HALLIDAY - capitolo 3 problema 16
L’oasi B si trova 25km a est dell’oasi A. Un cammello parte
dall’oasi A e percorre 24km nella direzione che forma un
angolo di 15° verso sud rispetto a est. Poi va verso nord per
8,0km. Quanto si trova ora distante dall’oasi B?
y
N
W
S
Q
B
O≡A
α=15°
b
a
P
E
x
Per risolvere il problema dobbiamo:
• calcolare le coordinate del punto Q (e quindi determinare il
vettore c=a+b )
• valutare la distanza di Q da B(25km;0)

a x  a cosα  24km  cos(15 )  23km
Calcolo di a :

a y   a sinα  24km  sin(15 )  6,2km
Calcolo di b :
Calcolo di c :
bx  0
b y  8,0km
c x  a x  bx  23km
c y  a y  b y  1,8km
d  (x B  xQ )2  (y B  yQ )2  2,7km
Q(23km;1,8km)
HALLIDAY - capitolo 3 problema 29
Una ruota con raggio R=45,0 cm gira senza strisciare su un
pavimento. P è una tacca segnata sul bordo della ruota.
Nell’istante t1la tacca P è sul punto di contatto fra la ruota e il
pavimento. In un secondo istante t2 la ruota si è mossa di
mezzo giro. Calcolare il modulo e l’angolo rispetto al pavimento
del vettore spostamento di P durante questo intervallo.
y
s x  πR
P’
s y  2R
s

P
x
s  s x2  s 2y  R π 2  2 2  168cm
  arctg
sy
sx
 arctg
2
 32,5
π
HALLIDAY - capitolo 3 problema 24
Nel prodotto F = q v  B si ponga q=2, v = 2,0 ^i + 4,0 ^j + 6,0 k^
^ Nel caso in cui B = B , si esprima B
e F = 4,0 ^i - 20 ^j + 12 k.
x
y
nella notazione con i versori.
ˆ
i

 
F  qv  B  2 2,0
Bx

ˆj
4,0
By
kˆ
6,0 
Bz

2 iˆ4,0Bz  6,0B y   ˆj 6,0B x  2,0Bz   kˆ 2,0B y  4,0B x  
iˆ8,0Bz  12,0B y   ˆj 12,0B x  4,0Bz   kˆ 4,0B y  8,0B x 
 8,0Bz  12,0B y  4,0 B =B
x
y

12,0B x  4,0Bz  20,0

 4,0B y  8,0B x  12,0
8,0Bz  12,0B x  4,0

12,0B x  4,0Bz  20,0
 4,0B x  12,0
Abbiamo un sistema di 3 equazioni con 2 incognite! Occorre
verificare che il sistema ammetta effettivamente una soluzione...
Dalla 3a equazione: Bx  3,0
Affinchè il sistema ammetta soluzione, sostituendo il valore di
Bx nella 1a e nella 2a equazione dobbiamo ottenere lo stesso
valore di Bz!
Dalla 1a equazione: 8Bz  36,0  4,0  Bz  4,0
Dalla 2a equazione: - 4Bz  36,0  20,0  Bz  4,0
In effetti il sistema ammette soluzione. Il risultato è dunque:

B  3,0 iˆ - 3,0 ˆj - 4,0 kˆ
HALLIDAY - capitolo 3 problema 19
Due vettori r ed s giacciono nel piano xy. I loro moduli sono
rispettivamente di 4,50 e 7,30 unità, e le loro direzioni sono
rispettivamente di 320° e 85° misurate in senso antiorario dal
semiasse positivo delle x. Quali sono i valori di r·s e rs?
y
s x  7,30  cos(85 )  0,636
s
s y  7,30  sin(85 )  7,27
320°
85°
x
O
rx  4,50  cos(320  )  3,45
r
ry  4,50  sin(320 )  2,89
Prodotto scalare:
 
r  s  (3,45iˆ  2,89ˆj)  (0,636iˆ  7,27ˆj) 
3,45  0,636  ( 2,89) 7,27  18,8
Alternativamente, possiamo calcolare l’angolo minore di 180°
fra i due vettori e sfruttare la definizione di prodotto scalare.
α  85  (360  320 )  125
y
s
 
r  s  4,50 7,30  cos(125 )  18,8
α
320°
85°
x
O
r
iˆ
 
r  s  3,45
Prodotto vettoriale:
0,636
ˆj
 2,89
7,27
kˆ
0 
0
kˆ3,45  7,27  ( 2,89)  0,636   26,9kˆ
Alternativamente, possiamo calcolare il modulo del prodotto
vettoriale con la definizione e stabilire il suo verso usando la
regola della mano destra.
 
y
320°
O
r  s  4,50 7,30  sin(125 )  26,9
s
85°
Applicando la regola della mano
destra si può verificare che il
prodotto vettoriale è diretto in verso
x
uscente rispetto al piano del foglio,
e quindi concorde con il semiasse
r z positivo