M. Salerno
Tor Vergata
Trifase
1
Trasmissione dell’energia elettrica
Schema di principio
Vg
+
+
Vb
jX
+
Va
R
I
linea di trasmissione
jX
carico
R
Effetti della linea di trasmissione
1. dissipazione di energia
2. caduta di tensione
DV = |V b | - | V a |  VR cos f + VX sin f =
Schema equivalente della linea
dipende
dalla lunghezza,
2RRI cos f + 2X IRsin
f
Potenza
attiva
Va  Vb  V
2 Qdi )linea
dalla
sezione
conduttori
e
2=
2 dei
2
DV / VP=aL(2R
P
+I 2X
/IVeff
[W
]
=
R
|
|
resistenza
=
R
2
R
I
aC
C
eff
Si ricordi che dal materiale utilizzato
dissipata in linea Vb
Pmalfunzionamenti
Veff I effriscaldamento
cos fsul carico.
potenza
attiva sul carico
jX caduteRdi tensione possono
La potenza
dissipata
dei conduttori
aC =provoca
Eccessive
provocare
X
dipende
dalla
lunghezza e
X
e
aggravio
nei
costi
di
gestione.
Si caduta
ricordi
che
QRC e=X,
Veff
I eff sindalla
f lapotenza
reattiva
sul carico
disposizione
conduttori
La
tensione
viene limitataVdiminuendo
e aumentando
tensione
didei
linea.
f diV
a
X
di linea
La potenzareattanza
dissipata viene
limitata( X
diminuendo
R
VR
I
=wL)
Il| I
termine
RP
è
prevalente
rispetto
al
termine
XQ
nelle
linee
in
cavo
e
per
alti
DVC/alluminio,
V = (2R Vaumento
I cos fdella
+ 2Xsezione)
Vfattori
I sinedif potenza.
) / V2
| = I = aC 2 Ieff
(conduttori in rame,
= (2R Pdella
2X QC )di/ linea.
Veff2
diminuendo l’intensità
aC +corrente
1. Caduta
2.
Dissipazione
di tensione
percentuale
di energia
di tensione
M. Salerno
Tor Vergata
Trifase
2
Trasmissione dell’energia elettrica
Uso dei trasformatori nella trasmissione dell’energia elettrica
1:n
Vg
+
Rg Ig
m:1
+
Vl
Rl
Il
+ R
u
Vu
Iu
L
M
utilizzazione
trasmissione
generazione
carico
Le elevate tensionine le
basse correnti
in linea
di
V(relativamente)
(1/m)
Vpermettono
= Vu la trasmissione
tensioni e correnti
g = Vl
l
energia elettrica a grande distanza, limitando le perdite di energia e le cadute di tensione
in valori efficaci
m Il = Iu
Ig =sono
Il fissate da esigenze costruttive
Le tensioni del(1/n)
generatore
Le tensioni del carico sono fissate da esigenze d’uso e di sicurezza
Nelle applicazioni V qualche decina di kV, V qualche centinaio di kV, Vu qualche centinaio di V
I trasformatori reali gutilizzati sono dispositivi lad altissimo rendimento energetico
( > 99 %)
Dal teorema di Thévenin
+
n Vg
+
n2 Rg + Rl
(n/m)Vg
L
(n2 /m2 ) Rg +
(1 /m2 ) Rl + Ru
M
M. Salerno
Tor Vergata
Trifase
3
Trasmissione dell’energia elettrica
Sistema trifase
trifaseaa quattro
tre fili fili
monofase
Sistema
+
FASE A
R
VVgAg
IA
Ieff
carico
IB
Ieff
carico
IC
Ieff
carico
R
+
FASE B
R
VVgBg
R
+
FASE C
R
VVgCg
R
NEUTRO
IN = 0
Conduttore
comune
ai tre circuiti
e tensioni
PoichédiINfase
= 0 , il conduttore
Circuito
trifase
equilibrato
Potenza
attiva
totale utile IN = IA + ICorrenti
B + IC = 0
2
PaC = 3 RC Ieff di neutro in linea può essere
Notazione:
FASEdiAcarico)
(RC resistenza
Moduli: 2IA = eliminato
IB = IC (= I )
2
IC
IB FASE BPaC = 3 RC Ieff ; PaL = 3 R Ieff
[ IeffA = IeffB = IeffC (= Ieff )
Potenza attiva
totale
dissipata
FASE ACparità di potenza utile,Pin un=sistema
2 equilibrato è
trifase
6
R
I
]
aL
eff
(R resistenza
di
un conduttore
di linea)
Corrente
IN = IA + IB + IC
NEUTRO
IA
dissipata metà
potenza in linea
rispetto adi
unneutro:
sistema monofase
M. Salerno
Tor Vergata
Trifase
4
