Andando in qua e là:
introduzione al concetto di struttura
Liceo Scientifico G. Galilei
6 febbraio 2013
Giochi di Archimede ----
2006
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo
dal punto O e percorrendo nel primo minuto 10 cm
verso est, nel secondo minuto 20 cm verso nord, nel
terzo minuto 30 cm verso ovest, nel quarto minuto 40
cm verso sud. E così via.
Dopo 2013 minuti, a che distanza dal punto O si trova
il ragno?
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel
primo minuto 10 cm verso est, nel secondo minuto 20 cm verso nord, nel terzo minuto
30 cm verso ovest, nel quarto minuto 40 cm verso sud. E così via. Dopo 2013 minuti, a
che distanza dal punto O si trova il ragno?
Nord
al quinto minuto: 50 cm a est
al sesto minuto: 60 cm a nord
......
Ovest
Est
O
Sud
REGOLA : minuto dopo
minuto, per la direzione il
ragno segue la sequenza
E N O S, mentre la distanza
percorsa aumenta sempre
di 10 cm.
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel
primo minuto 10 cm verso est, nel secondo minuto 20 cm verso nord, nel terzo minuto
30 cm verso ovest, nel quarto minuto 40 cm verso sud. E così via. Dopo 2013 minuti, a
che distanza dal punto O si trova il ragno?
METODI
Tirare a indovinare
Forza bruta
Metodo matematico
MENONE:
Differenza fra retta opinione
e Scienza
Platone
Metodo matematico
ciclo
idee?
= 4 movimenti
(cioè 4 minuti)
O
Alla fine di
ogni ciclo di 4
minuti, il ragno
ha percorso 20
cm a sud e 20
cm a ovest
REGOLA : minuto dopo
minuto, per la direzione il
ragno segue la sequenza
E N O S, mentre la distanza
percorsa aumenta sempre
di 10 cm.
Soluzione
1) Siccome 2013 : 4 fa 503 e avanza 1, in 2013 minuti il ragno ha fatto 503
cicli più un movimento (verso Est).
2) Dopo i 503 cicli, il ragno si trova 503 x 20 = 10060 cm a Ovest e 10060 cm e
Sud del punto di partenza.
3) Nell’ultimo minuto il ragno si è mosso di 2013 x 10 = 20130 cm verso Est
4) Quindi, dopo 2013 minuti, il ragno si trova nel punto P che è 20130 - 10060
= 10070 cm a Est e 10060 cm a Sud di O
5) La distanza di P da O è:
ARRIVEDERCI
ALT!
Dobbiamo ancora capire
bene cosa abbiamo fatto
Un ottimo modo per vedere se
abbiamo capito è affrontare
variazioni sul tema
Soluzione
1) Siccome 2013 : 4 fa 503 e avanza 1, in 2013 minuti il ragno ha fatto 503
cicli più un movimento (verso Est).
2) Dopo i 503 cicli, il ragno si trova 503 x 20 = 10060 cm a Ovest e 10060 cm e
Sud del punto di partenza.
3) Nell’ultimo minuto il ragno si è mosso di 2013 x 10 = 20130 cm verso Est
4) Quindi, dopo 2013 minuti, il ragno si trova nel punto P che è 20130 - 10060
= 10070 cm a Est e 10060 cm a Sud di O
5) La distanza di P da O è:
Soluzione
1) Siccome 2013 : 4 fa 503 e avanza 1, in 2013 minuti il ragno ha fatto 503
cicli più un movimento (verso Est).
2) Dopo i 503 cicli, il ragno si trova 503 x 20 = 10060 cm a Ovest e 10060 cm e
Sud del punto di partenza.
DIMOSTRAZIONE
?
In ogni ciclo il ragno fa x cm verso Est, x + 10 cm verso Nord, x + 20 cm
verso Ovest e x + 30 cm verso Sud.
x cm verso Est = - x cm verso Ovest
x + 10 cm verso Nord = - x - 10 cm verso Sud
In ogni ciclo il ragno fa - x cm verso Ovest, - x - 10 cm verso Sud, x + 20 cm
verso Ovest e x + 30 cm verso Sud.
quindi il ragno fa - x + x + 20 = 20 cm verso Ovest e - x – 10 + x + 30 = 20 cm
verso Sud.
