Fisici sul mercato
Introduzione alla finanza quantitativa
Leonardo Bellucci
3 Dicembre 2008
Outline
 I modelli in finanza
 Un primo sguardo: mondo binomiale
 Il principio: Black-Scholes e le sue formulazioni
 Il modello di Heston
2
Models in Finance
Esiste una sola legge, la legge del prezzo unico:
Due strumenti con gli stessi flussi futuri,
qualunque futuro si realizzi, devono avere lo stesso prezzo.
E. Derman

replication

no-arbitrage
3
Models in Finance
I modelli hanno quindi due compiti fondamentali.
Identificare strategie di replica (statica/dinamica):
semplici
complessi
Permettere ai traders di sfruttare le loro opinioni:
opinioni
prezzi
4
Market

Money Market Account

Asset

Derivative
CALL
PUT
5
Call
Diritto ad acquistare, al tempo T, l’asset S al prezzo K.
6
Toy Model
Evoluzione su un time-step, tutte le quantità note
7
Toy Model
Call su S con maturity T1, strike K=100
8
No-Arbitrage Pricing
Portafoglio in S e B piuttosto che call.
9
No-Arbitrage Pricing
Opportuna scelta di a e b  strategia di replica della call:
Per la legge del singolo prezzo:
10
Risk-neutral measure
Riarrangiando la formula di pricing:
Dalla misura reale a quella risk-neutral:
11
The Black-Scholes model

Money Market Account

Asset


Normalità dei ritorni (logaritmici)

Discretizzazione di Itô
12
Stratonovich vs Itô
La forma differenziale non è ben definita (integrale stocastico):
Itô
Stratonovich


Discretizzazione

Non anticipatore

13
The Black-Scholes model

Option
Applicando il lemma di Itô:
14
The Black-Scholes model
Portafoglio costituito da call e asset:
L’evoluzione del valore del portafoglio è data da:
no m
no risk
delta
15
The Black-Scholes model
Essendo risk-less:
Uguagliando con la precedente:
Black-Scholes PDE
16
The Black-Scholes model
60
Supponendo tassi nulli:
50
Price
40
30
20
10
0
50
60
70
80
90
100
Spot
110
120
130
140
150
La volatilità realizzata è indipendete dal path
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BS: PDE approach
Tramite una serie di cambi di variabile la BS-PDE può
essere ricondotta all’equazione del calore e risolta:

Vol implicita:

Formula di BS come metrica
18
BS: MC approach
Il teorema di Feynman-Kac permette di formulare il
problema come valore atteso:

Valutazione Monte Carlo da simulazione diretta del processo.

Possibilità di gestire strumenti non analitici.
19
BS: SC approach
La determinazione della strategia di hedge, e quindi del
prezzo, è un problema di controllo ottimo (stocastico):

Variabile di controllo:

Funzione costo:
La soluzione in tempo continuo del problema è:
20
BS: success

Ipotesi ragionevoli: realistico

Semplice e intuitivo: gedanken experiment

Non solo formula di prezzo: strategia di hedge

Unico parametro “opinabile”: volatilità implicita

Assunzioni chiare: aggiustamenti intuitivi
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Quant’s activities
Variazioni
fenomenologia
Nuovi prodotti
(su nuovi rischi)
INNOVAZIONE
MODELLISTICA
Sviluppo aspetti
analitici/numerici
Approfondimento
implicazioni fisiche
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Quant’s activities
Smile
Path-dependent,
barrier options
HESTON MODEL
Calibrazione,
soluzione MC e PDE
Dinamica dello smile,
strategie di hedge
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The Heston model
Anche la volatilità è una variabile stocastica.
Si assume che la volatilità segua un processo di OrnsteinUhlenbeck, da cui un processo di tipo CIR per la varianza.
Il mercato non è completo.
24
The Heston model
Risolvendo il processo CIR:
Il processo è non negativo:

: strettamente positivo.

: 0 è una barriera riflettente.
25
The Heston model

: evoluzione deterministica.

: variabilità della volatilità.

: correlazione fra i processi.
26
The Heston model

: componente deterministica.

: distribuzione di vol - variance.

