Matematica per l’economia
e le scienze sociali
Gian Italo Bischi
Dipartimento di Economia, Società e Politica
Università di Urbino “Carlo Bo”
[email protected]
www.econ.uniurb.it/bischi
Fano, 26 settembre 2011
Premio Nobel per l'economia nel 2011
Galileo, da “ Il Saggiatore”
Galileo Galilei 1564-1642
La filosofia è scritta in questo
grandissimo libro che continuamente
ci sta aperto innanzi agli occhi (io
dico l’Universo), ma non si può
intendere se prima non si impara a
intender la lingua, e conoscer i
caratteri, ne’ quali è scritto.
Egli è scritto in lingua matematica, e i
caratteri son triangoli, cerchi ed altre
figure geometriche, senza i quali
mezi è impossibile a intenderne
manamente parola; senza questi è un
aggirarsi vanamente per un oscuro
laberinto.
Matematica (pura) e Matematica Applicata
Modelli
gli oggetti astratti (platonici)
della matematica
gli oggetti del mondo reale
Applicazione dei teoremi, dimostrati per le entità matematiche,
agli oggetti reali
Applicazione dei fenomeni osservati nel mondo reale per ottenere
relazioni formali fra i corrispondenti “oggetti matematici”
Problema del monopolista: Più produco e più guadagno?
q = quantità prodotta
p = prezzo unitario di vendita
c = costo unitario di produzione
Profitto = Ricavo – Costo = p q – c q = (p – c) q
Teorema.
Se p > c allora il profitto cresce ogniqualvolta cresce la produzione
Ma ci sono sempre dei consumatori disposti a comprare ciò che si
produce al prezzo imposto dal monopolista ?
q (quantità venduta) e p (prezzo di vendita)
non sono indipendenti
Il prezzo decresce al crescere della quantità
ovvero
la quantità acquistata è funzione decrescente del prezzo
Esempio: Funzione di domanda lineare
funzione inversa di domanda
p
qdom
p
q=a–bp
q
p = a/b – (1/b) q = A – B q
profitto del monopolista = p q – c q = (A – B q) q – cq
P = f (q) = – B q2 + (A – c) q
è una parabola!
Profitto
Ac
2B
Ac
B
quantità prodotta
Problema del duopolio
A. Cournot, Récherches sur les principes matématiques de la théorie de la richesse, 1838.
Due produttori, 1 e 2, vendono lo stesso prodotto
Il produttore 1 produce e immette nel mercato q1 con costi c1q1
Il produttore 2 produce e immette nel mercato q2 con costi c2q2
prezzo: p = A – B QTOT = A – B ( q1 + q2)
Profitto produttore 1: P1 = pq1 – c1q1 = [ A – B ( q1 + q2 )]q1 – c1q1
Profitto produttore 2: P2 = pq2 – c2q2 = [ A – B ( q1 + q2 )]q2 – c2q2
P1 = [ A – B ( q1 + q2)]q1 – c1q1 = – Bq12 + (A – c1 –Bq2 )q1
A  c1  Bq 2
Max per q1  r1 (q2 ) 
2B
P2 = [ A – B ( q1 + q2)]q2 – c2q2 = – Bq22 + (A – c2 Bq1 )q2
A  c2  Bq1
Max per q2  r2 (q1 ) 
2B
 q1  r1 (q2 )
Equilibrio:
q2  r2 (q1 )
A  2c1  c2
q 
3B
*
1
q2
Equilibrio di Cournot-Nash
A  2c2  c1
q 
3B
*
2
q1
Duopolio di Cournot (trascuriamo i costi c1 = c2 = 0
libera concorrenza: equilibrio di Nash:
q1* 
prezzo all’equilibrio di Nash

A
3B

A
q 
3B
*
2
p*  A  B q1*  q2*  A  B
2A A

3B 3
A A A2
P q p 

3B 3 9 B
profitto individuale
*
i
*
i
*
Monopolio
produzione che massimizza il profitto
prezzo di monopolio
profitto di monopolio
Qm 
 