Sistemi trifase
Sistema trifase di trasmissione dell’energia elettrica
+
A
+
IA
EA
V
VAB
ECA
Cgeneratore E
+
B
+ trifase
+
+
NBC
V
g
Generatoreinin
Generatore
connessione
a
connessione
a stella
triangolo
EA , EB , EC
tensioni
VAB , Vstellate
BC , VCA
Ng tensioni
neutro del
concatenate
generatore
linea trifase a tre fili
IB
B
IC
C
sistema trifase simmetrico
A
VCA
EC
C
EA VAB
EB
Ng
VBC
ZA
ZCA
ZAB
ZB carico ZC
trifase
ZBC
Nc
Carico in
connessione
a
connessione
a stella
triangolo
VAB = VBC = VCA = V
EA = EB =NEcC =neutro
E
del
B
V = 3 E carico
M. Salerno
Tor Vergata
Trifase
Trasformatore trifase
A’
A
generatore
trifase
B
B’
C
C’
Tre trasformatori
identici di rapporto
m:n
+
V1
5
m:n
+
V2
V1
V2
Connessione
Connessione
Connessione
triangolo
triangolo
stella
stella // triangolo
/stella
triangolo
/ stella
==VE
VE
=EVV
VVAB
===E
V
EA==
EVCA
==E
BC
CA
BC
B
C
EAB
=
=
A
B
C
VV
=
V
=
V
==V’
=
V
=
VC’A’
V’
E
=
E
=
E
=
E’
A’B’
B’C’
A’B’
B’C’ C’
C’A’
A’
B’
EA’ = EB’ = EC’ = E’
V
V’= m
m // nn
V
E // E’=
EE’=
/ E’=
E’=
//3nn/ n)
EE/E
/ /E’=
m 3m
/(mm
n
carico
trifase
A’ A’
A’
A’
Y
D-Y
D
C’
AA
C
C
C’C’
EA E
A
EEB
B
EECC
C’
BB
B’ B’B’
B’
M. Salerno
Tor Vergata
Trifase
6
Autotrasformatore trifase
A’
A
generatore
trifase
B
B’
C
C’
carico
trifase
E’ = E (m+n) / m
Autotrasformatore monofase
m:n
Va
+
V1
+
V2
Vb
Vb = Va (m+n) / m
m:n
V2 / V1 += n / m +
V2
Va V =VV
1

a
1
Vb
Vb = V1 + V2
Vb = Va (m-n) / m
L’autotrasformatore è conveniente
per rapporti di trasformazione
(m+n)/m
V2 / V1 non
= n /molto
m diversi da uno
(m > n).

Va = V1
Per contro, i circuiti primario e
Vb = V1non
- V2sono disaccoppiati,
secondario
ma hanno un terminale in comune
M. Salerno
Tor Vergata
Trifase
7
Trasmissione e distribuzione
Componenti
e simbologia
La rete di distribuzione
inAT
BTèèalimentata
di norma trifase
a quattro
trasmissione
in
da un insieme
difili.
generatori trifase
(alternatori),
per si
mezzo
trasformatori
di tensioneofficine, ecc.) e utenze
ATutenze
: alta tensione;
MT di
: media
tensione;
BT : bassa
Le
in BT
distinguono
in
utenze elevatori
trifase
(laboratori,
monofase
(utenze domestiche)
Le
reti di trasmissione
e distribuzione
realizzateininATmodo da permettere
trasmissione
380 kV sono
linee trifasi:
Sono
in esercizio
due osistemi
standard:
connessioni
multiple
di emergenza.
132 kV distribuzione in AT
tensioni
concatenate
Componenti
permettono
di connettere
o utenze
Sistemaspecifici
380 Veff (interruttori,
concatenata
220distribuzione
Veff stellata
(220
 380
/1.73)
: alle
20 kV/sezionatori)
in MT
efficaci
disconnettere
sezioni
di rete la
intensione
AT, MT stellata
e BT. a 220 Veff (fra unavalori
monofase
è assegnata
fase
e
il neutro)
distribuzione in BT
380 V
Organi
particolari
di compensare
le cadute
tensione
linea,
per
Sistema
220 Vpermettono
/ 127 Veff stellata
(127 di
 220
/1.73)in: alle
utenze
eff concatenata
garantire
la costanza
della tensione
d’utente
entro i amargini
monofase
è assegnata
la tensione
concatenata
220 Veffconsentiti.
(fra due fasi) e
Autotrasformatore
Trasformatore
Condensatori
di rifasamento
sono inseribili
vari
critici
della
(eventualmente)
la tensione
stellata ain
127
V punti
(fra una
fase
e il rete.
neutro)
trifase 380 / 132 kV
Trasformatore trifase
trifaseeff132 / 20 kV
Il sistema
220 / 127sistema
è in faseè di
dismissione
20 / U.S.A.
