I.T.I.S. "Antonio Meucci" di Roma
La trasmissione numerica
a cura del Prof. Mauro Perotti
Anno Scolastico 2012-2013
La trasmissione numerica
Sommario
Parte I - Teoria dell’informazione ............................................................................3
1.
2.
3.
4.
Misura dell'informazione ............................................................................... 3
Entropia di una sorgente .............................................................................. 5
Ridondanza ................................................................................................. 5
Codifica di sorgente ..................................................................................... 6
4.1 Codifica di Huffman ........................................................................................................8
4.2 Decodifica di Huffman....................................................................................................9
4.3 Efficienza di codice .......................................................................................................10
5. Codifica di canale....................................................................................... 10
5.1 Codifica ARQ..................................................................................................................10
5.1.1 Controllo di parità ............................................................................ 11
5.1.2 CRC ............................................................................................... 11
5.2 Codifica FEC (Forward Error Correction) ................................................................... 12
5.2.1. Il codice Hamming .......................................................................... 13
5.2.2 Protezione a ridondanza di blocco ...................................................... 14
Parte II - Trasmissione numerica in banda base ................................................... 15
6. La trasmissione numerica in banda base ...................................................... 15
6.1 Capacità di un canale di comunicazione ...................................................................... 15
6.1.1
6.1.2
6.1.3
6.1.4
Capacità di un canale in assenza di rumore ......................................... 15
Capacità di un canale in assenza di rumore e con codice multilivello....... 17
Capacità di un canale in presenza di rumore ....................................... 17
Velocità di trasmissione e velocità di modulazione................................ 18
6.2 Codifica di linea............................................................................................................. 18
6.2.1 Codici interni................................................................................... 19
6.2.2 Codici di linea.................................................................................. 19
7. Trasmissione numerica in banda traslata ..................................................... 20
7.1 ASK ................................................................................................................................ 20
7.1.1 Spettro di un segnale ASK ed occupazione di banda ............................. 22
7.2 FSK.................................................................................................................................25
7.2.1 Spettro di un segnale FSK ed occupazione di banda ............................. 26
7.3 PSK.................................................................................................................................26
7.3.1 Spettro di un segnale 2PSK ed occupazione di banda ........................... 27
7.4 QAM ...............................................................................................................................28
7.5 Probabilità di errore ..................................................................................................... 30
7.5.1
7.5.2
7.5.3
7.5.4
7.5.5
Interferenza intersimbolica (ISI) e caratteristiche del canale ................. 30
Rumore .......................................................................................... 30
Potenza trasmessa e potenza ricevuta ................................................ 30
Velocità di trasmissione dell'informazione ........................................... 31
Modulazione e demodulazione dei segnali ........................................... 31
7.6 Pe nel caso della modulazione ASK .............................................................................. 31
7.7 Pe nel caso della modulazione FSK...............................................................................34
7.8 Pe nel caso della modulazione PSK ..............................................................................34
7.9 Pe nel caso della modulazione LPSK ............................................................................35
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PARTE I - TEORIA DELL’INFORMAZIONE
1. Misura dell'informazione
L'efficace gestione di un sistema di telecomunicazioni non può prescindere dalla quantità di informazione
che viene scambiata tra due soggetti e dalla sua misura. Quando una persona invia un messaggio ad
un'altra persona lo sceglie all'interno di un universo più o meno ampio di messaggi presente nella sua
testa. Quando il destinatario riceve il messaggio (e supponiamo che lo comprenda pure) l'informazione
contenuta in esso diviene superflua ed una sua ritrasmissione non muterebbe l'informazione posseduta
dal destinatario. Si può affermare, quindi, che la quantità di informazione è legata alla sorpresa o alla
novità che il messaggio rappresenta per chi lo riceve. Si può anche dire, pertanto, che se si riceve un
messaggio che non rappresenta una novità - per il destinatario - la quantità di informazione da esso
posseduta è nulla.
Va detto, per completezza, che il mittente ed il destinatario devono condividere lo stesso universo di
messaggi affinché, tra loro, possa instaurarsi una comunicazione. Due persone che non parlano la stessa
lingua, per esempio, non possono comunicare in quanto gli universi di parole da essi conosciuti non sono
gli stessi.
C.E. Shannon, nel 1948, pubblica Una teoria matematica della comunicazione , in cui getta le basi dello
studio sistematico dell'informazione e della comunicazione. L'informazione, secondo Shannon, è
proporzionale alla sorpresa che il messaggio genera in chi lo riceve. Più un messaggio è probabile e tanto
minore è la sorpresa che esso induce nel destinatario. In formula, se indichiamo con Q(m) la quantità di
informazione posseduta da un messaggio e con
scrivere:
p(m)
la probabilità della sua emissione, possiamo
(1)
Dobbiamo quindi cercare di individuare un'opportuna funzione
f.
Cominciamo con l'osservare che se un
(1)
destinatario riceve un messaggio m1 e, successivamente, un messaggio m2 indipendente da questo
allora, è abbastanza naturale, la quantità di informazione complessiva dovrà essere la somma delle due
singole quantità:
(2)
D'altronde sappiamo che la probabilità che si verifichi una successione di eventi tra loro indipendenti è il
prodotto delle rispettive probabilità:
(3)
Sulla base della relazione (1), quindi, possiamo scrivere:
(4)
Riscrivendo la (2) nel seguente modo:
(5)
1
Due messaggi si ritengono indipendenti se la conoscenza di uno dei due non ci consente di fare alcuna inferenza sulla
conoscenza dell'altro e viceversa.
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ed eguagliando quest'ultima alla (4):
(6)
la funzione che stiamo cercando, dunque, è il logaritmo:
(7)
La scelta della base della funzione logaritmo implica la scelta dell'unità di misura dell'informazione. Se si
opta per la base 10 l'unità di misura è l' hartley o il decit. Se invece si opta per la base 2 l'unità di misura
è il bit. E' questa l'unità di misura più utilizzata. Il bit corrisponde alla quantità di informazione necessaria
e sufficiente per decidere tra due eventi egualmente probabili e mutuamente esclusivi. Per fare un
esempio si consideri il lancio di una moneta equilibrata. I possibili eventi sono due ed hanno la stessa
probabilità di occorrenza. La quantità di informazione associata ad uno dei due eventi è quindi un bit.
Infatti, indicando con s1 uno dei due eventi:
Possiamo, ora, riscrivere la (1):
(8)
(2)
la quantità di informazione posseduta da una
Nel caso di una sorgente discreta e senza memoria
successione di simboli equivarrà alla somma delle quantità di informazione associate a ciascuno dei
singoli simboli. Ad esempio, supponiamo che i simboli e le relative probabilità di emissione siano:
Simbolo
Probabilità di emissione
X1
X2
X3
X4
0.38 0.25 0.22 0.15
Il contenuto informativo del messaggio
M=X1 X4 X1 X2 sarà:
In generale, se il messaggio è costituito da
k simboli, la quantità di informazione ad esso associata sarà:
(9)
Se i simboli emessi dalla sorgente - costituita da un alfabeto di n simboli - sono equiprobabili allora si
avrà che la probabilità di emissione di uno di questi sarà:
In questo caso un messaggio costituito da k simboli avrà una quantità di informazione:
(10)
2
Si tratta di una sorgente che emette, in istanti prefissati, simboli indipendenti ed appartenenti ad un alfabeto
limitato.
