Laboratorio di didattica della matematica
Argomento
Funzioni di due variabili. Massimo e minimo di una funzione
sottoposta a vincoli. Problemi di ottimizzazione.
Motivazioni della scelta

Presenza dell’argomento nei temi ministeriali
 Possibilita’ di utilizzo dell’argomento nelle classi di concorso
A047-A048 – A049 anche con esempi applicativi della teoria delle
funzioni in due variabili
1
Funzioni in due variabili e problemi di ottimo
Modello matematico :
f(x,y)
lineare
non lineare
Ottimizzare f(x,y)
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
Punti di
ottimo
(estremi)
liberi
vincolati
lineari
equazioni
non lineari
lineari
vincoli
disequazioni
non lineari
lineari
equazioni e
disequazioni
non lineari
2
Metodi per determinare gli estremi:
1) Procedimento grafico-geometrico
Estremi liberi
2) Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano
Estremi
vincolati
1) Procedimento grafico-geometrico
Estremi liberi
Estremi vincolati
Vincolo espresso da
equazione g(x,y) = 0
Vincoli determinanti un
sottoinsieme S del dominio
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Metodi per determinare gli estremi:
1) Procedimento grafico-geometrico
Estremi liberi
2) Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano
Estremi
vincolati
1) Procedimento grafico-geometrico
Estremi liberi
Estremi vincolati
Vincolo espresso da
equazione g(x,y) = 0
Vincoli determinanti un
sottoinsieme S del dominio
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Metodi per determinare gli estremi:
1) Procedimento grafico-geometrico
Estremi liberi
2) Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano
Estremi
vincolati
1) Procedimento grafico-geometrico
Estremi liberi
Estremi vincolati
Vincolo espresso da
equazione g(x,y) = 0
Vincoli determinanti un
sottoinsieme S del dominio
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1) Procedimento grafico-geometrico – Estremi liberi
•Definizione e rappresentazione grafica di una funzione di due variabili z = f(x,y)
z : D
(x,y)
R
z = f(x,y)
D = dominio = sottoinsieme di R R
•Linee di livello
6
•Linee di livello
Una linea di livello è la proiezione ortogonale sul piano xy
dell’insieme dei punti della superficie aventi valore z = k.
Per determinarle :
z = f(x,y)
z=k
7
•Esempio
Rappresentare le linee di livello di z = x2 – y –2 x per k=1,k = 0, ecc.
z = x2 – y –2 x
Risolvere i sistemi
z=1
z = x2 – y –2 x
z=0
8
9
10
Max e min con curve di livello
In prossimità di un massimo o di un minimo le linee di livello si “restringono” e tendono ad un
punto.
Se, ad esempio, le linee sono circonferenze concentriche di centro O(0,0), nel primo caso k
cresce con le circonferenze che hanno raggio crescente, allora O (0,0) è un punto di minimo.
Nel caso in cui k cresce verso l’interno, O(0,0) è un punto di massimo.
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Metodi per determinare gli estremi:
1) Procedimento grafico-geometrico
Estremi liberi
2) Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano
Estremi
vincolati
1) Procedimento grafico-geometrico
Estremi liberi
Estremi vincolati
Vincolo espresso da
equazione g(x,y) = 0
Vincoli determinanti un
sottoinsieme S del dominio
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Metodi per determinare gli estremi:
1) Procedimento grafico-geometrico
Estremi liberi
2) Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano
Estremi
vincolati
1) Procedimento grafico-geometrico
Estremi liberi
Estremi vincolati
Vincolo espresso da
equazione g(x,y) = 0
Vincoli determinanti un
sottoinsieme S del dominio
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1) Procedimento grafico-geometrico – Estremi vincolati
Vincolo espresso da equazione g(x,y) = 0
•
•
•
- g(x,y) linea nel piano xy
- variabili non indipendenti, soddisfacenti la condizione g(x,y) = 0
- max e min nei punti di intersezione del dominio con la linea
Si cercano gli estremi nei punti d’intersezione del dominio con la linea del vincolo. Nella figura Q0 massimo
libero, Q1 vincolato. Si tracciano le linee di livello e la linea del vincolo. I punti estremi sono quelli in cui
risultano tangenti.
