Meccanica 2
1 marzo 2011
Cinematica in una dimensione
Velocita` media e istantanea. Moto rettilineo uniforme
Accelerazione media e istantanea. Moto uniformemente accelerato
Accelerazione di gravita`. Caduta dei gravi
Moto armonico. Pulsazione, periodo, frequenza
Integrazione dell’equazione differenziale del moto armonico
Cinematica del punto materiale
• E ` la parte piu` elementare della meccanica:
studia il moto dei corpi senza riferimento alle
sue cause
• Il moto e` determinato se e` nota la posizione
del corpo in funzione del tempo
• Necessita` di un sistema di riferimento per
determinare la posizione
• Diversi tipi di sistemi di riferimento=diverse
coordinate:
–
–
–
–
Cartesiano (2 e 3 dimensioni): x, y, z
Polare (2 dimensioni): r, f
Cilindrico (3 dimensioni): r, f, z
Sferico (3 dimensioni): r, q, f
2
Cinematica
• Conoscere il moto significa conoscere ogni
coordinata come funzione del tempo, ovvero la
sua legge oraria:
–
–
–
–
x(t), y(t), z(t)
r(t), f(t)
r(t), f(t), z(t)
r(t), q(t), f(t)
• Traiettoria: e` il luogo dei punti dello spazio
occupati dal corpo nei successivi istanti di tempo
– Da` informazioni di tipo geometrico, senza
riferimento al tempo
3
Traiettoria e legge oraria
• P.e. il moto dei pianeti nel campo di gravita` del
sole si svolge lungo la seguente traiettoria o
orbita (1a legge di Keplero):
1
 p(1  e cos f )
r
• Questa e` una funzione r(f) e rappresenta una
relazione puramente geometrica tra le
coordinate r e f (un’ellisse per la precisione)
• Ma essa nulla ci dice sulle leggi orarie r(t), f(t)
4
Cinematica
• Conoscere le coordinate in funzione del tempo non e`
pero`, in generale, cosa facile
• Nelle pagine seguenti saranno introdotte due
grandezze fisiche: la velocita` e l’accelerazione
• Cio` e` dovuto al fatto che le leggi del moto non
contengono direttamente le posizioni, ma piuttosto le
accelerazioni:
ax (t ), a y (t ), az (t )
ar (t ), a (t ), ecc.
• Compito della cinematica e` quindi risalire dalle
accelerazioni alle posizioni
5
Cinematica
• Le grandezze fisiche necessarie per lo
studio della cinematica sono
– Spazio – s, l, x, r…
– Tempo - t
– Velocita` - v
– Accelerezione - a
6
Moto rettilineo
• Si svolge lungo una retta su cui si definisce la
coordinata x, la cui origine (x=0) e il cui verso
sono arbitrari
• Anche l’origine dei tempi (t=0) e` arbitraria
• Il moto del corpo e` descrivibile con una sola
funzione x(t)
• La funzione puo` essere rappresentata sul
cosiddetto diagramma orario, sul cui asse
delle ascisse poniamo t e su quello delle
ordinate x
O
O
x
t
7
Velocita`
• Dato un moto rettilineo, supponiamo che il
corpo si trovi nella posizione x1 al tempo t1 e
nella posizione x2 al tempo t2
• Lo spostamento e` la differenza delle posizioni:
Dx= x2 -x1
• L’intervallo di tempo in cui avviene lo
spostamento e`: Dt= t2 -t1
• La velocita` media e`, per definizione, il
rapporto:
Dx
vm 
Dt
8
Esercizi
• Trovare la velocita` media di una moto che si
muove a 150 km/h per un tempo t e a 100 km/h
per un tempo uguale
• Trovare la velocita` media di un’auto che
percorre una distanza L a 180 km/h e la
successiva (della stessa lunghezza) a 100 km/h
9
Velocita`
• Immaginiamo di considerare intervalli di tempo
sempre piu` piccoli, possiamo idealmente
pensare al limite in cui l’intervallo tende a zero
• La velocita` istantanea e`, per definizione, il
Dx dx
limite:
'
v  lim
Dt 0
Dt

dt
 x (t )
• Ovvero la derivata dello spazio rispetto al tempo
• La velocita`, in generale, e` funzione del tempo:
v=v(t)
• Nel caso in cui sia invece costante, il moto
(rettilineo) e` detto uniforme
10
Relazioni tra posizione e velocita`
• Abbiamo visto la relazione differenziale tra i due:
dx
(
)
v
t