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2. Entropia di una sorgente
Simboli con bassa probabilità di emissione trasportano una grande quantità di informazione ma è poco
probabile che possano essere inclusi in un messaggio. E simboli con alta probabilità di emissione
trasportano una piccola quantità di informazione ed è molto probabile che possano essere inclusi in un
messaggio. Ci poniamo l'obiettivo di determinare la quantità media di informazione di una sorgente
discreta. Per sapere la quantità media di informazione da associare ad ogni simbolo occorre eseguire
un'osservazione su un messaggio sufficientemente lungo in modo che i valori delle probabilità possano
assumere il loro pieno significato
(3)
.
Supponiamo di comporre un messaggio con
N1
simboli aventi, ciascuno, probabilità di emissione
ed N2 simboli aventi, ciascuno, probabilità di emissione
messaggio sarà:
p(m2).
p(m1)
La quantità di informazione associata al
(11)
Se ora dividiamo
simbolo:
Q(m)
per
N=N1+N2
otteniamo la quantità media di informazione associata a ciascun
(12)
dove N1/N e N2/N sono le frequenze di occorrenza dei simboli m1 ed m2. Se facciamo tendere N ad
infinito tali frequenze tendono alle probabilità di emissione dei rispettivi simboli. Se ora consideriamo una
sorgente con alfabeto di n simboli, ognuno con differente probabilità di emissione, indichiamo con
entropia di una sorgente discreta la quantità:
(13)
che corrisponde alla quantità media di informazione della sorgente. In sostanza abbiamo sommato le
quantità di informazione associate ad ogni simbolo della sorgente pesate secondo la probabilità di
emissione di ciascuno di questi.
Si può dimostrare che l'entropia di una sorgente è massima quando tutti i suoi simboli sono equiprobabili.
In tale circostanza essa vale:
(14)
3. Ridondanza
Ogni sorgente discreta la cui entropia non è massima ha determinati vincoli. Questi vincoli, che sono noti,
impongono a priori che, dato un simbolo, è molto probabile individuare quale sia il successivo. Ciò
significa che vi è correlazione tra i vari simboli. Nella lingua italiana, ad esempio, se consideriamo parole
composte al massimo da 8 lettere si ha che il 50% (circa) di queste è sufficiente per ricostruire l'intera
parola. Il lettore se ne può convincere prendendo un qualunque testo e cancellando, a caso, circa il 50%
delle lettere. Ciò che rimane, nella maggior parte dei casi, è sufficiente per ricostruire l'intero testo di
partenza. Un altro esempio è quello della comunicazione tra due individui in un locale particolarmente
affollato e rumoroso: la perdita di qualche sillaba non compromette, nel destinatario, la comprensione
dell'intero messaggio.
Questa caratteristica della sorgente viene indicata con il termine di ridondanza. Essa è direttamente
proporzionale alla differenza tra l'entropia e l'entropia massima:
3
Al crescere del numero degli esperimenti la frequenza di un evento tende alla sua probabilità. Immaginiamo di non
conoscere la probabilità dell'evento “uscita della faccia 3” nel lancio di un dado a sei facce. Se lo lanciamo 10 volte e
ci annotiamo il numero di volte che esce il 3 avremo la frequenza di tale evento. Se invece effettuiamo 100 lanci la
frequenza, si può osservare, tenderà ad avvicinarsi sempre più ad 1/6. Con 1000 lanci ci avvicineremo ancor più e
così via.
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(15)
dove si è indicato con Hr l'entropia relativa di una sorgente discreta:
(16)
Quando i simboli di una sorgente non sono equiprobabili esiste un vincolo alla libertà di emissione degli
stessi simboli. Sempre per rimanere nel caso della lingua italiana, se consideriamo la lettera q sappiamo,
già prima di ricevere il simbolo successivo, che questo sarà molto probabilmente la lettera u (a parte il
caso di parole come soqquadro). In questo caso il contenuto informativo trasportato dalla lettera u è
nullo (o quasi). Oppure, in un brano musicale, la sequenza degli accordi segue quasi sempre schemi già
prestabiliti (do-fa-sol, ad esempio). La ridondanza di una sorgente presenta il vantaggio della
comprensione di un messaggio anche se alcuni caratteri ci sfuggono. Lo svantaggio è che possiamo
comporre solo alcune parole. Parole come "almqq", infatti, sono prive di significato. In figura 1 è
riportato l'istogramma di frequenza delle 21 lettere dell'alfabeto della lingua italiana (si noti la particolare
frequenza dello spazio, indicato col trattino). In figura 2, invece, è riportato l'istogramma di frequenza
delle 26 lettere dell'alfabeto della lingua inglese (si noti, anche qui, la particolare frequenza dello spazio:
maggiore rispetto al caso della lingua italiana). In figura 3, infine, vi è un istogramma che confronta tali
frequenze.
4. Codifica di sorgente
I simboli generati da una sorgente, prima di essere inviati al trasmettitore, devono essere associati ad
opportune combinazioni di codice in modo univoco. E' questa la codifica di sorgente. In pratica i codici
sorgente sono tutti di tipo binario e le unità di tali codici sono cifre binarie e vengono indicate con il
termine bit (che non deve essere confuso con l'unità di informazione). Se ad ogni simbolo della sorgente
si associa la stessa quantità di bit allora, detto N il numero dei simboli della sorgente e detto M il numero
dei bit necessari per codificare ciascun simbolo, deve valere la relazione:
(17)
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con M arrotondato all'intero superiore. Se, ad esempio, volessimo codificare le 27 lettere dell'alfabeto
inglese (26 + lo spazio) avremmo necessità di:
che arrotondato all'intero superiore diviene 5. La lunghezza di codice , in questo caso, sarebbe quindi pari
a 5.
In questo esempio tutti i simboli della sorgente hanno la stessa lunghezza di codice e, pertanto, non si
(4)
tiene conto della statistica
della sorgente. Una trasmissione più efficiente adotta tecniche volte alla
riduzione della ridondanza della sorgente. Per far ciò si cerca di associare ad ogni simbolo della sorgente
una lunghezza di codice inversamente proporzionale alla probabilità di emissione di quel simbolo. In tal
modo quei simboli che avranno più elevate probabilità di emissione saranno codificati con sequenze di
codice più corte. E viceversa. In questo modo se indichiamo con Mi la lunghezza di codice dell'i-esimo
simbolo di sorgente e con
simbolo sarà:
pi
la sua probabilità di emissione, avremo che la lunghezza media di ogni
(18)
Facciamo un esempio. Consideriamo una sorgente binaria discreta costituita da 4 simboli aventi differenti
probabilità di emissione così come indicato in tabella. E supponiamo di codificarli, ciascuno, con due bit
(un codice, quindi, a lunghezza fissa).
