Equazioni di secondo grado:
quale è (e perché è vera) la
formula risolutiva?
Inizialmente questa presentazione era
completamente senza parole. Un giorno i
ragazzi della IIA 2008/09 hanno provato a
sentire quel che avevano da dire le equazioni e
lo hanno messo per iscritto. Ora sta a te
scegliere fra le loro 5 diverse versioni.
Segnalami tutti i codici diapositiva che
preferisci ed io apporterò l'opportuna
selezione preparando una dispensa tutta tua
Equazioni complete 1A
axbx
c0
2
Prendiamo un’equazione di secondo grado
Equazioni complete 1C
axbx
c0
2
Per cominciare a lavorare su un’equazione di secondo
grado dobbiamo trasportare tutti i numeri al primo
membro in questo ordine.
Equazioni complete 1D
axbx
c0
2
Si parte da questa equazione perché contiene un
termine di secondo grado, uno di primo grado e un
termine noto.
Equazioni complete 2A


a
ax

bx

c
a
0
2
Vogliamo trovare il quadrato di un binomio in
questa equazione e quindi, per iniziare,
moltiplichiamo tutto per “a”.
Equazioni complete 2B


a
ax

bx

c
a
0
2
Moltiplichiamo per “a” entrambi i membri perché
dobbiamo ottenere il quadrato del binomio.
Equazioni complete 2C


a
ax

bx

c
a
0
2
Guardando bene l’equazione possiamo ricondurla
ad un quadrato di binomio. Per ottenerlo
dobbiamo:
- moltiplicare tutta l’equazione per “a”, così
otteniamo il quadrato del primo termine
Equazioni complete 2D


a
ax

bx

c
a
0
2
Bisogna mettere al secondo grado anche il termine
“a”, perciò si moltiplica per “a” entrambi i
membri.
Equazioni complete 2E


a
ax

bx

c
a
0
2
Moltiplichiamo ogni membro per “a”ottenendo….
Equazioni complete 3A
ax
abx

ac

0
22
Abbiamo trovato il primo quadrato e ora dobbiamo cercare
di ottenere il doppio prodotto.
Equazioni complete 4A


2
a
x
abx

ac

2
0
22
Per farlo moltiplichiamo per 2 tutta l’equazione
Equazioni complete 4A


2
a
x
abx

ac

2
0
22
Per farlo moltiplichiamo per 2 tutta l’equazione
Equazioni complete 5A
2
ax
2
abx

2
ac

0
22
Come si può notare il primo termine non è più un quadrato,
infatti il 2 non è un quadrato di un numero razionale
Equazioni complete 6A


2
2
a
x
2
abx

2
ac

2
0
22
Così moltiplichiamo ancora tutto per 2.
Equazioni complete 7
I gruppi B-C-D-E arrivano direttamente qui, dando per
scontati i passaggi precedenti
4
ax
4
abx

4
ac

0
22
Equazioni complete 8A
4
a
x

4
abx

4
ac

b

b

0
22
2 2
Manca il quadrato del II° termine. Perciò aggiungiamo e
sottraiamo b2. In questo modo non cambieremo il valore
dell’equazione. Abbiamo scelto b e non c perché solo la
prima compare nel doppio prodotto.
Equazioni complete 8B
4
a
x

4
abx

4
ac

b

b

0
22
2 2
Aggiungiamo b2 e allo stesso tempo lo sottraiamo (-b2)
perché così il risultato non cambia. Abbiamo scelto b2
perché, avendo 4abx dobbiamo trovare il termine di
secondo grado che ci manca per completare il quadrato
del binomio.
Equazioni complete 8C
4
a
x

4
abx

4
ac

b

b

0
22
2 2
Per essere un doppio prodotto, al secondo termine manca
b2 quindi per ottenerlo aggiungiamo b2 ma
successivamente la “togliamo” così il valore
dell’equazione rimane invariato.
Equazioni complete 8D
4
a
x

4
abx

4
ac

b

b

0
22
2 2
Aggiungendo e togliendo cose uguali, l’equazione non
cambia perciò inseriamo b2 e -b2 nell’equazione.
Equazioni complete 8E
4
a
x

4
abx

4
ac

b

b

0
22
2 2
Da qui aggiungiamo +b2 per trovare il quadrato di un
binomio, ma allo stesso tempo aggiungiamo -b2 per non
cambiare il risultato dell’equazione.
Equazioni complete 9C