Nord
O = (0 , 0)
A6
A1 = (10 , 0)
A3
A2
A2 = (10 , 20)
A3 = (- 20 , 20)
O
A4 = (- 20 , - 20)
A1
A5 = (30 , - 20)
A6 = (30 , 40)
A5
A4
x=
0 10 10 -20 -20
y=
0
0 20
30 30 -40 -40
20 -20 -20 40
40 -40
Quali numeri
secondo logica
aggiungeresti?
dimostrazione
x=
0 10 10 -20 -20
30 30 -40 -40
x=
0 10
30
10
-20
-30
y=
0
0 20
y=
0
20
20
REGOLA : minuto dopo
minuto, per la direzione il
ragno segue la sequenza
E N O S, mentre la distanza
percorsa aumenta sempre
di 10 cm.
50
-40
-70
20 -20 -20 40
-20
-40
40 -40
-40
40
60
-80
se N è dispari,
n = 2m + 1
REGOLA
al passo N
il ragno fa:
se N è pari,
n = 2m + 2
verso Est
(20m+10)
verso Nord
(20m+20)
se N è dispari,
n=2m + 1
REGOLA
al passo N
il ragno fa:
se N è pari,
n=2m + 2
verso Est
(20m+10)
verso Nord
(20m+20)
formula
aperta
descrizione analitica
descrizione locale
nello spazio e nel tempo
ciò che otteniamo dagli esperimenti
e
s
e
m
p
i
o
vento
pressione
temperatura
variazione del vento
variazione di pressione
variazione di temperatura
...
meteo
previsione
Come ottenere una visione globale?
lungo x
dopo N passi?
serie numerica
10 0 -30 0 50 0 -70 0 90 ...
10 - 30 + 50 - 70 + 90 ...
(10 - 30) +(50 - 70) +(90 ...
(- 20)
+ (- 20)
+ ...
si scrive m = 2 a + b
b = 0, 1
se b = 0 (cioè m è pari), la somma è -20 a
se b = 1 (cioè m è dispari), la somma è -20 a + 20 m = 20 a + 10
in un colpo solo, la somma è (-1)b+1 20 a + 10 b
m si ottiene da N
scrivendo
N = 2m – r r = 0,1
...
...
descrizione globale
descrizione algebrica
?????
REGOLA
dopo N
minuti il
ragno è:
formula
chiusa
x = (-1)b+1(20 u) + 10 b
N=4u+w
w = -1, 0, 1, 2
b = INT(w+1)/2
y = (-1)b+1(40 u) + 20 b
N=4u+w
w = 0, 1, 2, 3
b = |INT(w-1)/2|
se N è dispari,
n=2m + 1
REGOLA
al passo N
il ragno fa:
se N è pari,
n=2m + 2
verso Est
(10m+10)
verso Nord
(20m+20)
descrizione analitica
DUALITA’
descrizione algebrica
REGOLA
dopo N
minuti il
ragno è:
x = (-1)b+1(20 u) + 10 b
N=4u+w
w = -1, 0, 1, 2
b = INT(w+1)/2
y = (-1)b+1(20 u) + 20 b
N=4u+w
w = 0, 1, 2, 3
b = |INT(w-1)/2|
più facile da ricavare
descrizione locale
nello spazio e nel tempo
ciò che otteniamo dagli esperimenti
descrizione analitica
DUALITA’
descrizione algebrica
descrizione globale
nello spazio e nel tempo
ciò che otteniamo dalla elaborazione
più facile da usare
prima variazione sul tema
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel
primo minuto 10 cm verso est, nel secondo minuto 20 cm verso nord, nel terzo minuto
30 cm verso ovest, nel quarto minuto 40 cm verso sud. E così via. Dopo 2013 minuti, a
che distanza dal punto O si trova il ragno?
ogni minuto la distanza percorsa aumenta di 10 cm.
e se invece aumentasse di 20 cm?
o di 5 cm? o di 4,8123 cm? o di π cm?
o (in generale) di k cm?
x = (-1)b+1(20 u) + 10 b
REGOLA
dopo N
minuti il
ragno è:
2k
N=4u+w
w = -1, 0, 1, 2
b = INT(w+1)/2
k
y = (-1)b+1(20 u) + 20 b
N=4u+w
w = 0, 1, 2, 3
b = |INT(w-1)/2|
seconda variazione sul tema
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel
primo minuto 1 cm verso est, nel secondo minuto 2 cm verso nord, nel terzo minuto 4
cm verso ovest, nel quarto minuto 8 cm verso sud. E così via.
e se invece ogni minuto la distanza percorsa raddoppiasse?
movimenti
lungo x
=
1
0
-4
0
16
0
-64
0
256
0
ciclo
-1024 0 ...