Simbolo
Probabilità di
emissione
Codifica
A
B
C
D
0.25
0.125
0.5
0.125
00
01
10
11
Supponiamo, ora, che la sorgente emetta la seguente stringa di sedici caratteri:
BCDACACCBACACCDC
Questa verrà codificata, in accordo con la precedente tabella, con:
01 10 11 00 10 00 10 10 01 00 10 00 10 10 11 10
Avendo associato a ciascun simbolo lo stesso numero di bit si avrà che la lunghezza media di ogni
simbolo sarà proprio pari a 2 bit (senza ricorrere all'uso della formula 18).
Ora proviamo ad usare una codifica differente, come quella illustrata nella tabella successiva.
Simbolo
Probabilità di
emissione
Codifica
Huffman
A
B
C
D
0.25
0.125
0.5
0.125
01
001
1
000
Come si vede si è tenuto conto del criterio prima indicato: ad ogni simbolo si è associato un codice la cui
lunghezza è inversamente proporzionala alla rispettiva probabilità di emissione. Andiamo a vedere, in
4
Per statistica si intende l’insieme delle probabilità di emissione di tutti i simboli della sorgente.
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questo caso, quali e quanti saranno i bit necessari per codificare la stessa sequenza di 16 caratteri vista
prima:
BCDACACCBACACCDC
001 1 000 01 1 01 1 1 001 01 1 01 1 1 000 1
Come si può osservare il numero complessivo di bit impiegato è inferiore: 28 contro i 32 della codifica
precedente. La lunghezza media, in questo caso, è inferiore e pari a:
In sostanza si è attuata una compressione dell'informazione. I programmi di compressione come Winzip e
Arj, ad esempio, analizzano la sequenza dei bit del file da comprimere, e lo ricodificano associando
sequenze di minor lunghezza a quelle più ricorrenti (codifica di Huffman). Se il file da comprimere ha
molta ridondanza, allora la compressione sarà molto efficiente. Questo tipo di compressione si basa
sull'eliminazione delle ridondanze senza perdita di informazioni, vale a dire che il file compresso può
essere riportato alla forma originale senza che il messaggio si sia degradato.
Un altro tipo di compressione è quella con perdita di informazione. Questa oltre a sfruttare il principio
precedente, elimina quelle informazioni ritenute poco importanti per la comprensione globale del
messaggio.
E' il caso di compressioni di immagini in formato jpg o gif, queste comprimono molto ma provocano una
certa perdita della qualità dell'immagine. La perdita è irreversibile perché si è scelto di memorizzare solo
una certa parte delle informazioni.
Il primo codice che aveva l'obiettivo di ridurre la ridondanza della sorgente fu elaborato da Samuel Morse
ben prima della formulazione matematica della teoria dell'informazione.
4.1 Codifica di Huffman
E' un algoritmo di compressione sviluppato da David Huffman nel 1952 quando era dottorando presso il
MIT. E' un codice senza prefissi (in cui nessuna stringa binaria di nessun simbolo è la parte iniziale della
stringa binaria di nessun altro simbolo) e ciò rende l'operazione di decodifica particolarmente agevole.
Vediamo come funziona l'algoritmo con un esempio. Supponiamo di considerare una sorgente discreta
avente un alfabeto di 4 simboli con differenti probabilità di emissione come indicato in tabella.
Simbolo
A
B
C
D
Probabilità di emissione
0.5
0.2
0.18
0.12
•
•
•
Si ordinano i simboli in ordine decrescente di
probabilità (come in tabella)
Si sommano le probabilità degli ultimi due simboli
della lista e si reintroduce tale probabilità nella
lista
Si ripete il passo precedente fino ad ottenere un
solo elemento di probabilità unitaria.
Si ottiene, in questo modo, l'albero di
figura 4.
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Si etichetta ogni biforcazione con uno
0 (in alto) ed un 1 (in basso) come
indicato in figura 5. La codifica di ogni
simbolo dell'alfabeto è data dal
percorso dalla radice dell'albero fino
alla foglia contenente il simbolo. In
questo modo si ottiene la codifica
illustrata dalla tabella successiva. Per
le proprietà degli alberi, ogni foglia ha
un unico percorso (codifica) che non
sarà mai il prefisso di un altro
percorso (la codifica di un simbolo non
può essere l'inizio della codifica di un
altro simbolo).
Simbolo
A
B
C
D
Probabilità di
emissione
0.5
0.2
0.18
0.12
Codifica
Huffman
0
11
100
101
Se applichiamo il codice così ottenuto alla stringa di 12 simboli:
AABABCABDACB
Si ottiene la stringa binaria:
0 0 11 0 11 100 0 11 101 0 100 11
il numero totale di unità binarie impiegate è 22 (in media 22/12=1.833 bit/simbolo); se si fosse
codificato senza tener conto della statistica della sorgente – con due bit per simbolo – la stringa
dell'esempio precedente avrebbe richiesto 24 bit (con una lunghezza media di 2 bit/simbolo).
Calcoliamo ora la lunghezza media sulla base della codifica di Huffman:
che eguaglia quasi il valore assunto dall'entropia della sorgente (che è il limite inferiore di una qualunque
codifica decifrabile):
4.2 Decodifica di Huffman
Grazie al fatto che ogni simbolo è codificato con una stringa binaria che non è mai il prefisso di
nessun'altra stringa binaria, la decodifica è univoca e mai ambigua. Se consideriamo la stringa binaria
dell'esempio precedente:
100 100 11 0 11 0 0 0
e la esaminiamo con attenzione deduciamo che i primi tre bit
100 100 11 0 11 0 0
0
corrispondono al carattere C. Ciò in quanto non esiste alcun
C
C
B
A
B
A
A
A
simbolo che sia stato codificato con il bit 1 o con la coppia
10. Inoltre, la terna 100 non è l'inizio di nessun altra sequenza (anche perché, in questo codice, non
esistono sequenze di 4 bit). Allo stesso modo si procede per i bit successivi.
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4.3 Efficienza di codice
L'entropia della sorgente rappresenta il valore minimo raggiungibile dalla lunghezza media del codice. Se
Mm scende al di sotto di H il codice non è più decifrabile.
Si definisce efficienza di un codice il rapporto:
Quanto più
Mm si avvicina ad H tanto più è efficiente il codice. Se h =1 il codice si dice ottimo.
5. Codifica di canale
Lo scopo di questa codifica è quello di inserire bit ridondanti - che non aggiungono contenuto informativo
al messaggio - al fine di consentire, in ricezione, la rivelazione e l'eventuale correzione degli errori. Il
lettore potrebbe, a questo punto, cogliere un apparente paradosso: nel corso della codifica di sorgente si
cerca di limitare la ridondanza della sorgente e, con la codifica di canale, si aumenta nuovamente la
ridondanza del messaggio trasmesso. In realtà, come si diceva, tale paradosso è solo apparente: la
codifica di sorgente limita la ridondanza della sorgente al fine di ottimizzare le prestazioni del canale in
termini di velocità di trasmissione. Mentre la codifica di canale viene effettuata allo scopo di aumentare la
sicurezza della trasmissione rispetto al rumore e alla distorsione che un qualunque canale generalmente
introduce, compromettendo il riconoscimento, in ricezione, dei simboli ricevuti. Le codifiche di canale
possono classificarsi secondo due tipologie:
•
•
ARQ ( Automatic Repeat re Quest): richiesta automatica di ripetizione;
FEC ( Forward Error Correction): correzione diretta degli errori.
