Scarico organico in
un corso d’acqua
I reflui civili
Parametro
BOD5
Concentrazione (mg/l)
Forte
Medio Debole
450
300
170
COD
1000
500
250
Solidi Totali
1200
700
350
Solidi disciolti e colloidali
850
320
250
Solidi sospesi
550
380
220
Azoto organico
35
15
8
Azoto ammoniacale
50
25
12
5
3
1
10
5
3
Cloruri
100
50
30
Olii e grassi
150
100
50
Fosforo organico
Fosforo inorganico
Coliformi totali (MPN/100 ml)
107-109 107-108 106-107
Ossigeno disciolto a
saturazione
O2 [mg/l]
14,1
T [C]
0
12,8
5
11,3
10
10,2
15
9,2
20
Vogliamo studiare l’effetto di uno scarico
composto da sostanze prevalentemente
biodegradabili in un corso d’acqua
sull’ossigeno disciolto.
Andamento dell’ossigeno disciolto (C)
C
C
C
C 
C

C

C
 U
V
W
 [ Dx
]  [ Dy
]  [ Dz
]   ri   I j
t
x
y
z x
x
y
y
z
z
i
j
Facciamo alcune ipotesi semplificative: Assenza di gradienti di
concentrazione lungo y e z:
C
C
C
C 
C

C

C
 U
V
W
 [ Dx
]  [ Dy
]  [ Dz
]   ri   I j
t
x
y
z x
x y
y z
z
i
j
Assenza di fenomeni diffusivi lungo la x
C
C
C
C 
C

C

C
 U
V
W
 [ Dx
]  [ Dy
]  [ Dz
]   ri   I j
t
x
y
z x
x y
y z
z
i
j
Assenza di immissioni/uscite
C
C
C
C 
C

C

C
 U
V
W
 [ Dx
]  [ Dy
]  [ Dz
]   ri   I j
t
x
y
z x
x y
y z
z
i
j
Equazione
avvezione/trasformazione
C
C
 U
  ri
t
x i
E’ l’equazione di avvezione e trasformazione di un
costituente C all’interno di un reattore plug-flow.
Per studiare la variazione della concentrazione
dell’ossigeno disciolto, C, dobbiamo considerare i ratei
di consumo e di crescita.
Il rateo di consumo:
degradazione aerobica
Supponiamo di inserire in un reattore,
riempito di acqua satura di ossigeno e
a contatto con l’atmosfera, un
inquinante biodegradabile. Il substrato
subirà un’azione di biodegradazione
che, in ambiente aerobico,
comporterà il consumo dell’ossigeno
contenuto nell’ acqua.
C
  ri
t
i
Il substrato organico presente subisce,
come abbiamo visto, una
degradazione nel tempo che
possiamo schematizzare con una
cinetica di ordine 1:
dL (t )
  k dox L(t )
dt
dove:
L = concentrazione di sostanza organica
(espressa come domanda biochimica
di ossigeno) ancora presente. [mg/L]
kdox = costante [d-1]
Integrando la precedente espressione si
ha:
 k do xt
L  L0 e
in cui L0 è la richiesta biochimica di
ossigeno presente al tempo 0,
corrispondente al BOD a lungo termine
(BODult).
La differenza y = L0-L(t) , corrisponde con
la definizione stessa di BODt.
Sostituendo y nell’espressione prima
 k do xt
introdotta si ha:
y  L (1  e
)
0
Avendo espresso la sostanza organica come domanda
biochimica di ossigeno l’effetto prodotto dalla
degradazione provocherà una diminuzione della
concentrazione di ossigeno pari alla scomparsa del
substrato:
dL(t ) dC (t )

 k dox L(t )
dt
dt
dove:
C = concentrazione di O2 [mg/l]
L = concentrazione di sostanza organica (espressa come
domanda biochimica di ossigeno) ancora presente.
[mg/l]
kdox = costante di deossigenazione [d-1]
Rateo di crescita: la
riossigenazione
Ma cosa succede quando l’ossigeno
diminuisce rispetto alla condizione di
saturazione? Il sistema tenderà a
ricondursi nelle condizioni di equilibrio con
una velocità che dipende da diversi fattori.
Dobbiamo dunque introdurre il rateo che
rappresenta la cinetica del processo.
La riossigenazione avviene con un tasso, per unità di
volume, proporzionale alla differenza fra il valore
dell’ossigeno a saturazione e quello realmente
presente,
dC (t )
 k r (CS  C (t ))
dt
dove:
kr= costante di riossigenazione [d-1]
La costante di riossigenazione, abbiamo visto, è pari al
coefficiente globale di trasferimento dell’ossigeno dell’acqua
KL per A/V,
A/V è la superficie specifica, rapporto fra l’area di interfaccia fra
l’acqua e l’atmosfera ed il volume di acqua a cui quell’area
corrisponde.
Azione combinata di
degradazione/riossigenazione


Riossigenazione
per scambio con
l’atmosfera
Deossigenazione
per consumo del
substrato da parte
dei microrganismi
aerobici
La cinetica nello spazio
C
C
 U
  ri
t
x
i
Ulteriori ipotesi di stazionarietà:
C(t,x) = C(x)
U(t,x) = U(x)
dC
dC
0  U
  ri  U
  ri
dx i
dx i
E quindi:
k dox
dC k r
 (CS  C ) 
L
dx U
U
U ( x) 
x
t
k dox
dC k r
 (CS  C ) 
L
dx U
U
Introduciamo per semplicità la grandezza D = (Cs-C) ed
osserviamo che dD/dx = -dC/dx.
L’espressione differenziale prima introdotta può dunque
essere espressa come segue:
k dox
dD
kr
 D
L
dx
U
U
Avendo omesso per semplicità a ciascuna grandezza
l’espressione della variabilità in funzione del tempo. E’ una
equazione differenziale del primo ordine, lineare, non
omogenea.
Cinetiche nel tempo o nello spazio?