pm  A  B Qm  A  B
A A A2
P Q p 

2B 2 4B
m
i
m
m
A
2B
A
A

2B 2
A2 A2

!!!
8B 9 B
Possibili accordi:
1) uno solo produce e poi si divide il profitto a metà ,
2) concordiamo di produrre ciascuno Qm/2 = A/4B, cioè meno del Nash
Un precursore: A.A. Cournot (1838) a Parigi, “Récherches sur les principes
matématiques de la théorie de la richesse”
La rivoluzione marginalista:
1871 - “The Theory of Political Economy” di
W.S. Jevons a Londra;
1871- “Grundsätze der Volkswirtschaftslehre”
(Principles of Economics) di C.Menger a Vienna;
1874 - “Eléments d’économie politique pure”
di L.Walras a Losanna.
Leon Walras (1834-1910)
Massimizzare una funzione di utilità (di soddisfazione, “felicità” ecc.)
Walras sostenne l’esistenza di una stretta analogia tra l’Economia le “scienze
fisico-matematiche”. Il principio di minimizzazione permeava tutta la Fisica
dell’epoca.
Dalla corrisponenza fra Walras e Poincaré
“Ho pensato che all’inizio di ogni speculazione
matematica ci sono delle ipotesi e che, perché
questa speculazione sia fruttuosa, occorre,
come del resto nelle applicazioni della Fisica,
che ci si renda conto di queste ipotesi. Per
esempio, in Meccanica si trascura spesso
l’attrito e si guarda ai corpi come
infinitamente lisci. Lei guarda agli uomini
come infinitamente egoisti ed infinitamente
Jules Henri Poincaré (1854–1912)
perspicaci. La prima ipotesi può essere
accettata come prima approssimazione, ma la seconda necessiterebbe
forse di qualche cautela.”
Autorevolezza delle scienze basate sulla matematica.
La matematica è un ottimo strumento per ragionare bene, fornisce teoremi
trasformando ipotesi in tesi che gettano nuova luce su ciò che le ipotesi implicitamente
contenevano ma non eravamo capaci di vedere. Pero' non dice nulla sulla "verità" delle
ipotesi, e quindi delle tesi a cui si perviene.
Vito Volterra (1860-1940)
Il matematico si trova in possesso di uno strumento
mirabile e prezioso, creato dagli sforzi accumulati
per lungo andare di secoli dagli ingegni più acuti
e dalle menti più sublimi che siano mai vissute.
Egli ha, per così dire, la chiave che può aprire il
varco a molti oscuri misteri dell’universo, ed un
mezzo per riassumere in pochi simboli una sintesi
che abbraccia e collega vasti e disparati risultati di
scienze diverse
Vito Volterra (1860-1940)
[…]
Ma è intorno a quelle scienze nelle quali le matematiche solo da poco tempo
hanno tentato d’introdursi, le scienze biologiche e sociali, che è più intensa
la curiosità, giacché è forte il desiderio di assicurarsi se i metodi classici, i
quali hanno dato così grandi risultati nelle scienze meccanico-fisiche, sono
suscettibili di essere trasportati con pari successo nei nuovi ed inesplorati
campi che si dischiudono loro dinanzi.
dal discorso inaugurale per l’anno accademico 1901-1902 dell’Università di Roma
"Plasmare dunque concetti in modo da poter
introdurre la misura; misurare quindi; dedurre
poi delle leggi; risalire da esse ad ipotesi; dedurre
da queste, mercé l'analisi, una scienza di enti
ideali si, ma rigorosamente logica; confrontare
poscia con la realtà; rigettare o trasformare, man
mano che nascono contraddizioni tra i risultati
del calcolo ed il mondo reale, le ipotesi
fondamentali che han già servito; e giungere così
a divinare fatti e analogie nuove, o dallo stato
presente arrivare ad argomentare quale fu il
passato e che cosa sarà l'avvenire; ecco, nei più
brevi termini possibili, riassunto il nascere e
l'evolversi di una scienza avente carattere
matematico.“
Vito Volterra, Saggi Scientifici, Zanichelli Bologna
1920
Preda-predatore (Vito Volterra, 1926)
Densità prede
x1
Densità predatori x2