0.38 kV )
La frequenza
dell’intero
fissa
( p. es. 50 Hz in Italia, 60 Hz negli
Esempio
380 kV
20 kV
132 kV
380 V
utenti
M. Salerno
Tor Vergata
Trifase
8
Sistemi trifase: notazioni
A
generatore
B
trifase
+ EA
+ VAB
C
carico
trifase
IB
+ VBC
+ VCA
+ EB
+ EC
N
tensioni concatenate :
IC
IN
Vhk , con hk = AB, BC, CA
SVhk
tensioni stellate :
IA
= 0 (somma per tutte le possibili coppie hk)
Ek , con k = A, B, C
Vhk = Eh - Ek , per ogni hk
correnti di fase :
Ik , con k = A, B, C
S Ik
S Ik
= 0 (somma per tutti i k) : trifase a tre fili
= IN (somma per tutti i k) : trifase a quattro fili
M. Salerno
Tor Vergata
Trifase
9
Sistema trifase a tre fili
+
A
EA
Egeneratore
C
+ trifase
Identificazione del sistema
IA
EB
+
Ng
IB
B
IC
C
sistema trifase simmetrico
ed equilibrato
BB
B
EZb
ZB
CC C
Zc
EC
Ng Ngg
ENc +
+
Ex arbitrario
EZk ZK
VCA
Ex
A
ZC
VAB , VBC , VCA
ENc = 0 V E’
VBC
B B = EZb
AB E
NC
EBB
V
E’
BC
EZc
Nc
VAB VAB
N
C
E =N
ECEV
C BC
E =E
C
Misura delle ampiezze
(o dei valori efficaci)
delle tensioni concatenate
ZA
EEAAZa
A A
A
E’CV = V = VE’A E
AB
BC VE
CA
Identificati
Identificati
i ifasori
fasori
EBC
Za, ,EV
AB
A ,V
B
CCA
NC
Identificazione delle tensioni
stellate EA , EB , EC

Calcolo
delle
tensioni
sul
carico
Scelte
arbitrarie
nella
identificazione
Condizioni
di
equilibrio
e simmetria
Calcolo
delle
correnti
di fase e
Dato
triangolo
ABC,
la posizione
delcarico
punto NC è
neutro
del
carico
deiNilfasori
delle
stellate
potenza
assorbita
dal
Cdella
Si
scelga
untensioni
punto
arbitrario
nel piano
condizioni
di
invariante
rispetto
alla
scelta
arbitraria del punto Ng
EZkE= EkY
-AE
=
Y
=
Y
=
Y
Nc
B
C
tensione
del neutro
del
carico
B come
Bha:
equilibrio
fasori,
punto
neutro
N
Ncper
g dei
E
Ik = Ydei
k
=
A
,
B
,
C
Infatti,
,
si
posizione
neutro
dei
generatori
B
k EZkogni
B
B Edel
x
A
rispetto al neutro dei generatori
generatori
EE
=
0
E
=
(E
+E
+E
)
/
3
B
Nck , dei
A2fasori
E
+piano
E’
kammettenze
=
A, BB, CC potenza
nel
A totale
xRe
=
1
/
Z
di
carico
attiva
PNcak=Y=S
[
Y
]
E
k
k
k
eff
Zk
(si può scegliere
del
EB E uno dei centri
condizioni
ENc = S[YEk(E+
+E’
)]/(
S
Y
)
=E
+
S
Y
E’
S Ydi
B
E
x delle
k + 2tensioni
k 0 Aconcatenate)
x A k
k/(
k)
E
E
=
C
triangolo
A [Y arbitraria
BE
C
rotazione
di
fase
N
potenza
reattiva
totale
Qk ==E
- Sk+Im
]
S Y (Eg Nc E-Ek) = 0 simmetria
Nc k k eff Zk
EE’
C
(siExpuò
anche
punti A,
ECA uno deiSequenza
A EC N N scegliere
g
I fasori
delle tensioni
B,
C) dellag sequenza
ordine
delle
fasi
S
Yk E
inversa
diretta
k
C
C
A
sono
identificati
a meno
=
A (diretta oEinversa)
Nc
delle
fasi
Y
C
di unaSarbitraria
rotazione di fase
k
M. Salerno
Trifase
10
Trasformazione stella triangolo
Tor Vergata
A
ZAB
E
ECC= 0
+
B
C
++
E
EAA
ZCA
E
ZEBC
B =B0
+
carico a triangolo

ZAB
ZCA
Z = ZAB ZZCA
BC / S Zhk
IBA
ZB = ZAB ZBC / S Zhk
ZC carico
= ZBCaZtriangolo
CA / S Zhk
Yhk = 1 / ZYhkhk = 1 / Zhk
YAB = YA Y++B / S Yk
E
E
YBC = YB YCAA/ S Yk
=SB0 Y
EEYCCCA
= 0= Y Y E/BE