: distribuzione di vol - skewness.
27
Heston: calibration
Il primo requisito di un modello è che recuperi i fenomeni
elementari direttamente osservabili sul mercato.
Non costanza (smile)
della volatilità implicita
Non-lognormalità della
distribuzione dell’asset
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Heston: calibration
Queste informazioni sono contenute nelle quotazioni delle
opzioni plain-vanilla (call/put).
Il problema della calibrazione è quindi un problema di
minimizzazione nello spazio dei parametri del modello.
Dove p() è una funzione di regolarizzazione e c() è una
funzione di constraints nello spazio dei parametri.
Tecniche di ottimizzazione
29
Heston: analytical solution
Una calibrazione efficiente richiede la soluzione analitica del
problema di valutazione delle plain-vanilla.
Per la call:
30
Heston: analytical solution
Passando in trasformata di Fourier:
L’integrale complesso della funzione caratteristica può
essere ridotto ad un integrale sulla parte reale:
Dove G è la funzione generatrice dei momenti.
31
Heston: pricing
Un modello di smile permette di valutare strumenti non
trattabili in maniera chiara nel modello di Black.
Come esempio possiamo considerare una barrier option:
Call up&out, strike K1, barriera K2.
Il prodotto si comporta come una call plain-vanilla con strike
K1, ma se il sottostante sale sopra K2 viene cancellata.
Non risolvibile analiticamente, MC o PDE.
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Heston: MC approach
La simulazione del sottostante a tutte le date rilevanti di
vita del prodotto è ancora un problema aperto.
 Aderenza al processo
 Prestazioni
Schema di Eulero:
Il processo discreto per V può diventare negativo.
33
Heston: MC approach
Schema di Broadie-Kaya:
Molto costoso da un punto di vista computazionale.
Schemi di dicretizzazione
34
Heston: PDE approach
PDE:
Equazione convettivo-diffusiva in due variabili con
termine in derivata mista.
35
Heston: PDE approach
Anche per semplici plain-vanilla (call/put), le condizioni
al contorno possono essere difficili da trattare:
Schemi di risoluzione e condizioni
al contorno per prodotti complessi
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Heston: delta hedge
Portafoglio con una call con strike K1 e una call con strike K2,
sullo stesso sottostante.
I due delta sono confrontabili/additivi?
Non nel modello di Black-Scholes:
Si suppone una variabilità dello stesso sottostante
diversa nelle due valutazioni.
37
Heston: delta hedge
Un modello di smile, come quello di Heston, permette di trattare
i due casi in maniera omogenea.
Intuitivamente, il delta è dato da:
Delta di Black-Scholes
Correzione per variazione dello
smile generato dal modello
38
Heston: delta hedge
La determinazione del delta è affrontabile in maniera rigorosa
come problema di controllo ottimo.
Si riesce a dimostrare che:
39
Heston: vega hedge
La volatilità è stocastica…
…hedge anche sulla volatilità (vega)
e non solo sul sottostante (delta)

Non coerente con le ipotesi di Black-Scholes

Significatività del vega

Problema di confrontabilità/additività
Un modello di smile permette un approccio coerente.
40
Heston: vega hedge
Calcolo del vega rispetto ai parametri del modello.
Problema di rappresentazione se vengono usati più
modelli per vari strumenti sullo stesso sottostante.
Via SVD ci si riconduce ad un “vega di Black”:
41
Heston: vega hedge
Calcolo del vega su scenari predefiniti e basket di hedge,
rendendo più intuitivo il metodo precedente.

Definizione dei componenti del portafoglio di hedge.

Definizione di scenari di variazione dello smile.

Calcolo delle variazioni di prezzo dello strumento
esotico e del basket di hedge.

Selezionare i pesi del portafoglio di hedge per
minimizzare le differenze fra le variazioni.

Il vega è il “vega di Black” del portafoglio di hedge.
42
Heston: vega hedge
L’approccio precedente dovrebbe poter essere affrontato con le
metodologie delle strategie di controllo ottimo.

Selezione del portafoglio di hedge ottimale.

Stima dell’effettiva replicabilità.

Stima dell’incertezza dei profitti.
L’utilizzo del controllo ottimo per
questi fini è un argomento di frontiera
43
Heston: smile dynamics
Le più recenti strutture esotiche sono sensibili non solo alla
configurazione attuale dello smile, ma soprattutto alle sue
realizzazioni future.
Napoleon Cliquet:
Un’analisi approfondita del comportamento di questa opzione
mostra che si comporta come una put sulla volatilità futura.
44
Heston: smile dynamics
Nel modello di Heston la dinamica dello smile è determinata dal
processo che abbiamo scelto per la volatilità:
sticky strike
sticky delta
45
Heston: smile dynamics
L’informazione sulla dinamica non può essere ricavata dallo smile
delle plain-vanilla: queste dipendono solo dalla distribuzione
terminale del sottostante, e non da quelle condizionali.
Il mercato tende ad alternare i due regimi: sticky strike su scale di
tempo brevi, sticky delta su orizzonti temporali lunghi.
Come formalizzare un modello in cui la dinamica dello smile è
uno dei “parametri” del modello stesso?
Un modello di dinamica dello smile è
uno dei temi dell’attuale ricerca.
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Grazie per l’attenzione
Il presente documento è stato predisposto in maniera indipendente da MPS CAPITAL SERVICES Banca per le Imprese
SpA ( di seguito: MPS CS). Esso contiene opinioni, informazioni e dati, con fine divulgativo, ottenuti dalla predetta MPS CS
tramite fonti ritenute in buona fede attendibili, tuttavia MPS CS non ha la qualifica di agenzia di rating, quindi non intende
certificare, come in effetti non certifica, la veridicità, l'accuratezza e la completezza delle predette informazioni e dei predetti
dati.
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