x 1  r x1  b x1x2

x 2   m x2 + c x1x2
x2

x1  0

x1  0

x1  0


x2  0 x2  0

x2  0
x1
Studia matematica e si laurea in ingegneria a Torino.
Nel 1892 succede a Walras sulla cattedra di Losanna.
•Vuole “disinquinare” le scienze sociali da politica e filosofia,
prendendo come modello la Meccanica Razionale.
Vilfredo Pareto (1848-1923)
•L’economia non abbia timore di diventare un sistema
assiomatico-deduttivo, ipotizzando agenti e processi economici
idealizzati, così come la fisica utilizza con grande profitto entità
come i corpi rigidi, i fili inestensibili e privi di massa, i gas
perfetti, le superfici prive di attrito…
Le polemiche.
•E’ possibile trasformare in quantitativa una scienza umana, ovvero una disciplina i cui
procedimenti e le cui conclusioni coinvolgono pesantemente pregiudizi storici, culturali
e politici?
•L’impiego della Matematica fornisce all’Economia una particolare autorevolezza, che
rischia di trasformarsi in presunta oggettività e che comunque rende difficile
l’individuazione dei suoi condizionamenti ideologici.
The Theory of Value (1959)
Nella prefazione Debreu scrive:
“la teoria del valore è trattata qui secondo
gli standard di rigore dell’attuale scuola
formalista di Matematica
Lo standard di rigore logico della
matematica in economia è ormai la regola,
non più l’eccezione”.
Gerard Debreu (1921–2004)
Ma lo stesso Debreu scriveva anche:
Premio Nobel per l’economia nel 1983
“la seduzione della forma matematica può diventare quasi
irresistibile. Nel perseguimento di tale forma, può darsi che il
ricercatore sia tentato di dimenticare il contenuto economico e di
evitare quei problemi economici che non siano direttamente
assoggettabili a matematizzazione”
Non basta semplicemente adattare i metodi e i
ragionamenti della fisica alla modellizzazione
dell’economia perché
“[…] l’economia è una scienza morale […] essa ha a
che vedere con motivazioni, aspettative, incertezze
psicologiche.
È come se la caduta della mela al suolo dipendesse
dalle aspirazioni della mela, se per lei sia
conveniente o meno cadere a terra, se il suolo vuole
che essa cada, e se vi sono stati errori di calcolo da
parte della mela sulla sua reale distanza dal centro
del pianeta”
John Maynard Keynes (1883–1946)
Aggiungiamo: come e quanto la mela si fa condizionare dal comportamento delle
altre mele dello stesso albero o di alberi vicini, le aspettative che la mela ha sugli
esiti della sua caduta e sulle cadute dalle altre mele, le informazioni che la mela ha
sulle decisioni delle altre mele e sulle condizioni del suolo su cui andrà a cadere, ecc.
Spesso il tempo in economia è discreto (discontinuo) perché scandito da
decisioni che non possono essere continuamente rivedute
Event-driven time, Decision-driven time
Legge del moto xt+1 = f ( xt )
x = (x1 , x2 ,…,xn)  M  R n, f: MM
t = 1, 2, 3, … i.e
tN
Modello dinamico a tempo discreto:
x0 è dato, la legge del moto definisce induttivamente una unica
traiettoria: t (x0) = {xt  M | f t (x0)}
x1  T ( x0 )
x2  f ( x1 )  f ( f ( x0 ))  f
..
.
xt  f
f ( x0 )  T 2 ( x0 )
f ... f ( x0 )  f t ( x0 )
Con modelli a t discreto è più facile avere oscillazioni, overshooting (over-reaction).
Caos anche in modelli semplici e a bassa dimensionalità
Determinismo Laplaciano
Laplace (1776) da Théorie analytique des probabilitiés
«Lo stato attuale del sistema della natura consegue evidentemente da
quello che era all’istante precedente e se noi immaginassimo
un’intelligenza che a un istante dato comprendesse tutte le relazioni fra
le entità di questo universo, essa potrebbe conoscere le rispettive
posizioni, i moti e le disposizioni generali di tutte quelle entità in
qualunque istante del futuro».
Leibniz:
"Vediamo allora che ogni cosa procede in modo matematico - cioè
infallibilmente - nel mondo intero, in modo che se qualcuno avesse una