I codici di tipo ARQ consentono al destinatario di rivelare la presenza di un errore e richiedere, in tal
caso, la ritrasmissione del messaggio.
I codici di tipo
FEC, invece, consentono al destinatario di rivelare e correggere gli errori avvenuti.
5.1 Codifica ARQ
Il metodo ARQ prevede la suddivisione del messaggio in blocchi e l'invio di ciascuno di questi ad un
codificatore che tramite un determinato algoritmo inserisce in coda al medesimo uno o più bit di
ridondanza denominati check bit.
Quando il destinatario riceve un blocco del messaggio separa i bit che rappresentano il contenuto del
messaggio dai check bit. Riapplica l'algoritmo di calcolo dei bit di controllo e, una volta ottenuti, li
confronta con quelli ricevuti. In caso di accordo la ricezione viene considerata corretta ed il destinatario
invia al trasmettitore un riscontro positivo denominato ACK (acknowledge). Diversamente si chiede la
ripetizione della trasmissione inviando un riscontro negativo denominato
L'invio dei riscontri
•
•
NACK (negative acknowledge).
NACK ed ACK può avvenire secondo tre modalità:
Stop and Wait: dopo la ricezione di ciascun blocco il ricevitore invia al mittente il riscontro e,
questi, trasmette il blocco successivo o ritrasmette quello errato; è un metodo semplice che,
però, rallenta notevolmente la trasmissione.
Go-Back-N: il trasmettitore invia un certo numero di blocchi consecutivi e poi attende il riscontro
dal destinatario su tutta la sequenza trasmessa: se tutti i blocchi sono stati ricevuti correttamente
il destinatario invia un ACK; se uno o più blocchi sono stati ricevuti in modo errato il destinatario
invia un NACK specificando il primo blocco errato; a quel punto il trasmettitore ritrasmette tutti i
blocchi a partire da quello errato.
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•
Selective Retrasmission: questa metodologia migliora la precedente: il destinatario invia un
NACK per ciascun blocco ricevuto in modo errato consentendo, così, la ritrasmissione solo di
quelli errati.
5.1.1 Controllo di parità
Tra i metodi ARQ è certamente quello più semplice. Consiste nell'aggiungere alla sequenza di bit, che
rappresenta un determinato simbolo, un bit di ridondanza il cui valore è 1 o 0 sulla base dei bit pari ad 1
presenti nella sequenza. In sostanza le tecniche sono due: quella del bit di parità che aggiunge un
uno
0
in modo da rendere pari il numero complessivo degli
carattere A, codificato con 01000001, diviene:
presenti nella stringa era già pari.
1
1
od uno
presenti nella sequenza. Il carattere
01000001,
1
od
presenti nella sequenza. Ad esempio: il
010000010. Si è aggiunto uno 0 in quanto il numero di 1
Vi è poi la tecnica del bit di disparità che aggiunge un
complessivo degli
1
diviene: 010000011. Si è aggiunto un
complessivamente nella stringa.
1
A
0
in modo da rendere dispari il numero
dell'esempio precedente, codificato con
in modo da rendere dispari il numero di
1
presenti
5.1.2 CRC
Il sistema CRC (Cyclic Redundancy Check) è un metodo ARQ di rivelazione d'errore in cui i check bit,
qui denominati bit CRC, sono individuati per mezzo di operazioni eseguite con l'algebra modulo 2. Si
tratta di leggi di composizione di numeri binari che non hanno lo stesso significato quantitativo delle
operazioni dell'algebra ordinaria. Vediamo, in breve, le regole dell'algebra modulo 2.
•
La somma modulo 2 è definita (operativamente) in modo analogo alla somma
esclusiva (EX-OR) dell'algebra di Boole:
E' bene ricordare che l'EX-OR di un numero di n cifre binarie è uno se il
numero di 1 di tali cifre è dispari, in caso contrario è zero.
•
Addizione e sottrazione di due numeri binari sono operazioni
equivalenti: a+b = a-b (vedi esempio).
•
L'operazione
di
moltiplicazione
si
esegue
come
la
moltiplicazione in aritmetica binaria. Le somme dei prodotti
parziali vanno eseguite usando le regole prima indicate (EXOR). Nell'esempio più avanti riportato, la somma della terza
colonna da destra è uno in quanto il numero di 1 presenti nelle
tre cifre è dispari.
10011+
11000=
--------01011
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=0
1010110100=
--------00001
1 0
1 0 1 x
1 0 0 =
______________________
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 ______________________
1 0 1 0 1 0 0
Per l'operazione di divisione occorre innanzitutto precisare che questa è possibile se il divisore è
contenuto nel dividendo. Ciò accade se il numero di bit del primo è minore o uguale al numero dei bit del
secondo. In figura è riportato il seguente esempio: 1000100000 : 1001. Si opera come nella ordinaria
divisione. La prima cifra del quoziente è sempre 1, 1 moltiplicato un qualsiasi numero abbiamo visto
precedentemente che equivale sempre al numero stesso, quindi si riportano le cifre del divisore sotto lo
stesso numero di cifre del dividendo a partire da sinistra. Si esegue la sottrazione, con le regole dell'EXOR, e si scrive la differenza (che nel nostro esempio è 0001). Poi si abbassa la prima cifra disponibile a
destra e si ottiene 11 (si trascurano gli zeri a sinistra). Siccome non è possibile eseguire la differenza tra
11 e 1001 si riporta 0 nel quoziente. Si abbassa la cifra successiva e si ottiene 110. Ancora, non essendo
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possibile la differenza si scrive 0 nel quoziente. Si abbassa
un'altra cifra e, in questo caso, si ottiene 1100. Ora si può
eseguire la differenza e si scrive 1 nel quoziente. Si procede
in questo modo fino al termine delle cifre del dividendo. Il
quoziente finale ed il resto dell'esempio qui illustrato sono
indicati in figura 6.
Vediamo ora come funziona il metodo CRC. L'insieme dei
bit che costituiscono il blocco soggetto a controllo viene
considerato come insieme dei coefficienti di un polinomio
detto polinomio del messaggio ed indicato con P(x). Il
grado di tale polinomio è pari al numero dei bit formanti il
blocco (diciamo m) diminuito di uno. Diciamo, in generale,
che P(x) è di grado m-1. Facciamo un esempio.
Supponiamo che il blocco sia costituito dai seguenti 7 bit:
D = 1000100
Il polinomio corrispondente, di grado 6, sarà:
Mittente e destinatario, per poter usare questo metodo, devono concordare su un polinomio G(x), detto
generatore di grado r ≤ m-1. Il polinomio generatore deve essere caratterizzato dal fatto di avere pari ad
1 almeno il bit più a sinistra e quello più a destra. Supponiamo, in questo caso, che sia:
1001
r
A questo punto il mittente moltiplica la stringa blocco per 2 . Ciò equivale a giustapporre a destra di tale
stringa r zeri. Nel caso del nostro esempio tre zeri. Si ottiene una nuova stringa, che chiamiamo D', che
nel nostro caso vale:
D' = 1000100000
Il resto R viene calcolato dividendo, modulo 2, D' per G(x). Nel caso dell'esempio che stiamo
esaminando, vedi figura 6, si ottiene:
1000100000 : 1001 = 1001101 con il resto di 101.
