Appunti dei corsi di Idraulica 1 e Idrodinamica 1
Lezione 8
LA SPINTA ESERCITATA DA UN FLUIDO
SU UNA SUPERFICIE PIANA
• In primo luogo mostriamo (come assunto precedentemente nella LEZIONE 7) che la spinta su
una superficie piana S prodotta da una distribuzione di pressione costante p 0 è una forza F
ortogonale alla superficie stessa diretta verso la superficie e di modulo pari al valore della
pressione per l’area della superficie.
Per quanto esposto nella LEZIONE 2 e nella LEZIONE
3 si ha
F = ∫ − p n dS
S
Nella situazione in esame p = p 0 e n sono costanti.
Segue dunque
F = − p 0 n ∫ dS = − n p 0 S
S
La forza F è quindi diretta come n , ha verso opposto e il suo modulo è pari a p 0 S .
• Consideriamo ora il problema illustrato in
figura dove a sinistra del piano ( x, y ) è presente
un liquido di peso specifico
γ
. Al di sopra del
liquido e a destra della superficie è presente
aria supposta a pressione costante pari alla
pressione atmosferica
p atm . Nel disegno è
anche raffigurato il piano ( x, y ) ribaltato sul
foglio in modo tale da visualizzare la superficie
S in esso contenuta.
28
- 28 -
LEZIONE 8
La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana
(Novembre 2007)
Si voglia determinare la forza esercitata dal
liquido sulla superficie.
Nella
figura
accanto
è
rappresentato
l’andamento della pressione sul piano ( x, y ) . Da
quanto esposto nella LEZIONE 4 e nella
LEZIONE 5 emerge che
p = p atm + γ x sen θ
essendo la profondità η del generico punto del piano ( x, y ) rispetto al pelo libero pari a x sen θ .
Volendo determinare la forza esercitata dal liquido sulla superficie S , è necessario determinare
F = ∫ − p n dS = ∫ − (p atm + γxsen θ ) ndS
S
S
Tenendo conto che n è costante, la forza F
può essere scomposta facilmente in due parti
F = F 1 + F 2 = − n p atm S − n ∫ γ x sen θ dS
S
La forza F1 = − np atm S è esattamente bilanciata
da una forza uguale e contraria esercitata
dall’aria sulla superficie. Per questo motivo il
problema di determinare F viene trasformato
nella determinazione di F 2
F 2 = ∫ − (p − p atm ) ndS
S
La pressione p diminuita dalla pressione atmosferica è detta pressione relativa p r .
• Considerando che l’uso della pressione relativa è più diffuso di quello della pressione assoluta,
nella rimanente parte di questa lezione e nelle lezioni seguenti indicheremo con p la pressione
relativa e con F la forza da essa indotta.
- 29 -
LEZIONE 8
La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana
(Novembre 2007)
• Dalla relazione
F = − n ∫ γ x sen θ dS
S
emerge chiaramente che la forza F è ortogonale alla superficie (la direzione di F coincide con
quella di n ) è diretta dal liquido verso la superficie e ha intensità F pari a
∫ γ x sen θ dS
S
= γ sen θ
∫ xdS
= γ sen θ x G S = γη G S = p G S
S
(NOTA 1)
ove con il pedice G si sono indicate quantità riferite al baricentro G della superficie. Da quanto
ricavato emerge inoltre che l’intensità della forza esercitata dal liquido sulla superficie può essere
ricavata moltiplicando l’area della superficie per il valore della pressione (relativa) nel baricentro
della superficie stessa.
•Nel seguito ricaviamo le coordinate xG , y G
del baricentro di alcune semplici superfici piane
1) Rettangolo
1
h b2
b


1
1
b
xG = ∫ xdS = ∫  ∫ xdx  dy = 2
=
2
SS
bh 0  0
bh

h
1
b h
b h2 h

1
1 
yG = ∫ ydS = ∫  ∫ ydy  dx = 2 =

S
bh 
bh
2
S
00

1
∫ xdS
S
NOTA 1
è detto momento statico della superficie S rispetto all’asse y . Si ha quindi
xG la coordinata x del baricentro della superficie S .
- 30 -
∫ xdS = x
G
S essendo
LEZIONE 8
La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana
(Novembre 2007)
2) Triangolo
h 
 ,h
m 
y = mx
y=
mh
(x − b )
h − mb
yG
yG =
1
=
S
∫
S
2
ydS =
bh
h
∫∫
0
y
( h − mb ) + b
mh
y
ydx dy
m
h
2
 3bh2 − 2bh2 h
2
2  h2 h3 ( h − mb − h )  2  bh2 mbh

