Controlli Automatici
Ing. Giuseppe Fedele
Dip. Elettronica, Informatica e Sistemistica
Università degli Studi della Calabria
Email: [email protected]
Tel : 0984-494720
Argomenti delle lezioni:
Elementi di modellistica: modelli elementari di sistemi elettrici, meccanici e termici
I sistemi dinamici come generalizzazione dei modelli precedenti
Trasformata di Laplace
Funzione di trasferimento
Risposta libera e forzata. Risposta impulsiva
Sistemi interconnessi
Stabilità
Risposta in frequenza
Criteri di stabilità
Sistemi in retroazione: problemi di regolazione e inseguimento
Criterio di Nyquist
Specifiche di progetto
Regolatori
Esercitazioni
Laboratorio
Modalità di svolgimento dell’esame:
Elaborato personalizzato ad personam
(o in gruppo???)
Orale
Ricevimento
Mercoledì dopo la lezione
Informazioni
Email:
[email protected]
Tel : 0984-494720 (lunedì pomeriggio)
Concetto di CONTROLLO
L’azione o l’insieme delle azioni indirizzate a far
assumere ad una grandezza, in generale una
grandezza fisica, un valore determinato o una
successione determinata di valori nel tempo.
Controllo della velocità di un motore
Controllo della traiettoria di un veicolo
Controllo delle entrate in una nazione
Controllo delle nascite
.
.
.
Legge di
controllo
Andamento
desiderato
Processo
Grandezze controllanti,
(manipolabili).
INGRESSI
Grandezze controllate.
USCITE
Naturale
o
Artificiale
AZIONE DI CONTROLLO
Individuazione, per le grandezze controllanti, di quelle
evoluzioni temporali alle quali corrisponde l’andamento
desiderato per le grandezze controllate.
Attuazione concreta delle operazioni che consentono di
realizzare questi andamenti nel processo.
CONTROLLORE
Processo
Il controllo si dice automatico quando le azioni
corrispondenti vengono svolte ad opera di
dispositivi capaci di sostituire in parte o anche
in tutto l’intervento dell’uomo.
Problemi
sociali?
Impianto idraulico
Il rifornimento del serbatoio può essere comandato a piacere
attraverso il posizionamento della valvola di immissione, che
varia la portata di acqua entrante, mentre la domanda di
acqua uscente può variare in modo non noto, in dipendenza
delle diverse esigenze dell’utenza.
L’obiettivo è quello di assicurare la costanza del livello
dell’acqua contenuta nel serbatoio, mediante un opportuno
comando alla valvola di immissione.
Impianto idraulico
Il controllo può essere realizzato in modo manuale, con
l’impiego di un operatore umano il quale, valutando a vista la
differenza tra il valore effettivo del livello dell’acqua
contenuta nel serbatoio ed il valore desiderato per questa
grandezza (ad esempio un valore di riferimento riportato
sulla superficie interna del serbatoio) apre o chiude la
valvola di immissione in modo tale da portare questa
differenza a zero.
Impianto idraulico
Il controllo può essere realizzato in modo automatico,
sostituendo l’operatore umano con un semplice meccanismo
costituito da un galleggiante e da una leva. Lo scostamento
del galleggiante dalla posizione corrispondente al livello di
riferimento provoca uno spostamento della valvola di
immissione cui corrisponde una variazione nel rifornimento
del serbatoio tendente ad annullare questo scostamento.
Impianto idraulico
Ma come faccio
a trattare formalmente
questo sistema?
Portata d’acqua in entrata
Qr
Portata d’acqua domandata dall’utenza
Qd
Sezione del serbatoio
S
Costante di proporzionalità tra l’apertura a
della valvola e la portante entrante
Kv
Impianto idraulico
Schema
a blocchi
Schema associato al fenomeno
+
h0
+
-
Operatore umano
-------------------------Leva
+
Controllo nell’antichità
Qualcuno
ci aveva già
pensato!!!
IN BENE
L’acqua gocciola con flusso costante in un
contenitore che misura il tempo in base all’altezza
del liquido.
Il contenitore a monte viene tenuto a livello costante
(in modo che l’acqua ne fuoriesca con flusso
costante) per mezzo di una valvola comandata da un
galleggiante del tutto simile a quella degli odierni
water.
Controllo nell’antichità
Qualcuno
ci aveva già
pensato!!!
IN MALE
Apertura e chiusura automatica delle porte di un tempio.
L’espansione dell’aria calda prodotta dal fuoco sull’altare mette
in pressione l’acqua di un serbatoio che, attraverso un sifone,
riempie un secchio sospeso. La discesa del secchio fa aprire le
porte del tempio.
Se il fuoco viene spento, la pressione nel recipiente diminuisce
e l’acqua ritorna indietro nel serbatoio, svuotando il secchio.
Allora il peso w (in basso a destra) cadendo fa chiudere le
porte.
Erone di Alessandria, I sec. A.C.
Le origini?
Nella seconda metà del XIX secolo J.C. Maxwell e I.A. Vyshnegradskii
formularono indipendentemente le prime teorie del controllo basate su
modelli descritti da equazioni differenziali.
Nella prima metà del XX secolo gli sviluppi della teoria del controllo
proseguirono in modo differenziato nei paesi occidentali ed in Unione
Sovietica:
-a partire da motivazioni ingegneristiche all’ovest
-su basi prettamente matematiche all’est
Pietra miliare nello sviluppo ingegneristico della moderna teoria del
controllo è l’amplificatore in retroazione negativa (Black, 1927)
Sviluppi teorici sullo studio della stabilità
-Nyquist, 1932
-Bode, 1940
Le origini?
I controlli automatici divennero una vera e propria disciplina ingegneristica
a partire dagli anni 40:
- la seconda guerra mondiale
autopiloti per aerei, sistemi di puntamento per cannoni, per radar,…
- lo sviluppo dei calcolatori elettronici (primi anni 50)
resero applicabili molte teorie già sviluppate sul piano formale
- la conquista dello spazio (anni 60 e 70)
fu possibile per la disponibilità di sofisticati sistemi di controllo
- lo sviluppo dei microprocessori (seconda metà degli anni 70) e dei DSP
(seconda metà degli anni 80)
diffusione generalizzata dei sistemi di automazione industriale
introduzione di sistemi di controllo in una moltitudine di apparati
anche al di fuori delle applicazioni industriali
New York Times, 23 settembre 1947.
Articolo che descrive il primo volo transatlantico completamente automatico.
Controllo manuale di temperatura
Controllo manuale di velocità
Controllo manuale della temperatura di un liquido
Dal controllo manuale al controllo automatico
Dal controllo manuale al controllo automatico
Dal controllo manuale al controllo automatico
Controllo della velocità di rotazione di un disco
Batteria
Selettore di velocità
Amplificatore
dc
Motore dc
Il motore dc fornisce una velocità di rotazione proporzionale alla tensione
applicata. Il sistema usa una batteria per fornire una tensione
proporzionale alla velocità desiderata.
Questa tensione è quindi amplificata ed applicata al motore.
L’inconveniente di un tale tipo di controllo (ad anello aperto – open loop)
è che l’intevento di un agente esterno (ad esempio la pressione della
mano sul disco) potrebbe ridurre la velocità del disco e quindi l’azione di
controllo sarebbe inefficiente.
Controllo della velocità di rotazione di un disco
Batteria
Selettore di velocità
+
Amplificatore
dc
Motore dc
Tachimetro
Controllo del livello di glucosio nel sangue
Generatore di segnali
programmato
+
Livello di glucosio
desiderato
v(t)
tensione
al motore
Amplificatore
Motore,
pompa e
valvola
Motore,
pompa e
valvola
-
sensore
Livello di glucosio
misurato
I(t)
dose di
insulina rilasciata
Corpo umano,
sangue,
pancreas
Progettazione di un sistema di controllo
Obiettivi del controllo
Variabili di controllo
Specifiche per le variabili
di controllo
Configurazione del sistema
+ attuatori
MODELLO del processo, attuatori
e sensori
Scelta e progettazione
del CONTROLLORE
Sistemi meccanici
Sistemi meccanici
Sistemi meccanici
Sistemi meccanici
Ammortizzatore
Ingressi:
la forza u(t) agente sulla massa m
Uscite:
lo spostamento y(t) della massa m rispetto alla posizione di riposo
Sistema SISO