Fatto ciò il mittente sottrae il resto così calcolato da D' ed ottiene:
1000100000 - 101 = 1000100101
La nuova stringa così ottenuta è ora divisibile in modo esatto per il polinomio generatore (ovvero con
resto nullo). Essa viene quindi inviata al destinatario che la dividerà per il polinomio generatore (1001 nel
nostro caso). Se il resto che ottiene è nullo vuol dire che non sono avvenuti errori in trasmissione.
Diversamente chiederà al mittente il reinvio dell'ultimo blocco.
5.2 Codifica FEC (Forward Error Correction)
L'insieme delle metodologie che appartengono alla codifica FEC, quelle cioè che consentono di rilevare e
correggere automaticamente gli errori, sono basate sulla codifica convoluzionale, che consiste nel
codificare il messaggio da trasmettere secondo regole che escludono alcune combinazioni di codice.
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pag. 12
La trasmissione numerica
5.2.1. Il codice Hamming
Supponiamo di avere sequenze di 4 bit come quelle che codificano l'alfabeto esadecimale (vedi tabella).
Simbolo
Codifica in binario puro
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Aggiungiamo ora tre bit di parità calcolati su
gruppi diversi di tre bit della stessa parola
come mostrato in figura 7.
In questo modo si ottiene il codice Hamming riportato nella tabella successiva.
Simbolo Codifica in binario puro Codifica Hamming
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
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0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
0000000
0001101
0010111
0011010
0100011
0101110
0110100
0111001
1000110
1001011
1010001
1011100
1100101
1101000
1110010
1111111
pag. 13
La trasmissione numerica
Con questo codice è possibile correggere fino ad un massimo di 1 errore. Supponiamo, per fare un
esempio, di trasmettere il simbolo A (1010001). Supponiamo che si verifichi un errore sul secondo bit e
1110001. Osservando la tabella si vede che non esistono parole di codice,
all'infuori di quella che rappresenta il simbolo A, che possano generare la sequenza ricevuta alterando un
solo bit. Il simbolo A è dunque quello che dista meno dalla sequenza ricevuta. Il ricevitore può dunque
la parola ricevuta, quindi, sia:
correggere l'errore.
5.2.2 Protezione a ridondanza di blocco
E' un'estensione del controllo di parità. Dato un insieme di parole (blocco), si esegue il calcolo del bit di
parità in modo incrociato: verticalmente e longitudinalmente.
La tabella riporta un esempio effettuato su un blocco di 5 parole di 4 bit ciascuna.
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
In ricezione il blocco di bit viene posto sotto matrice in modo analogo a quello adottato per il
trasmettitore e sottoposto al controllo di parità.
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
Supponiamo che il bit all'incrocio tra la terza riga e la terza colonna subisca, in trasmissione,
un'inversione. In tal modo si avrà che sia la terza riga che la terza colonna non rispetteranno più il
criterio di parità. Ciò significa che all'incrocio tra esse vi sarà un bit errato.
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pag. 14
La trasmissione numerica
PARTE II - TRASMISSIONE NUMERICA IN BANDA BASE
6. La trasmissione numerica in banda base
La trasmissione numerica in banda base è la trasmissione diretta di informazioni sotto forma di segnali
numerici su un mezzo trasmissivo. Non viene eseguito alcun processo di modulazione.
Il trasmettitore, dopo la codifica di sorgente e di canale, associa ad ogni bit della stringa che deve
trasmettere un impulso avente un'adeguata forma d'onda (codifica di linea). Dal momento che ogni
mezzo trasmissivo reale introduce distorsioni si avrà che in ricezione gli impulsi avranno una forma
d'onda diversa da quella che avevano in origine. Inoltre, occorre tener anche conto degli effetti del
rumore.
Tuttavia, poiché in una trasmissione numerica l'informazione è contenuta in una combinazione di codice,
il contenuto informativo del segnale rimane invariato fino a quando tale combinazione è riconoscibile. La
degradazione del segnale dovuta agli effetti distorsivi del canale e del rumore, pertanto, non avrà effetto
se la sequenza di bit viene correttamente riconosciuta dal ricevitore. A differenza di quanto avviene nella
trasmissione analogica, dove il ricevitore deve ricostruire la forma d'onda del segnale trasmesso la più
fedele possibile, nel caso della trasmissione numerica questo non è necessario: è sufficiente che ogni bit
venga correttamente riconosciuto. Il segnale ricevuto viene campionato in particolari intervalli temporali e
confrontato con una soglia di riferimento: se tale soglia viene superata si avrà un particolare stato logico
(ad esempio 1), altrimenti, se non viene superata, si avrà lo stato logico opposto (ad esempio 0). Da
quanto appena illustrato si comprende che l'operazione di sincronizzazione che consente di eseguire il
campionamento in ricezione è particolarmente delicata: essa deve essere perfettamente sincronizzata con
quanto avviene in trasmissione; trasmettitore e ricevitore devono avere lo stesso riferimento temporale.
Se la degradazione del segnale supera particolari limiti vi sarà un aumento della probabilità di errore. La
qualità di una trasmissione numerica viene quindi misurata sulla base del tasso d'errore, ovvero del
rapporto tra bit ricevuti errati e bit trasmessi complessivamente.
(19)
6.1 Capacità di un canale di comunicazione
La capacità di un canale di comunicazione è definita come la massima quantità di informazione che esso
riesce a trasmettere in modo affidabile nell'unità di tempo.
(20)
6.1.1 Capacità di un canale in assenza di rumore
Un canale di trasmissione è ben rappresentabile, da un punto di
vista fisico, come un filtro passa-basso (vedi figura 8a).
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pag. 15
La trasmissione numerica
Supponiamo che il trasmettitore invii una sequenza binaria come
quella illustrata dalla figura 8b dove ogni simbolo ha una durata
pari a Ts. Il segnale presente all'uscita del canale avrà una forma
d'onda come quella riportata in figura 8c (carica e scarica del
condensatore C). Se il tempo Ts diviene troppo piccolo il
condensatore non riesce più a caricarsi e a scaricarsi
completamente e si avrà la situazione descritta nella figura 9b. In
tale situazione i simboli 1 e 0 rischiano di non essere più
riconoscibili. Se indichiamo con Tmin il tempo minimo di durata di
un bit per avere ancora la garanzia di riconoscibilità si avrà che:
(21)
rappresenta la capacità del canale (al numeratore abbiamo
ed al denominatore la sua durata).
