Liceo scientifico statale Galileo Ferraris - Matematica per la classe V G
Breve storia dei
fondamenti della
matematica
I difficili rapporti tra Matematica, Realtà e Verità
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1. I fondamenti nell’antichità
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I fondamenti antichi
•
Talete e la piramide
•
Il viaggio di Eratostene da Alessandria a
Siene nel 240 a.C.
•
E quello di Posidonio da Alessandria a Rodi
nel 100 a.C.
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I fondamenti antichi
•
Stupore dei Greci di fronte alla potenza della matematica
•
Si pone il problema: “Qual è la ragione per cui la matematica si
adatta così bene alla realtà?”
•
Risposte filosofiche diverse: Pitagora, Platone, Democrito.
•
Fino all'inizio del XIX s. centralità della geometria. L’algebra è mera
tecnica di calcolo e i primi elementi di analisi sono fondati sulla
continuità geometrica.
I fondamenti antichi
•
Descartes (1596-1650)
– Materia  Estensione
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– marginalità del concetto di massa e di forza
– teoria dei vortici per spiegare la forza gravitazionale
– "geometrizzazione ad oltranza”: Toute ma physique n'est pas que
géométrie
– paradigma perdente, almeno fino a relat. gen., 1916“
Geometria  Fisica
•
Newton (1642-1727)
– Materia  Massa
– La geometria fonda l'analisi matematica
– tutta la matematica è branca della meccanica
– spazio fisico  spazio matematico (contrariamente ad Aristotele)
Fisica  Geometria  Analisi matematica
I fondamenti antichi
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•
Lo spazio euclideo, ordinato con i suoi assiomi ha fondamento
nell'evidenza:
Evidenza  Geometria
•
Il criterio di evidenza richiede un ulteriore fondamento?
– Risposte diverse ma riconducibili ad ordine filosofico (razionalismo,
empirismo, kantismo, psicologismo)
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2. Storia del 5° postulato
La matematica non è fondata sulla realtà
Epilogo dell'epoca bimillenaria della Geometria
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•
Già i primi commentatori di Euclide
discussero del postulato delle
parallele e nel corso dei secoli
numerosi furono i tentativi sia di
sostituirlo con proposizioni ad esso
equivalenti rispetto agli altri
quattro postulati, ma più evidenti,
sia di dimostrarlo, ovvero di ridurlo
a un teorema sulla base degli altri
quattro postulati.

•
Proclo (412-485 dC) si esprime così
rispetto al quinto postulato:
–
“Se per alcune coppie di rette, formanti
con una terza angoli interni da una
stessa parte la cui somma è minore di
due retti, esiste un punto di incontro,
resta da vedere se ciò accade per tutte
le coppie. Poiché alcuno potrebbe
osservare che vi fosse una certa
deficienza (rispetto a due angoli retti)
per la quale non si incontrano,
incontrandosi invece tutte le altre per le
quali tale deficienza fosse maggiore.”

P
s
Se due trasversali, incontrandone una terza, formano da una stessa
parte angoli la cui somma è minore di due retti, le due trasversali si incontreranno da quella parte.
t
r
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Epilogo dell'epoca bimillenaria della Geometria
•
Non si riuscì a sostituire il V postulato perché tutte le proposizioni
presentavano lo stesso grado di evidenza.
•
Nel XVIII secolo nacque l'idea che il postulato delle parallele fosse
dimostrabile, fosse cioè un teorema, e quindi un falso postulato.
Epilogo dell'epoca bimillenaria della Geometria
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•
Il primo grande tentativo di dimostrarlo risale al gesuita Girolamo
Saccheri. Per discutere il problema nella sua opera Euclides ab omni nævo
vindicatus egli costruisce il quadrilatero birettangolo isoscele ABCD, nel
quale i lati AD e BC sono equivalenti e i due angoli nei vertici A e B sono
retti. Saccheri dimostra poi che, per la simmetria della figura, i due angoli
nei vertici C e D sono equivalenti e osserva che sono possibili solo tre
ipotesi:
– 1) “ipotesi dell'angolo retto”: i due angoli in C e in D sono retti;
– 2) “ipotesi dell'angolo acuto”: i due angoli in C e in D sono acuti;
– 3) “ipotesi dell'angolo ottuso”: i due angoli in C e in D sono ottusi.
A
D
90°
?
90°
?
B
Il quadrilatero birettangolo isoscele ha gli angoli A=B=90°
e i lati AD=BC.
Per la simmetria della figura gli angoli in C e in D sono uguali.
Ma quanto valgono ? Sono retti, acuti od ottusi ?
C
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Epilogo dell'epoca bimillenaria della Geometria
•
Nell'ipotesi dell'angolo retto dunque C e D sono retti senza ricorrere al quinto
postulato e si giunge direttamente alla geometria euclidea metrica.
•
Saccheri studia le conseguenze dell’ipotesi dell'angolo ottuso e la scarta
poiché è contraria alla prolungabilità illimitata del segmento e quindi
contraria alla natura della linea retta, la quale per Saccheri è infinita.
•
Quindi dimostra una serie di interessanti risultati conseguenti all'ipotesi
dell'angolo acuto, tra i quali l'esistenza di una perpendicolare e di una
obliqua condotte a una stessa retta da uno stesso punto P esterno ad essa,
e l'esistenza di coppie di rette che, nello stesso piano, si avvicinano
indefinitamente, senza mai incontrarsi.
•
Davanti a simili risultati abbandona anche l'ipotesi dell'angolo acuto perché
ritiene conduca ad assurdità.
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Epilogo dell'epoca bimillenaria della Geometria
•
All'inizio del XIX secolo alcuni grandi matematici avevano ottenuto
risultati non euclidei sostituendo il quinto postulato, ma tali risultati
erano ritenuti così assurdi da dissuadere gli autori dalla
pubblicazione.
•
Così Lagrange rinuncia all'ultimo momento ad esporre le proprie idee
all'Accademia delle Scienze di Parigi commentando: “Occorre che vi
pensi ancora”
•
K.F. Gauss, il princeps mathematicorum ritenuto da molti il più
notevole matematico del secolo, non pubblica i suoi lavori in merito
“per non udire le strida dei beoti”.
Epilogo dell'epoca bimillenaria della Geometria
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•
In effetti, le due rette r ed s della figura non si incontrano in alcun punto nello
spazio finito: il punto di incontro è all'infinito. In ciò sta la difficoltà della
questione. L'ipotesi dell'angolo retto, rappresentata dal postulato di Euclide o
da uno dei suoi equivalenti, costruisce una geometria basata sulle
osservazioni fatte in uno spazio finito e pretende di estendere le proprietà
trovate anche all'infinito. Questo passaggio non è spiegabile con una
deduzione, ma solo con un processo di estrapolazione nel quale si estendono
le conoscenze costruite in un insieme preciso di elementi (lo spazio finito) a
un insieme più vasto di elementi (lo spazio comprendente l'infinito),
giustificando la cosa solo con il fatto che il primo insieme è contenuto nel
secondo. Questo procedimento non è conforme al carattere che si vuole dare
alla geometria. È necessario ricorrere a un postulato, con la chiara coscienza
che questo costituisce solo una delle possibili scelte.
r
P
s
?
Epilogo dell'epoca bimillenaria della Geometria
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•
Se Euclide e 2000 anni di geometria hanno scelto l'ipotesi dell'angolo
retto per lo spazio, significa che essa appariva più evidente quando
era giudicata in uno spazio limitato. Non per questo quella euclidea è
l'unica geometria metrica possibile. Anzi dobbiamo dedurre che
esiste una fondamentale differenza tra:
– la costruzione di una geometria come scienza che studia lo spazio e le
figure matematiche;
– la costruzione di una geometria che descrive le proprietà dello spazio
fisico in cui viviamo.