sufficiente capacità di conoscere a fondo le cose, e avesse abbastanza
intelligenza e memoria per considerare tutte le circostanze e tenerne
conto, questi potrebbe essere un profeta e potrebbe vedere il futuro nel
presente come in uno specchio".
Modelli con aspettative
In economia e nelle scienze sociali lo stato attuale consegue sì da
quelli del passato, ma dipende anche dalle decisioni degli individui
che lo compongono, decisioni che sono influenzate dalle aspettative
che essi hanno sul futuro.
xt+1 = f ( xt(e1) )
oppure
xt = f ( xt(e1) )
Le aspettative degli agenti sul futuro si riflettono sul modo in cui i
sistemi evolvono: mappings from beliefs to realizations.
Una delle 5 frasi riprodotte sul nuovo tappeto nello studio ovale di
Obama: «L'unica cosa di cui dobbiamo aver paura è la paura stessa»
(Roosvelt, a proposito della grande depressione del 29)
Come dire: “La paura (del futuro) condiziona le nostre decisioni (nel presente)”
Viceversa, vale il detto:
“Essere ottimisti sul futuro ci fa meglio vivere il presente”
Gli agenti economici dei modelli devono essere dotati della capacità fare congetture
sulla distribuzione di probabilità dei possibili stati futuri dell’Economia.
Ipotesi delle aspettative razionali (Muth, 1961, Lucas, 1972)
Gli agenti economici sono in grado di prevedere correttamente il futuro dei sistemi
che studiano, così come un fisico conosce le leggi della natura.
xt(e1)  xt 1
Così nasce l’agente economico rappresentativo razionale, in grado di effettuare
scelte ottimali in quanto è capace di calcolare tutte le grandezze necessarie.
Questo, associato all’ipotesi dei mercati efficienti è diventato il modello teorico
dominante (modello neoclassico) che prevede che l’economia raggiungerà un
equilibrio in cui tutte le relazioni economiche necessarie (come ad esempio i vincoli
di bilancio) saranno rispettate. Questo approccio, è fortemente radicato nei metodi
di ottimizzazione che portano alla “teoria dell’equilibrio generale”.
Il tema dell’efficienza dei mercati è sempre stato una specie di atto di fede
dell’economia neoclassica, con la convinzione che i mercati sono in grado di autocorreggersi e che il ruolo dei governi è tutt’al più quello di “regolatori dalla mano
leggera”.
Modelli dinamici non lineari, oscillazioni endogene, caos
A partire dagli anni ’30, un tema ricorrente nella letteratura è stato il confronto fra
modelli deterministici e stocastici come possibili strumenti per descrivere le
oscillazioni irregolari e persistenti osservate nei sistemi economici, in netto contrasto
sia con la convergenza a un equilibrio stazionario prevista dai modelli lineari
dell’equilibrio economico, che con la periodicità delle oscillazioni endogene previste
dai primi modelli deterministici non lineari del ciclo economico.
Questo ha portato a una crescente popolarità dei modelli macroeconomici lineari
stabili arricchiti da termini stocastici, per rappresentare continui shock esogeni la cui
presenza è in grado di provocare le oscillazioni persistenti che si osservano nei dati
reali.
Nei modelli non lineari la perdita di stabilità locale non conduce necessariamente a
evoluzioni divergenti e quindi non accettabili. Ma i cicli limite attrattivi forniscono
andamenti troppo regolari rispetto a quelli osservati nella realtà.
La scoperta del caos deterministico ha riaperto la questione. La possibilità di generare
fluttuazioni irregolari senza bisogno di termini stocastici suggerisce che nei sistemi
economici ci possono essere meccanismi endogeni capaci di creare il disordine
osservato nell’economia reale, senza bisogno di continui shocks che scuotano i sistemi
dall’esterno.
Henry Poincaré (1903)
Se conoscessimo esattamente le leggi della natura
e la situazione dell’universo all’istante iniziale,
potremmo prevedere esattamente la situazione
dello stesso universo in un instante successivo.