C A
+
+ k
A
ENc +
IB
B
C
ZZAA
ZZBB ZZCC
carico
caricoaastella
stella
Y k = 1 / Zk ;
ENc = [S Yk YEkk =] 1/ /SZkYk
inversa
ZAB = S YSi
YA YB EB = EC = 0 (generatori di tensione Trasformazione
disattivati)
k /ponga
ZBC = S Yk / YB YC
Calcolo di IB
ZCA in
=S
Yknon
/ YCscorre
YA corrente,
ZBC
ENc = [YA / S Yk ] EA
Sommando
membro
a
membro
perché ZBC è in corto circuito
IB A=YYBAB
EA B YC ) +1/(YC YA )] = [ SIY
YAB YEBNc
S Zhk = S Yk [1/(Y
)+1/(Y
)] =
[1+[YYAAY/YBC /+ SYB Y/YkC]] EA
B k=/(Y
= ZAB [(YA+YB+YC ) / YC ] = ZAB [S Yk / (YC YA )] YA = ZAB ZCA YA
YAB = YA YB / S Yk
YBZYC // SSZYk
ZC = ZBC ZCA / S Zhk
ZA = ZAB ZCA /per
S rotazione
Zhk
ZYBBC= =ZAB
BC
hk
degli indici
YCA = YC YA per
/ Srotazione
Yk
degli indici
M. Salerno
Tor Vergata
Trifase
11
Stella / triangolo: proprietà
Esempio
A
A
A Z
AB
ZCA
ZBC
B
C
ZA = ZABR+jX
ZCA / S Zhk YAB R+jX
= YA YB / S Yk
/ R BC=/c S Zhk YX
ZB = XZhk
= cYC / S Yk
AB Zhk
BCk /=RY
kB
ZC =leZimpedenze
YCA = YC Ydella
delZhk
le impedenze
BC ZCA / S
A / S Yk
A
ZA
triangolo devono stella devono avere
B
avere la stessa fase la stessa fase
j
j
–j
j
1 / [|Zhk | e j ]==atan
|Yhk
( c| )e
j; =Yatan
( c/ )Zk = 1 / [|Z
Ck|
k =1
B
C
ZB ZC
carico a triangolo
B
C Yhk = 1 / Zhk =
carico a stella
e jj ] = |Yk | e –jj
Ipotesi: Le impedenze Z (espresse
2 ++j
2) forma
stesso
Rkhk=+j1/(
Y
XR
+jRdi
Xhkk(1
) =+j(XRhk
jX
/ (RRhkk(1
Xin
ckin
=forma
Rk( 1 polare)
-polare)
j Xk / Rkhanno
)hanno
/ ( triangolo
Rk2tutte
+tutte
Xk2lo
)lo
=
Gimpedenze
jargomento
c ) ; Zhk jj
distesso
stella
impedenze
Z))k=(espresse
hk
hkk=
k -/R
hkk
k (1 -argomento
lo
stesso
argomento
j
jj
2) =
=|Y
|–jejjj+j
;XZ =) /|Y
=
Z=+j|Y
eX
G
// (SRZ2 argomento
+=X(Z
Y
;Y
| e+j–jX|je ;jj+R
Y;con
Z =con
Z =lo
ZR stesso
R
+j
X|Zj| )e(R
( R|Z
X= ||Z
+e R–jj| +j
)
A
kAB
k
CA
k hk
k AB
AB
A
AB
AAB
CA
CABC
B
BABBC AB
BC
CBC CA C
CA
CA
CA
(1 +j c ) RCA (1 +j c )) /G[R(1
(1c+j
) + (1
RBC
cG) +(1R-jCA
AB-j
YAB==R
YAB
)jj/jc[G
-j c(1) +j
+ –j
c (1
) ++jGcC )]
(1 -j c )]
Casi
particolari
j
–j
A YB / S Yk= GA (1 -j c–j
B
A
B
j
j
j
j
Y
=
|Y
|
e
|Y
|
e
/
S
|Y
|
e
=
[
|Y
||Y
| / S |Y | ]e –jj jj
ZAB
=
|Z
|
e
|Z
|
e
|Z
|
e
|Z
||Z
A
B
k
A
A
AB
CA
hk
AB B CA | / S k|Zhk | ]e
==[ [RG
+j R)]CA(1
)] -(1j c+j
ZA èZ
una
RL
serie
fase]serie
AB R
AB++GRBC
–jG
–j
jj)jc//) S
jj ( c )
//di
((R
G|Z
1/Y
è una
RL
A GY
BBC
A|YB |Be+jj
C
=
|Y
|
e
S |Z
|Y
ee –jj=jjimpedenza
|Y
||Y
| /| S
ej| –j]=ejatan
ZCA
=
|Z
|
e
== AB
[[ |Z
||Zimpedenza
/con
di
S|Yresistori
|Z
stella
resistori
C
k || AB
B triangolo
CBC
k | hk
B
AB
BC
hk
AB
fase j = atan ( c )
–j
–jjjj / S |Y | e –jjj =con
jjj |Z
Y
=
|Y
|
e
|Y
|
e
[
|Y
| / |S/ S
|Yk|Z| hk
]e| –j]je jj
ZCA
=
|Z
|
e
|Z
|
e
|Z
||ZA CA
analogamente
C
A
k
C ||Y
C
BC
CA
hk
BC
analogamente
triangolo di induttori
stella di induttori
ZB = [ RAB RBC / (RAB + RBC + RCA )] (1 +j c )
Allora:
YBC = Anche
[ GB GC le
/ (impedenze
GA + GB + GZChk
)] (espresse
(1 - j c ) in forma polare) hanno tutte lo stesso