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Epilogo dell'epoca bimillenaria della Geometria
•
Per una geometria del primo tipo, che chiameremo geometria
matematica, qualunque ipotesi è interessante (purché non
contraddittoria con le altre) e permette di costruire una teoria con un
significato matematico.
•
Per una geometria del secondo tipo, che chiameremo geometria
fisica, sono interessanti solo le ipotesi che hanno un'utilità nello
studio della realtà dei fenomeni fisici.
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La geometria dell'angolo acuto
•
Nel corso del XIX secolo, ad opera separatamente del russo Nikolaj
Ivanovic Lobacevskij (1793-1856), dell'ungherese János Bolyai (18021860) e del tedesco Karl Friedrich Gauss (1777-1855), viene elaborata
la geometria fondata sui primi quattro postulati di Euclide e
sull'ipotesi dell'angolo acuto, chiamata geometria dell'angolo acuto o
geometria iperbolica.
•
Questa geometria, per i matematici dell'epoca, non ha alcun
riferimento con lo spazio della fisica allora accettata ed è una
geometria metrica non euclidea.
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La geometria dell'angolo acuto
•
Per tentare di comprenderne il significato è possibile costruire un
modello. Sia dato l'insieme dei punti interni di un cerchio, con esclusione
dunque dei punti della circonferenza: i punti del piano della geometria
iperbolica sono i punti di tale insieme. Le rette dello spazio iperbolico
sono rappresentate, nel modello, dalle corde del cerchio. L'intersezione
tra due rette corrisponde all'intersezione tra due corde.
•
Data una corda, per un punto esterno
ad essa passano infinite corde che non
intersecano la prima: ciò equivale, nello
spazio iperbolico, alla proprietà (non
valida nella geometria euclidea) per cui
da un punto esterno a una retta
passano infinite parallele alla retta data.
La geometria iperbolica ha proprietà
che possono apparire strane, proprio
perché non euclidee: la somma degli
angoli interni di un triangolo, per
esempio, risulta minore di due angoli
retti.
r
s
P
t
u
v
w
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La geometria dell'angolo acuto
•
Se la geometria iperbolica non presentava alcun interesse
per la fisica ai tempi della sua prima elaborazione, oggi essa
risulta più appropriata della geometria euclidea per
descrivere alcuni fenomeni fisici, come ad esempio il
comportamento dei raggi di luce.
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La geometria dell'angolo ottuso
•
Sempre nel XIX secolo, ad opera principalmente del tedesco
Bernhard Riemann (1826-1866), viene elaborata la geometria
fondata sui primi quattro postulati di Euclide e sull'ipotesi
dell'angolo ottuso, chiamata geometria dell'angolo ottuso o
geometria ellittica.
•
Anch'essa per i matematici dell'epoca non ha alcun riferimento con
lo spazio fisico ed è una geometria metrica non euclidea.
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La geometria dell'angolo ottuso
•
Anche in questo caso risulta
utile costruire un modello.
Sia dato l'insieme dei punti
della superficie di una
semisfera, con esclusione del
suo contorno: i punti del
piano della geometria ellittica
sono i punti di tale insieme.
•
Le rette dello spazio ellittico
sono rappresentate, nel
modello, da porzioni di
geodetiche, cioè da porzioni
di circonferenze massime.
Polo Nord
Equatore
La geometria dell'angolo ottuso
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•
L'intersezione tra due rette corrisponde alla intersezione tra due
geodetiche. Per ogni punto passano infinite geodetiche, ma, data una
geodetica, per un punto esterno ad essa non passa alcuna geodetica che
non la intersechi: ciò equivale, nello spazio ellittico, alla proprietà (non
valida nella geometria euclidea) per cui da un punto esterno a una retta
non si può tracciare alcuna retta parallela alla retta data. Nella geometria
ellittica la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di due
angoli retti.
Q
R
P
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La geometria dell'angolo ottuso
•
Possiamo osservare che la geometria ellittica è la geometria terrestre. In un
triangolo avente i tre vertici coincidenti con tre punti della superficie terrestre e
in cui ogni lato rappresenta il percorso più breve da un vertice all'altro, la
somma degli angoli interni è maggiore di un angolo piatto. Come caso estremo
si consideri un triangolo con un vertice nel polo Nord e gli altri due sull'equatore,
a una distanza tra loro pari a un quarto della lunghezza dell'equatore: la somma
degli angoli interni di un tale triangolo è pari a tre angoli retti.
•
Sia la geometria di Lobacevskij che
quella di Riemann sono geometrie
metriche, ovvero è definita in esse la
distanza tra due punti come il percorso
più breve che li congiunge. Ma tali
distanze hanno forme matematiche
profondamente diverse da quelle della
geometria euclidea, che è fondata sul
teorema di Pitagora.
C
A
B
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La geometria dell'angolo ottuso
•
Se la geometria ellittica non rivestiva interesse per la fisica ai tempi
della sua prima elaborazione, oggi essa è utilizzata nello studio delle
proprietà gravitazionali dello spazio, nell'ambito della teoria generale
della relatività (Einstein, 1916).
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Epilogo dell'epoca bimillenaria della Geometria
Riemann, 1867
Euclide, 300 a.C.
Lobacevskij, 1829
ELLITTICA
PARABOLICA
IPERBOLICA
Parallele a un punto Nessuna
Una sola
Infinite
 angoli triangolo
>
=
<
r curvatura spazio
finito
infinito
 C, non reale
Geometria
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Epilogo dell'epoca bimillenaria della Geometria
•
Per ristabilire il legame tra la geometria e la realtà, Gauss tenta di
misurare la somma degli angoli interni di un triangolo geografico: è
uno degli ultimi tentativi di comprendere quale sia la geometria
fisica. Ma contemporaneamente rappresenta il riconoscere che la
geometria è conoscenza a posteriori nella misura in cui è riferita alla
realtà: Gauss è il primo a pensare in modo non kantiano in
geometria (C. Mangione).
•
Nella misura in cui le proposizioni matematiche si riferiscono alla
realtà, esse non sono certe; e nella misura in cui esse sono certe,
non si riferiscono alla realtà (Einstein, saggio Geometria ed
esperienza)
Epilogo dell'epoca bimillenaria della Geometria
E' famoso il seguente brano del matematico francese Henri Poincaré (1854-1914).
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– “Poiché sono possibili parecchie geometrie, siamo sicuri che proprio la nostra sia
quella vera?... Per rispondere è necessario che prima ci poniamo la domanda sulla
natura degli assiomi della geometria.
Sono essi giudizi a priori come vuole Kant? In tal caso ci si imporrebbero con tale
forza che sarebbe impossibile concepire il contrario e quindi potremmo costruirvi
sopra un edificio teorico; non ci sarebbero in tal caso geometrie non euclidee.
Gli assiomi della geometria sono dunque verità sperimentali? [...] Ma se la geometria
fosse una scienza sperimentale, non potrebbe essere una scienza esatta; sarebbe
soggetta a continue revisioni [...]
Gli assiomi della geometria non sono dunque né giudizi sintetici a priori né fatti di
esperienza. Sono invece delle convenzioni; la nostra scelta, fra tutte le convenzioni
possibili, è guidata da fatti sperimentali, ma resta libera e non trova dei limiti che nella
necessità di evitare le contraddizioni. Per questo i postulati possono rimanere
rigorosamente veri, anche se le leggi sperimentali che ne hanno determinato
l'adozione fossero solo approssimative.