 h − mb 1 
/
y
b
+
y
−
dy
=
b
+
=
−
=




=
bh ∫ 
m 
bh  2 3
mh
3m
3bh
3
 mh
/ 
 bh  2
0
La coordinata y G non dipende dal valore di m !
Ripetendo il calcolo ruotando il triangolo è facilmente verificabile che il baricentro G dista dalla
base sempre un terzo dell’altezza qualunque lato sia scelto come base.
3) Semicerchio
x=
x = − R2 − y2
R
1
2
y G = ∫ ydS =
SS
πR 2 ∫0 −
R2 − y2
∫
R −y
2
2
R
R2 − y2
2
2
y dxdy =
2 y R 2 − y 2 dy =
2 ∫
πR 0
πR 2
- 31 -
(
 2 2
2
− 3 R − y

)
3
2
R

4
 = 3π R
0
LEZIONE 8
La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana
(Novembre 2007)
• Nota la direzione, il verso e il
modulo della forza F , per risolvere
completamente
il
problema
è
necessario determinare la retta di
applicazione di F . La forza F deve
essere infatti equivalente alla somma
delle forze infinitesime
− n pdS
esercitate dal fluido sulle superfici
infinitesime dS che compongono
S . F sarà equivalente se avrà la stessa risultante e lo stesso momento rispetto ad un qualsiasi
polo. Indicando con C il punto di incontro della retta di applicazione di F con la superficie S
si deve avere
FxC = ∫ pxdS
Fy C = ∫ pydS
S
S
essendo ( x C , y C ) le coordinate del punto C detto “centro di spinta”.
Le formule precedenti, insieme alla relazione
F = ∫ pd S
precedentemente ricavata, evidenziano un importante risultato: le coordinate xC , y C coincidono con
le coordinate del baricentro del cosidetto solido delle pressioni, cioè di un solido, nello spazio
( x, y , p ) ,
individuato
dall’intersezione
delle
superfici p = 0 e p = γx sen θ con un cilindro a
generatrici parallele all’asse p e con una
direttrice coincidente con il contorno di S (vedi
figura). E’ importante anche notare che il valore
Solido delle
pressioni
Baricentro del solido
delle pressioni
di F coincide con il volume del solido delle
pressioni.
- 32 -
LEZIONE 8
La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana
(Novembre 2007)
• I risultati illustrati precedentemente suggeriscono una procedura semplice e rapida per il calcolo
della forza F e della sua retta di applicazione
1) Nello spazio
( x, y , p ) ,
(x, y )
con il piano
contenente la superficie S e l’asse p a esso
ortogonale, tracciare l’andamento di p( x, y ) .
2) Individuare il solido delle pressioni.
3) Scomporre il solido delle pressioni in parti di cui sia semplice valutare il volume e la posizione
del baricentro.
4) Valutare il volume Vi (i = 1,2,..., N ) delle N parti così individuate.
5) Valutare le coordinate ( xci , y ci ) dei baricentri degli N volumi.
6) Calcolare la forza F
N
F = ∑ (− Vi n )
i =1
7) Calcolare le coordinate ( xc , yc ) del centro di spinta
N
xC =
N
∑ (Vi x ci )
i =1
N
;
∑ Vi
i =1
yC =
∑ (V y )
i
i =1
N
∑V
i =1
- 33 -
ci
i
LEZIONE 8
La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana
(Novembre 2007)
•Consideriamo le relazioni già ottenute e discusse
Fy C = ∫ pydS
FxC = ∫ pxdS
S
Discende
xC =
∫
S
pxdS
=
F
∫
∫
pxdS
S
S
La quantità
∫x
2
dS
S
pdS
=
∫ γx
2
sen θ dS
S
∫
S
γ x sen θ dS
∫ x dS
∫ xdS
2
=
S
=
∫x
S
S
2
dS
xG S
è il momento d’inerzia della superficie S rispetto all’asse y e viene indicato
2
con J yy . E’ inoltre noto che J yy = J yG yG + S x G , essendo J yG yG il momento d’inerzia rispetto ad
un asse parallelo all’asse y e passante per il baricentro G. Segue
xC =
J yy
xG S
=
Sx G2 + J y G y G
xG S
= xG +
J yG y G
xG S
Tale risultato mostra in particolare che il centro di spinta è sempre a una profondità maggiore o al
più uguale al baricentro.
In modo analogo si mostra che
yC =
∫ pydS
∫ pdS
S
=
∫ γ xy sen θ dS
∫ γ x sen θ dS
=
∫ xydS
∫ xdS
=
J xy
xG S
= yG +
J xG yG
xG S
essendo J xy e J xG yG i momenti centrifughi della superficie S rispetto agli assi x, y e ad assi a essi
paralleli passanti per il baricentro G di S .
Resta da sottolineare che le formule precedentemente ricavate sono valide per una distribuzione
continua di p e con riferimento ad un sistema di assi coordinati tali che la pressione si annulli
nell’origine e lungo tutto l’asse y.
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LEZIONE 8
La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana
(Novembre 2007)
ESERCIZI SULLA DETERMINAZIONE DELLA SPINTA SU UNA
SUPERFICIE PIANA
1) Si consideri il serbatoio in figura riempito di un liquido di densità ρ e si determini il momento
M necessario a mantenere in equilibrio la
paratoia ABCD incernierata (e quindi in
grado di ruotare ma non traslare) lungo il
lato AD. Dati:
a = 0.5m , b = 0.7m , c = 0.2m
ρ = 1000 Kg/m3 (acqua)
Soluzione:
Si
introduca
il
sistema
di
riferimento in figura. Si ha
p = ρ gx
Quindi il solido delle pressioni è quello riportato nella figura seguente insieme a una sua semplice
scomposizione.
- 35 -
LEZIONE 8
La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana
(Novembre 2007)
Emerge quindi che
F = F1 + F 2 = γ
b 2c
+ γ abc
2
Il risultato ottenuto coincide con la relazione
F = pG S
Infatti la pressione nel baricentro G della superficie è pari a
b

