PAS 2014
Classe A059
Il problema dei problemi:
2a parte
27 maggio 2014
Risponderemo a queste domande attraverso una
riflessione più generale sui seguenti punti:
• l’attività tradizionale di soluzione di problemi:
comportamenti 'patologici' degli allievi e loro
interpretazione; problemi per valutare/per insegnare
• rivisitazione dell’attività di soluzione di problemi: che
cos'è un problema, il ruolo dell'errore, le scelte
dell’autore, le scelte dell'insegnante; le diverse
dimensioni di un problema
• problemi ‘significativi’: analisi di un problema dal punto di
vista della struttura matematica
• la formulazione del testo: analisi del testo di un problema
da un punto di vista linguistico
• problemi ‘autentici’: analisi del testo di un problema dal
punto di vista della struttura narrativa
Che tipo di problema?
Come usarlo?
MODALITA’
D’USO
OBIETTIVI
Perché?
Scelte didattiche
…l’insegnante!
STRUTTURA MATEMATICA
CONTESTO
(STRUTTURA
NARRATIVA)
Che tipo
di problema?
FORMULAZIONE DEL TESTO
Come usarlo?
MODALITA’
D’USO
OBIETTIVI
Perché?
Scelte didattiche
…l’insegnante!
CONTESTO
(STRUTTURA
NARRATIVA)
Che tipo
di problema?
PROBLEMI
‘AUTENTICI’
In generale:
cosa intendere per…
…problema autentico?
reale
non reale
realistico
non realistico
concreto
astratto
autentico
artificioso
In realtà quando si parla di problema:
– Realistico
– Concreto
in genere si fa riferimento solo al CONTESTO
del problema, e non al problema nel suo
complesso, che comprende anche una
DOMANDA
CONTESTO
DOMANDA
reale
non reale
realistico
non realistico
concreto
astratto
autentico
artificioso
PROBLEMA
REALE
Ho la bimba malata e domani ho una riunione.
Carlo compra 1 quaderno e tre
penne spendendo in tutto 3,5
euro. Se una penna costa 0,75
euro, quanto costa il quaderno?
PROBLEMA
SCOLASTICO
Sono elencati tutti (e soli) i dati che
servono.
Si devono risolvere problemi per
qualcuno che ne conosce la soluzione
Bastano pochi minuti per risolverlo.
Non si può interagire con la realtà.
Bisogna utilizzare le ultime
conoscenze apprese di matematica.
Ci sono dati numerici, e ‘belli’.
L’esplicitazione dell’obbiettivo da
raggiungere è in fondo: la DOMANDA
Ho la bimba malata e
PROBLEMA
domani ho una
REALE
riunione
L’individuazione dei dati è a carico del
solutore
Si affrontano in genere problemi che non
sono già stati risolti.
Non è detto che si possa risolvere, e
quanto tempo ci vuole.
C’è un’interazione continua con la realtà
Non si sa a priori quali tipi di risorse
dovranno essere utilizzate.
Se ci sono dati numerici, non sono
necessariamente ‘belli.
L’esplicitazione dell’obbiettivo da
raggiungere è implicita, o è all’inizio
Problemi reali di matematica in
classe
• Il problema nasce in classe, e
l’insegnante coglie l’occasione
Problemi reali di matematica in
classe
• Il problema nasce in classe, e
l’insegnante coglie l’occasione
• L’insegnante crea un’occasione di
problema reale
Esempi
• La gita
• Junior Masterchef
È molto complesso elaborare problemi ‘autentici’
in questo senso.
E’ importante cogliere tutte le occasioni possibili
per proporre esperienze di questo tipo…
…ma è necessario avere anche altri tipi di
problemi che siano ‘in qualche senso’
autentici.
Cosa intendere per…
…problema autentico?
…ma è necessario avere anche altri tipi di
problemi che siano ‘in qualche senso’
autentici.
Francesca ha la bimba
PROBLEMA
malata
e domani ha una
AUTENTICO
riunione
REALISTICO
Ho la bimba malata e
PROBLEMA
domani ho una
REALE
riunione
L’individuazione dei dati è a carico del
solutore
Si affrontano in genere problemi che non
sono già stati risolti.
Non è detto che si possa risolvere, e
quanto tempo ci vuole.