Ma se pure accadesse che le leggi naturali non
avessero più alcun segreto per noi, anche in tal
caso potremmo conoscere la situazione iniziale
solo approssimativamente.
Henry Poincaré, 1854-1912
Se questo ci permettesse di prevedere la situazione
successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e
dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto.
Ma non è sempre così; può accadere che piccole differenze nelle condizion
iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali..
Aspettative razionali e caos deterministico. Una evidente antinomia
Se si parte da un modello con aspettative razionali e si scopre che
esso genera caos deterministico, allora le previsioni non possono
essere razionali (cioè perfette) per definizione di dinamiche caotiche.
Un corollario che contraddice un’ipotesi del teorema!
Benhabib, Day (1982) “A characterization of erratic dynamics in the overlapping
generations model” Journal of Economic Dynamics and Control, 4, 37-55.
Boldrin, Montrucchio. (1986) “On the Indeterminacy of Capital Accumulation Paths.”
Journal of Economic Theory 40: 26—39.
Grandmont, J.M. (1985) “Endogenous Competitive Business Cycles” Econometrica
53: 995—1045.
Si arriva anche a dimostrare che fluttuazioni caotiche dell’economia
possono essere dotate di efficienza paretiana e quindi non è così
scontato il paradigma classico secondo il quale le politiche
economiche debbano sempre cercare di eliminarle o smorzarle.
A. Matsumoto. “Let it be: chaotic price instability can be beneficial”
Chaos, Solitons and Fractals vol. 18 (2003) pp. 745–758
Ovviamente ci possono essere altre considerazioni da fare, legate alle
conseguenze sociali delle fluttuazioni economiche, quando si devono
decidere politiche da applicare (es. il dramma della disoccupazione o
del disagio sociale legato all’instabilità economica).
Modelli con razionalità limitata
Già negli anni 50 Herbert Simon aveva parlato di
agenti economici limitatamente razionali:
“Non è empiricamente evidente che gli imprenditori
e i consumatori nel prendere decisioni seguano i
principi di massimizzazione dell’utilità richiesti dai
modelli dei marginalisti. In parte perché non hanno
informazioni sufficienti, o le necessarie capacità di
calcolo. Quindi nei modelli occorre prevedere che
gli agenti siano incerti sul futuro e occorre includere
i costi per reperire informazioni. Questi fattori
limitano le capacità degli agenti nel fare previsioni,
Herbert Simon (1916–2001)
Nobel per l’Economia 1978
They possess only “bounded rationality”.
They do not choose what is optimal but what will make them happy enough.
Rules of thumb, trial & errors in making decisions
Nonostante queste premesse l’ipotesi dell’agente rappresentativo razionale è diventata
dominante dagli anni 60 in poi: questo solleva molti dubbi anche logici, dato che
l'agente economico è parte del sistema che studia, un problema che i fisici hanno per
la prima incontrato nello studio della meccanica quantistica e che si è portato dietro
molte conseguenze, paradossi e interpretazioni che fanno tuttora discutere.
Casi di crescita spinta dalle
aspettative di crescita
Bulls and Bears, ottimismo e
pessimismo degli operatori
Microcomportamenti
individuali vs
macrocomportamenti
emergenti, collettivi, sociali
Self-fulfilling expectations
Le bolle:
I tulipani in olanda nel ‘600
La bolla speculativa dei
mercati del 1995-2000
…
Ruolo dei mezzi di
comunicazione
Interazione strategica
John (János) von Neumann
(Budapest 1903 – Washington 1957)
Princeton, 1947
Verso una “Matematica per le decisioni”.
Occorre un concetto di “scelta razionale”
Azioni
utilità (funzione di preferenza)
x1
u(x1)
x2
u(x2)
.
.
.
xn
.
.
.
u(x4)
u(xn)
u(x1)
u(x3)
x* : max u( xk ) k=1,…,n
x1
x2
x3
x4
x5
Se x è una variabile continua (cioè x [a,b] ) allora u:[a,b]→
abbiamo un tipico problema di ricerca di un massimo assoluto