In altre parole, gli assiomi della geometria non sono che definizioni camuffate.
Ed allora che cosa si deve pensare del problema se la geometria euclidea è vera? Tale
problema è senza senso!
Altrettanto varrebbe domandare se il sistema metrico è vero e false le misure antiche;
se le coordinate cartesiane sono vere e le polari false.
Una geometria non può essere più vera di un'altra; può essere soltanto più comoda.”
Poincaré H., citato in Chiellini, pag. 466
Epilogo dell'epoca bimillenaria della Geometria
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•
Riassumiamo le conseguenze fondamentali della scoperta delle
geometrie non euclidee:
– Crisi della univocità e necessità dei concetti geometrici.
– Geometria matematica e geometria fisica si separano. Lo spazio
matematico e lo spazio fisico tornano a divorziare.
Come ai tempi di Aristotele!
•
Teoria matematica e realtà si separano: vi sarà una verità
matematica (legata essenzialmente al principio di non
contraddizione) e una verità di realtà.
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3. La “crisi dei fondamenti”
dell’Ottocento
La fugace stagione dell'Aritmetica
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La perdita della certezza nell'Evidenza
•
I Greci avevano posto il problema:
•
I numeri razionali (insieme Q) sono quelli definibili sempre come
rapporti tra numeri naturali (insieme N). I numeri reali (insieme R)
comprendono sia i razionali che altri numeri, detti irrazionali.
•
In sostanza i Greci scoprirono due cose.
Esistono più punti sulla retta che numeri razionali
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La perdita della certezza nell'Evidenza
1) I numeri che costituivano il loro cosmo aritmetico, i numeri costruibili
cioè come rapporti di interi, sono infiniti oltre che per addizione anche
per divisione. Si accorsero cioè che tra due numeri razionali, anche
vicinissimi, come ad esempio 0 e 0.000001 (un milionesimo), sono
compresi infiniti numeri razionali. Ciò da una parte li espose
irrimediabilmente alla critica zenoniana, ma dall'altra dovette far
intravedere la possibilità di descrivere lo spazio (e la geometria
stessa) con l'aritmetica: infatti, sia un segmento che un sottoinsieme
di numeri razionali, come quelli compresi tra 0 e 1, contengono infiniti
elementi. Si sospettò dunque la corrispondenza biunivoca tra l'insieme
Q e la retta e che l'insieme Q fosse un "pieno" e non lasciasse
"buchi".
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La perdita della certezza nell'Evidenza
2) Questa speranza si rivelò illusoria: i numeri razionali rivelarono dei
“buchi” e non si prestarono più a descrivere lo spazio fisico, dopo la
scoperta dei numeri irrazionali.
Cadde ogni speranza di costruire una corrispondenza tra aritmetica e
geometria.
Ne risultò penalizzata l'aritmetica, che divenne matematica del
discreto, e la matematica dell'Occidente per secoli si identificò quasi
solo con la geometria.
La perdita della certezza nell'Evidenza
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•
Tutta la matematica dei Greci è fortemente caratterizzata dalla
costruibilità. Il criterio di costruibilità appariva molto più affidabile di
ogni speculazione, soprattutto dopo due episodi spiacevoli che
costruiranno il complesso del mondo greco per l'infinito:
• la lacerante scoperta dei numeri irrazionali in aritmetica.
• la penetrante e aggressiva critica di Zenone al molteplice geometrico
•
I Greci sapevano ciò che, in linguaggio moderno, chiamiamo la densità
dell’insieme dei razionali Q.
Teorema della densità di Q
a, b  Q c  Q : a  c  b
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La perdita della certezza nell'Evidenza
•
Trovarono inoltre, in ambito geometrico, una conseguenza di quanto, in
linguaggio moderno ed in ambito aritmetico, potremmo definire come la
continuità di R, ma non di Q:
R e Q quindi non potevano essere messi in corrispondenza biunivoca.
•
Teorema della numerabilità di Q.
L'insieme Q è numerabile (Cantor)
Mettendo in ordine tutte le frazioni nella matrice seguente:
0/1 1/1 2/1 3/1 4/1 ..…
0/2 1/2 2/2 3/2 4/2 ..…
0/3 1/3 2/3 3/3 4/3 ..…
0/4 1/4 2/4 3/4 4/4 ..…
…
… … … …
queste si possono "contare", cioè mettere in corrispondenza con i numeri naturali.
Dunque Q è numerabile.
La perdita della certezza nell'Evidenza
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•
Teorema della non numerabilità di R (Liouville)
Dim. per abs. di Cantor (usa l'assioma della scelta di Zermelo)
Ordino tutti i numeri reali in questo modo:
a1= 0.11 12 13 14…
a2= 0.21 22 23 24…
a3= 0.31 32 33 34…
…
Ma il numero b=0.ß1 ß2 ß3 ß4... (con ßi = 0 se ii dispari e =1 se ii pari) non
compare! (absurdus, c.v.d.).
Dunque R non è numerabile.
•
L'aporia di Zenone si può sintetizzare con le chiare parole di P. Albertelli che ha
curato le traduzioni dei frammenti di Zenone nel volume I Presocratici di Hermann
Diels. L'aporia dice:
• a) [Tesi]. Se l'essere ha grandezza (= è continuo, è divisibile) è
molteplice e non uno in conseguenza della divisione in parti; ma se nulla
è uno, dato che la molteplicità è costituita di unità, nulla sarà molteplice.
• b) [Antitesi]. L'indivisibile, ciò che non ha grandezza, l'uno, non esiste;
infatti non è nulla ciò che, sottratto o aggiunto, non diminuisce o
accresce.
La perdita della certezza nell'Evidenza
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•
Tutte le volte che successivamente, come ad esempio nella soluzione
delle equazioni algebriche, si pose il problema di trattare con
l'insieme dei numeri reali (razionali e irrazionali) si fece ricorso alla
geometria, ritenuta più affidabile: basta infatti associare all'insieme
dei numeri reali quella "pienezza", caratteristica della retta, che va
sotto il nome di continuità. Ciò avviene ammettendo implicitamente il
seguente assioma:
Tra i punti di una retta r e l'insieme R dei numeri reali c'è una
corrispondenza biunivoca.
– Mentre non può esserci corrispondenza biunivoca tra l'insieme Q dei
numeri razionali e i punti sulla retta.
La perdita della certezza nell'Evidenza
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•
Così facendo:
Continuità della retta  Continuità dell'insieme R dei numeri reali
Continuità in Geometria  Continuità in Aritmetica.
Geometria  Tutta la Matematica
•
Dopo la scoperta delle geometrie non euclidee questo modo di
vedere entra in crisi. La crisi appare fondamentalmente circoscritta
alla geometria, poiché è fondamentalmente crisi del legame tra
spazio matematico e fisico.
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La perdita della certezza nell'Evidenza
•
La matematica deve cercare un altro fondamento alle sue verità.
Occorre un fondamento per l'Analisi matematica e, poiché questa si
fonda sul continuo, necessita di un fondamento la continuità
dell'insieme R. E con essa la stessa Geometria e la continuità della
retta.
•
Se il continuo geometrico della retta non è più affidabile per
giustificare il continuo dei numeri reali, sarà l'aritmetica stessa al suo
interno a fondarlo. Ciò viene fatto introducendo in modo rigoroso il
concetto di numero reale.
