IL QUESTIONARIO
e le considerazioni dei
commissari di Matematica
a cura della
Prof.ssa Serenella Iacino
Roma, 13 Novembre 2013
1
L’ Indagine Nazionale del 2013
sui risultati della prova scritta di Matematica nei licei
scientifici ordinamento e sperimentali ha interessato
72˙436
studenti
su un totale di
119˙822 candidati
assegnati a 2˙916 Commissioni su un totale di
3˙360.
2
La partecipazione delle Commissioni alla
Indagine Nazionale
attraverso la compilazione di un
QUESTIONARIO
ha riscosso quest’anno una elevata adesione che, in
alcune regioni, ha sfiorato il 90%.
3
Questo risultato è stato ottenuto grazie all’impegno dei
REFERENTI REGIONALI
oltre che al successo delle
GIORNATE MATEMATICHE
che si sono svolte in tutte le regioni nell’anno
scolastico 2012 – 2013 organizzate dai rispettivi
UFFICI SCOLASTICI REGIONALI
4
I Questionari
compilati dai Commissari nel 2013 sono stati
3˙438
e ogni questionario ha riguardato 1 o 2 classi.
5
Numero dei questionari delle Commissioni per regione
Abruzzo
90
Molise
Basilicata
48
Piemonte
229
32
Calabria
180
Puglia
355
Campania
543
Sardegna
115
Emilia Romagna
212
Sicilia
244
Friuli
56
Toscana
147
Lazio
280
Trentino
22
Umbria
57
Liguria
Lombardia
Marche
68
447
90
Val d’Aosta
Veneto
5
218
6
Le percentuali per regione
7
Nel Questionario sono stati coinvolti più di 600 docenti
che hanno espresso un parere sulle seguenti tematiche
1) modalità di articolazione della prova scritta in
problemi e quesiti;
2) contenuti della traccia, in particolare sulla
rispondenza della stessa ai programmi di
insegnamento effettivamente svolti;
3) difficoltà palesate dai candidati;
4) valutazioni attribuite agli elaborati d’esame;
5) modifiche ed integrazioni al Syllabus 2009.
8
IL SYLLABUS
realizzato nell’anno 2009, ha rappresentato
• un elenco preciso e dettagliato di quanto
deve essere accertato in sede di prova
scritta;
• il riferimento per la definizione e la
formulazione delle tracce di esame proposte
in questi anni.
9
Si vuole ora preparare
un Nuovo Syllabus
delle conoscenze, delle abilità e delle competenze da
accertare nel
Nuovo Esame di Stato
che sarà, nel 2015, in linea con le
Indicazioni Nazionali
10
I docenti delle Commissioni
sono stati inoltre invitati ad adottare criteri comuni per
la valutazione della prova scritta di matematica
utilizzando
una griglia di valutazione
con dei
pesi prefissati, a livello nazionale, per
ciascuna parte della traccia
11
Una griglia così articolata
• consente una maggiore uniformità di
giudizio
• rende comparabili i risultati di apprendimento.
12
Tutto questo è presente nel
questionario 2013.doc
che è suddiviso in
5 tabelle
13
Le 5 tabelle nel dettaglio
14
La tabella A
riguarda la scelta, da parte dei candidati, del
problema e dei 5 quesiti tra quelli proposti,
nonché il punteggio relativo ottenuto
15
La tabella B
riguarda la scelta o meno dell’ utilizzo da
parte dei Commissari di Matematica della
Griglia Nazionale di valutazione
del problema e dei quesiti
16
La tabella C
rileva se i commissari di matematica ritengano di
mantenere o meno l’articolazione della traccia in
problemi e quesiti.
17
La tabella D
si occupa degli aspetti didattici
ovvero:
1) rispondenza della traccia proposta con i
programmi effettivamente svolti;
2) livello di complessità dei calcoli da utilizzare
per svolgere la prova;
18
3) chiarezza del testo della traccia proposta;
4) complessità nella risoluzione della traccia;
5) difficoltà incontrate dai candidati:
5.1 - se dipendenti da argomenti non trattati in classe.