in un compatto, detto spazio delle azioni
x
Dall'oroscopo di Linda Wolf del 3 dicembre 2009
Ariete.
Anche se siete sicuri del fatto vostro
fate molta attenzione alle decisioni degli altri
Interazione strategica, uA = uA (xA ,yB) : matrici dei payoffs aij= u(xi,yj)
b1
b2
...
bm
a1
a11
a12
...
a1m
a2
a21
a22
a2m
B
A
.
.
.
an
...
an2
anm
Payoff giocatore A in presenza di B
A
b2
...
bm
a1
b11
b12
...
b1m
a2
b21
b22
an
bn1
.
.
.
..
.
an1
b1
A
B
B
b1
b2
a1
(a11,b11) (a12,b12)
a2
(a21,b21) (a21,b21)
.
.
.
an
..
.
bn2
...
bnm
Payoff giocatore B in presenza di A
...
...
bm
(a1m,b1m)
(a2m,b2m)
..
.
(an1,bn1) (an1,bn1)
b2m
Bimatrice dei payoffs
...
(anm,bnm)
Principio di razionalità.
Un giocatore non sceglie l’azione x se ha a disposizione una scelta y che gli
permetta di ottenere di più qualunque siano le scelte dell’altro (o degli altri)
giocatori
Esempio:
b1
b2
b3
a1 (0,1)
(1,0)
(-1,2)
a2
(3,2)
(0,1)
B
A
(2,2)
Preferisci che dia 5 euro a te oppure 10 al tuo amico?
Giocatore A: a1: 5 a me
a2: 10 a B
Giocatore B: b1: 5 a me
b2: 10 ad A
A
B
b1
b2
a1
(5,5)
(15,0)
a2
(0,15)
(10,10)
Dilemma del prigioniero
Se denunci il tuo complice ti lasceremo libero (legge sui collaboratori) e il tuo complice
starà in prigione per 10 anni. Ma se il tuo complice fa altrettanto allora sarete dichiarati
entrambi colpevoli e, pur usufruendo dello sconto per aver collaboratori, rimarrete in
carcere 5 anni ciascuno. Se entrambi tacete, 1 anno di prigione ciascuno per guida
pericolosa e detenzione di armi.
A
B
Tace
Accusa
Tace
(-1,-1)
(-10,0)
Accusa
(0,-10)
(-5,-5)
Gioco proposto da Merrill Flood e Melvin Dresher, Rand Corporation 1950,
per le possibili applicazioni ad una strategia nucleare globale.
La versione "il dilemma di prigioniero" si deve ad Albert Tucker che volle rendere più
accessibili le idee di Flood e Dresher a un pubblico di psicologi di Stanford.
Dilemma del Pescatore
Fisherman
Fisherman C
R
Moderate
Intensive
exploitaton exploitation
(cooperative) (competitive)
Moderate
exploitaton
(cooperative)
(3, 3)
Intensive
exploitation
(competitive)
(4, 1)
(1, 4)
E la mano invisibile
di Adam Smith?
(2, 2)
Un tipico dilemma sociale
Hardin, G. “The tragedy of the commons”, Science (1968).
In generale …
A
a1
a2
B
b1
b2
(a,a)
(b,c)
(c,b)
con c > a > d > b
(d,d)
Altre situazioni :
 Scambio a scatola chiusa
 Corsa agli armamenti e politiche di disarmo
 Parlare a voce alta in pizzeria
Inquinare o no?
Porto il casco per correre in bici?
E’ meglio il più o il meno?
u(x)
Singolo decisore
x
Interazione strategica
A
a1
B
a2
A
a1
a2
B
b1
b2
(10,10)
(3,15)
(15,3)
(5,5)
b1
(8,8)
(7,2)
b2
(2,7)
(0,0)
E’ meglio avere più possibilità di scelta?
u(x)
Singolo decisore
x2
x1
Interazione strategica
A
a1
B
a2
B
b1
x3
b2
(1,1)
(5,3)
(3,5)
(10,10)
b1
b2
b3
(1,1)
(5,3)
(0,4)
a2
(3,5)
(10,10)
(0,11)
a3
(4,0)
(11,0)
(1,1)
A
a1
x
Giochi a somma zero
A B
b1
a1
9 ,-9
3 ,-3
0 ,0
0
a2
6,-6
5 ,-5
7,-7
5
a3
-1 ,1
4,-4
9 ,-9
-1
b2
b3
minimo guadagno
su ogni riga
9
5
9
max fra i min guadagni
(maxmin)
massima perdita su ogni colonna
min fra le max perdite
(minmax)
Equilibrio: maxmin = minmax = sella della matrice
Gioco a somma zero, si ragiona sempre nella peggiore delle ipotesi
(cioé prevedendo le contromosse dell’avversario), e poi nell’insieme
delle peggiori ipotesi si sceglie la migliore realizzazione
b1
B
b2
b3
b4
b5
0
4
7
3
2
0
5
8
9
5
6
5
a3
1
5
3
2
1
1
a4
5
10
8
5
9
a5
0
9
6
1
7
5
10
5
9
A
a1
a2
massime perdite
minmax
9
minmax
minimi guadagni
5
0
maxmin
maxmin
In generale maxnin  minmax.
Se vale = allora esiste almeno un equilibrio in strategie pure
Altrimenti: Strategie miste (idea di von Neumann)
A
p
a1
(1- p) a2
q
b1
B
(1- q)
b2
-1
1
1
0
-2
-1
-2
maxmin= 1 < 0= minmax
non c’è alcuna sella con strategie pure
0
payoff atteso da a2: (1)q + (-2)*(1- q) = 3q - 2
Soluzione
1
2
payoff atteso da a1: (-1)q + 0(1- q) = - q

