Fondamenti di analisi numerica - Maria Laura Lo Cascio
1
E1-C4 Verificare che se k·k è una norma di vettore e c una costante positiva,
allora la funzione f (x) = ckxk, x ∈ Rn è ancora una norma in Rn
Soluzione
Devono essere verificate le proprietà che definiscono una norma di vettore (v.
pag 62):
f (x) = ckxk ≥ 0, ∀x ∈ Rn
( per ipotesi c > 0).
Tenendo conto che k · k è una norma e quindi verifica 1., 2. ,3. , si ha:
1.
f (x) = 0 ⇔ ckxk = 0 ⇔ kxk = 0 ⇔ x = 0
2.
f (αx) = ckαxk = c|α| kxk = |α|f (x)
3.
x + y) = ckx + yk ≤ c (kxk + kyk) = ckxk + ckyk = f (x) + f (y)
e quindi f è una norma.
E2-C4 Sia u ∈ Rm , v ∈ Rn e sia A = uvT . Verificare che kAkF =
kuk2 kvk2 .
Soluzione
Posto u = (ui), v = (vj ), A = ((aij )), aij = ui vj , si ha
kAkF =
m X
n
X
i=1 j=1
u2i vj2 =
m
X
i=1
u2i
n
X
j=1
vj2 = kuk2 kvk2
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2
Verificare che la funzione f : Rn×n → R, definita ∀A = ((aij )) ∈
n X
n
X
da f (A) =
|aij |, è una norma. Si tratta di una norma indotta?
E3-C4
Rn×n
i=1 j=1
Soluzione
Vanno verificate le proprietà che definiscono una norma di matrice (v.
pag.65).
f (A) =
m X
n
X
i=1 j=1
1.
f (A) = 0 ⇔
|aij | ≥ 0, ∀A (essendo una somma di moduli )
m X
n
X
i=1 j=1
|aij | = 0 ⇔ |aij | = 0 ∀i, j
(una somma di valori positivi è nulla se e solo se ogni addendo è nullo)
2.
f (αA) =
n
m X
X
i=1 j=1
3.
f (A + B) =
|αaij | =
m X
n
X
i=1 j=1
m X
n
X
i=1 j=1
|aij + bij | ≤
|α| |aij | = |α|f (A)
n
m X
X
i=1 j=1
(|aij | + |bij |)
(il modulo di una somma è minore o uguale alla somma dei moduli)
m X
n
m X
n
X
X
=
|aij | +
|bij | = f (A) + f (B)
i=1 j=1
i=1 j=1
e quindi f è una norma di matrice.
Non è una norma indotta perchè f (I) = n e quindi non è verificata la
proprietrà P2 (v. pag 67).
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3
E4-C4 Sia u ∈ Rm , v ∈ Rn e sia A = uvT . Verificare che kAk1 ≤ kuk1 kvk1 .
Soluzione
Posto u = (ui), v = (vj ), A = ((aij )), aij = ui vj , si ha
!
!
n
n
X
X
kAk1 = max
|uivj | = max |ui|
|vj | ≤
1≤i≤m
1≤i≤m
j=1
j=1
(la somma è indipendente dall’indice i su cui si cerca il massimo)
max (|ui|)
1≤i≤m
n
X
j=1
|vj | ≤
m
X
j=1
|ui|
n
X
j=1
|vj | = kuk1 kvk1
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4
E5-C4 Si consideri la trasformazione Φ = (φ1 , φ2 ) per x = (x1 , x2 )T ∈ D =
[3, 4] × [2, 3]
p
x1 = φ1 (x1 , x2 ) = 0.5 2(3x2 + 15);
p
x2 = φ2 (x1 , x2 ) = x1 + log x1 .
I. Verificare che Φ ammette un unico punto unito in α ∈ D.
Soluzione
Dalla prima equazione, elevando al quadrato, si ottiene
2x2 − 15
= φ∗1 (x1 ) .
x2 = 1
3
6
5
La verifica richiesta può essere fatta individuando per
via grafica i punti di intersezione, in D, delle curve
x2 = φ∗1 (x1 ), x2 = φ2 (x1 ).
4
3
x2=ψ(x1)
2
1
0
*
x2=φ (x1)
−1
−2
−3
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
II. Stabilire se il metodo del punto unito x(k) = Φ(x(k−1) ) converge ad α
Soluzione
Ricorriamo al Teorema 4.4: φ1 , φ2 ∈ C ∞ (D), quindi vale i1 ; sono
entrambe funzioni crescenti del loro argomento per cui
x2 ∈ [2, 3] ⇒ 3.24 ≈ φ1 (·, 2) ≤ x1 = φ1 (·, ·) ≤ φ1 (·, 3) ≈ 3.46
x1 ∈ [3, 4] ⇒ 2.02 ≈ φ2 (3, ·) ≤ x2 = φ2 (·, ·) ≤ φ2 (4, ·) ≈ 2.32
e sussiste i2 . Per verificare la condizione di contrazione (4.17) applichiamo il Teorema 4.5:
∂φ1
∂φ1
3
= 0,
= p
∂x1
∂x2
2 2(3x2 + 15)
∂φ2
x +1
∂φ1
√1
=
,
=0
∂x1
2x1 x1 + log x1 ∂x2
∂φ1 ∂φ1
∂x2 ≤ ∂x2 (·, 2) ≈ 0.23
∂φ2 ∂φ2
∂x1 ≤ ∂x1 (3, ·) ≈ 0.33
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5
e infine kMk = 0.33 = γ il che implica i3 .