k (espresse in forma polare) hanno tutte lo stesso
triangolo di condensatori
condensatori
ZYC =stella
[ Rargomento
RCA
/ (RAB
j + RBC + RCA )] (1 +j c )
BCdi
CA = [ GC GA / ( GA + GB + GC )] (1 - j c )
M. Salerno
Tor Vergata
Trifase
Sistema trifase simmetrico ed
equilibrato
a = e j2p/3
fattore di rotazione
antioraria di 120°
a 3 = 1 ; a = a -2 ; a 2 = a -1
1+ a +a 2= 0
Terna simmetrica
diretta
1
Da
1 a
D
D
3
a
2
1
2
D
a
{D , Da , Da 2}
3
I a-2
3
2
B
Un sistema
trifase
si dice simmetrico,
f angolose
di le
IB
sfasamento fra
tensioni formano una terna simmetrica
tensione etrifase)
corrente
(la simmetria dipendeEdal
A generatore
2
1I
a2
I
B
C
carico
trifase
E
Terna simmetrica
inversa
1
2 3
A
generatore
trifase
Proprietà elementari di a
2
12
a
1
I
a-1-1
{I , Ia , Ia -2}
{I , Ia 2 , Ia }
IC
(uguale per le tre
fasi)
IA
Un sistema trifase si dice equilibrato, se le
correnti formano
una terna simmetrica
EC
(l’equilibrio dipende dal carico trifase)
2p/3
terna trifase
Carichi fortemente squilibrati possono
provocare dissimetrie nelle tensioni, a causa
di cadute di tensione dissimmetriche in linea t
somma = 0 per ogni t
M. Salerno
Tor Vergata
Trifase
13
Potenza nei sistemi trifase
A
generatore
B
trifase
C
N
+ v + vAC + eA
AC
iA
vBC
+ vBC+ eB
+
+ eC
iB
carico
trifase
iC
iN
potenza istantanea
assorbita dal
assorbita
carico dal carico (verifica)
Sistematrifase
trifaseaa quattro
tre fili fili
Sistema
simmetrico ed equilibrato
iA i+B i+B i+C i=C 0= 0iN ½
iVA +
AC = V ; VBC = V a
eIA +=eIB +;eIC == 0I a
A
B
Neutro
Neutro
aa potenziale
potenziale
arbitrario
fissato
Neutro riferito al centro stella
E
I
La potenza istantanea
f
potenza ècomplessa
potenza
istantanea
La
potenza
istantanea
p(t)
=
v
(t)
i
(t)
+
v
(t)
i
(t)
p(t)
=
S
e
(t)
i
(t)
I
I*]f trasferita da un sistema trifase
AC
A =
A
p. attiva
Pk a = kp(t)
= (3/2)
3 BC
EeffRe[E
IeffB cos
costante
eequilibrato
pari alla è
IB
simmetrico
ed
p(t)==3 vEAC(t)
iA(t)
+fvBC=(t)
iB(t)
P
=
½
[V
I
*
+
VBC IB* ]
I
cos
c
AC
A
P
eff Re[VAC IA*a+ VBC IB*]
potenza
attiva
= Paeff= ½
costante nel tempo ed è pari
p. reattiva Q = 3 Eeff Ieff sin f
p(t) = S ek(t) ik(t)
Pc = attiva
½ S Ek Ik*
alla potenza
VBC
VAC
w t]jjw=tt P
jw
jw
t+V
t +I E
wt t])][e[Ij2
- j-wjwt ]t ]+=¼ [ V
jw t+V *e- jw t ] [ I e jw t+I *e- jw t ]
p(t)
Pa [S+pV[½
[V
(1+
a-i-jwj3/2
istantanea
p(t) =
= La
¼
ERe
eeAC
*e
*e
I
e +I
+aAI*e
*e
=
v
i
+
v
½BC
[VEAC
Vtrifase
AC
k
AC
k
A
kpotenza
kv
BC e Pc =
B
potenza
attiva
=A*E +;potenza
E
aa]reattiva
;tre
ECfili
=Ea2
proprietà
di
trasferire
potenza
istantanea
costante,
nei
sistemi
=
e
e
A
BC ogni
B
BC=IE
B*B
A I
B
Espressioni valide
per
AC
A
C
w t+E
w *e
t +- V
j2w t ]I= e j2w t ] =
=½
¼ Re[V
Strifase
EAC
IAkIa*+E
*eaC+tre
+
Ipotenza
¼
*]Le
S+eC[½
Re
Ik [eVj2AC
IA=ek*I
vBC
ej2scelta
simmetrici
ed
equilibrati,
alla
delBneutro
alIAAcentro
Pc = ½ [(E
IIstella
* +=(E
EC=
)=IIV
p[ =
-Aquattro
)k*I
iVABC
+] fili.