5.2 - se dipendenti dalla novità della formulazione
19
e infine
La tabella E
in cui si chiede se i problemi ed i quesiti siano
coerenti con
il Syllabus 2009 e con le Indicazioni Nazionali
e se, in caso contrario, quali siano gli
argomenti da non riproporre e quali da
introdurre a partire dalla
sessione 2015
20
LA TRACCIA
ORDINAMENTO 2013
21
22
Il soggetto principale del problema è la funzione
integrale:
x
f(x) = [cos( t
2
∫
0
) +
1
] dt
2
facilmente calcolabile mediante semplice integrazione:
f(x) = 2sen( x ) + 1 x
2
2
23
La prima domanda chiede di determinare f’(x)
mediante l’applicazione del Teorema fondamentale
del calcolo:
f’(x) = cos(
1
x
) +
2
2
e di determinare il grafico di f’(x) mediante una
procedura sintetica e cioè partendo dal grafico di
x
y = cos( ) e applicando a questo una traslazione
2
1
di vettore v (0,
);
2
24
La seconda domanda chiede di determinare il
grafico di f(x) deducendolo da quello di f’(x).
5
f(x)
4
3
2
1
-2
0
-1
-1
1
2
3
4
5
6
f’(x)
7
8
9
10
25
La terza domanda chiede il valor medio di f’(x)
sull’ intervallo [0,2Π] mediante l’applicazione del
teorema del valor medio:
Valor medio =
1
2Π
2Π
∫
[cos(
0
x
1
) +
] dx =
2
2
1
2
26
La quarta domanda chiede il volume di un solido
a fettine:
4
Volume =
∫
Area(x) dx =
0
4
∫
0
24
Πx
3sen(
) dx =
Π
4
27
Il problema è interamente basato sui concetti
dell’Analisi del 5° anno e cioè:
1) Il Teorema fondamentale del Calcolo
2) Il valor medio di una funzione su un intervallo
3) Il calcolo dei volumi
4) Lo studio del grafico di una funzione
28
29
Il soggetto principale del 2° problema è la funzione
chiamata
“ Versiera di Agnesi “
f(x)=
8
4+x
2
30
Nella prima domanda si chiede di studiare la
funzione e determinarne il grafico:
5
2
f(x)
1,5
1
0,5
-2,5
-2
-1,5
-1
0
-0,5
0,5
1
1,5
2
2,5
-0,5
31
Inoltre si chiede di determinare:
le di
equazioni
delleil rette
alladalle
curva
due
e
considerare
rombotangenti
individuato
dueintangenti
suoi le
punti
e Qe OQ e di calcolare i suoi angoli:
con
retteP OP
M
2
1,5
P
Q
1
0,5
-2,5
-2
-1,5
-1
O
-0,5
0,5
1
1,5
2
2,5
-0,5
32
costruito
con un domanda
procedimento che considera una
Nella
seconda
si chiede di riconoscere
in f(x) l’equazione
del luogo
circonferenza
di raggio unitario
e centro C (0,1)
e due
geometrico
di unper
punto,
rette
di cui una
l’origine e l’altra y = 2 parallela
all’asse x.
B
2
y=2
1,5
1
C
A
0,5
-2,5
-2
-1,5
-1
O
-0,5
0,5
1
1,5
2
2,5
-0,5
33
Nella terza domanda
si chiede di calcolare l’area della zona R compresa tra
il grafico di f(x) e l’asse x nell’intervallo [0,2]
8
2
∫4+x
2
0
2
dx = Π
1,5
1
R
0,5
-2,5
-2
-1,5
-1
O
-0,5
0,5
1
1,5
2
2,5
-0,5
34
e l’area della zona
+
∞
8
∫4+x
compresa tra f(x) e
-∞
tutto l’asse x :
2
dx = 4Π
2
1,5
1
0,5
-2,5
-2
-1,5
-1
O
-0,5
0,5
1
1,5
2
2,5
-0,5
35
Nella quarta domanda
si chiede di calcolare il volume del solido ottenuto
ruotando la regione R intorno all’asse y:
2
2
∫
2
Vol = 4∙Π∙1 + Π g (y) dy = 4∙Π∙1 + 4
Π
1
∫
1
2
2-y
dy =
y
= 8Π∙ln2
1,5
1
R
0,5
-2,5
-2
-1,5
-1
O
-0,5
-0,5
0,5
1
1,5
2
2,5
36
Il problema è basato sui seguenti concetti
dell’Analisi, della Geometria e Trigonometria:
1) Studio del grafico di una funzione
2) Equazione di un retta tangente ad una curva
3) Angolo tra due rette
4) Equazione di un luogo geometrico
5) Calcolo di un’area mediante un integrale
definito e un integrale improprio di 1° specie
6) Calcolo del volume di un solido di rotazione
37
