METODI DI FOURIER
A cura di
Pietro Pantano
Università della Calabria
INDICE
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Processi di analisi e sintesi
Molti oscillatori
Corda vibrante e armoniche
Forme d’onda e timbro
Spettrogramma
Teorema di Fourier
PROCESSI DI
ANALISI E SINTESI
Processo di analisi:
• un’onda sonora colpisce un microfono;
• la membrana del microfono inizia a vibrare;
• la vibrazione, energia meccanica, viene trasformata in una differenza di
potenziale, cioè in energia elettrica;
• il segnale sonoro viene quindi trasformato, attraverso la scheda sonora,
da analogico in digitale;
• infine il segnale viene memorizzato.
Processo di sintesi:
• trasformazione dei dati sonori da digitali in analogici;
• le differenze di potenziale vengono trasformate in energia meccanica;
• questa energia viene quindi trasmessa alla membrana delle casse;
• le casse iniziano a vibrare e a produrre onde sonore.
SCHEMA ANALISI E SINTESI
MOLTI OSCILLATORI
L’accoppiamento fra sistemi oscillanti è un meccanismo fisico in base
al quale le oscillazioni di ciascun sistema sono condizionate dalla
presenza degli altri, e di conseguenza ha luogo un continuo
trasferimento di energia tra le diverse parti oscillanti.
Se il numero di masse oscillanti cresce, il moto risultante sarà sempre
più complesso, fino al limite in cui le masse sono in numero infinito,
costituendo di fatto un segmento continuo di corda.
E’ bene precisare che il numero dei modi di oscillazione di un sistema
(automodi di oscillazione) è pari al numero di masse messe in
oscillazione.
MOLTI OSCILLATORI (Esempio)
Riportiamo di seguito cinque modi di vibrazione di cinque masse
collegate da molle:
la frequenza di oscillazione andrà naturalmente aumentando dal primo al
quinto modo a causa della crescente deformazione delle molle.
MOLTI OSCILLATORI (Esempio)
Se ci si spinge al limite di un numero molto grande di masse, il
modo di più bassa frequenza sarà quello di tipo sincrono, quello di
più alta frequenza sarà quello di massima asincronia:
CORDA VIBRANTE
La corda vibrante produce infiniti suoni anche se un solo suono alla
fine domina sugli altri.
La corda produce infatti dei modi di oscillazione detti parziali o
armoniche della corda: il modo con minima frequenza è l’armonica
fondamentale, gli altri modi sono le armoniche superiori.
Il suono risultante dalla vibrazione di una corda dipende poi:
• dalla lunghezza della corda, più la corda è corta più il suono
risulterà acuto e viceversa;
• dalla tensione della corda, più la corda è tesa più il suono
risulterà acuto e viceversa;
• dallo spessore della corda, più la corda è sottile più il suono
risulterà acuto e viceversa.
CORDA VIBRANTE
PRIMA ARMONICA


Sin( L x)( A1Cos ( L
Parte spaziale
k
m
t )  B1Sin( L
Parte temporale

k
m
t ))
SECONDA ARMONICA
Sin( 2L x)( A1Cos( 2L
k
m
t )  B1Sin( 2L
k
m
t ))
TERZA ARMONICA

 Sin(
n 1
n
L
x)( AnCos (
n
L
k
m
t )  Bn Sin(
n
L
k
m
t ))
FORME D’ONDA
Ogni strumento musicale si porta dietro una forma d’onda particolare.
Questa forma d’onda risulta dalla combinazione dell’armonica
fondamentale e delle armoniche superiori.
E’ proprio la forma d’onda, risultante dal contenuto spettrale delle
armoniche, a determinare il timbro di uno strumento musicale.
CHITARRA
TROMBA
VIOLINO
FLAUTO
FORME D’ONDA PARTICOLARI
Esiste un gruppo di forme d’onda di particolare simmetria che possono
essere realizzate con opportune sintesi additive:
DENTE DI SEGA
In quest’onda sono presenti tutte le
armoniche con ampiezza decrescente
ONDA QUADRA
In quest’onda sono presenti solo le
armoniche dispari con ampiezza
decrescente
FORME D’ONDA PARTICOLARI
DOPPIO DENTE
TRIANGOLARE
In quest’onda sono presenti solo le
armoniche pari con ampiezza decrescente
In quest’onda sono presenti solo le
armoniche dispari con ampiezza
decrescente prese con segni alterni
L’interesse di queste forme d’onda particolari, generabili soltanto
elettronicamente, sta nel fatto che esse vengono usate nell’ambito della
sintesi del suono.
FORME D’ONDA PARTICOLARI
Esempi di diverse forme d’onda
risultanti dalla sintesi additiva di
armoniche scelte in maniere
diverse
FASI E FORME D’ONDA
Se le onde delle varie
armoniche di un suono
non sono in fase varia
notevolmente la forma
dell’onda risultante
SPETTROGRAMMA
Lo spettrogramma è una rappresentazione grafica dell’intensità del
suono alle varie frequenze che lo costituiscono
FOURIER
Il matematico francese François Marie
Charles Fourier (1772- 1837) inventò una
teoria matematica attraverso cui è possibile
provare che ogni onda periodica può essere
rappresentata per mezzo di una somma di
onde sinusoidali aventi ampiezze, frequenze
e fasi appropriate.
Una rappresentazione di Fourier di un’onda
può richiedere molte componenti,
addirittura un numero infinito, tuttavia è
possibile approssimare un’onda utilizzando
un numero finito di componenti.
TEOREMA DI FOURIER
Il teorema di Fourier afferma che:
«qualunque funzione periodica, finita, continua può essere
rappresentata mediante una somma di funzioni sinusoidali
pure, pesate da opportuni coefficienti, nei cui argomenti
compaiono tutte le frequenze (le armoniche) multiple di una
frequenza fondamentale, caratterizzante la periodicità della
funzione»
FUNZIONI PERIODICHE
Dopo un
tempo 2 si
ripete la stessa
funzione f()
SERIE DI FOURIER
Consideriamo la serie trigonometrica
senza curarci di problemi di convergenza, questa definisce
una funzione periodica
una funzione periodica, qualunque sia il suo periodo, può essere
considerata come una somma infinita di seni e di coseni
ANALISI DI FOURIER
L’analisi di Fourier è quel procedimento che conduce alla
serie di armoniche che costituiscono un suono, questa analisi
consiste nel determinare le ampiezze e le fasi relative a
ciascuna armonica contenuta in un’onda.
COEFFICIENTI DI FOURIER
Per ricostruire una funzione periodica è necessario conoscere i
coefficienti della serie trigonometrica:
ESEMPI DI ANALISI
ESEMPI DI ANALISI