fr
Molla

f
Smorzatore


f   ky



dy
f  b
 b v
dt
Ammortizzatore
u
f el  ky
y
f vis
dy
 b
dt
d2y
m 2
dt
d2y
dy
m 2  u  ky  b
dt
dt
La forza agente sulla massa m deve eguagliare,
all’equilibrio, la somma di tutte le altre forze.
Ammortizzatore
my  by  ky  u
Sistema del 2° ordine
Trasformazione in un sistema di due equazioni del 1° ordine:
x1 (t )  y (t )
x2 (t )  y (t )
x1  x2
k
b
1
x2  x1  x2  u
m
m
m
y  x1
 x1   0
 x    k
 2   m
1  x   0 
b   1    1 u
   x2   
m
m
 x1 
y  1 0  
 x2 
Equazione di stato
Equazione di uscita
x  Ax  Bu
y  Cx  Du
Ammortizzatore
Ammortizzatore
Si vuole simulare l’uscita y(t) del sistema quando u(t) è un segnale del tipo in figura:
u (t )
t1
t2
Ammortizzatore
Ammortizzatore
Ammortizzatore
Ammortizzatore
Qualche osservazione???
Pendolo
d
vl
dt
ds  l  d

l
F  mg sin 
Fattr   l
ds
mg
All’equilibrio:
d 2
al 2
dt
d
dt
Fm  F  Fattr
d 2
d
ml 2  mg sin   l
0
dt
dt
Pendolo