1
bit
Lo sviluppo in serie di Fourier del segnale di figura 9a conduce a:
per
k dispari
Un tale segnale, inviato in un canale di comunicazione, per essere
perfettamente riprodotto dovrebbe mantenere inalterate le
caratteristiche di ampiezza e fase di ogni armonica. In pratica,
però, la perfetta ricostruzione del segnale non è necessaria per la
decifrabilità dei bit che lo costituiscono. E' sufficiente che il canale
consenta il passaggio inalterato della componente continua e della
prima armonica. Se indichiamo con f1 la frequenza di tale
armonica, possiamo scrivere:
(22)
Se componente continua e prima armonica transitano in modo
inalterato vuol dire che la risposta in frequenza del canale di
trasmissione si ammette che sia come quella di figura 10a. La
banda passante di tale canale è:
B = fmax - fmin = f1
e quindi:
(23)
In genere non si desidera quasi mai far transitare la componente
continua in un canale di trasmissione in quanto ciò potrebbe
alterare le condizioni di polarizzazione dei vari componenti attivi
presenti lungo la linea (amplificatori, filtri attivi, equalizzatori,
ecc.). D'altronde la sola armonica fondamentale è sufficiente per
garantire la distinguibilità dei due livelli di tensione associati ai
due stati logici. E così si lasciano transitare tutte le frequenza
comprese tra una fmin ed f1. In sostanza si ammette per il canale
una risposta di filtro passa-banda ideale come quella di
figura 10b. La (23) costituisce il criterio di Nyquist per il canale
ideale: per ogni Hz di banda disponibile la capacità del canale
cresce di 2 bit/s. Questo risultato, per come è stato ottenuto,
rappresenta un limite ideale.
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pag. 16
La trasmissione numerica
6.1.2 Capacità di un canale in assenza di rumore e con codice multilivello
Per aumentare le prestazioni di un canale di
trasmissione si può adottare una codifica multilivello
che associa un simbolo della sorgente ad un
particolare livello di tensione. La figura 11, ad
esempio, mostra quattro possibili livelli di tensione
ognuno dei quali di durata Ts . Ad ognuno di tali livelli
(o simboli) associamo una coppia di bit. Se la durata
di ogni livello è la stessa di quella vista nel paragrafo
precedente per un bit, allora la capacità del canale
raddoppia. La capacità di una canale multilivello, che
indichiamo con Cn, sarà:
(24)
dove con Qn si è indicata la quantità di informazione
di ciascun simbolo. Se i simboli sono equiprobabili avremo che:
(25)
sostituendo nella (24):
(26)
L'aumento della capacità del canale è però ottenuto a scapito di una minore immunità ai disturbi. Ciò in
quanto diminuisce la differenza di tensione tra due livelli e, quindi, anche un piccolo disturbo può alterare
il contenuto informativo di uno dei suddetti livelli. Se indichiamo con VMAX la tensione di fondo scala e
con
V l'ampiezza di uno dei livelli avremo che il numero di questi, incluso lo zero, sarà:
che sostituita nella (26) fornisce:
(27)
6.1.3 Capacità di un canale in presenza di rumore
Se il rumore presente nel canale è confrontabile col livello di tensione V che separa i vari simboli è
molto probabile che si verifichi una non corretta ricezione del segnale sul ricevitore. Si può dimostrare
che in presenza di canale rumoroso la capacità di trasmissione vale:
(28)
che va sotto il nome di teorema di Shannon per una canale reale. Attenzione! S ed N rappresentano le
potenze del segnale e del rumore (non le tensioni). E' questo il limite che non ci consente di aumentare
liberamente la capacità di un canale aumentando il numero dei livelli (in base alla 27): aumentando il
numero dei simboli i dislivelli di tensione divengono troppo piccoli rispetto al valore del rumore presente
nel canale. Ancora una volta è bene porre in rilievo che la (28) è comunque un limite superiore e che in
condizioni reali la capacità di un canale di trasmissione è ancora inferiore. Tale relazione, infatti, non
tiene conto di altri fenomeni che contribuiscono a degradare il segnale (distorsioni di ampiezza e fase,
diafonie, intermodulazioni, ecc.).
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pag. 17
La trasmissione numerica
6.1.4 Velocità di trasmissione e velocità di modulazione
Supponiamo di avere un canale di comunicazione che sia in grado di trasportare in modo affidabile n
simboli distinti. E supponiamo, inoltre, che la sorgente sia costituita da un alfabeto di m simboli. E' allora
necessario introdurre una legge di codifica che consenta di associare ad ogni simbolo della sorgente uno o
più simboli adatti al canale che stiamo considerando. Il valore massimo della velocità media di
trasmissione dei simboli, anche indicata con il termine di velocità di modulazione, vale:
(29)
simboli/s o baud. Facciamo un esempio. Supponiamo che il canale abbia una capacità di
10 bit/s e che la quantità media di informazione della sorgente sia di 2 bit/simbolo. La velocità di
modulazione sarà allora di 5 simboli/s o 5 baud. Infatti, se io rappresento ogni simbolo, in media, con 2
bit ed il canale può ospitare una velocità massima di 10 bit/s è chiaro che ogni secondo potrò inviare,
sempre in media, 5 simboli.
che si misura in
La velocità di trasmissione, indicata con vT (o frequenza di cifra), rappresenta la quantità di informazione
(espressa in bit) trasmessa nell'unità di tempo. Si misura in bit/s. Non deve essere confusa con la
velocità di modulazione, che invece rappresenta il numero di simboli trasmessi nell'unità di tempo, e che
si misura in baud. Soltanto se la sorgente è binaria, e quindi costituita da due soli simboli, queste due
velocità coincidono.
6.2 Codifica di linea
La codifica di linea è quel processo tramite il quale un insieme di simboli
Kè
convertito in un insieme di
K. Oltre a ciò la codifica di linea fornisce al segnale numerico le caratteristiche idonee
livelli L con L
all'ottimizzazione della trasmissione. In particolare:
•
•
•
•
realizza una sagomatura dello spettro di potenza che sia il più possibile simile a quella del canale
trasmissivo;
semplifica le operazioni di recupero del segnale di temporizzazione, da parte del ricevitore, per
consentirne il corretto riconoscimento;
consente la misura della qualità della trasmissione;
genera segnali privi di componente continua (anche per poter effettuare la telealimentazione
degli apparati presenti lungo la linea).
I codici impiegati nella codifica di linea si classificano in:
•
•
codici interni, per ottimizzare il funzionamento dei circuiti elettronici all'interno degli apparati;
codici di linea veri e propri, utilizzati nei sistemi di trasmissione con lo scopo di convertire il
segnale numerico, dopo la codifica di sorgente e di canale, in una sequenza di simboli più adatta
al mezzo trasmissivo.
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pag. 18
La trasmissione numerica
6.2.1 Codici interni
Si tratta di codici a due livelli che associano ad ogni stato logico
un livello di tensione.
Il codice NRZ (Not Return to Zero) è rappresentato in figura
12a: Tb rappresenta la durata del singolo impulso, corrispondente
ad uno stato logico, e l'inverso di tale tempo è la velocità di
trasmissione che, in questo caso, coincide con la velocità di
modulazione.
(30)
La denominazione
NRZ
deriva dal fatto che se per due intervalli
di tempo Tb consecutivi si
presenta lo stesso stato
logico
il
corrispondente
livello di tensione rimane
inalterato.