Il questionario è basato sui seguenti concetti
dell’Analisi, della Geometria e
Trigonometria:
1) Area di un triangolo in funzione di due lati e
dell’angolo compreso
2) Dominio di una funzione
3) Distanza punto - retta
4) Similitudine fra triangoli e volume di un tronco
di cono
38
5) Percentuale
6) Calcolo combinatorio
7) Rapporto di similitudine tra aree e lati di figure
piane simili
8) La funzione integrale
9) Calcolo di un limite
10) Crescenza e decrescenza di una funzione
39
Quindi, dall’esame della Traccia dell’ordinamento,
si può stabilire che la stessa è in sintonia con
le Indicazioni Nazionali
in quanto propone quasi tutti gli argomenti presenti
nell’area denominata
“ Relazioni e funzioni “
40
impartita al 5° anno , ed esattamente:
1) Concetto di limite
2) Continuità, derivabilità, integrabilità
3) Calcolo di aree e volumi
nonché al 2° biennio, e cioè:
4) La geometria solida
5) Il calcolo combinatorio
6) Il calcolo approssimato
41
Come pure
Il compito richiede anche allo studente di aver fatto
propri alcuni concetti fondamentali dell’analisi, come
ad esempio dedurre il grafico di f(x) dal grafico di f’(x)
concetto che è presente sia nel 1° problema che nel
quesito n°10.
42
LA TRACCIA PNI 2013
43
44
La prima parte del problema chiede di determinare
il grafico di f’(x) a partire da quello di f(x) e f’’(x)
f(x)
6
F
4
f’(x)
2
-4
0
-2
2
4
6
8
10
12
14
f’’(x)
-2
45
La seconda parte del problema chiede di
considerare la x come variabile tempo ed f(x) come la
numerosità di una popolazione al tempo x
si vuol sapere quali sono le informazioni che ne
possiamo dedurre dal suo grafico
• la numerosità è crescente dal valore 1 raggiunto al
tempo 0 al valore 8 al tendere del tempo all’infinito
• Il flesso al tempo x=2 ci dice che il tasso di crescita
della popolazione è crescente nel periodo 0 ≤ x ≤ 2
e
decrescente nel periodo successivo
46
La terza parte del problema chiede di determinare a
e b sapendo che la funzione è la seguente:
f(x)=
poiché f(x) passa per il flesso (2,4) si ha:
a
1+e
b-x
a
1+e
b-2
=4
Inoltre se la retta y=8 è un asintoto orizzontale:
a
lim
x
∞
1+e
b-x
=8
da qui ne segue che a=8 e b=2
47
La quarta parte del problema chiede di calcolare
l’area della parte di piano compresa tra il grafico di f’’(x)
e l’asse x nell’ intervallo [0,2]:
0
-2
2
4
6
8
10
f’’(x)
f(x)=
8
1+e
2
Area =
2-x
f’(x)=
8∙e
(1 + e
2-x
∫ f’’(x) dx = f’(2) – f’(0) = 2 -
0
2-x
2
)
8∙e
2
2
(1 + e )
2
48
49
Il soggetto principale del 2° problema è la funzione
3
f(x) = x ∙ ln(x)
Lo stile standard di questo problema lo ha reso
più accessibile ad ogni studente mediamente
preparato, per cui è stato il più scelto tra i due
proposti
50
La prima domanda chiede di disegnare f(x) e di
calcolare i valori approssimati delle ascisse del punto di
minimo e di flesso
0,5
f(x)
P
-2
-1,5
-1
0
-0,5
0,5
1
1,5
2
-0,5
51
La seconda domanda chiede di determinare la
parabola con asse verticale, passante per l’origine e
tangente a f(x) in P(1,0)
2
Si tratta di una parabola del tipo y = a∙x + b∙x + c
passante per O (0,0): c = 0
passante per P (1,0): a + b = 0
avente la stessa tangente di f(x) in P: y = x - 1
2
y= x-x
52
La terza domanda chiede di calcolare l’area della
parte di piano compresa tra l’asse x, f(x) nell’intervallo
(0,1];
in pratica si chiede di risolvere l’integrale improprio di
2° specie:
1
∫
0
3
x ∙ ln(x)
dx =
1
16
0,5
f(x)
P
-1,5
-1
0
-0,5
1
1,5
-0,5
53