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1872
•
Nel 1872 vengono date tre diverse definizioni di numero reale, che
corrispondono a due differenti assiomi di continuità. Uno di questi è
dovuto a Cantor.
•
Assioma di continuità (Cantor)
– Due insiemi separati e contigui ammettono uno e un solo elemento di
separazione.
•
Assioma di continuità (Dedekind)
– Dividendo un insieme A in due classi A1 e A2, tali che:
• ciascun elemento di A appartenga o ad A1 o ad A2;
• ogni elemento di A1 preceda ogni elemento di A2;
– esiste uno e un solo elemento di separazione, appartenente o ad A1 o ad A2.
– Si dimostra che:
Dedekind  Cantor
Dedekind  Eudosso-Archimede
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1872
•
In breve: contigui significa che i due insiemi sono "infinitamente ravvicinati" e
separati che ogni elemento del primo precede tutti gli elementi del secondo.
L'argomento è ampiamente trattato dai testi di matematica liceale. Se ne
studiano solitamente le applicazioni geometriche al problema della rettificazione
della circonferenza e della quadratura del cerchio.
•
Va sottolineata qui la portata dell'assioma, per evitare una sua lettura
banalizzante, come la seguente: Se dico che un insieme è costituito da tutti i
numeri minori di  e l'altro da tutti quelli maggiori, è ovvio che l'elemento di
separazione  esista.
Occorre pensare a tutti i modi possibili di individuare i due insiemi senza
ricorrere all'elemento di separazione, come ad esempio il seguente: Il primo
insieme contiene tutti i numeri i cui quadrati sono minori di 2 e il secondo tutti i
numeri i cui quadrati sono maggiori di 2. Solo l'assioma di continuità ci assicura
aritmeticamente dell'esistenza del numero 2.
•
Si noti che Aristotele descrive la continuità della retta nel modo seguente: “Una
cosa è continua quando i limiti in cui due sue qualsiasi parti successive si
toccano sono uno e uno solo e sono, come implica la parola "continuo", tenuti
insieme” (Kline M., vol. 1, p. 65)
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1872
•
L'analisi non necessita più della geometria né del concetto intuitivo di
spazio, che diviene un ente astratto: la nozione di numero naturale
appare più semplice e meno problematica.
•
“Per la prima volta nella storia era il continuo definito
aritmeticamente che fondava quello geometrico” (C. Mangione).
Aritmetica  Analisi  Geometria
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1872
•
Recupero delle certezze perdute?
L'Aritmetica si fonda su giudizi sintetici a priori?
•
Secondo Poincaré, il principio di induzione - che, per Frege e
Dedekind, è fondamento dell'aritmetica - è “l'unico principio
scientifico che possa insegnarci qualcosa di nuovo, qualcosa cioè che
non proviene dall'esperienza e che arricchisce in modo effettivo la
nostra conoscenza. Esso soddisfa dunque alle condizioni enunciate
da Kant perché una scienza risulti autenticamente tale: «É il vero tipo
di giudizio sintetico a priori»". (citato in Geymonat, VI, 182)
•
Poincaré si rivela convenzionalista in geometria ma kantiano in
aritmetica.
1872
Liceo scientifico statale Galileo Ferraris - Matematica per la classe V G
•
•
Il principio di induzione è il ponte che collega il numero (finito) all'infinito.
Esso afferma quanto segue:
–
Se una proprietà P vale per un certo numero intero n0
–
E se so che, se quella proprietà vale per un numero naturale n, allora vale anche
per il suo successivo n+1
–
Allora la proprietà P vale per tutti i numeri naturali n
In simboli:
–
(P(n0)  (n P(n)  P(n+1)))  n P(n)
–
dove n e n0 sono numeri naturali.
–
Si legge: “Se P vale per n0 e se, valendo P per un qualsiasi n, vale anche per n+1,
allora P vale per tutti gli n.
•
Il principio di induzione sembra molto naturale e fonda la sua forza su questa
evidenza.
•
Pur tuttavia esso concerne l'infinito e quindi la sua deve essere considerata
una falsa evidenza.
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1872
•
Come giustificare il principio di induzione?
•
Ricorso a proprietà della mente non basta, poiché la verità del
principio non può essere dimostrata in modo semantico, giacché il
principio di induzione è la nostra chiave di accesso alla comprensione
dell'infinito.
•
Il problema dei fondamenti è indissolubilmente intrecciato con il
problema dell'infinito.
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1872
•
Georg Cantor (1845-1918): sposta l'intuizione sul concetto di
insieme.
•
Teoria intuizionistica degli insiemi a fondamento dell'aritmetica.
Insiemistica  Aritmetica  Analisi  Geometria
•
La teoria degli insiemi - che si studia nella scuola media - con Cantor
diviene strumentale alla trattazione del problema dell'infinito in
aritmetica.
•
Devono esistere almeno due infiniti:
– l’infinito numerabile, 0, di N, Z e Q
– l’infinito continuo, c, di  e della retta
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Gli infiniti di Cantor
•
Discutere di numeri infiniti conduce a facili errori, come mostrano i
paradossi dell'infinito.
•
Paradosso di Galileo:
– “I numeri quadrati sono tanti quanti tutti i numeri”
(Galileo: “Non vedo che ad altra decisione si possa venire che a dire, in
ultima conclusione, che gli attributi di eguale, maggiore o minore non
aver luogo negli infiniti, ma solo nelle quantità terminate”).
•
Noto anche nella versione del Paradosso dell'albergatore:
– “Un albergatore possiede infinite stanze numerate progressivamente dal
numero 1. Arrivano infiniti clienti che vengono sistemati nelle infinite
stanze. Arrivano quindi altri infiniti clienti. L'albergatore ordina a tutti i
clienti già sistemati di spostarsi dalla propria camera n a quella con il
corrispondente numero quadrato n2. Si liberano infinite stanze che
possono essere occupate dai nuovi arrivati”
Gli infiniti di Cantor
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•
Paradosso del segmento
I punti di un segmento sono tanti quanti i punti di tutta una retta, come
si stabilisce con la corrispondenza biunivoca della figura.
P
B
A
•
r
Altri famosi paradossi furono i seguenti:
– Paradosso di Cantor: Le n-ple di reali sono tante quanti i reali (tanti punti nel
piano quanti sulla retta (Cantor: “Lo vedo, ma non lo credo”).
– Paradosso di Peano: Esistono curve che riempiono un quadrato (cfr. oggetti
frattali).
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Gli infiniti di Cantor
•
Questi sono tuttavia solo paradossi, poiché hanno una spiegazione
nella teoria di Cantor sui numeri infiniti.
•
Partiamo dai numeri finiti.
•
Due numeri finiti sono uguali quando sono potenze di insiemi in
corrispondenza biunivoca:
n = m  n=p(A)  m=p(B)  A in corrispondenza biunivoca con B
•
Non può mai presentarsi il caso di un insieme finito in corrispondenza
biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.
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Gli infiniti di Cantor
•
Ma un insieme infinito è definito proprio come un insieme che può
•
La potenza p(A) di un insieme infinito A si chiama numero transfinito.
Il primo numero transfinito è la potenza dell'insieme dei numeri
naturali, che si indica con il simbolo 0 (si legge: aleph con zero,
l’aleph è la prima lettera dell'alfabeto ebraico):
essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme
proprio.
p(N) = 0
Gli infiniti di Cantor
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•
Ne discende che due insiemi infiniti di cui uno è sottoinsieme proprio
dell'altro, possono corrispondere allo stesso numero transfinito.