 Nel fiume si osserva la
In laboratorio si osserva la
variazione della concentrazione variazione della conc. con la
distanza (x)
nel tempo (t)
Il legame fra i due riferimenti è dato dalla velocità di scorrimento
C(t)
dC
  f ( C)
dt
x
u( x ) 
t
C(x)
dC
1
  f(C)
dx
u
t
x
t*
x*
x
t
u( x )

x  u( x ) t
Perciò è possibile utilizzare nello spazio le cinetiche
determinate nel tempo
Lo scarico in un fiume
Per risolvere l’equazione utilizziamo la
relazione già individuata per la
rappresentazione della degradazione del
substrato:
L  L0 e
 k dox
x
U
In questo caso L0 rappresenta la concentrazione di substrato subito a valle dello scarico
(abbiamo utilizzato anche l’equazione di moto: U=x/t)
Lo studio dell’azione simultanea di deossigenazione e
riossigenazione in un corso d’acqua, a seguito di uno
scarico organico, nelle ipotesi semplificative prima
introdotte, fu discusso la prima volta da Streeter e
Phelps nel 1925
y
x
 k dox
k dox
dD
kr
 D
L0 e U
dx
U
U
g(x)
f(x)
l’equazione differenziale indicata è una del primo ordine non
omogenea, che nella forma generale è esprimibile: dy/dx=g(x)y +
f(x). Per risolverla è necessario operare come segue.
Risoluzione equazione differenziale del primo
ordine, lineare, non omogenea
Intanto si riscrive come dy/dx – g(x)y = f(x). Si moltiplica poi
entrambi i membri per:
 g ( x ) dx
I e

da cui si ottiene I [dy/dx – g(x)y] = I f(x). In questa il primo
membro è uguale alla derivata rispetto alla variabile x della quantità
yI. Per ciò si ottiene che d/dx (yI) = If(x), e quindi integrando
 d ( yI )   If ( x)dx  cos t
Sulla base di queste considerazioni puoi ottenere, sostituendo ad
f(x) e g(x) le espressioni presenti nella nostra equazione
differenziale.
y
x
 k dox
k dox
dD
kr
 D
L0 e U
dx
U
U
g(x)
Ricordando che:
f(x)
I  e   g ( x ) dx  e
L’equazione è equivalente a:
 d ( yI )   If ( x)dx  cos t
x
Ed integrando
k
 d ( De
r
U
)   kdox L0e
De
kr
x
U
( k r  k dox )
k doxL0

e
k r  k dox
x
U
dx  cos t
( k r  k dox )
x
U
 cos t

 
kr
dx
U
e
kr
x
U
Per ricavare la costante possiamo utilizzare la seconda
condizioni iniziale, relativa alla concentrazione di
ossigeno nella posizione 0 = C0, cioè subito a valle
dello scarico:
QR C R  QwCW
C0 
QR  QW
In cui QR e CR sono rispettivamente la portata e la
concentrazione di ossigeno del fiume a monte dello
scarico e QW, CW portata ed ossigeno dello scarico.
Dalla conoscenza di C0 possiamo ricavare quella
deficit D=Cs-C0
Sostituendo x=0 si ottiene:
k L
cos t  D0  dox 0
k r  k dox
Da cui:
k dox L0
D
(e
k r  k dox
k
x
d o xU
e
kr
x
U
)  D0 e
kr
x
U
Curva a sacco
Costante di riareazione
Kr (d-1) a 20 C
Laghetti e stagni
0.10-0.20
Fiumi a corso lento
0.20-0.35
Grandi fiumi a bassa
velocità
Grandi fiumi a media
velocità
Fiumi con elevata
velocità
Rapide
0.35-0.45
0.45-0.70
0.70 – 1.15
> 1.15
Costante della cinetica del
BOD
Il modello di Streeter e Phelps fa riferimento al BOD
disciolto. Per la stima della costante kdox(d-1) si può
utilizzare (con T = 20 °C):
kdox = 0,0125 (H/2,4384)^(-0,434)
[H>2,4 m]
kdox = 0,0125 H-1
[H<2,4 m]
Avendo indicato con H la profondità fluviale.
Per temperature diverse si può così modificare:
kdox(T) = kdox(20) * 1,047^(T-20) T=temp. in centigradi
Effetto di più scarichi
Incremento della portata
dello scarico
Effetto di temperatura e
portata
Effetto scarico termico
Effetto scarico tossico