Devo fare ipotesi, considerare vari casi, …
’classi’ di problemi
C’è un’interazione continua con la realtà
Non si sa a priori quali tipi di risorse
dovranno essere utilizzate.
Se ci sono dati numerici, non sono
necessariamente ‘belli.
L’esplicitazione dell’obbiettivo da
raggiungere è implicita, o è all’inizio
La comprensione di un problema realistico…
Francesca ha la bimba
malata e domani ha una
riunione
Per cogliere la problematicità, e
quindi per comprendere il
problema:
• I dettagli narrativi sono cruciali
Irene è malata.
Francesca domani ha una
riunione.
La figlia di Francesca non
si sente bene.
Francesca domani
vorrebbe andare al
cinema.
• Il vissuto di chi legge è cruciale
OSSERVAZIONE
IMPORTANTE
• Un problema di matematica autentico è in
genere complesso
• Per permettere di comprenderne la
problematicità è necessario descrivere il
contesto
• La comprensione della problematicità del
contesto mette in gioco il pensiero narrativo
• Ma la maggiore difficoltà matematica è
bilanciata dal fatto che:
 diminuiscono i problemi legati alla
comprensione
 la conoscenza delle cose del mondo
dell’allievo evocata dal conteste
suggerisce e sostiene i processi risolutivi
ESEMPI
Anna ha 8 euro.
Marco ha 7 euro.
Quanti euro hanno in tutto?
In due hanno
17euro?
Anna e Marco vorrebbero
comprare per il compleanno
della nonna un profumo che
le piace molto e che si
chiama “Che profumino”.
Si sono informati in una
profumeria e hanno visto che
la confezione più piccola
costa 17 euro.
Anna ha 8 euro e Marco 7.
Marco chiede a Anna:
“Ma ci basteranno i soldi che
abbiamo?
Non voglio fare una brutta figura
se lo chiediamo e poi non
possiamo pagare!!”
Puoi aiutare Marco a risolvere il
suo problema?
Marco e Luigi vanno con i genitori ad acquistare la moquette da mettere nella loro
camera della nuova casa, più grande e luminosa, e parlano con gioia della bella
veranda del soggiorno, lunga ben 4 metri, dove potranno giocare.
Giunti in negozio, il commesso offre loro un rotolo di 15 metri quadrati di una bella
moquette in offerta speciale e che piace molto ai bambini.
I genitori decidono di acquistarla, ma scoprono con disappunto che sulla piantina
dell’appartamento che hanno con loro non sono segnate le misure, e pensano di
rinviare l’acquisto.
Ma il commesso fa presente che nel frattempo potrebbe venderla ad altri.
Come possono fare Marco ed i suoi a decidere se possono comprare la moquette
in offerta senza correre il rischio di avere meno moquette del necessario?
Attività
• Quali sono le caratteristiche di questo
problema che ce lo fanno percepire come
un problema autentico?
• Più precisamente, cosa lo differenzia da
un problema standard quale:
Carlo compra 1 quaderno e tre penne spendendo in
tutto 3,5 euro. Se una penna costa 0,75 euro,
quanto costa il quaderno?
CONTESTO
DOMANDA
Ci sono dettagli narrativi che
gradatamente evidenziano la
problematicità della situazione
Chi racconta assume il punto di
vista di un personaggio
La domanda se la pone il
personaggio che si trova nella
situazione problematica di un
personaggio
I problemi scolastici standard in genere non
sono autentici.
Alcuni indicatori di artificiosità:
• C’è poca attenzione a caratterizzare il
contesto, cioè a dati rilevanti dal punto
di vista narrativo
In genere non viene presentato
il punto di vista di un personaggio.
Non c’è coerenza fra contesto e
domanda
I problemi scolastici standard in genere non
sono autentici.
Alcuni indicatori di artificiosità:
• C’è poca attenzione a caratterizzare il
contesto, cioè a dati rilevanti dal punto
di vista narrativo
Le informazioni necessarie per comprendere il problema
Informazioni NARRATIVAMENTE RILEVANTI

Informazioni LOGICAMENTE RILEVANTI
Le informazioni necessarie per risolvere il problema
Da una ricerca di D’Amore et al.