(e
)Eièistantanea
k(e
kfili.
BLe
k legata
sistema
sistema
trifase
Vdel
; –Vtriangolo
Bk - eC BC
A
B*]
B -non
B
=- IEC); V
aa2 ½
BAC= I a B ; IBC
C
Q = ½ Im[V
P j2=tw]trasferimento
½
Re[VAC IA* +di
VBC
IB*] istantanea
½ al
AC IA* + V
BC IB*]
t=
tensioni
possono
riferite
delle
LeI+condizioni
potenza
costante
sono:
+stellate
½= Re
[(sono
V
+
Vessere
aRe[
= ½ [EA IA* + E
I
*
E
(I
*
=P
½a Stensioni.
Re[
E+k)iper
IBek)j2eawil
]=
eE
i½
(iIAa
B
B
C
A
A kiAIk+*]eB
B -SeC
IA = I ; IB = I+aIB*)]
riferite
potenziale
a triangolo
un neutro
del neutro
(reale
o
delle
concatenate
equilatero
(sistema
simmetrico),
2 + a 4)] =
=P
(3/2)
Re[E
I*]
Re[
)EeiCIj2ewj2t w] t=P
(1+
a
= Re
eA i[V
e(1+
iBa
+3/2
eCtensioni
i
=
-(i
+
i
)
P
=
½
[
E
I
*
+½
E4Im
IB1+
*[S
+aEE+C IaCI*]
a +p½
2
2 =]0
A +I+
B½
C
A
B
c
A
A
B=
=
½
Re
[S
E
I
*
]
Q
=
1+
a
+
a
fittizio), a potenziale
arbitrario
t
a
k
k
k k*
3/2
j
p
triangolo
delle
correnti
di
linea
equilatero
(sistema
equilibrato)
t
a = e = -1
P
(3/2)
I*]dei termini
somma
variabili
la= somma
dei termini
variabili
è nullaè nulla
a laRe[E
M. Salerno
Tor Vergata
Trifase
14
Componenti simmetriche

[Una
V 1 generica
V 2 V 3terna
] = di vettori { V 1 , V 2 , VM3 }= (Vè pari
alla somma
di) / 3
+
V
+
V
1
2
3
= [M
M identici
M]+
una terna
di vettori
{M , M , M } ,
D =2 (V 1 + V 2 a 2 + V 3 a ) / 3
2
+ [D
D a Ddiretta
a ]+ {D,Da,Da }e
una terna
simmetrica
2
+ [I
I a 2 inversa
Ia]
una terna
simmetrica
{I , I a 2, IIa =
} (V 1 + V 2 a + V 3 a ) / 3
Esempio
[V1 V
D a D a 2 ] + [I I a 2 I a ]
Proprietà
elementari
2 V 3 ] = [M M M ] + [D
V 1 + V 2 + V 3 = 0I
M =0
V1
M , D , I incognite
V 1 , V 2 , V 3 termini noti

V1
M + D V 2+ I M
=V1
V
grado di
2
M
+Da + Ia =V2
dissimmetria
0%
V
2
3
M + D a + I a = VV3+C
3VD2
V3
Va
Va2

M
D
I
M = (V 1 + V 2
+V3
)/3
0
V
0
2
soluzione
D = (V 1 + V 2 Va3 + V 3 a ) / 3
2 0
V a +C V a 2 +C I = (V 1 + V 2 a C + V V
3a ) / 3
V2
I e0
In questo
esempio,
alle componenti
M . Ciò
V
03D
V
grado
di V 2 la componente
V2
V1
V
puòdissimmetria
essereVgiustificato
che la terna V1 , V2 , V3 è “simile” a
0% 3 intuitivamente osservando
1
V1 V
2
-1
+
C
0
una terna simmetrica
la
sequenza
1 1 inversa
1 1V +(i1C vettori
1V a hanno
3 C 0 Vquasi
0a +Cle stesse ampiezze,
1 1 1
1 1delle
1
1
2
2
2
2
13Ma aIn generale,
1 a a il V
=grado
0 3di dissimetria
03D pertanto
sifasi
dimostra
chediorario).