g
    sin   0
m
l
x1 (t )   (t )
x2 (t )   (t )
x1  x2
g

x2   sin x1  x2
l
m
y  x1
Pendolo
Pendolo
Pendolo
2

l
d2
d1
0
2
Ambito di validità dei modelli
Anche se molti componenti fisici mostrano
relazioni lineari fra ingresso e uscita, se li si
osserva su un ampio spettro operativo essi
rivelano in realtà un comportamento non
lineare.
Se la molla è sottoposta ad un’elevata compressione, può avvenire che
raggiunga il limite di compressione, con l’avvicinarsi delle spirali fra loro. In
questo caso, la relazione lineare tra forza applicata e spostamento
risultante non esiste più. Se la forza viene ulteriormente aumentata, le
spirali risultano compresse senza un ulteriore aumento dello spostamento.
Si può dire che la molla ha raggiunto il limite di saturazione.
Ambito di validità dei modelli
Nel seguito assumeremo che sia possibile descrivere ogni
elemento tramite un modello lineare, o perché ciò è una
caratteristica intrinseca dell’elemento, o perché ci
limiteremo a considerare il suo funzionamento in una
gamma operativa ristretta, in cui l’ipotesi di linearità risulta
sufficientemente accurata.
Proprietà dei sistemi studiati
u (t )

y(t )  ut 
y (t )
Proprietà dei sistemi studiati
Stazionarietà
y(t )  ut 
y(t  t0 )  ut  t0 
La risposta corrispondente all’eccitazione traslata
nel tempo ha lo stesso andamento della risposta al
segnale originario non traslato, purchè la si trasli
della medesima quantità.
Proprietà dei sistemi studiati
Esempi
y (t )  Au(t ), A  cost
y (t )   A  Bt u (t ), A, B  cost
u t  t0   Aut  t0   y t  t0 
u t  t0    A  Bt u t  t0 
stazionario
y t  t0    A  Bt  t0 u t  t0   u t  t0 
non stazionario
Proprietà dei sistemi studiati
Linearità
Al segnale in ingresso
u(t )  1u1 (t )   2u2 (t )
il sistema risponde con
y (t )  u t   1 y1 (t )   2 y2 (t )
y1 (t )  u1 t 
y2 (t )  u2 t 
Proprietà dei sistemi studiati
Esempi
u t   u t 
u t    A  Bt u t 
u t   u1 t   u2 t 
u t   1u1 t    2u2 t 
u1 t   u2 t   u1 t   u2 t 
1u1 t    2u2 t    A  Bt 1u1 t    2u2 t 
u1 t   u2 t   u1 t   u 2 t 
 2u2 t    2  A  Bt u2 t 
u1 t   u1 t  , u 2 t   u2 t 
non lineare
1u1 t   1  A  Bt u1 t ,
lineare
Linearità rispetto all’ingresso
Linearità rispetto all’ingresso
Linearità rispetto all’ingresso
Linearizzazione
df (t )
f (t )  f (t0 ) 
(t  t0 )  ...
dt t0
Esempio:
sin( t )  sin( 0)  cos(t ) 0 (t  0)  ...  t
Pendolo
Pendolo
Pendolo
Pendolo
Derivata e integrale (OPERATORI)
Per semplificare la scrittura delle equazioni differenziali può essere utilizzato (con la giusta
cautela) l’operatore D per indicare l’operazione di derivazione rispetto al tempo:
Dx (t )

D 2 x(t ) 
dx(t )
dt
d 2 x(t )
dt 2
y(t )  a1 x1 (t )  a2 Dx2 (t )
Dy (t )  Da1 x1 (t )  a2 Dx 2 (t )  
 a1 Dx1 (t )  a2 D 2 x2 (t )
Proprietà distributiva rispetto alla somma
Proprietà commutativa con le costanti
(non con le funzioni del tempo)
Derivata e integrale (OPERATORI)
Si può dare un significato anche al simbolo 1/D ponendo:
t
1
x(t )   x( )d  cost
D
0
Questa relazione costituisce una notazione convenzionale, in
quanto in realtà l’operatore D non è invertibile, rappresentando
una corrispondenza che non è uno a uno, ma molti a uno.
y1 (t )  5 x 2 (t )  7
y2 (t )  5 x 2 (t )  2
Dy1 (t )  Dy2 (t )  10 x(t )
Tutte le funzioni che differiscono per una
costante, presentano la stessa derivata.
Derivata e integrale (OPERATORI)
Per tale ragione 1/D non si può applicare ai due membri di una
relazione esprimente l’uguaglianza di due funzioni:
y (t )  x(t )
D 1 y(t )  D 1 x(t )
L’uguaglianza vale solo per condizioni
iniziali nulle
Carrelli con attrito
Carrelli con attrito
Circuiti elettrici
Circuiti elettrici
Circuito RC
vi (t )  vR (t )  vc (t )  0
vi (t )  Ri (t )  vc (t )  0
i (t )  C
dvc (t )
 C  Dvc (t )
dt
vi (t )  RC  Dvc (t )  vc (t )  0
1
1
Dv c (t ) 
vc (t ) 
vi (t )
RC
RC
Circuito RC
Si vuole simulare l’uscita vc del sistema quando vi è un segnale del tipo in figura:
u (t )
E0  2
t0
  RC  0.1sec
t0  1sec
t1  2sec
t1
Circuito RC
Circuito RC
Circuito RC
vc (0)  1 sec
1
Dvc (t ) 
vc (t )  0
RC