•
ovvero dx  v(t )dt
dt
• La relazione inversa e` la relazione integrale
x
t
 dx  x  x   v(t )dt
0
x0
t0
• Che e` utile solo se e` nota la dipendenza di v da t,
(p.e. nel moto uniforme)
• x-x0 rappresenta lo spostamento complessivo, cioe`
la somma algebrica degli spostamenti e non lo spazio
percorso che e` invece la somma del modulo degli
spostamenti
11
Relazione tra velocita` media e
istantanea
• Dalla definizione di velocita` media e dalla
relazione integrale tra posizione e velocita`
istantanea:
t
x  x0
1
vm 

v(t )dt

t  t0 t  t0 t 0
• Questa relazione afferma che la velocita` media
e` uguale al valor medio della velocita`
istantanea
12
Moto rettilineo uniforme
• Lo spazio e` funzione lineare del tempo
t
x(t )  x0  v  dt  x0  v(t  t0 )
t0
• La velocità istantanea è uguale alla velocità
media:
v  vm
13
Accelerazione
• Quando la velocita` varia nel tempo il moto e`
detto accelerato
• Similmente a quanto fatto per la velocita`,
definiamo come accelerazione media il
rapporto:
v2  v1 Dv
am 
t 2  t1

Dt
• E come accelerazione istantanea il limite:
Dv dv
a  lim

 v ' (t )
Dt 0
Dt
dt
• Ovvero la derivata della velocita` rispetto al
tempo
14
Accelerazione
• L’accelerazione, in generale, e` funzione del
tempo: a=a(t)
• Nel caso in cui sia invece costante, il moto
(rettilineo) e` detto uniformemente accelerato
15
Relazione tra accelerazione e
posizione: una nota formale
• Dalla relazione differenziale tra accelerazione e
velocita` e tra questa e la posizione, otteniamo:
2
2
dv(t ) d
dd
d
d
x(t )

a
 v(t )   x(t )  2 x(t ) 
2
dt
dt
dt  dt
dt
dt

16
Relazioni tra velocita` e
accelerazione
• Abbiamo visto la relazione differenziale tra le
dv  a(t )dt
due: a(t)  dv ovvero
dt
• La relazione inversa e` la relazione integrale
v

 dv  v  v
v0
0

t
 a(t)dt
t0
• Come per la velocita`, questa relazione e` utile
solo se e` nota la dipendenza di a da t, (p.e. nel
moto 
uniformemente accelerato)
17
Moto rettilineo uniformemente
accelerato
• La velocità e` funzione lineare del tempo
t
v (t )  v 0  a  dt  v 0  a(t  t 0 )
t0
• L’accelerazione istantanea è uguale alla
accelerazione media:
a  am

• Lo spostamento è funzione quadratica del tempo:
t
t
 t0 v (t )dt  x 0  t0 (v 0  a(t  t0 ))dt 
x (t )  x 0 
1
2
 x 0  v 0 (t  t 0 )  a(t  t 0 )
2
18
Moto di un grave nel campo di
gravità
• Come vedremo meglio più avanti, un corpo che
cade nel campo di gravità terrestre si muove
verso il basso con un’accelerazione costante
g=9.8 m/s2
• Il moto del grave è dunque uniformemente
accelerato
• Se prendiamo un sistema di riferimento con
l’asse x rivolto verso l’alto, l’accelerazione a è
negativa: a=-g
19
Moto di un grave nel campo di
gravità
• Specifichiamo le formule per il moto
uniformemente accelerato nel caso di un corpo
che cade da altezza h con velocità iniziale
nulla: x0=h, v0=0, t0=0
1 2
v (t )  v 0  a(t  t 0 )  gt
x (t )  h  gt
2
• La seconda formula ci permette, risolvendo
rispetto a t, di trovare il tempo in cui il corpo
raggiunge il suolo, cioè il punto x=0:


2h
t
g
20
Moto di un grave nel campo di
gravità
• Ora che e`noto il tempo di caduta, la prima
formula ci permette di trovare la velocità con
cui il corpo giunge a terra:
v(t )   2gh
• Spesso si omette il segno meno:
v(t )  2 gh
 che ci si riferisce al modulo della
• intendendo
velocita`
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Moto armonico
• In questo caso definiamo il moto direttamente a partire
dalla legge oraria della posizione:
x(t )  A sin (wt  f )
• Ove compaiono tre costanti:
– A l’ampiezza
– w la pulsazione
– f la fase iniziale (cioe` al tempo 0)
• Poiche’ la funzione seno e` periodica, a due istanti di
tempo t1, t2, che soddisfano la relazione seguente
(wt2  f )  (wt1  f )  w(t2  t1 )  n2
• corrispondera` uno stesso valore della coordinata
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Moto armonico
• Quando n assume il valore minimo (n=1), i due
istanti differiscono per un tempo T detto periodo
w(t2  t1 )  wT  2
• Questa relazione e` molto importante perche’
lega la pulsazione al periodo:
T
2
w
w
2
T
• La frequenza e` l’inverso del periodo:
1