– Esempio: Nel paradosso di Galileo questo accade tra l'insieme dei numeri
naturali e l'insieme dei numeri quadrati: il primo contiene il secondo, ma
"hanno lo stesso numero" transfinito di elementi.
•
Occorre allora un criterio per dire quando due numeri transfiniti sono
uguali, maggiori o minori:
•
Teorema di Cantor - Bernstein:
•
Se esiste solo una delle due corrispondenze biunivoche, allora uno è
maggiore dell'altro.
Due insiemi infiniti sono equipotenti (cioè "hanno lo stesso numero
transfinito”) se esiste una corrispondenza biunivoca tra ciascuno e un
sottoinsieme proprio dell'altro.
Gli infiniti di Cantor
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•
Esempi: Il numero transfinito di N, è uguale a quello di Z ed anche a
quello di Q, ma è diverso e minore del numero transfinito di R. In
simboli:
p(N) = p(Z) = p(Q) = 0
p() p(C) = c
0 < c
•
Dunque nell'insieme dei numeri transfiniti vi è un ordine.
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Gli infiniti di Cantor
•
Si chiama insieme delle parti (A) dell'insieme A, quell'insieme formato
da tutti i sottoinsiemi propri e impropri di A e si dimostra che se l'insieme
A ha potenza n, cioè p(A)=n, allora l'insieme delle parti di A, (A), ha
potenza 2n: p((A)) = 2n.
•
Dato un insieme A infinito, esiste sempre un numero transfinito maggiore
di p(A): è p((A)):
p(( A))  2 p ( A)
•
L'ipotesi del continuo in aritmetica equivale a:
p()  c  2 p ( N )  20
•
Inoltre esiste anche un numero transfinito maggiore di p()=c, 2c.
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4. La potenza della logica
Le antinomie logiche
•
La teoria intuizionistica di Cantor non dice molto di più, ma soprattutto
cade su alcuni gravi problemi: le antinomie logiche.
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– Antinomia di Cicerone
“Se tu affermi di mentire, allora:
se dici il vero, allora menti;
se menti, allora dici il vero”.
– Antinomia del coccodrillo
Il coccodrillo rapisce un ragazzo e dice al padre:
«Se indovini cosa farò, riavrai tuo figlio».
Il padre risponde che non gli ridarà il figlio.
– Antinomia del barbiere (Russell, 1918).
• Un barbiere di villaggio, vantandosi di non avere concorrenza, si fa pubblicità
dicendo che lui ovviamente non fa la barba a quelli che si rasano da soli, ma la fa
a tutti quelli che non si rasano da soli. Finché un giorno si chiede se deve o no
radere se stesso.
Le antinomie logiche
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• Antinomia di Russell
– Insiemi C: insiemi che contengono se stessi come elemento;
Insiemi non-C: insiemi che non contengono se stessi come
elemento.
Esempi: l'insieme dei punti del piano è un insieme non-C;
l'insieme di tutti gli insiemi pensabili è un insieme C
– Se M è l'insieme di tutti gli insiemi non-C, allora:
• se M è non-C, non contiene se stesso, ma allora, per definizione di
M, contiene se stesso;
• se M è C, contiene se stesso, ma allora, per definizione di M, non
contiene se stesso.
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Le antinomie logiche
•
Cosa c'entrano le antinomie logiche con la teoria di Cantor ?
•
“La causa di tutti questi paradossi, come rilevano Russell e
Whitehead, è che un oggetto viene definito in termini di una classe di
oggetti che contiene l'oggetto stesso. Simili definizioni sono dette
anche impredicative, e si trovano soprattutto in teoria degli insiemi.
[...] La dimostrazione di Cantor della non numerabilità dell'insieme
dei numeri reali fa anch'essa uso di insiemi impredicativi.”
Kline M., vol. 2, p. 1379
Le antinomie logiche
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•
“Aristotele discute la definizione. La sua nozione di definizione è
moderna: egli dice che è il nome di un insieme di parole. Egli rileva
anche che la definizione deve essere data in termini di qualche cosa
che è antecedente alla cosa definita. Così, egli critica la definizione
“un punto è ciò che non ha parti” perché le parole “ciò che” non
dicono a che cosa fanno riferimento, se non eventualmente a punto,
e perciò la definizione non è corretta. Egli sostiene la necessità di
termini non definiti perché deve esserci un punto di partenza nella
serie di definizioni, ma i matematici successivi persero di vista questa
necessità fino alla fine del XIX secolo”.
Kline M., vol. 1, p. 64.
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Le antinomie logiche
•
Per tutta la seconda metà del XIX s. si assisté ad un grande sviluppo
della logica (De Morgan; Boole; Nascita dell'algebra della logica, cioè
del calcolo logico)
•
La logica non è più una branca della filosofia
•
Idea di poter matematizzare il pensiero
•
Gottlob Frege (1848-1925) e Richard Dedekind (1831-1916)
assunsero una posizione differente da quella di Cantor:
Ricostruire l'aritmetica come costrutto logico fondato su definizioni
•
Il principio di induzione ad esempio diviene una proprietà definitoria.
•
Rivoluzione di Frege, Dedekind:
Il fondamento della matematica non è psicologico, ma logico
Le antinomie logiche
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•
Nel 1908 Ernst Zermelo (1871-1953) tentò di risolvere la questione
assiomatizzando la teoria degli insiemi, cioè ricostruendola a partire
da un sistema di assiomi (postulati), come nella geometria di Euclide,
tra i quali in particolare l'ultimo (IX), chiamato Postulato di
fondazione, afferma:
– Si esclude che esistano insiemi che appartengono a se stessi come
elemento.
– Cioè si escludono esplicitamente gli insiemi C dell'antinomia di Russell.
Le antinomie logiche
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•
Il criterio di evidenza è definitivamente sostituito dal criterio di non
contraddizione.
Logica  Insiemistica  Aritmetica  Analisi  Geometria
•
Tuttavia la soluzione proposta da Zermelo non fu ritenuta
soddisfacente da tutti i matematici.
•
Fin dalla fine del XIX secolo si erano infatti imposte nel mondo
matematico tre scuole di pensiero fondate su tre modi diversi di
intendere questa disciplina.
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5. Scuole di pensiero nel XX secolo
La matematica è anche opinione
Logicismo
Frege, Russell, Whitehead
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•
L'obiettivo della scuola logicista “è di fondare la matematica sulla logica. Non è
necessario alcuno degli assiomi della matematica; la matematica diventa nient'altro che
una naturale estensione delle leggi e della materia della logica. Ma i postulati della
logica e tutte le loro conseguenze sono arbitrari e, soprattutto, formali. Cioè, essi sono
privi contenuto: hanno solamente una forma. Di conseguenza anche la matematica non
ha contenuto ma solamente forma. I significati fisici che associamo ai numeri o ai
concetti geometrici non fanno parte della matematica. È pensando a questo che Russell
disse che la matematica è quella materia in cui non conosciamo mai ciò di cui stiamo
parlando, né se ciò che diciamo è vero. In realtà, quando Russell avviò il suo
programma ai primi del secolo, lui (e Frege) ritenevano veri gli assiomi della logica. Ma
Russell abbandonò questa posizione nell'edizione del 1937 dei Principles of
Mathematics. L'approccio logicista ha ricevuto molte critiche. [...] Un'altra seria critica
filosofica della posizione logicista in toto è che se l'idea logicista fosse corretta, allora
tutta la matematica sarebbe una scienza puramente formale, logico-deduttiva in cui i
teoremi seguono dalle leggi del pensiero. Appare perciò inesplicabile che una simile
elaborazione deduttiva delle leggi del pensiero possa rappresentare una gran varietà di
fenomeni naturali quali l'acustica, l'elettromagnetismo e la meccanica. Inoltre, nella
creazione della matematica l'intuizione immaginativa o percettiva devono fornire nuovi
concetti, siano essi derivati o meno dall'esperienza. Altrimenti come potrebbero nascere
nuove conoscenze? Ma nei Principia tutti i concetti si riducono a concetti logici.”