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Metodi per determinare gli estremi:
1) Procedimento grafico-geometrico
Estremi liberi
2) Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano
Estremi
vincolati
1) Procedimento grafico-geometrico
Estremi liberi
Estremi vincolati
Vincolo espresso da
equazione g(x,y) = 0
Vincoli determinanti un
sottoinsieme S del dominio
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1) Procedimento grafico-geometrico – Estremi vincolati
Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio
Se il sottoinsieme S è chiuso e limitato e la funzione f(x,y) è continua in
S, per il teorema di Weierstrass esistono min e max assoluti.
Per determinarli si devono considerare :
- i punti di max e min relativo interni ad S;
- i punti di max e min appartenenti alla frontiera di S;
- si sceglie l’estremo assoluto.
Se la superficie si può rappresentare con curve di livello semplici la
determinazione dei massimi e minimi assoluti consiste nell’individuare la
linea di livello con k maggiore e quella con k minore, compatibilmente
con il sistema dei vincoli.
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Metodi per determinare gli estremi:
1) Procedimento grafico-geometrico
Estremi liberi
2) Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano
Estremi
vincolati
2) Metodi dell’analisi
Estremi liberi
Estremi vincolati
Vincolo espresso da
equazione g(x,y) = 0
Vincoli determinanti un
sottoinsieme S del dominio
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Metodi per determinare gli estremi:
1) Procedimento grafico-geometrico
Estremi liberi
2) Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano
Estremi
vincolati
2) Metodi dell’analisi
Estremi liberi
Estremi vincolati
Vincolo espresso da
equazione g(x,y) = 0
Vincoli determinanti un
sottoinsieme S del dominio
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2) Metodi dell’analisi – Estremi liberi
Condizione sufficiente:
Data z = f(x,y) si calcolano le derivate
parziali prime e seconde:
’
z’x
z”xx
zy
z”xy
z”yy
z”yx
Si risolve il sistema
z’x = 0
z’y = 0
ottenendo gli eventuali punti critici; da un punto di vista geometrico in tali punti, per
l’annullarsi delle derivate parziali prime z’x e z’y , si ha un piano tangente orizzontale,
cioè parallelo al piano xy.
19
z”
z”
xx
yx
Se ( x0,y0 ) è un punto critico, si calcola il valore dell’Hessiano H(x,y) =
z” xy z” yy
in ( x0,y0 ) :
- se H( x0,y0 )  0 e z”xx( x0,y0 )  0 allora ( x0,y0 ) è un minimo relativo
- se H( x0,y0 )  0 e
z”xx( x0,y0 ) < 0 allora ( x0,y0 ) è un massimo relativo
- se H( x0,y0 ) < 0
non si ha né max ne min ; se z”xx e z”yy hanno segno opposto
allora ( x0,y0 ) è un punto di sella
- se H( x0,y0 ) = 0
non si può trarre alcuna conclusione ; bisogna esaminare il
comportamento della funzione nell’intorno di ( x 0,y0 )
Punto di massimo
Punto di minimo
Punto di sella
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Metodi per determinare gli estremi:
1) Procedimento grafico-geometrico
Estremi liberi
2) Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano
Estremi
vincolati
2) Metodi dell’analisi
Estremi liberi
Estremi vincolati
Vincolo espresso da
equazione g(x,y) = 0
Vincoli determinanti un
sottoinsieme S del dominio
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Metodi per determinare gli estremi:
1) Procedimento grafico-geometrico
Estremi liberi
2) Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano
Estremi
vincolati
2) Metodi dell’analisi
Estremi liberi
Estremi vincolati
Vincolo espresso da
equazione g(x,y) = 0
Vincoli determinanti un
sottoinsieme S del dominio
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2) Metodi dell’analisi – Estremi vincolati
Vincolo espresso da equazione g(x,y) =0
La determinazione degli estremi della funzione z = f(x,y) può essere fatta in modo elementare se l’equazione del
vincolo è esplicitabile rispetto ad una delle due variabili.