pG = γ  a + 
2

mentre
S = bc
Segue
F = γ abc + γ
che coincide con la relazione già trovata.
- 36 -
b
bc
2
LEZIONE 8
La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana
(Novembre 2007)
Sapendo che il baricentro di un triangolo si trova a una distanza dalla base pari ad un terzo
dell’altezza e che il baricentro di un rettangolo si trova a una distanza dalla base pari a metà
dell’altezza è facile verificare che
x C = (F1 x C 1 + F2 x C 2 ) / F
 γ b 2c 
2 
b 

xC = 
 a + b  + γ abc  a +  
3 
2 

 2 
b 
b b
b 

=   a + +  + a  a + 
2 6
2 

2 
 b2c
 b 
2 
b 

+ γ abc  =   a + b  + a  a +  
γ
3 
2 

 2
 2 
b  
b 
b  b2 

a + 2  =  a + 2  a + 2  + 12 

 




a +
b
=
2 
b 
b  b 2 / 12 I

a + 2  =  a + 2  +

 
 a+b
2
l valore di xC appena determinato coincide con quello ricavabile dalla relazione
xC = xG +
S y G yG
xG S
sapendo che il momento d’inerzia di un rettangolo rispetto ad un asse baricentrale è pari a un
dodicesimo del prodotto della base con il cubo dell’altezza.
Segue infine che la forza F è ortogonale alla superficie (quindi parallela all’asse z ),diretta verso la
superficie e di intensità pari a
F = ( 9.81 × 1000 × 0.5 × 0.7 × 0.2 + 9.81 × 1000 × 0.35 × 0.7 × 0.2 ) N = 1167 N
Il momento da applicare per mantenere in equilibrio la paratoia sarà un vettore diretto lungo l’asse
y , nel verso positivo, di modulo pari a




2
/
12
b
b

M = F (a + b − xC ) = F  a/ + b − a/ − −
b 
2

a+ 


2 
E’ facile verificare che la quantità precedente coincide con
M =γ
Segue quindi
b 2c b
b
b
+ γ abc = γ cb 2  +
2 3
2
6
a
2 
 0 .7 0 .5 
M = 9.81 × 1000 × 0.2 × 0.7 2 × 
+
Nm = 353 Nm
2 
 6
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LEZIONE 8
La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana
(Novembre 2007)
2) Assumendo il problema piano e di larghezza unitaria, calcolare la forza esercitata dai fluidi sulla
superficie AB. Siano γ 1 e γ 2 il peso specifico del fluido sovrastante e sottostante rispettivamente.
Dati: γ 1 = 800
Kg f
m
3
; γ 2 = 1000
a = 0.5m, b = 0.3m,θ = π
Kg f
m3
4
Soluzione: Con riferimento agli assi in figura, la distribuzione di pressione risulta descritta da:

p = γ 1 x sen θ





 p = γ a + γ  x − a
1
2

sen θ

E’ conveniente scomporre il solido delle pressioni come
indicato in figura. Risulterà dunque
F = γ1
a2
ab
b2
+γ1
+γ 2
2 sen θ
sinθ
2 sen θ
Sostituendo i valori numerici