è digrado
verso
di una
1 terna
a adi vettori
= 1 può
a a
3
3
2
2
2
V
V
1 aaa
1|D3V
a| , sea |I 0
0|D 0| , ovvero
302
1, sea|I a
1 a V
a 22
essere
posto
uguale
|
I
|
/
|
<
|
D
|
/
|
I
|
|
>
|
D
|
dissimmetria
100%
V 1+ V2a + V 3 a
V 1+ V2+ V 3
V 1+ V2a + V 3 a
2
I Vè a
prevalente
V arispetto
[ ][ ] [ ]
[ ] [ ]
M. Salerno
Tor Vergata
Trifase
15
Suddivisione di un sistema trifase
A
generatore
trifase
+ EA
IA
IB
B
C
N
+ EB
carico
trifase
EM , ED , EI
EA
IC
EB
+ EC
B
Trifase a tre fili
ID , II
A
E’B
IA
E’A
EC
Ex
E’C



C
IB
S Ik = 0
IC
Potenza complessa
Suddivisione
della terna
trasferita
dellealtensioni
carico stellate nelle componenti
EA = Esimmetriche
M + ED + EI
EB = EM + ED a + EI a 2
Pc = ½ S Ek Ik* = ½ (EM + ED + EI) (ID + II)* +
EM
= (EA +EEk BIk+* E=C3/2
) / 3(E I *terna
P
+ E monofase
I *)
c= ½ S
EC = EM +EM
ED=aE’2M++EEIxa
½ (EM +2 ED a + EDI aD2) (IDI a I+ II a 2)* +
Per ogni Ex E = E’
EDpotenza
= (EA complessa
+ EB a +(eEleCpotenze
a2 ) / 3 attiva
ternaesimmetrica
diretta
2
La
reattiva)
è
IA = ID + IDI D
½ (EM + ED a + EI a) (ID a + II a)*
EII= E’
trasferite
al
carico
simmetrici, inversa
EI = (E
+
EB acome
+ ECseai 2sistemi
) / 3 trifase
terna simmetrica
I
=
I
a
+
a I2
A
B
D
I
contenenti
E
Termini
relativi
al
sistema
trifase
simmetrico
diretto
M indipendentemente
diretto e inverso, agissero
2+I a
I
=
I
a
2) + I
2 + a)] *-2= 0
-1
2
C
D
I
EEM
[
I
(1
+
a
+
a
(1
+
a
D IDD* + ED a ID* a I+ ED a ID* a = 3 ED ID*
Neiterne
sistemi
trifase
a tre
fili, il E
termine
monofase
delletensioni
tensioni
Le
simmetriche
diretta
EI delle
stellate sono
invarianti rispetto alla
Suddivisione
della
terna
delle
correnti
nelle
componenti
simmetriche
D e inversa
Termini
relativi
al al
sistema
trifaseInfatti,
simmetrico
inverso
non contribuisce
trasferimento
della potenza
complessa
scelta
della
tensione
del neutro.
per
ogni
E , si ha Ek = E’k + Ex , con k = A , B , C
Termini
misti
contenenti
E
I
*
oppure
E
I
D -2 I
I -1D* x
Alla potenza
complessa
2
Sistema trifase
a tre fili
IEMI =II(I*A++EIdella
+ Ipotenza
) */ 3a complessa
monofase
I
+ EIterna
a I-2non
*a
=2 3 dalla
E
I
*
L’espressione
dipenda
Ba
C
I
I
I
I
I
-1
EE
=
[(E’
+
E
)
+
(E’
+
E
)
+
(E’
+
E
)]
/
3
=
[E’
+
E’
+
E’
]
/
3
+
E
=
E’
+i termini
Ex
* + BED ax II* aC + xEI a ID* a A+
B contribuiscono
C
x I solo
MD II* A+ EI xID
M
I
+
+
I
=
0
2
posizione
del
centro
stella
nel
triangolo
delle
tensioni
A
B
C
ID = (IA + IB a + IC a ) / 23 2terna-1simmetrica diretta
2
-2 =+ E’ a + E’ a] / 3 = E’
ED = [(E’A + Ex ) + (E’
(E’C++EEIx a
)aI
] D/ *
3=
+BE+D Eax ) aII*+ a
a [E’
ED IDD* e EI II*
A
B contenenti
C
P
=
½
S
E
I
*
=
3/2
(E
I
*
+
E
I
*
)
La
potenza
istantanea,
in
presenza
simultanea
delle
2
c
k
k
D
D
I
I
(IIA *++(1
IEB +a
IC+a+a E)) /+)3a
simmetrica
inversa
=0
–1
2+
a+e(E’
EI+èterna
I(E’
= 0A + E’B a + E’C a 2] / 3I=ME’
EI=II=E=D[(E’
+ E+xnel
)aa1tempo
] /a3 -1=)[E’
componenti
x)+
inversa,
B
xnon
costante
IA diretta
D*C (1
I


M. Salerno
Tor Vergata
Trifase
Da sistema trifase diretto a inverso
Trasformazione di un sistema trifase simmetrico diretto
in un sistema trifase simmetrico inverso (e viceversa)
A
generatore
trifase
A’
B
B’
C
C’
carico
trifase
A B C simmetrico diretto
A’B’C’ simmetrico inverso
(e viceversa)
L’inversione può avvenire su una qualunque coppia di conduttori
Il carattere diretto o inverso di un sistema trifase non è una caratteristica intrinseca,
ma un modo di ordinare la sequenza delle fasi.