In tal caso si ricava la variabile dal vincolo, si sostituisce nella funzione obiettivo che diventa una funzione di una sola
variabile e quindi il problema viene ricondotto alla ricerca di estremi di una funzione in una variabile.
Se ciò non è possibile, si ricorre al metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
23
Metodi per determinare gli estremi:
1) Procedimento grafico-geometrico
Estremi liberi
2) Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano
Estremi
vincolati
2) Metodi dell’analisi
Estremi liberi
Estremi vincolati
Vincolo espresso da
equazione g(x,y) = 0
Vincoli determinanti un
sottoinsieme S del dominio
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2) Metodi dell’analisi – Estremi vincolati
.
Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio
Se il sottoinsieme S è chiuso e limitato e la funzione f(x,y) è continua in S, per il teorema di Weierstrass esistono
min e max assoluti.
Per determinarli si devono considerare :
- i punti di max e min relativo interni ad S;
- gli eventuali punti interni in cui la funzione non sia differenziabile;
- i punti di max e min appartenenti alla frontiera di S;
- si sceglie l’estremo assoluto.
25
Lavoro proposto
( Preparazione Unità didattica per problemi)
• Distribuzione elenco problemi
• Definire gruppi di lavoro
• Per ogni problema organizzare il modello risolutivo ( e la
soluzione e/o tipo di metodo risolutivo più semplice )
• Stabilire
quali sono gli “ oggetti matematici”
che
intervengono nel modello e nella soluzione del modello.
• Stabilire il metodo risolutivo “più adatto” alla classe in cui
si prevede di affrontare l’argomento
• Definire prerequisiti, obiettivi, approfondimenti
26
Testi
Esempio 1
Determinare max e min di z = x2 + y2
 Oggetti matematici ed eventuali approfondimenti
Esempio 2
– Combinazione ottima di fattori produttivi
Un’impresa produce un dato prodotto in quantità q impiegando due fattori produttivi A e B
che, entro certi limiti, sono tra loro sostituibili. Il legame tra i fattori A, B e la produzione
q è dato dalla funzione di produzione q = f(x,y) dove x =quantità di A, y =quantità di B per
produrre la quantità q del prodotto.
In pratica, la funzione di produzione esprime una relazione tecnico-economica (determinata
dagli economisti) che lega la quantità di prodotto finito q alle quantità x e y di fattori
produttivi impiegati, in quanto la quantità q può essere ottenuta con diverse combinazioni di
A e B.
Se i costi per unità del fattore A e del fattore B sono rispettivamente p1 e p2 , il costo totale
relativo alla produzione della quantità q di prodotto è : C = p1 x + p2 y.
Si possono presentare due problemi :
1° problema : minimizzare il costo totale (funzione obiettivo) per produrre una prefissata
quantità di prodotto (vincolo)
2° problema : massimizzare la produzione (funzione obiettivo) ad un livello di costi
prefissato (vincolo)
Esempio numerico relativo al … problema
Un’impresa produce un certo prodotto impiegando due fattori produttivi A e B i cui costi
unitari sono p1 = 20 e p2 = 5 . La funzione di produzione è rappresentata da q = 10 x • y .
Si vuole determinare la combinazione ottima di fattori produttivi relativa alla produzione
della quantità q = 100.