4
a
x

4
abx

b

b

4
ac

0
22
2
2
Usando la proprietà associativa della moltiplicazione,
raggruppiamo i primi tre membri.
Equazioni complete 9D


4
a
x

4
abx

b

b

4
ac

0
22
2
2
Mettendo le parentesi si forma il quadrato di un binomio.
Equazioni complete 10A
2

ax

b
b
4
ac

0
2
2
Abbiamo trovato il quadrato di binomio ed ora lo
scomponiamo.
Equazioni complete 10C
2

ax

b
b
4
ac

0
2
2
Nei primi tre termini si può riconoscere il quadrato di un
binomio e lo riscriviamo in forma base.
Equazioni complete 10E
2

ax

b
b
4
ac

0
2
2
Poi troviamo la formula iniziale del quadrato di binomio.
Equazioni complete 11A
2
 b4
ax

b
ac
2
2
Non dimentichiamo però che dobbiamo trasportare i
termini senza la x nel secondo membro.
Equazioni complete 11B
2
 b4
ax

b
ac
2
2
Portiamo al secondo membro tutti i termini che non fanno
parte del quadrato, cambiandoli di segno. Si può notare
che nessuno di questi ha la x.
Equazioni complete 11D
2
 b4
ax

b
ac
2
2
Ora trasportiamo i termini fuori dalla parentesi dalla parte
opposta dell’uguale perché non contengono la x.
Equazioni complete 12A
2
ax

b

b
4
ac
2
Ora mettiamo sotto radice i due membri per evitare così
che x sia alla seconda.
Equazioni complete 12B
2
ax

b

b
4
ac
2
Per togliere al primo membro l’esponente alla seconda
dobbiamo inserire la radice quadrata a entrambi i
membri. Abbiamo messo davanti alla radice il 
perché ci possono essere 2 possibili soluzioni.
Equazioni complete 12D
2
ax

b

b
4
ac
2
Per liberarci dell’esponente, mettiamo tutto sotto radice
quadrata. Si mette prima della radice quadrata il 
perché la x può avere più soluzioni.
Equazioni complete 12E
2
ax

b

b
4
ac
2
Successivamente mettiamo i membri sotto radice
quadrata semplificando il quadrato di binomio (2ax+b),
poi davanti alla radice del secondo membro mettiamo 
perché il entrambi i casi il risultato rimane b2-4ac.
Equazioni complete 13A
2
ax


b
b
4
ac
2
Per isolare la x dobbiamo portare al secondo membro la b
mettendolo fuori dalla radice quadrata.
Equazioni complete 13B
2
ax


b
b
4
ac
2
Trasportiamo il termine noto del I° membro al secondo
cambiandolo di segno.
Equazioni complete 13D
2
ax


b
b
4
ac
2
Ora si trasporta +b dall’altro membro fuori dalla radice
quadrata per isolare la x.
Equazioni complete 13E
2
ax


b
b
4
ac
2
La +b del primo membro (non avendo la x) va trasportata
al secondo membro.
Equazioni complete 14A
2
ax
b
b
4
ac

2
a
2
a
2
Poi dividiamo entrambi i membri per 2a per trovare i
valori di x.
Equazioni complete 14B
2
ax
b
b
4
ac

2
a
2
a
2
Per isolare la x dobbiamo dividere da ambo le parti per
2a.
Equazioni complete 14C
2
ax
b
b
4
ac

2
a
2
a
2
Siccome vogliamo isolare la x dividiamo entrambi i
membri per 2a.
Equazioni complete 14D
2
ax
b
b
4
ac

2
a
2
a
2
Si divide 2a per entrambi i membri.
Equazioni complete 14E
2
ax
b
b
4
ac

2
a
2
a
2
Poi dividiamo i due membri per 2a trovando la x
(equazione di primo grado).
Equazioni complete 15B

b
b
4
ac
x
1
,2
2
a
2
Abbiamo trovato così la formula per risolvere le
equazioni di secondo grado.
Equazioni complete 15D
Così facendo l’equazione finale risulta:

b
b
4
ac
x
1
,2
2
a
2
Equazioni complete 16

b
b
4
ac
x
1
2
a
2

b
b
4
ac
x
2
2
a
2
Ecco le due soluzioni viste separatamente.
Equazioni complete 17

b
b
4
ac
x
1
2
a
2

b
b
4
ac
x
2
2
a
2
Secondo te:
•Quando succede che sotto radice risulti un numero negativo?
•Cosa succede se sotto radice risulta un numero negativo?