p=3/4, q=1/2
q
1
2
-2
payoff atteso da b1: -p + (1-p) = 1-2p
payoff atteso da b2: -2(1-p) = 2p - 2
payoff di
equilibrio
3
4

1
2
p
v=-1/2
Premio Nobel, 1994 "for their pioneering analysis of equilibria in the
theory of non-cooperative games"
Harsanyi
Nash
Selten
Premio Nobel, 2005 "for having enhanced our understanding of conflict
and cooperation through game-theory analysis"
Aumann
Schelling
Premio Nobel, 2007
"for having laid the foundations of mechanism design theory"
Hurwicz
Maskin
Myerson
Critica ai metodi
L’economia è una scienza?
Confronto tra previsioni dei modelli e realtà economica
Difficile fare osservazioni “sul campo”
Inoltre, se le leggi dipendono dalle aspettative, le quali dipendono
dalle informazioni possedute dagli agenti, allora fare misure
aggiunge informazioni e quindi cambia le aspettative e quindi
cambia le leggi del moto …
Esperimenti di laboratorio, in ambienti semplificati e controllati
(experimental economics)
Ma c’è differenza fra la vera utilità (es. i profitti) e quella finta, simulata.
Critica agli obiettivi
Il paradosso della felicità in economia (paradosso di Easterlin):
La ricchezza come proxy della felicità
Se cerchi la ricchezza, non trovi la felicità
Se cerchi la felicità, trovi la ricchezza
detto popolare salentino
Una questione di misura…
•Scopo originario dell’economia è di rendere massima l’utilità (la
felicità) degli individui e delle popolazioni
(cfr. Adam Smith, “Theory of moral sentiments”).
•Ma l’economia cerca leggi in forma matematica, quindi ha bisogno di
grandezze misurabili: reddito, inflazione, disoccupazione …
•Da qui l’equivoco di misurare la felicità di individui in termini di
reddito e delle nazioni in termini di prodotto interno lordo
•Reddito utile per beni primari, ma una volta ottenuti questi…
La felicità dipende da variabili che non sono acquistabili
Anzi…maggiore ricchezza  maggiori aspettative
 minor tempo libero (es. per relazioni sociali)
 sradicamento geografico e sociale
 confronto con gli altri
 disuguaglianze
E’ possibile una teoria matematica
della felicità?
Misurare sentimenti morali,
• Altruismo (Cooperazione, volontariato)
• Reciprocità (Gratitudine)
• Senso di colpa
• Vergogna
• La simpatia
• L’empatia
• Le attitudini, le abilità
Concetti estranei all’Homo Oeconomicus
Perché abbiamo questi “sentimenti morali”?
Forse perché l’uomo ha vissuto in ambienti naturali e sociali in cui si espandevano i
gruppi che erano predisposti alla cooperazione e a rispettare le norme
Alessandro Baricco “Tre volte all’alba”, 2012
-Mi parli del suo lavoro
-Vendo bilance
-Continui
-Si pesano un sacco di cose, ed è importante pesarle con
esattezza, così io ho una fabbrica che produce bilance.
[…]
Poi chiese ma come diavolo si finiva a costruire bilance.
All’uomo dovette parere una domanda importante perché si
mise a ricordare quando gli avevano insegnato la prima
volta a misurare. A misurare bene.
Probabilmente era lì che si era legato all’idea che
mancavano strumenti, per misurare, e questo era l’inizio di
qualsiasi problema.
Il confine fra ciò che è misurabile e ciò che non lo è
Dall’Ecclesiastico
I granelli di sabbia del mare, le gocce della pioggia
e i giorni del mondo chi potrà contarli?
L'altezza del cielo, l'estensione della terra,
la profondità dell'abisso chi potrà misurarle?
Archimede: Arenario
Eratostene: misura del raggio della Terra
Numero di Avogadro…
Una volta misurato trovare correlazioni …
Relazioni causa effetto.
Esempi:
• L’applicazione di una forza causa un’accelerazione
• Se fornisco calore a un corpo aumenta la sua temperatura
oppure cambia stato
Chi lavora è più felice di chi non lavora
Chi è più felice trova più facilmente un lavoro
Chi ha più amici è più felice
Chi è più felice ha più amici
Chi è in salute è più felice
Chi è più felice è più in salute
Poincaré e l’Affaire Dreyfus: misurare il non misurabile….
Nel 1894 i servizi segreti francesi scoprono una lettera, indirizzata da un
ufficiale francese ai tedeschi, che annuncia l'invio di documenti segreti
sull'armamento dell'esercito francese.
Viene sospettato il capitano Alfred Dreyfus. L'accusa si basa soltanto su
una vaga somiglianza della grafia, comunque viene condannato ai lavori
forzati nel carcere dell'Isola del Diavolo, nella Guyana francese.
Il 4 settembre 1899, alla Corte d’appello di Rennes in Bretagna fu