Kline M., vol. 2, p. 1393-1394
Intuizionismo
Kronecker, Poincaré, Brouwer, Weyl, Heyting
Liceo scientifico statale Galileo Ferraris - Matematica per la classe V G
•
Le principali tesi della corrente intuizionista sono:
– Alcune semplici affermazioni matematiche non devono richiedere fondamento
al di fuori della intuizione immediata dell'uomo.
– Esempio: L'aritmetica non necessita di una fondazione assiomatica.
•
La matematica intuizionista di Kronecker ad esempio è pitagorica:
– Egli riteneva che i numeri interi fossero dotati di un significato stabilito da Dio
– I numeri razionali sono un comodo sistema per trattare i numeri interi
– I numeri irrazionali non esistono.
Intuizionismo
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•
Un qualsiasi ente matematico dovrebbe essere costruibile in un
numero finito di passi ed in modo esatto. Allo stesso modo una
qualsiasi dimostrazione dovrebbe essere costruttiva.
– I numeri irrazionali non esistono.
– Inoltre la costruibilità degli enti elimina gli insiemi impredicativi: infatti,
per costruire un insieme A che contiene se stesso come elemento occorre
che A sia già costruito: dunque A non è costruibile.
•
Rifiuto del principio logico del terzo escluso applicato agli insiemi
infiniti. Ciò invalida le dimostrazioni per assurdo.
– Non si può dimostrare che un ente esiste, dimostrando che la sua
inesistenza porterebbe a contraddizione.
Intuizionismo
Liceo scientifico statale Galileo Ferraris - Matematica per la classe V G
•
•
La logica classica si fonda su tre principi.
1) Principio di identità
– Ogni proposizione equivale a se stessa: P P = P
•
2) Principio di non contraddizione
– Una proposizione e la sua negazione non possono essere
contemporaneamente vere:  P (P  P)
•
3) Principio del terzo escluso
– Una proposizione può essere solo vera o falsa:  P P  P
•
Proprio a causa della legge del terzo escluso (che i medievali
indicavano col Tertium non datur) la logica classica è una logica
bivalente.
Intuizionismo
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•
Trattando di insiemi infiniti si può incorrere in un terzo stato, oltre
alla verità e alla falsità di una proposizione: la sua indecidibilità.
– Esempio: “Nello sviluppo decimale del numero =3.1415926... esiste la
successione di cifre 0123456789”
•
Secondo Poincaré il ridurre la matematica alla logica l'avrebbe
trasformata in un'immensa tautologia.
Intuizionismo
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•
«La posizione intuizionista di Brouwer discende da una filosofia più ampia. L'intuizione fondamentale,
secondo Brouwer, è l'avvenire delle percezioni in successione temporale. "La matematica nasce
quando l'oggetto della dualità, che risulta dal passare del tempo, viene astratto da tutti gli
avvenimenti particolari. La rimanente forma vuota [la relazione di n con n+1] del contenuto comune
a tutte queste dualità diviene l'intuizione originaria della matematica e ripetuta illimitatamente a nuovi
soggetti matematici". Perciò con l'illimitata ripetizione la mente forma il concetto dei numeri naturali
successivi. L'idea che i numeri interi derivino dall'intuizione del tempo era stata sostenuta da Kant, da
William R. Hamilton nel suo Algebra as a Science of Time, e dal filosofo Arthur Schopenhauer. [...] Le
idee matematiche [secondo Brouwer] sono immerse nella mente umana prima di linguaggio, logica
ed esperienza. L'intuizione, non l'esperienza o la logica, determina la validità e l'accettabilità delle
idee. Si deve naturalmente ricordare che questi enunciati concernenti il ruolo dell'esperienza devono
essere presi in senso filosofico, non in senso storico. Secondo Brouwer gli oggetti matematici sono
acquisiti per mezzo di una costruzione intellettuale, e i numeri fondamentali 1, 2, 3, ... forniscono il
prototipo di una costruzione siffatta. La possibilità della ripetizione illimitata della forma vuota, il
passo da n ad n+1, conduce agli insiemi infiniti. Comunque, l'infinito di Brouwer è l'infinito potenziale
di Aristotele, mentre la matematica moderna, così come è stata fondata per esempio da Cantor, fa un
uso estensivo degli insiemi infiniti in atto, in cui tutti gli elementi sono presenti
"contemporaneamente". A proposito del concetto intuizionista di insieme infinito, Weyl, che
apparteneva alla scuola intuizionista, dice che "la successione di numeri che cresce al di là di ogni
stadio già raggiunto ... è una varietà di possibilità che si aprono all'infinito; rimane per sempre allo
stato di creazione, ma non è un dominio chiuso di cose che esistono in se stesse. Nell'aver
ciecamente convertito l'uno nell'altro sta la vera fonte delle nostre difficoltà, comprese le antinomie una fonte di natura più fondamentale del principio del circolo vizioso indicato da Russell. Brouwer ci
ha aperto gli occhi, e ci ha fatto vedere quanto la matematica classica, nutrita da una fede
nell'assoluto che trascende tutte le possibilità di umana comprensione, vada oltre simili enunciati
perché può vantare un significato reale e una verità fondata sull'evidenza» …
Intuizionismo
Liceo scientifico statale Galileo Ferraris - Matematica per la classe V G
•
«Il mondo dell'intuizione matematica è contrapposto al mondo delle percezioni casuali. A questo mondo
casuale, e non alla matematica, appartiene il linguaggio, che in quella sede serve per comprendere i
comportamenti comuni. Le parole o le relazioni verbali vengono usate per comunicare verità. Il
linguaggio serve ad evocare nella mente dell'uomo copie di idee per mezzo di simboli e suoni. Ma i
pensieri non possono mai venire simbolizzati interamente. Queste osservazioni si applicano anche al
linguaggio matematico, compreso il linguaggio simbolico. Le idee matematiche sono indipendenti
dall'abito linguistico, e sono in realtà assai più ricche.La logica appartiene al linguaggio. Essa offre un
sistema di regole che permettono la deduzione di ulteriori relazioni verbali e sono volte anche a
comunicare verità. Tuttavia, queste verità non sono tali finché non le abbiamo sperimentate, e non vi è
neppure la garanzia che esse possano essere sperimentate. La logica non è uno strumento attendibile
per scoprire delle verità che non possono essere ottenute anche in altro modo. I principi logici sono la
regolarità osservata a posteriori nel linguaggio. Essi sono dei meccanismi di manipolazione del
linguaggio, sono la teoria di rappresentazione del linguaggio. I più importanti passi avanti in
matematica non si ottengono perfezionando la forma logica ma modificando la stessa teoria di base. La
logica poggia sulla matematica, e non la matematica sulla logica. Poiché non riconosce alcun principio
logico obbligatorio a priori, Brouwer non riconosce alla matematica il compito di dedurre conclusioni
dagli assiomi. La matematica non è costretta a rispettare le regole della logica, e per questo motivo i
paradossi sarebbero ininfluenti anche se dovessimo accettare i concetti matematici e le costruzioni
chiamati in causa dai paradossi. Ovviamente, come si vedrà, gli intuizionisti non accettano tutti questi
concetti e queste dimostrazioni. Weyl si dilunga sul ruolo della logica: "Secondo le sue [di Brouwer]
idee e la sua lettura della storia, la logica classica venne ricavata dalla matematica degli insiemi finiti e
dei loro sottoinsiemi ... Dimentichi di queste origini limitate, successivamente si scambiò quella logica
per qualcosa di superiore e precedente a tutta la matematica ed infine la si applicò, senza
giustificazione, alla matematica degli insiemi infiniti. Questa è la caduta e il peccato originale della
teoria degli insiemi, per cui essa viene giustamente punita dalle antinomie. Non è tanto sorprendente
che si siano presentate delle contraddizioni, quanto che esse si siano mostrate ad uno stadio del gioco
così avanzato».