 Oggetti matematici ed eventuali approfondimenti
Problema 1
Un’impresa produce due beni e li vende in un mercato di libera concorrenza ai prezzi p1 =800, p2=
1.100
Il costo congiunto di produzione dei due beni , nelle quantità x e y è espresso dalla funzione
c(x,y) = x2+xy +2y2
Determinare per quale combinazione dei fattori produttivi il profitto è massimo
Problema 2
Un’impresa produce due beni surrogati ( l’aumento di prezzo di uno si traduce nell’aumento della
domanda dell’altro ) e li vende in condizioni di monopolio. Le due leggi della domanda sono
espresse dalle relazioni : x = 1000 –3p1 +p2
y = 800 + 2p1 –4p2
Il costo unitario di produzione è 180 per il primo prodotto, 230 per il secondo.
Determinare la combinazione produttiva per la quale il profitto è massimo.
 Oggetti matematici ed eventuali approfondimenti
Esempio 5
Data la funzione z = - x2 – 5y2 –3xy +6x +8y, determinarne gli estremi con il vincolo 4x +
5y = 100
 Oggetti matematici ed eventuali approfondimenti
Esempio 6
Si determinino gli estremi assoluti della funzione z = -3x2 +2xy –3y2 –2x + 7y +1 nel
dominio chiuso definito dal triangolo di vertici O(0,0) , A(0,2), B(2,0).
 Oggetti matematici ed eventuali approfondimenti
Esempio 3
Determinare max e min assoluto di z = f(x,y) = x2 + y2 – 2x – 4y nell’insieme S individuato
dal sistema di vincoli :
x0
y0
2x + y  8
 Oggetti matematici ed eventuali approfondimenti
Esempio 4
Determinazione del massimo profitto per un’impresa
Uno degli obiettivi di un’impresa che produce più beni è quello di determinare il livello di
produzione dei singoli beni per massimizzare il profitto. In relazione alle condizioni di vendita
l’impresa può operare in un mercato di libera concorrenza, o di monopolio, o di oligopolio; può
vendere in mercati diversi o in un solo mercato, a prezzi uguali o diseguali ,etc.
Se il regime è di concorrenza perfetta i prezzi sono fissi, indipendenti dalla quantità richiesta; se si
opera in condizioni di monopolio i prezzi non sono fissi, ma dipendono dalla funzione di domanda
dei singoli prodotti
27
Elenco con testi e modelli
28
Esempio 1
Determinare max e min di z = x2 + y2
1) Procedimento grafico-geometrico – Estremi liberi
Max e min con curve di livello
Paraboloide z = x2 + y2 con
linee di livello x2+y2=k
Oggetti matematici ed eventuali approfondimenti
29
Esempio 2
1) Procedimento grafico-geometrico – Estremi vincolati
Vincolo espresso da equazione g(x,y) = 0
– Combinazione ottima di fattori produttivi
Un’impresa produce un dato prodotto in quantità q impiegando due fattori produttivi A e B legati dalla
funzione di produzione q = f(x,y) dove x =quantità di A, y=quantità di B per produrre la quantità q del
prodotto.
In pratica, la funzione di produzione esprime una relazione tecnico-economica che lega la quantità di
prodotto finito q alle quantità x e y di fattori produttivi impiegati, in quanto la quantità q può essere ottenuta
con diverse combinazioni di A e B.
Se i costi per unità del fattore A e del fattore B sono rispettivamente p1 e p2 , il costo totale relativo alla
produzione della quantità q di prodotto è : C = p1 x + p2 y.
Si possono presentare due problemi :
1° problema : minimizzare il costo totale (funzione obiettivo) per produrre una prefissata quantità di
prodotto (vincolo)
2° problema : massimizzare la produzione (funzione obiettivo) ad un livello di costi prefissato (vincolo)
30
Esempio numerico relativo al 1° problema
Un’impresa produce un certo prodotto impiegando due fattori produttivi A e B i cui
costi unitari sono p1 = 20 e p2 = 5 . La funzione di produzione è rappresentata da q =
10 x • y
Si vuole determinare la combinazione ottima di fattori produttivi relativa alla
produzione della quantità q = 100.