0.5
F =  800 ×
π

sen

4
0.32
 0.5

0.3
1000
+
+
×
 2

π
2 sen
4


 Kg f = 375Kg f


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per x ≤

 sen θ

a
sinθ
per x ≥
a
sen θ
LEZIONE 8
La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana
(Novembre 2007)
Per determinare la retta di azione della forza F, è necessario calcolare la coordinata xc del centro di
spinta. Si calcola quindi dapprima il momento, per unità di larghezza, della distribuzione di forze
rispetto all’asse y. Facendo riferimento alla scomposizione del solido delle pressioni illustrata
prima, si ha:
1
a 2 a
b  a
1 b 
1 b  a
2 b 
M = γ 1a
+ γ 1a
+
+

 + γ 2b

=
2
sin ϑ 3 sin ϑ
sin ϑ  sin ϑ 2 sin ϑ 
2 sin ϑ  sin ϑ 3 sin ϑ 
3
2
1
 0.5
2 (0.5)
0.3
1 0.3 
1 (0.3)  0.5
2 0.3  
 × 800 × ×
+ 800 × 0.5 ×
×
+
+ 1000 ×
+


  Kg f m
2
3
sin
4
sin
4
sin
4
2
sin
4
2
sin
4
sin
4
3
sin
4
π
π
π
π
π
π
π





= 47 Kg f m + 156 Kg f m + 63 Kg f m ≅ 266 Kg f m
e quindi si impone che M sia uguale al momento della forza risultante F
Fxc = M
ciò porge:
xc =
M 266 Kg f m
=
≅ 0.71 m
F
375 Kg f
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LEZIONE 8
La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana
(Novembre 2007)
3) Assumendo il problema piano e di larghezza unitaria, determinare il momento M necessario a
mantenere in equilibrio la paratoia ABC incernierata in C. Si trascuri il peso specifico del gas (si
assuma quindi costante la sua pressione). La pressione del gas viene misurata attraverso il tubo
manometrico contenente il liquido di peso specifico γ m rilevando il dislivello ∆ . Sia γ il peso
specifico del liquido all’interno del serbatoio Dati: γ = 1000
Kg
f
m
3
, γ m = 13000
Kg
f
m3
∆ = 5cm, a = 25cm, b = 35cm
Soluzione: Il momento M è un vettore ortogonale al piano del disegno (M = (0,0, M z )) e con una
componente M z negativa. Focalizziamo ora l’attenzione sul calcolo del modulo di M .
Con riferimento alla figura la pressione p 0 nel gas è pari alla pressione nel punto P1 che a sua volta
è uguale alla pressione nel punto P2 . Si ha dunque
p0 = γ m ∆
Sulla superficie AB la distribuzione di pressione sarà dunque quella qui rappresentata
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LEZIONE 8
La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana
(Novembre 2007)
pA= p0 + γa
Sulla superficie BC la distribuzione di pressione sarà
pB= p0 + γ (a + b)
La forza esercitata dal liquido sulla superficie AB sarà dunque orizzontale diretta da destra verso
sinistra e pari alla somma di due contributi F1 + F2
F1 = p A b = ( p 0 + γ a )b
F2 = ( p B − p A )
b
b2
=γ
2
2
Il primo contributo (F1 ) è applicato ad una distanza da B pari a b/2, il secondo (F2 ) è applicato ad
una distanza da B pari a b/3.
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LEZIONE 8
La spinta esercitata da un fluido su una superficie piana
(Novembre 2007)
Sulla superficie BC la distribuzione di pressione è costante e quindi il liquido eserciterà una forza
diretta verticalmente verso il basso di intensità F3 tale che
F3 = p B b = [ p 0 + γ (a + b )]b
Inoltre F3 è applicata ad una distanza da C pari a
b
.
2
Il modulo di M risulterà quindi
M = F1
b
b
b
b2
b3
b2
2
+ F2 + F3 = ( p0 + γ a ) + γ
+  p0 + γ ( a + b )
= p0 b 2 + γ ab2 + γ b3 =
2
3
2
2
6
2
3
2
2
2
3

= 13000 × 0.05 × ( 0.35 ) + 1000 × 0.25 × ( 0.35) + 1000 × × ( 0.35)  Kg f m = 139 Kg f m
3


- 42 -