La quarta domanda chiede di scrivere l’equazione
della curva simmetrica di f(x) rispetto all’asse y:
3
y = - x ∙ ln(- x )
e rispetto alla retta di equazione y=-1:
3
y = - x ∙ ln( x ) - 2
54
Il secondo problema è basato sui concetti
dell’Analisi del 5° anno e della geometria
del 2° biennio cioè:
1) Studio del grafico di una funzione
2) Equazione di una parabola date 3 condizioni
3) Il calcolo dell’area mediante un integrale
improprio di seconda specie
4) Le simmetrie
55
Per quanto riguarda il questionario, i quesiti
n. 1-3-4-6 sono in comune con la traccia ordinamento;
quelli non in comune – i numeri 2-5-7-8-9-10 - sono
basati sui concetti dell’Analisi, della Probabilità e
dell’Algebra del biennio:
2) Derivata di una funzione
5) Percentuale
7) Calcolo delle probabilità
8) Calcolo di un limite
10) Calcolo delle radici di una equazione
56
Deve, inoltre, rilevarsi che
sono stati scelti anche
argomenti attinenti
alla realtà
(quesito 5 e quesito 7) sia
ordinamento che PNI
57
I commenti dei Commissari
58
Nella tabella E il Questionario ha proposto ai
Commissari la domanda
“ Dalla sessione 2015, quando saranno
pienamente operative le Indicazioni
Nazionali, quali argomenti, presenti
nelle tracce di questi anni, non saranno
più da proporre, quali invece quelli da
introdurre ? “ (max. 400 caratteri)
59
Le risposte sono state
584
ripartite secondo gli indirizzi di provenienza.
I commenti dell’ordinamento sono stati
Tuttavia ne sono stati elaborati
359
278
in quanto 81 commissari, anziché rispondere alla
domanda, hanno preferito utilizzare lo spazio a
disposizione per esprimere un giudizio sulla traccia
assegnata
60
Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi:
1) Alcuni studenti hanno confuso il Teorema di
Lagrange con il Teorema del valor medio.
2) I contenuti presenti nelle tracce risultano
coerenti con i programmi svolti.
3) Il testo è ben formulato e chiaro e di media
difficoltà.
61
4) Apprezzo la griglia di valutazione e la presenza
di esercizi che si riferiscono agli anni precedenti
per poter valutare meglio la preparazione degli
studenti.
5) E’ importante che i docenti svolgano davvero il
programma che fanno firmare agli alunni.
62
6) Sarebbe necessario ridurre il tempo di
svolgimento della prova e portarlo da 6 ore a 3
ore, in quanto gli studenti dopo 3 ore hanno già
terminato la parte principale del compito e
passano il restante tempo nel tentativo di
collaborare.
63
Altri Commissari hanno dato risposte del tipo:
“Nessuna”
o
“No comment”
queste risposte sono state considerate come:
“Va bene, nulla da segnalare o da modificare”
64
Altri Commissari hanno scritto un elenco di argomenti
senza alcuna indicazione del tipo
“da introdurre”
“da non proporre”
questi argomenti sono stati considerati tutti
“da introdurre”
65
Invece le risposte del tipo:
• Si veda quanto già scritto per la classe 5° sez.E
della stessa Commissione
• Vedi quanto già indicato per la sezione B
• Vedi giudizio espresso per la classe 5°C
non sono state elaborate
66
63 Commissari (circa il 23%) affermano
• che la traccia assegnata va bene così;
• è da mantenere l’attuale struttura degli argomenti
proposti;
• non vanno aggiunti altri argomenti in quanto è
difficile completare i programmi con solo 3 ore
settimanali di lezione.
Molti Commissari auspicano di poter dedicare l’ora
in più settimanale per un approfondimento di
quanto viene attualmente insegnato.
