
PROCESSI
CONTENUTI
COMPITI
27
Matematica: gli ambiti
28
PROCESSI COGNITIVI
1. Conoscere e padroneggiare contenuti specifici della
matematica (oggetti matematici, proprietà, strutture ...)
2. Conoscere e padroneggiare algoritmi e procedure (in
ambito aritmetico, geometrico ...)
3. Saper risolvere problemi utilizzando gli strumenti della
matematica (individuare e collegare informazioni utili,
confrontare strategie di risoluzione, individuare schemi, esporre
il procedimento risolutivo, ...)
4. Conoscere e utilizzare diverse forme di rappresentazione e
saper passare da una all'altra (verbale, scritta, simbolica,
grafica, tabellare, ...)
PROCESSI COGNITIVI
5. Riconoscere in contesto il carattere misurabile di oggetti e fenomeni e
saper utilizzare strumenti (stimare una misura, individuare l’unità di
misura appropriata, …)
6. Utilizzare la matematica appresa per il trattamento quantitativo
dell'informazione in ambito scientifico, tecnologico, economico e
sociale (descrivere un fenomeno in termini quantitativi, interpretare una
descrizione di un fenomeno con strumenti statistici o funzioni, costruire un
modello ...)
7. Acquisire progressivamente forme tipiche del pensiero matematico
(congetturare, verificare, giustificare, definire, generalizzare, …)
8. Saper riconoscere le forme nello spazio (riconoscere forme in diverse
rappresentazioni, individuare relazioni tra forme, immagini o
rappresentazioni visive, visualizzare oggetti tridimensionali a partire da una
rappresentazione bidimensionale e, viceversa, rappresentare sul piano una
figura solida, saper cogliere le proprietà degli oggetti e le loro relative
posizioni, …).
CONTENUTI
CONTENUTI
CONTENUTI
A partire
dalla V
primaria
CONTENUTI
La Misura trasversale
ai diversi ambiti
COMPITI
(esempi per Spazio e Figure)
•Conoscere e applicare la disuguaglianza triangolare
•Riconoscere figure equiscomponibili
•Calcolare e confrontare aree di poligoni
•Calcolare aree utilizzando l’equiscomponibilità
•Saper misurare l’area di figure irregolari attraverso griglie o scomposizioni
•Conoscere le proprietà delle figure piane e solide
•Riconoscere le relazioni fra le forme a tre dimensioni e la loro rappresentazione
bi-dimensionale
•Calcolare area e volumi delle figure geometriche più semplici (triangolo,
quadrato, cubo,..)
•Riconoscere relazioni fra forme e oggetti nello spazio e la loro
rappresentazione bi-dimensionale
•Individuare punti e figure nel piano cartesiano
•Riconoscere traslazioni e rotazioni in oggetti e figure
•Individuare gli assi di simmetria di una figura
•Tassellare un poligono con figure date
•Calcolare il perimetro di figure piane note
•Confrontare perimetri di figure piane note
•Stimare il perimetro e l’area di figure irregolari
•Riconoscere grandezze proporzionali e figure simili
TIPI DI DOMANDE: a risposta chiusa
SNV 2011 Liv. 6
A scelta multipla
SNV 2011 Liv. 8
A scelta multipla complessa
TIPI DI DOMANDE: a risposta aperta
A risposta aperta univoca
SNV 2011 Liv. 2
A risposta aperta articolata
SNV 2011 Liv. 6
37
Ambito:
Spazio e figure
Contenuto:
Equivalenza tra figure
piane
Processo:
n.8: Saper riconoscere forme
nello spazio
Compito:
Saper scomporre figure
equivalenti
Tipo di domanda:
A risposta univoca
Il “peso” dei quesiti aperti nelle prove
39
Quesiti a risposta aperta univoca
In genere si preparano quando risulta difficile
trovare distrattori credibili o significativi di errori
tipici.
In alcuni casi va al pre-test sia la versione a
scelta multipla sia quella a risposta aperta per
analizzare i comportamenti degli studenti e quindi
decidere alla luce dei risultati.