(La ri-formulazione dei testi dei problemi scolastici
standard,1995):
1. Ad allievi delle scuole elementari e medie…
…viene proposto il testo di un problema standard
2. Si richiede agli allievi – senza risolverlo! – di
riformularlo per proporlo ad altri allievi…
…nel modo che ritengono migliore
Tre operai impiegano 6 ore a fare un certo lavoro.
Quanto tempo impiegheranno 2 operai a fare lo
stesso lavoro?
gli allievi riformulano così
Tre operai fanno tutti i giorni un certo lavoro, tutti
insieme, e ogni volta impiegano 6 ore.
Ma uno di loro si ammala e non va a lavorare.
Quel giorno, quindi, gli operai sono solo in 2, ma
devono fare lo stesso lavoro.
Secondo te, impiegheranno più tempo o meno
tempo? Perché?
Calcola quanto tempo impiegheranno.
• non è un dato essenziale per risolvere il
problema
•…ma è essenziale per comprenderlo!
Tre operai fanno tutti i giorni un certo lavoro, tutti
insieme, e ogni volta impiegano 6 ore.
Ma uno di loro si ammala e non va a lavorare.
Quel giorno, quindi, gli operai sono solo in 2, ma
devono fare lo stesso lavoro.
Secondo te, impiegheranno più tempo o meno
tempo? Perché?
Calcola quanto tempo impiegheranno
Tre operai…
?
Due operai allo stesso lavoro
AIUTO!
Mi fa male il
piede!
AIUTO!
POVERINO!
SI DEV’ESSERE
FATTO TANTO
MALE!
POVERO
GIACOMO
Non riesco a immaginare la scena perchè
non so che lavoro fanno.
Non capisco come rispondere alla domanda
perchè all'inizio gli operai sono tre, e poi
sono due, non è spiegato molto bene.
Questo problema è troppo corto e non si
riesce a capire bene quello che succede.
Le uova
a
(1
primaria)
La mamma compra 17 uova. Durante il
viaggio di ritorno se ne rompono 7. Quante
uova le resteranno?
Marco e Luigi vanno con i genitori ad acquistare la moquette da mettere nella loro
camera della nuova casa, più grande e luminosa, e parlano con gioia della bella
veranda del soggiorno, lunga ben 4 metri, dove potranno giocare.
Giunti in negozio, il commesso offre loro un rotolo di 15 metri quadrati di una bella
moquette in offerta speciale e che piace molto ai bambini.
I genitori decidono di acquistarla, ma scoprono con disappunto che sulla piantina
dell’appartamento che hanno con loro non sono segnate le misure, e pensano di
rinviare l’acquisto.
Ma il commesso fa presente che nel frattempo potrebbe venderla ad altri.
Come possono fare Marco ed i suoi a decidere se possono comprare la moquette
in offerta senza correre il rischio di avere meno moquette del necessario?
Sono dettagli narrativi:
irrilevanti dal punto di vista dei processi
risolutivi
ma essenziali per costruire la
problematicità della situazione
I problemi scolastici standard in genere non
sono autentici.
Alcuni indicatori di artificiosità:
• C’è poca attenzione a caratterizzare il
contesto, cioè a dati rilevanti dal punto
di vista narrativo
• In genere non viene presentato il punto
di vista di un personaggio.
• Non c’è coerenza fra contesto e
domanda
I problemi scolastici standard in genere non
sono autentici.
Alcuni indicatori di artificiosità:
• In genere non viene presentato il punto
di vista di un personaggio.
IL NARRATORE
INTERNO
ESTERNO
personaggio della storia
Può avere diversi punti di vista
FOCALIZZAZIONE
- Focalizzazione zero: il narratore esterno è onnisciente, cioè sa tutto di
ciò che accade, è accaduto o accadrà nel corso della storia. Conosce
anche i pensieri, le emozioni e le intenzioni dei personaggi. Il narratore
sa quindi più dei suoi personaggi.
- Focalizzazione interna: il narratore adotta il punto di vista di un
personaggio (o di più personaggi diversi: focalizzazione interna multipla),
quindi sa esattamente quello che sa tale personaggio, i suoi pensieri, le
sue intenzioni ecc., ma non quelli degli altri a meno che nel corso della
storia non glieli abbiano riferiti.