67
Per altri
• gli argomenti proposti vanno bene ma occorrerebbe
modificare l’impostazione della prova in quanto
viene dato eccessivo peso al calcolo integrale e al
programma svolto negli anni precedenti al 5°.
68
Per altri ancora
• E’ necessaria una prova che richieda meno calcoli e
che sia più chiara nel testo.
69
47 Commissari (circa il 17%)
• propongono l’introduzione nella traccia d’esame del
calcolo delle probabilità e di elementi di statistica
70
Emerge anche che
• non si vorrebbero presenti nella traccia argomenti
di trigonometria e goniometria
Tali argomenti dovrebbero essere svolti durante il 1°
biennio mentre sono di fatto oggetto di studio nel 2°
poichè i docenti delle classi inferiori incontrano
difficoltà nello svolgere tutti gli argomenti presenti
nelle Indicazioni Nazionali.
71
Taluni commissari
• eliminerebbero il calcolo combinatorio, la
probabilità e statistica, le equazioni differenziali
e la geometria solida e piana per lasciar maggior
spazio alla geometria analitica e all’analisi.
72
Per altri
• sono da proporre argomenti relativi al 5° anno come
le successioni numeriche, le equazioni
differenziali collegate a fenomeni fisici e le
coordinate cartesiane nello spazio.
73
Inoltre é proposto da diversi esaminatori
• L’inserimento di argomenti relativi al 2° biennio
come: i numeri complessi, le sezioni coniche,
i luoghi geometrici, le funzioni esponenziali e
logaritmiche, l’algebra vettoriale
così come
• l’ introduzione di argomenti come l’analisi
numerica, le trasformazioni geometriche e la
geometria analitica nello spazio.
74
L’esame delle risposte fornite ha evidenziato
anche che è auspicato
• il potenziamento dello studio di una funzione e
della sua continuità e derivabilità nonché della
geometria solida e piana.
• Mentre una qualche contrarietà emerge riguardo alla
proposizione di quesiti sulla storia della matematica.
75
I commenti del PNI
sono stati suddivisi in cinque gruppi di tipologia
omogenea:
• Tipo A
• Tipo B
• Tipo C
• Tipo D
• Tipo E
76
Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi
di tipo A i quali hanno in comune l’assenza di rilievi di
novità:
• Gli argomenti formulati nel Syllabus 2009 vanno
bene.
• Nessun argomento nuovo da introdurre, vista la
riduzione del monte ore.
• Vanno riproposti tutti gli argomenti presenti
nelle tracce del 2013.
77
Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi
di tipo B i quali si sono caratterizzati per la stringatezza
delle risposte:
• Nessuna
• Quesiti 5,6,9
• Probabilità
• Calcolo integrale e approssimazione radici
Queste sembrano risposte ad una domanda del tipo:
“Quali quesiti e quali argomenti proposti non hanno
rispondenza con ciò che è specificato nel Syllabus
2009 ?”
78
Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi
di tipo C i quali sono contraddistinti da assenza di
proposta:
• Non ho rilievi
• Non lo so
• Nulla da segnalare
• Nulla da obiettare
• Nessun commento
79
Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi
di tipo D che si potrebbero definire risposte singolari:
• Si sceglie di non dare risposta alla domanda
ritenendo più qualificante farlo nel futuro esame
di stato 2013-14.
• Nel questionario erano assenti gli integrali.
•Consiglierei di trattare la geometria solida come
problema di massimo e di minimo.
80
• Ho notato che, nonostante le ore in più di
insegnamento che ci sono rispetto al liceo
ordinamento, i programmi svolti nel PNI sono
quasi uguali a quelli dell’indirizzo tradizionale.
• In questo momento non riesco a dare il mio
contributo e non mi sento preparata a rispondere
a questa domanda.
• Non possediamo adeguati elementi di giudizio.
81
Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi
di tipo E che hanno mostrato una qualche positività:
• Bisogna fare un Syllabus più specifico e che sia
pienamente condiviso altrimenti temo il peggio
perché, in riferimento al corso PNI, le ore di
matematica sono diminuite ed il programma è
aumentato.
82
• Bisognerebbe rivoluzionare i libri di testo per
eliminare esercizi e problemi ripetitivi e
meccanici che ripropongono stessi schemi e
procedure.
• E’ stata rilevata, negativamente, la proposizione
di problemi tipo olimpiadi o giochi matematici.