40
Esempi dell’evoluzione di un quesito al pre-test
SNV 2011 Liv. 6
A7.
Se al numero 4,3699 si
aggiunge 1 millesimo si ottiene
A
4,3700
.
B
4,3709
C
4,3799
D
4,3609
RISPOSTE CORRETTE: 29%
B6.
Aggiungendo 1
millesimo a 4,3699, quale
numero si ottiene?
Risposta:
……………………………………
RISPOSTE CORRETTE: 27%
Si è scelto la versione B
perchè nella versione a
scelta multipla i distrattori
C e D non hanno
funzionato e il distrattore A
41
era troppo forte
Quesiti a risposta aperta articolata
Tre modalità
1.Mostra i calcoli che hai fatto per
arrivare alla risposta
2.Scrivi come hai fatto per trovare la
risposta
3.Giustifica la tua risposta
42
1.Mostra i calcoli che hai fatto per arrivare alla
risposta
SNV 2011 Liv. 10
SNV 2011 Liv. 2
D3a
42
D3b
36+6=42
Risposte corrette
Risposte
D23acorrette
47%
D3a D23b
67,7%35%
omissioni)
D3b (40%
58,4%
43
2.Scrivi come hai fatto per trovare la risposta
B
SNV 2011 Liv. 8
Risposte corrette
D8a 66,5% (10%omis.)
D8b 33% (25%omis.)
44
La griglia di correzione: un’operazione complessa
Calcoli
oppure
descrizione verbale
45
3.Giustifica la tua risposta
Risposte corrette
D20a 68% om.4%
D20b 49% om. 23%
SNV 2011 Liv. 10
46
Le omissioni: un confronto
Liv.
Liv. 2
risposta multipla
2010
2011
Media Media
4,5%
1,92%
risposta aperta
2010
2011
Media Media
10,05% 6,46%
Liv. 5
2%
0,87%
6,78%
Liv. 6
3,05%
1,72%
11,94% 7,41%
Liv. 8
1,95%
1,99%
18,85% 8,78%
Liv. 10
/
4,95%
/
4,21%
21,37%
47
Alcune osservazioni
In generale nei quesiti a risposta aperta la percentuale
di mancata risposta è più alta rispetto alle domande a
scelta multipla.
Per il primo ciclo la percentuale rimane dentro un limite
fisiologico (ampiamente sotto il 10%) e in diminuzione
rispetto al 2010, mentre è piuttosto alta la percentuale di
omissioni della secondaria di II grado (~ 20% con 7
quesiti su 17 con oltre iI 25% di risposte omesse).
Un dato positivo è rappresentato dalla diminuzione
della percentuale di omissioni nelle domande a risposta
aperta articolata rispetto allo scorso anno: 4 quesiti su 6
registravano una percentuale di omissioni superiore al
20%, quest’anno solo 2 quesiti su 8 hanno una
percentuale intorno al 20% di omissioni.
48
Quesiti con scelta di una affermazione
o di una motivazione
E’ una tipologia di quesiti a risposta multipla di
non facile costruzione perché è necessario trovare
motivazioni o affermazioni plausibili
Sono quesiti abbastanza caratteristici delle nostre
prove (SNV e PN), nel senso che non ve ne sono di
simili né nel PISA né nel TIMSS
Possono essere molto interessanti da un punto di
vista didattico e “propedeutici” a quei quesiti che
richiedono una spiegazione o una giustificazione
Inoltre i risultati sono, in genere, nella media
49
SNV 2011 Liv. 6 SPAZIO E FIGURE
Si chiede allo studente
di rispondere tenendo
conto della
giustificazione fornita
Omissioni
A
B
C
D
1,5
14,7
15,3
43,1
25,4
50
PN 2011 Liv. 8 NUMERI
QUESITI IN CONTINUITA’
Omiss
VERO
FALSO
D2a
1,2
80,2
18,6
D2b
1,7
62,1
36,2
D2c
1,8
20,1
78,1
D2d
2,6
55,1
42,3
Si chiede allo
studente di valutare
la validità di una
affermazione sulle
proprietà dei numeri
naturali.