Kline M., vol. 2, pp. 1398-1400
Formalismo
Hilbert, von Neumann
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Le tesi principali sono:
•
Abbandono della discussione sul rapporto tra matematica e realtà
materiale. La matematica concerne solo simboli e un linguaggio per
utilizzarli, quello logico.
•
Vengono accettati: la logica classica con il principio del terzo escluso,
la teoria di Cantor sugli insiemi infiniti, l'analisi matematica.
•
La matematica è costituita da diversi settori, ciascuno dei quali è un
sistema ipotetico-deduttivo fondato su assiomi specifici, alcuni dei
quali sono assiomi logici.
•
La matematica non è riducibile ad una singola disciplina e dunque
nemmeno alla logica.
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Formalismo
•
La condizione fondamentale che rende oggettiva la matematica è la
sua non-contraddittorietà (coerenza).
•
I formalisti lavorarono a lungo alla ricerca di una dimostrazione della
non-contraddittorietà di un sistema formale fondato su regole
logiche, costruendo una disciplina che dovrebbe occuparsi di questo:
la metamatematica.
•
Riuscirono a dimostrare che la coerenza della maggior parte delle
discipline matematiche si riduceva alla coerenza dell'aritmetica.
•
All'inizio degli anni '30 restava da dimostrare la coerenza interna
dell'aritmetica.
Formalismo
•
Nella metamatematica rientrano, ad esempio, teoremi come i seguenti due che
valgono in qualsiasi teoria razionale, cioè ipotetico-deduttiva.
– Teorema dello Pseudo-Scoto (Ex absurdis sequitur quo libet)
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• Se in una certa teoria razionale T esistono due proposizioni tra loro contraddittorie A e A
(non-A), allora è possibile dimostrare in T qualsiasi proposizione.
– Dimostrazione
• Presa una qualsiasi proposizione P, si supponga che P sia falsa e si ricordi che la seguente è
una tautologia logica: B  C, ¬B  C
Dunque, supponendo A e ¬A vere: ¬A  P, ¬P  ¬A
A  P, ¬A  P
Quindi, se ¬P è vera, anche P è vera e di qui la tesi: A: A,AT  P PT
– Teorema
• Condizione necessaria e sufficiente affinché una teoria razionale T non sia contraddittoria è
che non contenga tutte le proposizioni.
– Dimostrazione
• La condizione è necessaria. Infatti, se T contiene tutte le proposizioni è manifestamente
contraddittoria, poiché contiene una proposizione e la sua negazione.
La condizione è sufficiente. Infatti, se T è contraddittoria, allora contiene tutte le
proposizioni per il teorema dello Pseudo-Scoto.
– Ne discende che per dimostrare la non contraddittorietà di una teoria T è sufficiente
dimostrare che esiste almeno una proposizione P che non sia dimostrabile nella
teoria T.
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6. Il teorema di Gödel
Il sogno infranto della Logica
La perdita della certezza nella potenza
assoluta della Logica
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•
Nel 1930 l'austriaco Kurt Gödel enunciò il suo celebre:
Teorema di incompletezza
Una teoria formale, abbastanza potente da contenere al suo interno
almeno l'aritmetica, o è coerente o è completa.
– Coerente significa non contraddittorio, che non genera contraddizioni cioè
nel quale è impossibile dimostrare una proposizione e la sua negazione.
– Completo significa che di ogni proposizione è in grado di stabilire la verità
o la falsità.
La perdita della certezza nella potenza assoluta della Logica
Liceo scientifico statale Galileo Ferraris - Matematica per la classe V G
•
In una teoria formale (cioè assiomatizzata) che contiene l'aritmetica
vi sono proposizioni come la seguente:
P = “Non esiste una dimostrazione di P”
•
Ora, se P è falsa, allora il sistema è incoerente, poiché contiene una
proposizione falsa.
•
Viceversa se P è vera, allora il sistema è incompleto poiché P non è
dimostrabile al suo interno.
•
Naturalmente la scelta cade sulla verità di queste proposizioni P,
verità non dimostrabile nel sistema.
• Si veda una discussione semplice sulla dimostrazione del teorema di
incompletezza in Penrose R., pp. 147 e segg.
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La perdita della certezza nella potenza assoluta della Logica
•
Ciò significa che se costruiamo una teoria coerente, allora dobbiamo
rinunciare alla sua completezza: essa conterrà affermazioni
indecidibili.
•
Una delle più importanti affermazioni indecidibili che una tale teoria
può contenere è quella relativa alla propria coerenza, come afferma il
corollario che discende dal teorema di incompletezza:
Corollario del teorema di incompletezza
Non si può dimostrare la coerenza dell'aritmetica con metodi
aritmetizzabili.
•
Quindi muore definitivamente la speranza di dimostrare la coerenza
dell'aritmetica al suo interno, cioè ricavandola dai suoi assiomi.
La perdita della certezza nella potenza assoluta della Logica
•
Frege già nel 1884 aveva scritto:
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– “Spesso si agisce come se la pura e semplice esigenza equivalesse
già al soddisfacimento di essa. Si esige che la sottrazione, la
divisione, l'estrazione di radice risultino sempre eseguibili, e si
ritiene con ciò di aver fatto abbastanza. Ma allora perché non
pretendere che per tre punti arbitrari passi sempre una retta?
Perché non esigere che per un sistema di numeri complessi a tre
dimensioni valgano tutte le solite regole di addizione e di
moltiplicazione, proprio come per i numeri reali? Evidentemente
perché queste ultime due pretese contengono una contraddizione.
Prima di affermare che quelle altre esigenze sono soddisfatte, si
dimostri dunque che anche in esse non è contenuta alcuna
contraddizione. Fin quando non si sarà compiuta una tale
dimostrazione, tutto il rigore di cui tanto si parla non potrà essere
che mera parvenza”.
Citato in Selleri F., p. 62.
Liceo scientifico statale Galileo Ferraris - Matematica per la classe V G
La perdita della certezza nella potenza assoluta della Logica
•
Non potendo rinunciare alla coerenza, i nostri sistemi formali
aritmetizzabili dovranno rinunciare alla completezza di cui Hilbert era
convinto, e con essa alla certezza sulla propria coerenza.
•
“Gödel dìmostrò che all'interno di un sistema rigidamente logico come
quello che Russell e Whitehead avevano sviluppato per l'aritmetica, è
possibile formulare proposizioni che sono indecidibili o indimostrabili
nell'ambito degli assiomi del sistema. In altre parole, all'interno del
sistema esistono certe asserzioni ben precise che non possono essere
né dimostrate né invalidate. Pertanto, usando i rnetodi convenzionali,
non si può essere certi che gli assiomi dell'aritmetica non portino a
contraddizioni. [...] Nelle sue implicazioni la scoperta di proposizioni
indecidibili da parte di Gödel è non meno inquietante della rivelazione
di grandezze incommensurabili fatta da Ippaso: infatti sembra
precludere ogni speranza di potere giungere alla certezza matematica
attraverso l'impiego dei metodi convenzionali”.