- Focalizzazione esterna: il narratore esterno adotta il punto di vista di un
osservatore estraneo alla vicenda, che riferisce solo ciò che può vedere,
ossia gli eventi e le azioni dei personaggi, ma non i loro pensieri o
sentimenti. Il narratore quindi sa meno dei personaggi, perché non
conosce quello che pensano e che sentono.
FOCALIZZAZIONE
Nel caso dei problemi…
• …il narratore in genere è:
– Esterno
• Onnisciente (focalizzazione zero)
• Ma anche:
 reticente
 perverso
Esempio
Un agricoltore raccoglie 50 cespi d’insalata.
Ne vende la metà a € 2 cadauno e l’altra
metà diminuita di 5 unità a € 1,50 cadauno.
Quanto incassa?
I problemi scolastici standard in genere non
sono autentici.
Alcuni indicatori di artificiosità:
• C’è poca attenzione a caratterizzare il
contesto, cioè a dati rilevanti dal punto
di vista narrativo
• In genere non viene presentato il punto
di vista di un personaggio.
• Non c’è coerenza fra contesto e
domanda
I problemi scolastici standard in genere non
sono autentici.
Alcuni indicatori di artificiosità:
• Non c’è coerenza fra contesto e
domanda
PROBLEMA
CONTESTO
DOMANDA
Marco e Luigi vanno con i genitori ad acquistare la moquette da mettere nella loro
camera della nuova casa, più grande e luminosa, e parlano con gioia della bella
veranda del soggiorno, lunga ben 4 metri, dove potranno giocare.
Giunti in negozio, il commesso offre loro un rotolo di 15 metri quadrati di una bella
moquette in offerta speciale e che piace molto ai bambini.
I genitori decidono di acquistarla, ma scoprono con disappunto che sulla piantina
dell’appartamento che hanno con loro non sono segnate le misure, e pensano di
rinviare l’acquisto.
Ma il commesso fa presente che nel frattempo potrebbe venderla ad altri.
Come possono fare Marco ed i suoi a decidere se possono comprare la moquette
in offerta senza correre il rischio di avere meno moquette del necessario?
• La domanda nasce in modo naturale dal
contesto.
• C’è continuità narrativa fra contesto e
domanda.
Se invece non c’è continuità narrativa
fra contesto e domanda
La rappresentazione della situazione
non sostiene – o addirittura ostacola – la
comprensione della domanda, e quindi la
soluzione del problema
I bambini sembrano rispondere ad un’altra
domanda, più coerente con il contesto (la
storia)
Ogni volta che va a trovare i nipotini Elisa e Matteo,
nonna Adele porta un sacchetto di caramelle di frutta e
ne offre ai bambini, richiedendo però che essi
prendano le caramelle senza guardare nel pacco.
Oggi è arrivata con un sacchetto contenente 3 caramelle
al gusto di arancia e 2 al gusto di limone.
Se Matteo prende la caramella per primo, è più facile che
gli capiti al gusto di arancia o di limone?
All’arancia
Perché?
Perché è il suo gusto preferito
Perché ha guardato
Se Matteo prendeva quella al limone ne
rimaneva una sola e invece è meglio
prenderla all’arancia
Le uova
a
(1
primaria)
La mamma compra 17 uova. Durante il
viaggio di ritorno se ne rompono 7. Quante
uova le resteranno?
PROBLEMA
CONTESTO
DOMANDA
Importanza di una continuità narrativa fra
contesto (storia) e domanda
PROBLEMA
CONTESTO
DOMANDA
La continuità narrativa fra contesto e
domanda può essere spezzata con diverse
intensità e in diversi modi:
2.1 Nella domanda non c’è riferimento a
nessun personaggio della storia narrata nel
contesto
Cartoleria
Carlo compra un quaderno e due penne.
Spende 2 euro. Una penna costa 60
centesimi.
Quanto costa il quaderno?
FRATTURA NARRATIVA
La spesa
Anna e il suo fratellino Marco vanno a fare la spesa per
la mamma. Devono prendere il latte, il pane, e il
detersivo per la lavatrice. La mamma dà loro 10 euro.
Al supermercato comprano tutto quello che la mamma
ha chiesto.
Pagano 1 euro e 50 centesimi per il latte e 1 euro e 40
centesimi per il pane.
Hanno di resto 3 euro.
Quanto è costato il detersivo per la lavatrice?