51
SNV 2011 Liv. 10 RELAZIONI E FUNZIONI
Omissioni
A
B
C
D
2,1
14,6
8,4
68
6,9
Si chiede allo
studente di
valutare tre
affermazioni o
interpretando il
risultato di una
trasformazione
algebrica o
ragionando
sulla retta dei
numeri
52
53
Cosa si vuole valutare
La conoscenza concettuale della
matematica è frutto di
interiorizzazione dell’esperienza e di
riflessione critica, o è frutto di
addestramento “meccanico” o di
apprendimento mnemonico??
• Le conoscenze che la scuola, ai diversi
livelli, stimola e trasmette, sono ben
ancorate ad un insieme di concetti
fondamentali di base e di conoscenze
stabili, almeno sui livelli essenziali?
Gli aspetti algoritmici applicativi ed
esecutivi, che pure costituiscono una
componente irrinunciabile della
disciplina matematica, non dovrebbero
essere considerati fine a se stessi.
Cosa valutano le prove INVALSI
• Non devono limitarsi a valutare
l'apprendimento della matematica utile,
ma devono cercare di far riferimento alla
matematica come strumento di pensiero e
alla matematica come disciplina con un
proprio specifico statuto epistemologico.
Devono valutare conoscenze e abilità
matematiche acquisite dagli studenti in
entrata e in uscita del ciclo d’istruzione
Per avere chiaro cosa valutano e come
lo valutano (e cosa non possono
valutare), ci sono due strumenti a
disposizione:
Nel complesso delle prove:
il quadro di riferimento
http://www.invalsi.it/esamidistato1011/
Per i singoli quesiti
dei diversi fascicoli:
le griglie di correzione
e le note di
commento
http://www.invalsi.it/snv1011/index.php?action=strumenti
56
I MEDIA
Conoscere e padroneggiare diverse
forme di rappresentazione e saper
passare dall’una all’altra
Si
tratta
di
una
competenza
fondamentale in matematica, ma non
solo. Nella vita di tutti i giorni, ma non
solo, è diventato cruciale saper
mettere in atto questo processo
cognitivo ad esempio per leggere un
giornale o per capire messaggi
espressi in forme diverse.
58
SNV -INVALSI
2011 – I media
Numeri
RISULTATI
4 % mancata risposta
85% risposta errata
11% punteggio pieno
III MEDIA
PN -INVALSI
2011
Numeri
RISULTATI
1,4 % mancata risposta
46% risposta corretta
II SUPERIORE
SNV -INVALSI
2011
Numeri
RISULTATI
12 % mancata risposta
38 % risposta corretta
Acquisire progressivamente forme
tipiche del pensiero matematico:
congetturare, verificare, giustificare,
definire, generalizzare
Si tratta di una competenza che va
costruita fin dai primi anni di scuola e
comprende tutte quelle attività legate alla
esplicitazione dei procedimenti seguiti,
alla formulazione di ipotesi, alla
produzione di congetture, al riferimento
alla matematica nella sua funzione
culturale. Pochissimi gli esempi e
ancora troppo esigua la prassi didattica
64
Acquisire progressivamente forme tipiche del pensiero
matematico: congetturare, verificare, giustificare,
definire, generalizzare
SNV -INVALSI
2011
Spazio e Figure
Acquisire progressivamente forme tipiche del pensiero
matematico: congetturare, verificare, giustificare,
definire, generalizzare
PN -INVALSI
2011
Numeri
SNV -INVALSI
2011
Numeri
Gli strumenti di rilevazione descritti
• Possono
avere
impattosaranno
positivo ben
Se, e solo
se,un
i quesiti
sull’insegnamento
della
matematica e( vedi
fatti, coerenti con
le indicazioni
le
Provaprassi
Nazionale)
se aprono
scolastiche
e discussioni,
VARI si
riflessioni sulle pratiche didattiche;
possono evitare i rischi di
INSEGNARE
PER
RISPONDERE
•Possono avere un impatto deleterio se
AI TEST
inducono i docenti
a insegnare per rispondere
ai test ( teaching to test)
69