• Si è proposta la riduzione del tempo della prova:
si ritengono sufficienti 3 quesiti nel problema e
3 nel questionario.
83
• La riduzione delle ore di matematica imporrà
il taglio di alcuni argomenti quali, ad esempio,
probabilità e statistica.
• Le tracce dovranno essere orientate verso una
matematica più applicata, ma molti insegnanti
non si adeguano alle innovazioni dei programmi
curricolari ed è questo uno dei motivi delle
difficoltà che i ragazzi incontrano nella seconda
prova.
84
• E’ preferibile non inserire geometria solida in
quanto difficilmente si riesce a trattare in modo
esaustivo.
• Sono da introdurre le equazioni differenziali, la
Statistica, i problemi di applicazione della
matematica al mondo reale e la probabilità.
85
GRAZIE
per l’attenzione
Prof.ssa Serenella Iacino
86
Si tratta di calcolare l’area di un
B
triangolo in funzione delle misure di
AB=2
A
due lati e del seno dell’angolo
compreso:
α
AC=3
sen α = 1
C
2 ∙ 3 ∙ sen α
2
α = 90°
BC =
=
3
13
87
Si tratta di calcolare il dominio attraverso un semplice
sistema di disequazioni.
3–x≥0
3–x
≤2
3–x
≥1
-1 ≤ x ≤ 2
88
In questo quesito è presente il concetto di geometria
analitica della distanza di un punto da una retta; inoltre
si chiede la distanza massima attraverso il calcolo della
derivata della funzione distanza.
89
Si calcola il volume del tronco
attraverso la differenza dei
volumi tra la piramide grande e
P
quella piccola.
Notiamo anche la similitudine tra
i triangoli VHE e VH 1P per
E
determinare VH1
90
Dato un parallelepipedo di dimensioni a, b, c, se si
aumentano ad es. del 10% il volume V = a∙b∙c diventa
V’ = (a+10%a)(b+10%b)(c+10%c)=V∙(1+10%)³.
Quindi l’aumento è V’-V = V[(1+10%)³-1]=33%V
91
Il 6° quesito riguarda il calcolo combinatorio e in
particolare le permutazioni
92
AB = b
A
E
D
B
F
C
BC = a
a
BF =
2
A = 1m²
1∙b²
A’ =
a²
A : A’ = a² : b²
a=
4
Esiste un rapporto di
similitudine tra le
aree e i quadrati dei
lati dei rettangoli
simili:
2
b=
1∙b²
a∙b
=
2
a²
1
4
2
93
g(x) è una funzione integrale:
g’(x) = f(x)
2
g’(x) > 0 per 0<x<2 e x>4 , g(x)
1
è crescente
0
-1
1
2
3
4
g’(x) < 0 per 2<x<4 g(x) è decresc.
g(x) ha un minimo per x = 4
94
Per il calcolo di questo limite si può applicare il 1° limite
notevole o gli infinitesimi equivalenti
lim 4
x
0
lim 4
x
0
sen x (cos x – 1)
x²
=
- x²
x∙
x [ - (1 - cos x)]
2
= lim 4
x
0
x²
x²
=0
95
y
f(x)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
96
y
y
f’(x)
f’(x)
-4
-3
-2
0
-1
1
2
3
4
x
-4
-3
-2
-1
y
-3
1
2
3
4
x
0
1
2
3
4
x
y
f’(x)
-4
0
f’(x)
-2
-1
0
1
2
3
4
x
-4
-3
-2
-1
Il grafico di f’(x) è il quarto.
97
f’(1) – 2 f’(2) = 5
f’(1) – 4 f’(4) = 19
f’(2) – 2 f’(4) = 7
98
Questo quesito è molto simile al quesito 5
dell’ordinamento e riguarda la percentuale
99
Su 10 persone 6 hanno gli occhi azzurri e 4 no; la
probabilità che due persone estratte non abbiano gli
occhi azzurri è:
4
2
10
2
=
2
15
100
Si pone x – Π = y con y
e
lim
y
0
e
y
- sen y
0
lim
0
- e
sen Π
=
y
lim
y
sen (y + Π)
0
- e
y
e
- sen y
y
-1
sen Π
=
- sen y
lim
=
y
0
y
=-1
101
102
103
104
105
106