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I poliedri
Le piramidi
Che cosa imparerai
Imparerai a costruire vari tipi di piramidi e ne scoprirai un’importante proprietà.
Che cosa devi sapere
Le proprietà dei poligoni regolari.
La similitudine tra figure piane.
Il contenuto delle schede della sezione C e della scheda D1.
Un primo modo per costruire una piramide
❙ Apri Cabri 3D senza vettori di riferimento e abilita l’Aiuto per gli strumenti (tasto F1).
❙ Nella casella Poligoni regolari seleziona Quadrato: clicca sul piano di base, su un punto
(che chiami O) e su un altro punto. Viene costruito un quadrato di centro O.
❙ Con lo strumento [Punti] Punto definisci i vertici del quadrato e chiamali A, B, C e D.
❙ Costruisci un punto V non appartenente al piano di base.
❙ Traccia i segmenti AV, BV, CV e DV. Se vuoi, completa la costruzione definendo i
triangoli ABV, BCV, CDV e DAV (o alcuni di essi; fig. 1).
Apri CABRI 3D
Hai costruito una piramide a base quadrata (definita obliqua).
Figura 1
Teoria
Figura 2
Il punto V si definisce vertice della piramide.
I lati del poligono ABCD sono gli spigoli di base della piramide; i segmenti VA, VB,
VC, VD sono gli spigoli laterali della piramide.
I triangoli ABV, BCV, CDV e DAV si dicono facce laterali della piramide (anche il
poligono ABCD è una faccia della piramide).
Analogamente a quanto visto a proposito del tetraedro (scheda D1), una piramide
può essere pensata come l’intersezione di un angoloide di vertice V con il semispazio di origine il piano di base e contenente V; quando la base è un poligono convesso, anche la piramide è dunque un insieme convesso.
La distanza tra il vertice V e il piano di base si chiama altezza della piramide.
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schede D
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I poliedri
Teoria
❙ Traccia la retta r perpendicolare al piano di base e passante per O.
❙ Seleziona [Puntatore] Ridefinizione e clicca sul punto V e poi sulla retta r ; il punto V è
ora vincolato a stare sulla retta r (fig. 2).
Questa piramide si chiama piramide retta (a base quadrata).
Un’importante osservazione: una piramide si dice retta se nel poligono di base è possibile inscrivere una circonferenza e se la retta perpendicolare al piano di base condotta dal vertice passa per il centro della circonferenza.
Giustifica la ragione per cui la piramide che hai costruito è retta.
> Esiste una piramide retta a base rettangolare?
................
Perché?
..........................
...........................................................................................................
> Esiste una piramide retta che ha per base un rombo? . . . . . . . . . . . . . . . . . Perché?
..................
...........................................................................................................
> Ricorda: in un quadrilatero si può inscrivere una circonferenza se e solo se
.....................
Teoria
...........................................................................................................
Quando la piramide è retta, le facce laterali sono triangoli che hanno tutti la stessa
altezza (condotta da V); tale altezza comune si definisce apotema della piramide.
❙ Disegna il punto medio M del lato BC e i segmenti OM e MV.
❙ Traccia la circonferenza contenuta nel piano di base, di centro O e passante per M.
Nella tua figura:
> il raggio della circonferenza inscritta nella base è il segmento
> l’altezza della piramide è
.................;
....................;
l’apotema della piramide è
> Osserva il triangolo OMV. Che tipo di triangolo è?
.................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Perché?
...........................................................................................................
> Applicando il teorema di Pitagora al triangolo OMV puoi concludere che
........................
...........................................................................................................
Un secondo modo veloce di costruire una piramide
La piramide che hai appena costruito non viene riconosciuta come un nuovo oggetto
da Cabri 3D; analogamente a ciò hai visto a proposito del tetraedro, c’è però un secondo modo di costruire una piramide, che produce alla fine un nuovo oggetto
«unico», su cui si può agire globalmente; facciamo ancora l’esempio di una piramide
a base quadrata.
❙ Scegli FileNuovo (ricorda di avere sempre attivo l’Aiuto per gli strumenti (F1)).
❙ Nella casella Poligoni regolari seleziona Quadrato: clicca sul piano di base, su un punto
e su un altro punto.
❙ Disegna un punto V non appartenente al piano di base.
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D3
Le piramidi
❙ Apri la casella Poliedri e seleziona lo strumento Piramide. Clicca sul quadrato di base
e poi sul punto V. La piramide viene creata immediatamente.
❙ Seleziona Puntatore e porta il cursore del mouse sulla piramide: compare la scritta
«questo poliedro convesso». Ora puoi selezionare globalmente la piramide e modificare lo stile delle superfici, delle linee e dei punti mediante il menu contestuale
(clicca sul tasto destro del mouse).
❙ Se non prosegui subito nella scheda, salva il file con il nome Piramide.cg3.
Figura 3
Lo sviluppo di una piramide in un piano
❙ Scegli FileNuovo e apri la figura Piramide.cg3.
❙ Nella casella Poliedri seleziona lo strumento Apri poliedro e clicca sul poliedro. Il poliedro «si apre».
❙ Afferra una faccia laterale e, tenendo premuto il tasto sinistro del mouse, apri maggiormente il poliedro fino a distenderlo sul piano di base. Hai ottenuto uno sviluppo
piano della piramide.
❙ Apri il menu Documento e seleziona Nuova pagina sviluppo piano. Ottieni così una nuova
pagina che contiene lo sviluppo piano della piramide.
❙ Seleziona FileStampa; otterrai due pagine, una con la vista usuale, l’altra con lo sviluppo piano della piramide.
❙ Se stampi su cartoncino, puoi ritagliare lo sviluppo piano e costruire un «modello fisico» della piramide.