(tralasciando gli zeri)
serie di potenze
a segni alterni
-3
- 48
- 768
-3x1
- 3 x 16
- 3 x 162 ...
ma questa come si somma?
ma questa come si somma?
a=1
somma di m volte 1
m
a=2
1 + 2 + 4 + 8 + .... + 2m
2m+1 - 1
sistema binario
1 1 1 .... 1 1 1
+
1
2m+1
1 0 0 .... 0 0 0 0
a=3
3m+1 - 1
1 + 3 + 9 + 27 + .... + 3m
2
sistema ternario
1 1 1 .... 1 1 1
+
1 1 1 .... 1 1 1
+
1
1 0 0 .... 0 0 0 0
3m+1
am+1 - 1
=
a-1
a = 16
=
1 + 16 + 256 + .... + 16m
15
1 1 1 .... 1 1 1
sistema esadecimale
0123456789ABCDEF
16m+1 - 1
+
E E E .... E E E +
1
16m+1
1 0 0 .... 0 0 0 0
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel
primo minuto 1 cm verso est, nel secondo minuto 2 cm verso nord, nel terzo minuto 4
cm verso ovest, nel quarto minuto 8 cm verso sud. E così via.
movimenti
lungo x
=
dopo m cicli
1
0
-4
0
16
0
-64
= -
0
256
16m+1 - 1
15
0
-1024 0 ...
ecc. ecc.
terza variazione sul tema
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel
primo minuto 1 m verso est, nel secondo minuto 1/2 cm verso nord, nel terzo minuto
1/4 m verso ovest, nel quarto minuto 1/8 m verso sud. E così via.
e se invece ogni minuto la distanza percorsa dimezzasse?
O
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel
primo minuto 1 m verso est, nel secondo minuto 1/2 cm verso nord, nel terzo minuto
1/4 m verso ovest, nel quarto minuto 1/8 m verso sud. E così via.
movimenti
lungo x
=
ciclo
1
0 -1/4 0
1/16 0 -1/64 0
3/4
=
(3/4)
1/256 0 -1/1024 0 ...
3/1024
3/64
am+1 - 1
=
a-1
(3/4)
16m+1 - 1
dopo m cicli
15 x
16m
a = 1/16
movimenti
lungo y
=
=
(3/8)
dopo 2013 minuti?
16m+1 - 1
dopo m cicli
15 x 16m
ecc. ecc.
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel
primo minuto 1 m verso est, nel secondo minuto 1/2 cm verso nord, nel terzo minuto
1/4 m verso ovest, nel quarto minuto 1/8 m verso sud. E così via.
posizione del ragno
dopo m cicli
=
(
(3/4)
16m+1 - 1
15 x
16m
,
(3/8)
16m+1 - 1
15 x 16m
dopo 4m minuti.
)
punto limite
2/5
O
4/5
e dopo infiniti minuti?
( (3/4)
16m+1 - 1
15 x 16m
, (3/8)
16m+1 - 1
15 x 16m
) (
=
4
5
2
,
5
)
e dopo infiniti minuti?
(
un momento!!
movimenti
lungo x
=
=
(3/4)
16m+1 - 1
15 x
16m
,
(3/8)
16m+1 - 1
15 x 16m
)
m è il numero dei cicli, non dei minuti
1 + 0 -1/4 + 0 + 1/16 + 0 -1/64 + 0 + 1/256 + 0 -1/1024 + 0 + ...
(1 + 0 -1/4 + 0) + (1/16 + 0 -1/64 + 0) + (1/256 + 0 -1/1024 + 0) + ...
se ho un numero finito di addendi, ok
(proprietà associativa)
ma se il numero di addendi è infinito?
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ...
(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) ...
=
0 + 0 + 0 + 0 ...
0
1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ...
=
1 + 0 + 0 + 0 ...