T
w  2
23
Soluzione di equazioni differenziali
• Risolvere l’equazione differenziale che definisce
la velocita` v(t )  dx
dt
• significa passare dalla funzione v alla funzione x
• Similmente, risolvere l’equazione differenziale
che definisce l’accelerazione a(t)  dv
dt
• significa passare dalla funzione a alla funzione v
• Questo passaggio vien fatto mediante

un’operazione di integrazione, per cui si dice
integrare l’equazione come sinonimo di risolvere
24
Soluzione di equazioni differenziali
• Piu` in generale risolvere un’equazione
differenziale significa abassarne il grado di
derivazione mediante operazioni di integrazione
agenti sulle funzioni incognite o su funzioni di
queste funzioni
• Questo accade quando, p.e., l’accelerazione e`
nota non in funzione del tempo, ma della
posizione
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Accelerazione come funzione
della posizione
• Supponiamo dunque che l’accelerazione sia nota non
in funzione del tempo, ma della posizione: a=a(x)
• Ora moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione di
definizione dell’accelerazione per la velocita`:
av  v
dv
dt
• Integriamo ambo i membri rispetto a t:
t
t
dv
t 0 avdt  t0 v dt dt
• Ricordiamo che dalla definizione di velocita`
vdt  dx
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Accelerazione come funzione
della posizione
• Possiamo semplificare cambiando variabile, nel primo
membro passando a x e nel secondo membro passando
x
v
a v:
 a(x )dx   vdv
x0
• A conti fatti otteniamo:
v0
x
1 2 1 2
(
)
a
x
dx

v  v0
x0
2
2
• Supposto di poter eseguire l’integrale a primo membro,
abbiamo abbassato l’ordine di derivazione
dell’equazione
• Siamo partiti dalla conoscenza di a e siamo giunti alla
conoscenza di v:
x
v  v0  2  a(x )dx
2
x0
27
Un esempio importante
• Supponiamo che l’accelerazione sia esprimibile
come segue:
a(x )  w 2 x
• Cioe` sia proporzionale, tramite una costante
negativa, alla posizione
• Applicando la formula generale, abbiamo:
(
)
x
x
(
1 2
1
2
2
v  v0   a(x )dx    w 2 xdx   w 2 x 2  x0
2
2
x0
x0
)
• Risolvendo rispetto a v:
v
(v
0
2
 w 2 x0
2
)
x
2 2
2 2
2 2
 w x  w A  w x  wA 1   
 A
2
28
Un esempio importante
• Abbiamo integrato
un’equazione differenziale
del secondo ordine e siamo
giunti ad una del primo
ordine
• Per integrare questa
seconda equazione
separiamo le variabili
• e integriamo tra la posizione
x0 e la posizione generica x:
dx
x
v
 wA 1   
dt
 A
dx
x
A 1  
 A
x

x0

dx
x
A 1  
 A
2
2



0
2
 wdt
d
1 
t
2
 w  dt
0
29
Un esempio importante
• L’integrale di destra
e` immediato
• L’ integrale al centro
lo troviamo su una
tabella
• E quindi
• Risolvendo infine
rispetto a x
• Ritroviamo cioe` il
moto armonico
t
w  dt  wt
0


0
d
1  2
 arcsin   f  arcsin
x
f
A
x
arcsin  f  wt
A
x  A sin (wt  f )
30
Moto armonico
• Possiamo calcolare la
velocita` nel moto
armonico
• E l’accelerazione
• Verifichiamo quindi che
per un moto armonico
vale la relazione
• Ovvero tale relazione e`
valida se e solo se il
moto e` armonico
dx d
v
 A sin (wt  f )  wA cos(wt  f )
dt dt
a
dv d
 wA cos(wt  f )  w 2 A sin (wt  f )
dt dt
a  w 2 x
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Esercizi
• 1) Un corpo puntiforme viene lanciato
verticalmente verso l’alto con velocita` iniziale v0
dall’altezza h1
– Trovare a) il tempo in cui raggiunge la massima
altezza; b) la massima altezza; c) il tempo in cui
arriva a terra; d) la velocita` con cui arriva a terra
• 2) Un corpo si muove con una velocita` data da
v  2t 2  5m / s nell’intervallo di tempo Dt tra
t1=2s e t2=5s
– Trovare a) la velocita` media in Dt; b) l’accelerazione
media in Dt; c) lo spazio percorso in Dt
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Esercizi
• 3) dato un moto armonico
x(t )  A sin (wt  f )
– Determinare le costanti A e f in base alle condizioni
iniziali
x(0)  x0
v(0)  v0
• 4) mostrare con opportuni controesempi che le
seguenti implicazioni sono false
v 0a 0
v  crescente  a  crescente  a  const.
v 0a 0
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