Se il sistema trifase ABC è non simmetrico, con componenti simmetriche D e I ,
anche il sistema A’B’C’ è non simmetrico con componenti D’ = I e I’ = D
16
M. Salerno
Tor Vergata
Trifase
17
Da sistema monofase a trifase
generatore
monofase
+
V23
CjB
I1
1 1
I2
2 2
I3
3 3
R+jX
carico
trifase
Tensioni
stellate:
Ek3 deve
Attenzione!
fase
In moltele
applicazioni
puòdiessere
necessario
Ipotesi:
trelaimpedenze
caricoalimentata
uguali e
per
non danneggiare
caricoE
alimentare
una carico
pur
Correnti
di fase:
Ik iltrifase,
(R+jX) Ik
pari
R+jX
k =disponendo
di circuito
un generatore
monofase della fase 3
Il
di alimentazione
Tensione
condensatore:
V 23 = E 2 – E 3
dipende dal
circuito
la terza
fasediè carico
alimentata tramite
Esempio
tipico:
alimentazioneBdi=un
Suscettanza
condensatore:
wmotore
C
un condensatore C
trifase
da parte
di una
utenza
monofase
Caso tipico:
carico
a stella
di Itipo
=RL
jB V
3
23
Calcolo della suscettanza B e caratterizzazione del sistema trifase
|½
–jB
XB
+
j(B=–XB
3½/6)|
normalizzazione : V23= -1 ; R = 1
E
1
–
2XB
+
j2B
;
E
=
-1
+
XB
jB
;
E
- jB
I
=
jB
V
=
jB
;
E
=
XB
2 G3 =
3
31
23
Grado
di dissimmetria
|½E’– XB
+ j(B + 3½/6)|
Ek = (1 + jX) Ik
E’
=
1
3XB
+
j3B
;
E’
=
1
;
=
0
2 = -1 + XB
3 - jB
I 1= E /(1 + jX)
; E
2
2
2
Per
ogni
X (reattanza normalizzata
del carico) esiste un
Componenti simmetriche
:
tensioni
Componenti
simmetriche
X = 1.73;B = 0.29
1
valore
di
B
che
rende
minimo
il
grado
di
dissimmetria
IIl
=
E
/(1
+
jX)
;
E
=
1
–
2XB
+
j
2B
1 sistema
1 3D
21
trifase
correnti
= E’1123
+ E’è2aatre
; fili;
3I =pertanto
E’1 + E2’ a
½
G=0
D
=
½
–
XB
+
j(B
+
3
/6)
X
B
G
ottiene G =dati
0
:I½-3 j=3½0Si
E3 rad/s
I1a+2 =I2-+½Esempio
f = 50 Hz ; Rw
= 314
E1
aComponenti
=I- ½=+½j –3½simmetriche
/2
;
/2
+2 j(B – 3 /6)per X = 3½ = 1.73 2
0
.58 XB 58%
VI233 1 E
= .55
E1 + Eper
+– E
==E3/2–3XB
E2 a ++ Ej(3B+3
½I
1+jX
2a
3a ;3
1 +½
3 a Pa½=
3Moltiplicando
D
(–½+j3
/2)
/2)2200 W ; Eeff =I13127 V ; X = 0.3 R
.3 3=D(1–3XB+j3B)
47%
e
B
=
3
/6=
0.29
jX I3
Grado
di(1+jX)
dissimmetria
Per semplificare
si ricordi
che ID3 =non
varia ½se si
I1i36%
+calcoli,
+ (1+jX)
0 j(3B–3
.50
3I.6 = (1–3XB+j3B)
–(1+jX)
(–½–j3I½2½/2)
= 3/2–3XB
+
/2)
I1
I2
aggiunge
un–arbitrario
costante alle tensioni Ek
|½
XB25%
+ j(Bvettore
– 3 /6)|
.9
.43
Quindi
E2 + E½3 =valori
0 ½
Pa = 3 Eeff 2 /R ; R = 3 Eeff 2 / Pa = 22 W
G = E’ =DEE
1+
Si
–
XB+jB
=
½
–
XB
+
j(B
+
3
/6)
1.2ponga.37
15%
|½ k– XBk + j(B + 3 /6)|
E2
I3
E3
denormalizzati
B
=
.55
/
R
;
C
=
.55
/
(
w
R)
=
79.6
m
F
1.5
.32
6%
½
=-1
j(B
– 3=1 XB
/6)
E23 = (1
VE231E’
++
E
(1
XB
jX)(jB
jB)
=jX)
– 31IEI=-32 3XB+j3B
–½
E+3–+
=XB
1 -;+–E’
2XB
j; 2B
E’3- =jB0
1=
2 = -+
3
2
1.8
.28
2%
V23
M. Salerno
Tor Vergata
Trifase
18
Normalizzazione
Z=R
forma
cartesiana
forma
polare
R
Re[Z] = R
Im[Z] = 0
|Z| = R
Arg[Z] = 0
Z=jwL
L
Y=jwC
Re[Z] = 0
Im[Z] = w L
Re[Y] = 0
Im[Y] = w C
|Z| = w L
Arg[Z] = p/2
|Z| = 1/w L
Arg[Z] = -p/2
normalizzazione
di frequenza
Re[Z] = 0
Im[Z] = -1/w C
C