Figura 4
Figura 5
La costruzione di un tronco di piramide
POLIGONO
PIRAMIDE
SEZIONA POLIEDRO
❙ Scegli FileNuovo.
❙ Seleziona [Superfici] Poligono e crea, ad esempio, un pentagono convesso ABCDE nel
piano di base.
❙ Disegna un punto V non appartenente al piano di base e, con lo strumento [Poliedri]
Piramide, costruisci la piramide ABCDEV.
❙ Costruisci un punto P non appartenente al piano di base.
❙ Costruisci un piano β passante per P e parallelo al piano di base ([Costruzioni] Parallelo).
❙ Usa lo strumento [Poliedri] Seziona poliedro, cliccando sulla piramide e sul piano β.
Ottieni un tronco di piramide, mentre la piramide di partenza viene nascosta.
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I poliedri
Attenzione
Ci si può chiedere come fa Cabri 3D a scegliere tra la piramide piccola e il tronco di
piramide; ovvero quale dei due semispazi, di origine il piano secante, viene selezionato.
L’algoritmo interno al programma determina il semispazio opposto a quello che contiene il
punto di vista.
Figura 6
Figura 7
❙ Per migliorare la figura puoi nascondere (usando il menu contestuale) il piano sezione e il vertice V.
❙ Crea i vertici sulla base minore (usa lo strumento Punto) del tronco di piramide e chiamali A' , B' , C' , D' ed E' .
❙ Salva la figura in un file con il nome Tronco di piramide.cg3 (fig. 7).
❙ Muovi il punto P verso l’alto/basso (tasto maiuscole).
> Che cosa osservi a proposito dei due pentagoni?
...................................................
...........................................................................................................
Modifica il punto di vista in modo da osservare dall’alto la figura.
> Viene confermata la tua congettura?
...............
❙ Puoi ottenere automaticamente questa vista dall’alto; seleziona DocumentoNuova vista.
Compare una finestra con molte opzioni. Nella parte più bassa (Disegno tecnico) seleziona Dall’alto.
Teoria
Al documento viene aggiunta una nuova finestra che contiene questa vista (che è la proiezione ortogonale sul piano orizzontale).
In seguito utilizzeremo alcune definizioni relative al tronco di piramide.
La distanza tra le due basi si chiama altezza del tronco di piramide.
Se il tronco di piramide è stato ottenuto da una piramide retta, allora le facce laterali
sono trapezi aventi tutti la stessa altezza, chiamata apotema del tronco di piramide.
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Le piramidi
D3
Un’importante proprietà delle sezioni di una piramide
Cerca di riprodurre la figura 8. Puoi ricominciare da capo oppure utilizzare l’ultima
costruzione fatta. Accenniamo ai passaggi fondamentali.
Figura 8
❙ Scegli FileNuovo e apri la figura chiamata Tronco di piramide.cg3.
❙ Scegli FinestraVista corrente; nella finestra che appare sulla destra seleziona la casella
Mostra gli oggetti nascosti. Vengono visualizzati in grigio trasparente gli oggetti che sono
stati nascosti nella costruzione.
❙ Clicca con il tasto destro del mouse sulla piramide e scegli Mostra/Nascondi. Riappare
la piramide. Visualizza anche il piano secante. Deseleziona la casella Mostra gli oggetti
nascosti e chiudi la finestra Vista corrente.
❙ Scegli lo stile «Vuoto» per la piramide, per i piani e per il poligono di base; metti il
nome ai piani.
Hai già osservato che i pentagoni ABCDE e A' B' C' D' E' sono simili. Ora con Cabri 3D
puoi calcolare il loro rapporto di similitudine.
❙ Con lo strumento [Misura] Distanza misura il segmento AB e il segmento . . . . . . . . . . . . . . . .
❙ Con [Misura] Calcolatrice calcola il rapporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
❙ Utilizzando gli stessi strumenti, calcola il rapporto BV/B' V.
> Che cosa osservi? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...........................................................................................................
Figura 9
❙ Costruisci la retta perpendicolare al piano α passante per V, la sua intersezione H con
il piano α e la sua intersezione H' con il piano β.
❙ Costruisci il triangolo HBV e il triangolo H' B' V.
❙ Salva la figura con il nome Tronco di piramide2.cg3.
❙ Chiama h la misura di HV e h' la misura di H' V.
❙ Dimostra che il triangolo HBV è simile al triangolo H' B' V; il loro rapporto di similitudine è BV / B' V, che è uguale a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
❙ Quindi puoi concludere che h / h' = . . . . . . . . . . . . / . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . / . . . . . . . . . . . . .
e puoi trovare il loro rapporto di similitudine.
Detto allora P il pentagono nel piano di base e P' il pentagono sul piano secante, puoi
concludere quanto segue:
perimetro (P ) : perimetro (P' ) = h : h' ;
ESERCIZI
area (P ) : area (P' ) = h 2 : (h' )2.
1. Costruisci una piramide a base quadrata con le facce laterali a forma di triangolo equilatero.
2. Costruisci una piramide che ha per base un pentagono regolare con le facce laterali a
forma di triangolo equilatero. SUGGERIMENTO: parti da un pentagono regolare nel piano
di base. Su uno dei suoi lati costruisci un triangolo equilatero. Poi …
3. Costruisci un tronco di piramide a partire da una piramide retta e disegna l’apotema del
tronco di piramide.
4. Costruisci lo sviluppo piano di un tronco di piramide ottenuto da una piramide retta.
5. Costruisci un tronco di piramide in cui la base minore sia un poligono che ha:
a. area pari a 1/4 dell’area della base maggiore;
b. area pari a 1/16 dell’area della base maggiore;
c. area pari a 1/9 dell’area della base maggiore.
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