Boyer C.B., pp. 695-696
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7. Conclusione?
Conclusione
Liceo scientifico statale Galileo Ferraris - Matematica per la classe V G
•
«L'implicazione che ci sono dei limiti a ciò che si può ottenere con
l'assiomatizzazione, contrasta vivamente con l'opinione del tardo
Ottocento secondo la quale la matematica è coestensiva alla famiglia
del branche assiomatizzate. Il risultato di Gödel inferse un colpo
mortale all'assiomatizzazione globale. L'inadeguatezza del metodo
assiomatico non è in se stessa una contraddizione, ma è
sorprendente, perché i matematici si aspettavano che ogni enunciato
vero potesse essere certamente dimostrato entro la struttura di
qualche sistema assiomatico. Naturalmente i ragionamenti di cui
sopra non escludono la possibilità di nuovi metodi di dimostrazione
che vadano al di là di ciò che permette la metamatematica di
Hilbert.» ...
Conclusione
Liceo scientifico statale Galileo Ferraris - Matematica per la classe V G
•
… «Hilbert non era convinto che questo colpo distruggesse il suo
programma. Egli ribatteva che anche se si dovessero usare concetti
esterni a un sistema formale, essi dovrebbero essere ancora finiti e
intuitivamente concreti, e perciò accettabili. Hilbert era un ottimista. Egli
aveva una fiducia illimitata nel potere del ragionamento e della
comprensione umana. Nella conferenza che tenne al congresso
internazionale del 1928 aveva affermato: "Non ci sono limiti alla
comprensione matematica... in matematica non ci sono Ignorabimus;
anzi, possiamo sempre rispondere a domande significative... la nostra
ragione non possiede alcuna arte segreta ma procede con regole del
tutto definite ed enunciabili che sono la garanzia dell'assoluta obiettività
del suo giudizio". Ogni matematico, egli disse, condivide la convinzione
che sia possibile risolvere ogni problema matematico ben posto. Questo
ottimismo gli dette forza e coraggio, ma gli impedì di capire che ci
possono essere problemi matematici indecidibili.» …
Conclusione
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•
… «Il programma formalista, riuscito o meno, era inaccettabile per gli
intuizionisti. Nel 1925 Brouwer criticò duramente i formalisti. Ovviamente,
egli disse, gli assiomatici metodi formalisti eviteranno le contraddizioni, ma
per questa strada non si otterrà niente di valore matematico. Una teoria
falsa non è meno falsa se non è arrestata da una contraddizione, proprio
come un atto criminale è criminale che sia o no proibito dalla legge.
Sarcasticamente notò: "Alla domanda: dove si trova il rigore matematico, i
due diversi partiti daranno risposte diverse. Gli intuizionisti dicono:
nell'intelletto umano; i formalisti dicono: sulla carta". Anche Weyl attaccò il
programma di Hilbert: "La matematica di Hilbert può essere un bel gioco
con le formule, anche più divertente degli scacchi; ma che rapporto ha con
la conoscenza, dato che le formule non hanno dichiaratamente alcun
significato materiale in virtù del quale esse possano esprimere verità
intuitive?"» …
Conclusione
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•
… «A difesa della filosofia formalista, si deve rilevare che è solo allo
scopo di dimostrare la coerenza, la completezza e altre proprietà che
la matematica è stata ridotta a formule prive di significato. Per quanto
riguarda la matematica nella sua interezza, anche i formalisti
respingono l'idea che essa sia semplicemente un gioco: essi la
considerano una scienza obiettiva.
Hilbert a sua volta accusò Brouwer e Weyl di cercare di buttare a mare
tutto ciò che non piacesse loro e di promulgare dittatorialmente un
embargo. Egli chiamò l'intuizionismo un tradimento della scienza (e
tuttavia nella sua metamatematica si limitava a principi logici
intuitivamente chiari)”».
Kline M., vol. 2, pp. 1407-1408
Conclusione
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•
«Vi sono alcuni che vedono la speranza di uscire dall'impasse attuale. Il
gruppo di matematici che scrive con lo pseudonimo di Nicholas Bourbaki
offre questo incoraggiamento: ”È’ da venticinque secoli che i matematici
hanno l'abitudine di correggere i loro errori e vedere così la loro scienza
arricchita, e non impoverita; ciò dà loro il diritto di guardare al futuro con
serenità”.
Che sia o meno autorizzato l'ottimismo, lo stato attuale della matematica
è stato ben descritto da Weyl: "La questione dei fondamenti ultimi e del
significato ultimo della matematica rimane aperta; noi non sappiamo in
quale direzione troverà la sua soluzione finale e neppure se ci si possa
aspettare una risposta obiettiva definitiva. La 'Matematizzazione' può ben
essere un'attività creativa dell'uomo, come il linguaggio o la musica, di
originalità primaria, le cui decisioni storiche sfuggono a una completa
razionalizzazione oggettiva”».
Kline M., vol. 2, p. 1410
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Conclusione
•
Ritornando alla questione più ampia posta all'inizio, qual è la ragione
•
D’altra parte non è possibile pensare che la matematica sia il prodotto
della cultura greco-europea. Civiltà profondamente diverse e che non
comunicavano, costruirono pressoché contemporaneamente
aritmetiche e geometrie simili.
•
Ma se la matematica è l'essenza profonda della realtà cosa rende
l'intelletto umano capace di scoprirne il velo?
•
Quale teoria gnoseologica, dopo il parziale insuccesso del
trascendentalismo kantiano, è erede moderno del mito della caverna?
•
«È la matematica ad essere nella natura o è l’uomo a mettercela?
•
La matematica esiste in sé e l’uomo la svela, o la matematica esiste in
quanto l’uomo la inventa?»
per cui la matematica si adatta così bene alla realtà?
Piero Bianucci, TuttoScienze, La Stampa, 17/11/2004
Conclusione
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•
La visione del rapporto matematica-realtà è cambiata nella storia del
pensiero matematico.
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Conclusione
•
Se la matematica è solo un modello che descrive così bene una
realtà sottostante (non essenzialmente matematica) cosa rende
l'intelletto umano capace di approssimare così bene tale realtà?
•
L'evoluzionismo e la storia singolare della specie homo sapiens è la
risposta?
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Conclusione
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Bibliografia
•
Kline M., Storia del pensiero matematico, Einaudi, Torino 1991, ediz. 2 voll.
•
Enriques F., Questioni riguardanti le matematiche elementari, Zanichelli, Bologna
1924-27, ediz. 2 voll.
•
Geymonat L., Storia del pensiero filosofico e scientifico, Gatrzanti, Milano 1975,
ediz. 9 voll.
•
Boyer C.B., Storia della matematica, Mondadori, Milano 1990, pp. 695-696
•
Penrose R., La mente nuova dell'imperatore, Rizzoli, Milano 1992
•
Selleri F., Fisica senza dogma, Dedalo, Bari 1989
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Diels, Kranz, a cura di, I presocratici. Testimonianze e frammenti, Einaudi, Torino
•
Chiellini A., Manuale di preparazione all’esame orale di Matematica, Eredi V.
Veschi, Roma 1975
•
Fontana F., Rovelli C., Matematica, A. Mondadori, Milano 1989, ediz. 2 voll.