Nel parco
(INVALSI 2009-'10, D2, V primaria)
• Davide sta andando in bicicletta nel parco. Si ferma
davanti al bivio dove vede queste indicazioni:
ALCUNE RISPOSTE:
•‘Davide sembra arrivare dal
a. Quanti chilometri ci sono
lago e nontraessere
bivio’
il rifugio eailun
lago?
□ 5 km
•‘Davide non
vede i cartelli
km girata’
perché ha□la9,5
faccia
□ 14,5 km
•'Dalle domande,
□ 17 km siccome si
parla sempre di rifugio,
sembra di capire che Davide
siaealla rifugio
b. Quanti chilometri ci sono tra il rifugio
fontana, ’che sono sulla stessa
strada?
Risposta: .................... km
Le uova
a
(1
primaria)
La mamma compra 17 uova. Durante il
viaggio di ritorno se ne rompono 7. Quante
uova le resteranno?
La continuità narrativa fra contesto e
domanda può essere spezzata con diverse
intensità e in diversi modi:
2.1 Nella domanda non c’è riferimento a
nessun personaggio della storia narrata nel
contesto
2.2 Nella domanda c’è riferimento al protagonista
della storia narrata nel contesto, alle sue azioni…
…ma NON ai suoi scopi
• Anche quando la domanda richiama il
protagonista della storia, in genere la storia
appare solo un’occasione per fare una domanda
esterna alla storia stessa e al suo protagonista.
• In altre parole la domanda è sulla storia…
… non nella storia.
2.2 Nella domanda c’è riferimento al protagonista
della storia narrata nel contesto, alle sue azioni…
…ma NON ai suoi scopi
Nonna Adele
Ogni volta che va a trovare i nipotini Elisa e Matteo,
nonna Adele porta un sacchetto di caramelle di frutta e
ne offre ai bambini, richiedendo però che essi
prendano le caramelle senza guardare nel pacco.
IL NARRATORE
Oggi è arrivata con un sacchetto contenente 3 caramelle
al gusto di arancia e 2 al gusto di limone.
Se Matteo prende la caramella per primo, è più facile che
gli capiti al gusto di arancia o INQUISITORE
di limone?
Perché?
Nonna Adele
Ogni volta che va a trovare i nipotini Elisa e Matteo,
nonna Adele porta un sacchetto di caramelle di frutta e
ne offre ai bambini, richiedendo però che essi
prendano le caramelle senza guardare nel pacco.
Oggi è arrivata con un sacchetto contenente 3 caramelle
al gusto di arancia e 2 al gusto di limone.
Se Matteo prende la caramella per primo, è più facile che
gli capiti al gusto di arancia o di limone?
Perché?
Perché è il suo gusto preferito
Perché ha guardato
Se Matteo prendeva quella al limone ne rimaneva una
sola e invece è meglio prenderla all’arancia
FRATTURA NARRATIVA
STORIA
DOMANDA
Il bambino che si è calato nella storia:
•risponde a una domanda diversa, più coerente
con la storia stessa
•oppure per rispondere trae inferenze di tipo
narrativo dalla storia
Nonna Adele riformulata (A)
Ogni volta che va a trovare i nipotini Elisa e Matteo, nonna
Adele porta due sacchetti di caramelle che i bambini
dovranno mettere nel cassetto di cucina, per poi mangiare
una caramella ogni tanto.
La prima caramella però la possono mangiare subito, ma
nonna Adele vuole che Elisa e Matteo la prendano da uno
dei due sacchetti senza guardare dentro.
Oggi la nonna è arrivata con due sacchetti, uno bianco e uno
rosso, e dice ai bambini: “In quello bianco ci sono 4
caramelle al gusto di menta e 3 al gusto di arancia, in quello
rosso ci sono 3 caramelle al gusto di menta e 4 al gusto di
arancia”.
Se a Matteo piacciono di più le caramelle all’arancia, da
quale dei due sacchetti gli conviene pescare?
PROBLEMA
La domanda entra nella storia
STORIA
DOMANDA
INQUISITORE
NARRATORE
chiede la collaborazione del
lettore per completare la storia
CLASSI
SECONDE
Risposte
corrette
Risposte
scorrette
Versione A
44
12
Versione B
27
29
In caso di frattura narrativa fra storia e
domanda
• La storia perde la sua funzione di
‘facilitatore’ per la comprensione del
problema
– Perché non facilita, o addirittura ostacola, la
comprensione della domanda
• In questo caso il bambino sembra perdersi
in dettagli narrativi irrilevanti
PROBLEMA VERBALE
(word problem, story problem)
CONTESTO
DOMANDA
• una situazione ritenuta familiare per l’allievo
• una storia
Cartoleria
Carlo compra un quaderno e due penne.