31
Esempio numerico relativo al 1° problema
Un’impresa produce un certo prodotto impiegando due fattori produttivi A e B i cui costi unitari sono p1 = 20 e p2
= 5 . La funzione di produzione è rappresentata da q = 10. x • y
Si vuole determinare la combinazione ottima di fattori produttivi relativa alla produzione della quantità q = 100.
Soluzione
Posto q = 100 la funzione di produzione si scrive come segue :
100 = 10 x • y
ossia 10 = x • y
Il costo totale è C = 20 x + 5 y
min C = 20 x + 5 y
con i vincoli
Pertanto il modello matematico è
x0
y0
10 = x • y
La funzione obiettivo è un piano nello spazio le cui linee di livello risultano rette parallele.
Infatti, impostando il sistema
z = 20 x + 5 y
z=k
e risolvendolo per alcuni valori di k si ottengono le rette di livello (isocosti) in figura:
La funzione vincolo si può scrivere y = 100 / x (iperbole
equilatera ). I punti estremi sono dati dai punti in cui le linee di
livello sono tangenti alla linea del vincolo: si imposta il sistema
y = 100 / x
20 x + 5 y = k
Si pone = 0 il discriminante dell’equazione di secondo grado
ottenuta . Quindi il punto di min risulta P(5,20) per k =200
(valore di costo minimo).
32
Esempio 3
1) Procedimento grafico-geometrico – Estremi vincolati
Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio
Determinare max e min assoluto di z = f(x,y) = x2 + y2 – 2x – 4y nell’insieme S individuato dal sistema di vincoli :
x0
y0
2x + y  8
33
Esempio
Determinare max e min assoluto di z = f(x,y) = x2 + y2 – 2x – 4y nell’insieme S individuato dal sistema di vincoli :
x0
y0
2x + y  8
L’insieme S è rappresentato dal triangolo OAB, intersezione dei tre
semipiani.
La funzione obiettivo è un paraboloide le cui linee di livello sono
circonferenze concentriche x2 + y2 – 2x – 4y = k di centro C(1,2) e raggio r =
(5+k)1/2, reali se k  –5
Se k = –5 si ha r = 0, se k = –1 si ha r = 2. Le circonferenze hanno raggio
crescente al crescere di k.
La linea di livello che interseca il triangolo per il più piccolo valore di k
determina il punto di minimo : in questo caso C(1,2) con valore di z = –5 .
Il valore di max si ha per il più grande valore di k che incontra il
triangolo: si ottiene B(0,8) e z = 32 .
Oggetti matematici ed eventuali approfondimenti
34
Esempio 4
2) Metodi dell’analisi – Estremi liberi
Esempio
Determinazione del massimo profitto per un’impresa
Uno degli obiettivi di un’impresa che produce più beni è quello di determinare il livello di produzione dei
singoli beni per massimizzare il profitto. In relazione alle condizioni di vendita l’impresa può operare in un
mercato di libera concorrenza, o di monopolio, o di oligopolio; può vendere in mercati diversi o in un solo
mercato, a prezzi uguali o diseguali ,etc.
Se il regime è di concorrenza perfetta i prezzi sono fissi, indipendenti dalla quantità richiesta; se si opera in
condizioni di monopolio i prezzi non sono fissi, ma dipendono dalla funzione di domanda dei singoli prodotti
35
Problema 1
Un’impresa produce due beni e li vende in un mercato di libera concorrenza ai prezzi p1 =800, p2= 1.100
Il costo congiunto di produzione dei due beni , nelle quantità x e y è espresso dalla funzione
c(x,y) = x2+xy +2y2
Determinare per quale combinazione dei fattori produttivi il profitto è massimo
Soluzione
La funzione profitto risulta G(x,y) = 800 x + 1.100y - x2 - xy - 2y2
Annullando le derivate parziali prime si ottiene il punto (x,y) = (300,200). Inoltre H (300,200) = 7>0 e
G”xx(300,200 ) = -2 < 0, quindi (300,200) risulta un massimo della funzione profitto.