1
la proprietà associativa, nelle somme infinite, può fallire.
la proprietà associativa, nelle somme infinite, può fallire.
(cioè il passaggio dai singoli passi ai cicli)
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ...
qui fallisce
1 + 0 -1/4 + 0 + 1/16 + 0 -1/64 + 0 + 1/256 + 0 -1/1024 + 0 + ...
qui non fallisce
ARCHIMEDE raggiunse grandi traguardi perché aveva la
capacità innata di utilizzare correttamente i procedimenti
di somma di infinite quantità, ciascuna infinitesima.
I filosofi medioevali non avevano tecniche per comprendere i procedimenti di
somme infinite e mancando loro la sensibilità di Archimede, non potevano utilizzarle,
pena la comparsa di paradossi (come 1 = 0).
Solo con NEWTON e LEIBNIZ
furono poste le basi moderne
per il calcolo infinitesimo
Solo con NEWTON e LEIBNIZ
furono poste le basi moderne
per il calcolo infinitesimo
F=ma
descrizione analitica
descrizione globale
d2s/dt2
quarta variazione sul tema
???
PROBLEMA : Un ragno si muove sul terreno, partendo dal punto O e percorrendo nel
primo minuto 1 cm verso est, nel secondo minuto 2 cm verso nord, nel terzo minuto 4
cm verso ovest, nel quarto minuto 8 cm verso sud. E così via.
PROBLEMA : Un ragno si muove, partendo dal punto O e percorrendo nel primo
minuto 1 cm verso est, nel secondo minuto 2 cm verso nord, nel terzo minuto 3 cm in
alto, nel quarto minuto 4 cm verso ovest, nel quinto minuto 5 cm verso sud, nel
sesto minuto 6 cm verso il basso. Eccetera. Dopo 2013 minuti, dove si trova il ragno?
O
PROBLEMA : Un ragno si muove, partendo dal punto O e percorrendo nel primo
minuto 1 cm verso est, nel secondo minuto 2 cm verso nord, nel terzo minuto 3 cm in
alto, nel quarto minuto 4 cm verso ovest, nel quinto minuto 5 cm verso sud, nel
sesto minuto 6 cm verso il basso. Eccetera. Dopo 2013 minuti, dove si trova il ragno?
variazioni
ogni punto è definito da 3 coordinate.
(0 , 0 , 0)
(1 , 0 , 0)
(1 , 2 , 0)
(1 , 2 , 3)
(-3 , 2 , 3)
(-3 , -3 , 3)
(-3 , -3 , -3)
e così via
il ciclo è composto da 6 passi.
soluz = (1006 , 1007 , 1008)
(1 , 2 , 3)
O
e perché non salire ancora di dimensione?
in dimensione 4
ogni punto è definito da
(0 , 0 , 0 , 0)
(-4 , 2 , 3 , 4)
(1 , 0 , 0 , 0)
(1 , 2 , 0 , 0)
(-4 , -4 , 3 , 4)
solo calcoli.
(1 , 2 , 3 , 0)
(-4 , -4 , -4 , 4)
il ciclo è composto da
no disegno
4 coordinate.
(1 , 2 , 3 , 4)
(-4 , -4 , -4 , -4) ...
8 passi.
O
ma l’esercizio può
essere risolto!
e perché non salire ancora di dimensione?
dimensione = numero di coordinate
ogni punto è definito da
4 coordinate.
(0 , 0 , 0 , 0)
...
Come era ovvio, come era necessario il rapporto
dei lati del monolito, la sequenza 1 : 4 : 9!
Arthur Clarke
2001: Odissea
nello spazio
E quale ingenuità avere immaginato che la
sequenza terminasse a quel punto, con appena
3 dimensioni!
...
ma torniamo un attimo sul pianeta Terra ...
Cosa succede se facciamo muovere il
ragno sulla superficie (curva) terrestre?
aereo
PROBLEMA : Un aereo si muove, partendo dal punto O e percorrendo prima 1000 km
verso est, poi 2000 km verso nord, poi 3000 km verso ovest, poi 4000 km verso sud. E
così via. Dopo 2013 passi, a che distanza dal punto O si trova l’aereo?
PROBLEMA : Un aereo si muove, partendo dal punto O e percorrendo prima 4000 km
verso est, poi 4000 km verso nord, poi 4000 km verso ovest, poi 4000 km verso sud.