Spende 2 euro. Una penna costa 60
centesimi.
Quanto costa il quaderno?
Un quaderno e due penne costano in tutto
2 euro. Una penna costa 60 centesimi.
Quanto costa il quaderno?
Nel parco
(INVALSI 2009-'10, D2, V primaria)
• Nel parco c’è un bivio con queste indicazioni:
a. Quanti chilometri ci sono
tra il rifugio e il lago?
□ 5 km
□ 9,5 km
□ 14,5 km
□ 17 km
b. Quanti chilometri ci sono tra il rifugio e la fontana, che sono sulla stessa
strada?
Risposta: .................... km
Nonna Adele semplificata
In un sacchetto ci sono 3 caramelle al gusto di
arancia e 2 al gusto di limone.
A occhi chiusi, è più facile pescare una caramella al
gusto di arancia o di limone?
Perché?
Oppure si può cercare di riformulare il
problema in modo da saldare la frattura
narrativa
STORIA
DOMANDA
Nonna Adele riformulata (A)
Ogni volta che va a trovare i nipotini Elisa e Matteo, nonna
Adele porta due sacchetti di caramelle che i bambini
dovranno mettere nel cassetto di cucina, per poi mangiare
una caramella ogni tanto.
La prima caramella però la possono mangiare subito, ma
nonna Adele vuole che Elisa e Matteo la prendano da uno
dei due sacchetti senza guardare dentro.
Oggi la nonna è arrivata con due sacchetti, uno bianco e uno
rosso, e dice ai bambini: “In quello bianco ci sono 4
caramelle al gusto di menta e 3 al gusto di arancia, in quello
rosso ci sono 3 caramelle al gusto di menta e 4 al gusto di
arancia”.
Se a Matteo piacciono di più le caramelle all’arancia, da
quale dei due sacchetti gli conviene pescare?
Attività 3
Analizzare il testo dei problemi seguenti,
identificando per ognuno gli aspetti narrativi
che possono essere d’ostacolo per la
comprensione:
•Assenza di dati rilevanti dal punto di vista
narrativo
•Narratore esterno, reticente, perverso
•Test di continuità narrativa fra contesto e
domanda
2. Automobiline (5, 6)
Giulio e Andrea per giocare mettono insieme le loro
automobiline.
Quando smettono di giocare, ciascun bambino vuole
riprendersi lo stesso numero di automobiline che aveva
all'inizio del gioco.
Tutte le automobiline sono 48, ma come dividerle?
Andrea ricorda che ne aveva il triplo di Giulio.
Vuoi aiutarli a dividere le macchinine nel modo giusto?
Per rispondere aiutati con questo schema:
macchinine di Giulio
macchinine di Andrea
1. La spesa (3, 4)
Anna e il suo fratellino Marco vanno a fare la
spesa per la mamma. Devono prendere il latte, il
pane, e il detersivo per la lavatrice. La mamma dà
loro 10 euro.
Al supermercato comprano tutto quello che la
mamma ha chiesto.
Pagano 1 euro e 50 centesimi per il latte e 1 euro
e 40 centesimi per il pane.
Hanno di resto 3 euro.
Quanto è costato il detersivo per la lavatrice?
3. Bigné al cioccolato (6, 7, 8)
Al bar del club di vacanze Archimede, ci sono sempre
ottimi bignè al cioccolato.
Ogni giorno, dal lunedì al venerdì, il bar si fa consegnare lo
stesso numero di bignè, mentre il sabato e la domenica ne
ordina 20 in più rispetto agli altri giorni, perché c’è
maggiore richiesta.
Ogni giorno della scorsa settimana (dal lunedì alla
domenica) sono stati venduti tutti i bignè. Il sabato e la
domenica, complessivamente, ne sono stati venduti 4 in
più di quelli che sono stati venduti durante tutto il resto
della settimana.
Quanti bignè al cioccolato arrivano al bar ogni giorno della
settimana?