Lo
spettro,
riportato in figura 12b,
presenta un lobo principale
e più lobi secondari con annullamenti di f in corrispondenza di 1/Tb
e successivi multipli. Con questo codice, quindi, non è possibile per
il ricevitore estrarre la componente spettrale a frequenza fb
indispensabile per la sincronizzazione.
Il codice RZ (Return to Zero) si ottiene dall'NRZ riducendo a metà
la durata dell'impulso corrispondente allo stato logico 1. E' illustrato
in figura 13a. Lo spettro, questa volta, è costituito da un lobo
principale che si estende dalla continua fino alla frequenza 2fb e da
una serie di lobi secondari con annullamenti a 2fb e successivi
multipli. Questo codice presenta il vantaggio di poter estrarre, in
ricezione, la frequenza fb necessaria per la sincronizzazione. Ha
però lo svantaggio di occupare una banda doppia rispetto al codice
NRZ.
6.2.2 Codici di linea
AMI (Alternate Mark Inversion) è una codifica che
usa tre livelli di tensione: +V, 0, -V. Lo si ottiene dal codice
RZ associando allo stato logico 1 alternativamente impulsi
positivi e negativi. Lo stato logico 0 rimane inalterato (vedi
figura 14a). Lo spettro del segnale AMI presenta una
concentrazione della potenza ad una frequenza pari a fb/2. La
componente continua è assente (lo spettro vale 0 per f=0). Gli
annullamenti successivi dello spettro si situano ad fb e suoi
Il codice
multipli (vedi figura 14b).
Per il recupero della frequenza fb, ai fini della sincronizzazione,
si procede ad un raddrizzamento del segnale AMI in modo da
ottenere un RZ contenente fb.
Si sottolinea, infine, che il segnale AMI consente la misura del
tasso di errore.
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pag. 19
La trasmissione numerica
HDBn (High Density Bipolar
Code di ordine n ) deriva dall'AMI: i bit 1
La codifica
sono alternativamente positivi e negativi
sino a quando non si presentano n bit pari a
0. In questo caso l'n+1-esimo bit 0 si
1 avente la stessa
1 che precede la sequenza di
codifica con un bit
polarità del bit
0. Tale bit particolare viene indicato col
termine bit di violazione, in quanto viola il
principio di alternatività.
Il codice più utilizzato è l'HDB3 nel quale si
ammette un massimo di tre stati logici pari a
0 consecutivi (vedi figura 15).
Il vantaggio principale di questo tipo di codifiche è che vengono eliminate quelle lunghe sequenze di
che rendono difficoltosa l'estrazione del segnale di clock.
0
7. Trasmissione numerica in banda traslata
La trasmissione numerica in banda traslata consiste nella modulazione di una portante analogica, di tipo
sinusoidale, da parte di un segnale digitale. Nella letteratura del settore tale trasmissione è anche
indicata col termine di modulazione digitale di portante analogica.
Un segnale sinusoidale, come ormai dovrebbe apparir chiaro, è univocamente individuato da tre
parametri: ampiezza, frequenza e fase. Si possono quindi avere tre tipi di modulazione: di ampiezza, di
frequenza e di fase. Concettualmente non vi sono differenze con le modulazioni analogiche già incontrate
in precedenza. La sola differenza è che qui il segnale modulante non è analogico ma digitale. Tutte le
considerazioni fatte a proposito delle modulazioni analogiche, quindi, possono essere riprese per le
modulazioni digitali. Per certi versi, anzi, le modulazioni digitali possono essere considerate più semplici.
Ciò in quanto il segnale modulante non assume, istante per istante, un valore diverso, ma solo due
possibili livelli: uno per lo stato logico 0 e l'altro per lo stato logico 1.
Per distinguere queste modulazioni da quelle analogiche si usa il termine inglese Shift Keying (codifica a
scostamento). Avremo quindi la modulazione d'ampiezza, ASK (Amplitude Shift Keying), quella di
frequenza
FSK (Frequency Shift Keying) e quella di fase PSK (Phase Shift Keying).
Va detto, inoltre, che le modulazioni ASK e FSK sono sempre meno usate e la maggior parte dei sistemi
di trasmissione che utilizzano modulazioni digitali usa prevalentemente la PSK o altre modulazioni che
sono combinazioni di ASK e FSK.
7.1 ASK
Come abbiamo già indicato tale modulazione può essere vista come una normale
AM
nella quale la
(5)
modulante assume l'aspetto di un'onda pseudo-quadra
.
Anche qui occorre imporre che la frequenza della portante sia maggiore della frequenza della modulante.
Ciò equivale ad imporre che nell'intervallo di tempo di durata di un bit, che indichiamo con Tb, si sviluppi
almeno un periodo completo di portante.
5
Si tratta di un'onda in cui la distribuzione dei due livelli non è regolare (ovvero, è del tutto casuale) come nell'onda
quadra.
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pag. 20
La trasmissione numerica
In figura 16 è visibile l'andamento
del segnale portante, del segnale
modulante a due livelli e del segnale
modulato. Il segnale modulato ASK,
come si può notare, coincide con la
portante durante il livello alto e con
una frazione di questa durante il
livello basso.
Se l'espressione della portante è:
il segnale modulato
ASK avrà l'espressione:
Nel caso in cui in corrispondenza del bit 0 l'ampiezza del segnale modulato sia nulla si ottiene la
modulazione OOK (ON-OFF Keying). In questo caso l'espressione del segnale modulato sarà:
In figura 17 è illustrato lo schema
di principio della modulazione
OOK. Ed in figura 18 è visibile
l'andamento del segnale modulante
a due livelli e del segnale
modulato.
La
modulazione
OOK
presenta
il
vantaggio, rispetto alla ASK, di
trasportare una potenza inferiore.
Presenta anche uno svantaggio: nel
caso di lunghe sequenze di 0 queste
potrebbero essere interpretate dal
ricevitore come un'interruzione del
collegamento. Quindi, quando si adotta
questa modulazione, è bene inserire
ogni sequenza di 0 superiore ad una
determinata quantità un 1. Questi 1,
naturalmente,
dovranno
essere
eliminati in ricezione prima della fase
della decodifica.
Ultimo aggionamento: 08/01/2014
pag. 21
La trasmissione numerica
A parità di frequenza della portante si può
raddoppiare
la
velocità
di
trasmissione
raggruppando coppie di bit ed associando
ciascuna di queste ad uno fra quattro possibili
livelli. Questa situazione è illustrata nella figura
19.
La figura 20, invece, illustra una modulazione
ASK ad otto livelli con la quale si triplica la
velocità di trasmissione (rispetto al caso binario
semplice).
Questo procedimento non può però essere
esteso all'infinito. Infatti, all'aumentare del
numero dei livelli aumenta la probabilità, in
ricezione,
di
commettere
errori
di
interpretazione. Ciò in quanto l'ampiezza di
ogni livello diminuisce e diviene sempre più
confrontabile con il rumore.
Se invece si vuole mantenere costante
l'ampiezza di ogni livello, evidentemente,
occorrerà aumentare l'ampiezza massima
del segnale modulato e ciò comporta una
crescita della potenza trasmessa (che,
come è bene ricordare, aumenta in modo
quadratico rispetto all'ampiezza).