chiesto il permesso di leggere una lettera di Poincaré:
"... l'application du calcul des probabilites aux sciences morales est le
scandale des mathématiques! ... Rien de tout cela n'a de caractere
scientifique. Je ne sais si l'accuse sera condamne, mais s'il l'est, ce
sera sur d'autres preuves. Il est impossible qu'une pareille
argumentation fasse quelque impression sur des hommes sans parti
pris et qui ont recu une education scientifique solide ..."
UN MATEMATICO DELLA DOMENICA
“Un giorno mi capitò di dare un seminario davanti a un gruppo di
colleghi, nel quale cercavo di dimostrare che era una buona cosa dar
da mangiare ai disoccupati a un prezzo al di sotto del normale.
Nel bel mezzo della mia esposizione venni interrotto da qualcuno che,
opponendosi alla mia tesi, richiamò un teorema che, ricorrendo ai
moltiplicatori di Lagrange, dimostra come un punto di massimo
sociale implichi un prezzo unico per ciascun bene. Quest’esperienza
in qualche modo traumatica mi ha indotto a cercare, per il resto della
mia vita, di essere in grado di comprendere, almeno a livello
dilettantistico, l’uso (e gli abusi) della matematica nell’analisi
economica. Divenni così un “ matematico della domenica”, cioè uno
che coltiva quella magia nera nel tempo libero”
Da: Goodwin R.M., “Economia matematica: una visione personale” in Il mestiere di
economista. Profili autobiografici I, Kregel, J.A., a cura di, Einaudi, Torino, 1988
The unreasonable effectiveness of
mathematics in the natural sciences
E.P. Wigner, Nobel per la Fisica nel 1963,
in Symmetries and reflections, Scientific essays of
Indiana University Press, 1967
Eugene Paul Wigner
(Budapest,1902
Princeton, 1995)
La prevedibilità, il controllo, le politiche …
Una scienza (fondata su metodi matematici) riesce a prevedere e
controllare??
Polemica riaccesa dall'attuale
crisi economica:
Benedetto XVI,
all'Angelus di inizio anno 2010:
«Il futuro è nelle mani di Dio,
non di maghi e economisti».
La complessità …
Carlo Emilio Gadda (1953) nel racconto "L’egoista"
"Se una libellula vola a Tokio, innesca una catena di
reazioni che raggiungono me".
Gadda (1974) Meditazione milanese
"L'ipotiposi della catena delle cause va emendata e guarita,
se mai, con quella di una maglia o rete.
Ogni anello o grumo o groviglio di relazioni è legato da
infiniti filamenti a grumi o grovigli infiniti.
Come gli gnocchi. Unti, agglutinati, filamentosi per formaggio e per salse, e uno
cento ne traina, e ognuno dei cento poi mille e ognuno dei mille, milioni. Altro che
le ciliegie, delle quali sogliono li esperti affermare che una tiri l’altra!"
Gadda (1957) Quer pasticciaccio brutto de via Merulana
«Il dottor Ingravallo sosteneva, fra l'altro, che le inopinate catastrofi non sono mai la
conseguenza o l'effetto che dir si voglia d'un unico motivo, d'una causa al singolare:
ma sono come un vortice, un punto di depressione ciclonica nella coscienza del
mondo, verso cui hanno cospirato tutta una molteplicità di causali convergenti.
Diceva anche nodo o groviglio, o garbuglio, o gnommero, che alla romana vuoi dire
gomitolo. […]
Carl Chiarella “What’s beyond?” in Lettera Matematica Pristem (2010).
Ogni cambio di paradigma economico porta con sé anche un cambio nel tipo di
modellistica adottato.
Le idee keynesiane avevano soppiantato il punto di vista classico dominante negli anni
’30, perché questo era stato indicato come responsabile delle politiche economiche che
avevano portato alla grande crisi del ’29.
Il paradigma neoclassico (ipotesi di agente economico razionale e mercati efficienti)
prevale dopo il supposto fallimento del punto di vista keynesiano, dominante negli anni
’60 e ’60, accusato di essere stato inefficace nell’affrontare il periodo di stagnazione
economica.
È ancora troppo presto per dire se l’attuale crisi economica avrà lo stesso profondo
impatto sulle ipotesi che stanno alla base dei modelli economici. Sembra comunque che
le principali istituzioni saranno costrette ad adottare politiche con un forte sapore
keynesiano. Un programma di ricerca molto ambizioso, che sta sviluppando consiste
nel considerare gli agenti economici eterogenei e limitatamente razionali, descrivibili
coi metodi della Fisica statistica.
Chiarella conclude con la frase: viviamo tempi interessanti