Si osservi che le ipotesi del Teorema 4.4 garantiscono anche l’unicità
del punto unito (oltre all’esistenza).
III. In caso affermativo stimare il numero di iterate che consente di ottenere
un’approssimazione con 7 cifre decimali.
Soluzione
Assunto per esempio x0 = (3.5, 2.5) si ha x1 = (3.3541, 2.1801). Dalla
(4.19) si ricava k imponendo che sia
1
0.33k
kx1 − x0 k ≤ 10−7
0.67
2
Se si sceglie norma ∞ si ha kx1 − x0 k = 0.3199 e k ≥ 14.5 ovvero
k ≥ 15
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6
E6-C4 Si consideri la trasformazione Φ = (ϕ, ψ) con
1
ϕ(x, y) = (2x2 − 2y 2 − 1) ;
5
1
ψ(x, y) = (4 + 4xy + 2x4 − 4y 2 ), .
9
(x, y)T ∈ R2
Si verifichi che il metodo del punto unito con funzione di iterazione Φ converge in D = [−0.5, 0.5] × [0, 1] all’unico punto unito in D di Φ.
Soluzione
Si ha
J(x, y) =
− 45 y
4
(y + 2x3 ) 49 (x − 2y)
9
4
x
5
⇒M =
2
x
5
6
9
2
y
5
5
9
Ma kMk > 1 e non possono essere usate le condizioni sufficienti di convergenza. Se si eseguono alcune iterate ( utilizzando, per esempio, il programma dato nella sezione Laboratorio) si ottengono le approssimazioni riportate
nella Tabella.
k
0
1
2
xk
yk
0
0.5
− 0.3
0.3
−0.20844 0.35242
k
3
4
5
xk
yk
−0.23230 0.35701
−0.22940 0.35158
−0.22839 0.35428
Le iterate mostrano un andamento convergente,anche se molto lento: per
il Teorema 4.3 la successione converge al punto unito in D.
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E7-C4 La trasformazione x = 13 sinh y, y = 12 cosh x ammette un punto
unito
p ∈ D = [0, 1] × [0, 1] ⊂ R2 .
I. Verificare che p è l’unico punto unito in D della trasformazione.
Soluzione
Si può procedere eseguendo il grafico o verificando (v. punto II.) le
ipotesi del Teorema 4.4
II. Stabilire se il metodo del punto unito definito dalle equazioni date
converge a p.
Soluzione
Poniamo φ(y) =
1
3
sinh x; ψ(x) = 12 cosh x, entrambe crescenti:
φ, ψ ∈ C ∞ (R) ⇒ i1
x = φ(y) ∈ [0, 0.39], y ∈ [0, 1], y = φ(x) ∈ [0.5, 0.77], x ∈ [0, 1] ⇒ i2
Si ha poi
J(x, y) =
0
1
sinh
x
2
1
3
cosh y
0
⇒M =
0 0.51
0.59 0
e kMk1 = 0.59 = γ. Il Teorema 4.4 garantisce l’esistenza e l’unicità del
punto unito p ∈ D e la convergenza a p del metodo del punto unito
con funzione di iterazione (φ, ψ).
III. In caso affermativo si stimi il numero di iterate che consente di approssimare p alla 8a cifra decimale.
Soluzione
Dalla (4.18), tenendo conto che kx( 0) − pk ≤ maxv,w∈D kv − wk =
si ricava
√
log(10−8 /(2 2)
k≥
≈ 36.88 ⇒ k ≥ 37 .
log 0.59
√
2
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Domande di verifica Cap. 4
1
1. Sia v ∈ Rn tale che kvk∞ ≤ 10−6: la proposizione Tutte le componenti
2
di v hanno al più 6 cifre decimali esatte è corretta?
NO v. Esempio 4.5
2. Sia x ∈ Rn : quale delle seguenti relazioni è vera?
kxk∞ ≤ kxk1 La norma 1 è la piú ’restrittiva’
3. Si può affermare che kAk1 ≤ kAk∞ , ∀A ∈ Rm×n ?
NO è vero il viceversa (v. domanda precedente)
4. Sia D ∈ Rn×n = diag(a, a, . . . , a) la matrice diagonale avente gli elementi della diagonale principale tutti uguali ad a (e gli elementi extradiagonali tutti nulli). Se k · k è una norma indotta allora kDk è uguale
a
|a| Deriva dalla proprietà 2. della norma, essendo D = aI.
5. La trasformazione Φ : R2 → R2 ha un punto unito P ∈ D e verifica
Φ ∈ C 1 (D). Se kJ(P; Φ)k = 0 in un a norma canonica si può garantire
che il metodo del punto unito con funzione di iterazione Φ converge
per opportune scelte di x0 ∈ D?
VERO Basta che x0 sia ’sufficienteenet vicino’ a P
6. La trasformazione Φ : R2 → R2 ha un punto unito P ∈ D e verifica
Φ ∈ C 1 (D). Se kJ(P; Φ)k = 1 in un a norma canonica allora il metodo
del punto unito con funzione di iterazione Φ non può convergere.
FALSO
In un intorno di P può essere verificata kJ(P; Φ)k < 1 e comunque le
condizioni date nei Teoremi sono solo sufficienti.
7. Sia x(0) ∈ D, x(k) = Φ(x(k−1) ) ∈ D una successione convergente a α e
Φ verifichi la condizione di contrazione con fattore γ.
Posto δ = max
kp − p′ k allora kx(k) − αk ≤ γ k δ?
′
p,p ∈D
SI è l’estensione della proprietà vista nel caso del punto fisso in R1 .
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