A che distanza dal punto O si trova ora l’aereo?
sul piano è chiaro:
al punto di partenza
ma sulla superficie
sferica NO
Geometria non-Euclidea
PROBLEMA DEGLI ORSI :
Un esploratore cammina 1 km verso sud, 1 km verso est, 1 km verso nord e si accorge
di essere tornato al punto di partenza.
Vede un orso e lo cattura.
W
Di che colore è l’orso?
polo nord
W
arco d
polo sud
B
P
angolo w
PA = 1 km
A
A= ?
il giro del mondo partendo
da A è lungo un 1 km
quanto dista A dal polo?
punto di partenza?
P
AB = R sen(w)
A
2πR sen(w) = 1
w = arcsen(1/(2πR))
d = wR = R arcsen(1/(2πR)))
punto di partenza 1 + R arcsen(1/(2πR)) = circa 1,16 Km dal polo
PROBLEMA DELL’AEREO:
Un aereo viaggia 1000 km verso est, 1000 km verso sud, 1000 km verso ovest, 1000
km verso nord e si accorge di essere tornato al punto di partenza.
Da dove è partito?
punto di partenza?
ESERCIZIO!
???
nord
ovest
Cosa sono Nord Sud Est Ovest?
Il pianeta Ciambella
nord
ovest
Liceo
Scientifico
Statale
"Galileo
Galilei"
di Siena
"poesia della Matematica"
ITALO CALVINO
nato a Cuba
1923
morto a Siena
1985
Le città invisibili (1972)
MARCO Di una città non godi le sette, o le
settantasette meraviglie, ma la risposta che dà ad una
tua domanda
KAN O le domande che ti pone, costringendoti a
rispondere. Come Tebe, per bocca della Sfinge.
Il CONCETTO di STRUTTURA
un
ciclo è una struttura
O
In tutti i problemi precedenti, il punto chiave consisteva nel
riconoscere correttamente una struttura
come ad esempio un
ciclo
Osservazioni sul riconoscimento di STRUTTURE
saper riconoscere correttamente le strutture
utili a risolvere un problema
è compito fondamentale nella Matematica
nella Fisica, nell’Ingegneria, nell’Informatica, nell’Economia ....
retta opinione
vediamo alcuni esempi in cui la
nostra percezione di struttura si
comporta in modo distorto.
Osservazioni sul riconoscimento di STRUTTURE
PROBLEMA : Per raggiungere la sua mela, un lombrico deve salire 6 scalini. Ogni giorno
sale 2 scalini, mentre ogni notte ne scende 1.
Dopo quante giornate il lombrico raggiungerà la sua mela?
2 -1 2 -1 2 -1 2 ....
1
2
giorno1
1
1
3
giorno2
2
1
....
4
3
giorno3
6 giorni
5
giorno4
4
6
giorno5
Osservazioni sul riconoscimento di STRUTTURE
2
2
frutti
+
2
=
+
=
+
=
+
=
+ 2
frutti
= 4
4
frutti
=
+
4
2
+
2
=
+
calzini
1
4
=
+
2
= 4 6 ???
2
calzini
paia di calzini
paio di calzini
mi raccomando
oggetti
=
2
2 + 2 = 4
calzini
Grazie per l’attenzione
ciao
Le città invisibili (1972)
... Il Kan cercava di immedesimarsi nel gioco, ma ora era il perchè del gioco a
sfuggirgli. Quale era la posta? Allo scacco matto, sotto il piede del re sbalzato
dal vincitore, non rimaneva che una casella vuota, un tassello di legno
piallato: il nulla ...
Allora Marco parlò – La tua scacchiera, Sire, è intarsio di due legni: ebano e
acero. Il tassello sul quale si fissa il tuo sguardo illuminato fu tagliato su uno
strato del tronco che crebbe in un anno di siccità: vedi infatti come sono strette
le fibre? Ecco un poro più grosso, indice di una malattia della pianta, che forse
portò al suo abbattimento ... – e continuava.
Il Kan era stupito. La quantità di cose che si potevano leggere su un pezzetto di
legno piallato lo sommergeva. E già Marco era venuto a parlare dei boschi di
ebano, di zattere sui fiumi, e di approdi, e di donne alle finestre ...