36
Problema 2
Un’impresa produce due beni surrogati ( l’aumento di prezzo di uno si traduce nell’aumento della domanda
dell’altro ) e li vende in condizioni di monopolio. Le due leggi della domanda sono espresse dalle relazioni :
x = 1000 –3p1 +p2 , y = 800 + 2p1 –4p2
Il costo unitario di produzione è 180 per il primo prodotto, 230 per il secondo.
Determinare la combinazione produttiva per la quale il profitto è massimo.
Risposta : (x,y) = (300,200 ) che corrisponde al valore G = 66.000.
Si ricavano p1, p2 in funzione di x e y
p1= 480– 0.4 x–0.1 y
p2= 440–0.2 x–0.3 y
Si ha G = R–C = p1 x+p2 y –(180 x+230y).
Sostituendo p1 e p2 si ottieneG = –0.4x2–0.3 xy–0.3y2+300 x+210 y
Calcolando le derivate parziali prime e ponendole uguali a zero si otiene un sistema
–0.8 x–0.3y+300 =0
–0.3 x–0.6y+210 =0
che ha per soluzione x= 300, y=200 che è proprio un massimo in quanto l’hessiano risulta
 0.8  0.3
 0..3  0.6
=0.39>0 e
 2G
x 2
<0
Oggetti matematici ed eventuali approfondimenti
37
Esempio 5
2) Metodi dell’analisi – Estremi vincolati
Vincolo espresso da equazione g(x,y) =0
.
Esempio
Data la funzione z = - x2 – 5y2 –3xy +6x +8y, determinarne gli estremi con il vincolo 4x + 5y = 100
Risposta : max (83/3 , -32/15, -2311/5).
Espilicitando il vincolo rispetto a y e sostituendo in z si ottiene una funzione in una sola variabile, di cui si
trovano max e min calcolando la derivata prima e seconda .
38
Esempio 6
2) Metodi dell’analisi – Estremi vincolati
Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio
.
Esempio
Si determinino gli estremi assoluti della funzione z = -3x2 +2xy –3y2 –2x + 7y +1 nel dominio chiuso definito dal
triangolo di vertici O(0,0) , A(0,2), B(2,0).
Risposta : max in (1/16 , 19/16, 163/32) che è anche un massimo relativo; min in (2, 0 –15) che non è anche un
minimo relativo dato che si trova sulla frontiera .
Si cercano gli estremi liberi, accertandosi che siano accettabili per i vincoli( derivate parziali ed hessiano)
Si cercano gli estremi lungo la frontiera (ci si riduce ad una sola variabile con sostituzione vincolo o valori dei
vertici, poi derivata prima e seconda per funzioni in una variabile)
Si definiscono gli estremi assoluti dal confronto dei valori precedentemente determinati.
Oggetti matematici e ulteriori approfondimenti
39
Argomento
Funzioni di due variabili. Massimo e minimo di una funzione sottoposta a
vincoli. Problemi di ottimizzazione.
Prerequisiti
Retta, parabola, iperbole
Funzioni di una variabile
Disequazioni e sistemi di disequazioni in due variabili
Conoscenze
(sapere)
Obiettivi
Calcolo differenziale.
Condizioni di estremo
Competenze
(saper fare)
Modellizzazione
Rappresentazione nel piano delle curve di livello di una f(x,y)
Massimi e minimi con curve di livello, per problemi di estremo libero e
vincolato
Massimi e minimi con metodi dell’analisi, per problemi di estremo libero e
vincolato
Oggetti
matematici e
approfondimenti
Superfici nello spazio
Curve nel piano
( Metodo dei moltplicatori di Lagrange )
Tipo di applicazioni
Problemi economici
Utilizzo del calcolatore
Grafici di superfici nello spazio con il calcolatore
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