Per queste ragioni, e per il fatto che come
tutte
le
modulazioni
analogiche
è
particolarmente sensibile al rumore, la
tecnica ASK è oggi sempre meno usata.
7.1.1 Spettro di un segnale ASK ed occupazione di banda
Consideriamo un segnale sinusoidale modulato in ampiezza da
un segnale digitale del tipo di quello mostrato in figura 21.
Poniamoci il problema di valutare la potenza associata al
segnale modulato ASK e l'occupazione di banda di questo.
Trattandosi di una modulazione d'ampiezza possiamo scrivere:
(31)
dove d(t), essendo un segnale ad onda quadra periodico, è sviluppabile in serie di Fourier e può così
essere scritto:
(32)
Se ora si sostituisce la (32) nella (31) si ottiene:
Ultimo aggionamento: 08/01/2014
pag. 22
La trasmissione numerica
esplicitando i primi termini della serie:
(33)
Sappiamo, inoltre, che per ogni
e, ricordando che
m<
α e per ogni β possiamo scrivere (formula di Werner):
p, poniamo:
(l'altra posizione, pur essendo matematicamente lecita, la dobbiamo però scartare in quanto condurrebbe
a valori di frequenza negativa che non hanno senso fisico). Applicando le formule di Werner alla (33) si
ottiene:
Sappiamo che per un segnale modulato in ampiezza la potenza complessiva è la somma della potenza
trasportata dalla portante e di quella trasportata da ciascuna banda laterale:
dove la potenza associata alla portante vale:
e quella ad una banda laterale:
(34)
ricordando che:
possiamo riscrivere la (34):
la potenza complessiva esatta è, allora:
(35)
Ultimo aggionamento: 08/01/2014
pag. 23
La trasmissione numerica
Se poniamo
alto:
Vp =E si ottiene il caso della OOK. Infatti, analizzando la (31) si ha che nel corso del livello
si ottiene perciò un segnale equivalente alla portante con ampiezza doppia. Nel corso del livello basso,
invece, si ha:
E quindi la (35) può essere riscritta:
(36)
Poniamoci ora il problema di calcolare la potenza approssimata al solo termine fondamentale (sempre in
riferimento al caso della OOK). Dobbiamo allora riconsiderare la (34) e porre n=0. In tal modo l'unico
termine della serie corrisponde all'armonica fondamentale.
La potenza totale, approssimata alla presenza della sola armonica fondamentale, vale dunque:
Ciò equivale a dire che se limitiamo lo spettro alla presenza della sola portante e dell'armonica
fondamentale avremo, complessivamente, il 91% circa di tutta la potenza che avremmo se
considerassimo tutte le armoniche (fino a quella di grado infinito).
Ripetiamo il calcolo includendo, questa volta, anche la terza armonica:
La potenza totale, approssimata alla presenza dell'armonica fondamentale e della terza armonica, vale
dunque:
(37)
Ciò equivale a dire che se limitiamo lo spettro alla presenza della portante, dell'armonica fondamentale e
della
terza
armonica
avremo,
complessivamente, il 95% circa di tutta la
potenza che avremmo se considerassimo
tutte le armoniche (fino a quella di grado
infinito).
E' allora ragionevole limitare lo spettro alla
portante, l'armonica fondamentale e la terza
armonica e considerare, quale banda
occupata dal segnale (vedi figura 22):
(38)
Ultimo aggionamento: 08/01/2014
pag. 24
La trasmissione numerica
7.2 FSK
Anche la FSK , come la ASK , non presenta sostanziali differenze con la sua equivalente analogica.
Anzi, in questo caso si può dire che è molto più semplice. In sostanza si associa un segnale sinusoidale
con frequenza f0 allo stato logico 0 ed un altro segnale sinusoidale con frequenza f1 allo stato logico 1. I
due segnali sinusoidali hanno la medesima ampiezza. Oppure, in termini di deviazione di frequenza, si
può pensare di avere una portante fp alla quale venga sommata o sottratta una certa frequenza per
ottenere f0 ed f1:
In questo tipo di modulazione è molto importante la continuità di fase; sia per garantire una buona
ricezione che per ottenere un basso livello di errori. Nella transizione da uno stato logico a quello
opposto, in pratica, il segnale modulato non deve presentare brusche variazioni. Per far ciò è necessario
che per ogni bit si abbia un numero intero di periodi del segnale. Secondo questa impostazione, allora, si
fissa una delle due frequenze e si pone l'altra pari ad un multiplo intero della prima:
Scegliendo 2, ovviamente, si avrà una minore occupazione di banda La
figura 23 mostra lo schema di principio di un modulatore FSK. La figura
24, invece, l'andamento temporale
temporalmente con un segnale digitale.
del
segnale
FSK
correlato
Anche la FSK può essere fatta su più
livelli. Per coppie di bit, ad esempio,
si opera in questo modo. Alla coppia
00 si associa una frequenza, diciamo
base. Ed alle coppie successive si
associano
multipli
interi
della
frequenza base (vedi figura 25).
In questo modo si aumenta la
velocità
di
trasmissione
senza
aumentare quella di modulazione. E
quindi l'occupazione di banda resta la
medesima.
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pag. 25
La trasmissione numerica
7.2.1 Spettro di un segnale FSK ed occupazione di banda
Un segnale FSK può essere
considerato come somma di due
segnali modulati ASK-OOK con
portanti f0 ed f1. La figura 26
mostra l'andamento temporale di
una modulante digitale (primo
grafico), di una modulata ASK-
OOK
con frequenza portante f0
(secondo grafico), una modulata
ASK-OOK
con
frequenza
portante f1 (terzo grafico) e di una
modulata FSK (quarto grafico). Lo
spettro di tale segnale FSK sarà
allora quello riportato in figura 27.
Supponendo, come per il caso della
ASK-OOK, una
modulante digitale costituita da una successione di
1
e 0 con frequenza fm e limitando lo spettro alla portante, all'armonica fondamentale e alla terza
armonica si ha, per la banda occupata dal segnale:
(39)
dove si è ipotizzato di associare allo stato
0
la frequenza più alta (f0>f1). Confrontando questo tipo di
modulazione con l'ASK si nota un aumento della banda occupata di una quantità pari a: f0-f1.
7.3 PSK
Rispetto all'ASK ed alla
FSK la PSK trova oggi ancora molti spazi di impiego. Consideriamo, ancora una
volta, un segnale armonico di frequenza fp. In base al bit da trasmettere si attribuisce a tale segnale uno
sfasamento di 0° o di 180°. In linea di principio si potrebbero attribuire, ai due stati logici, un'altra
qualunque coppia di valori di fase. La scelta di 0° e 180° presenta però due innegabili vantaggi:
•
•
le due forme d'onda della modulata sono molto diverse tra loro e quindi, in ricezione, vi è una
minore possibilità di errore;
il circuito che realizza tali sfasamenti è molto semplice.
Ultimo aggionamento: 08/01/2014
pag. 26
La trasmissione numerica
La figura 28 mostra un esempio di
segnale modulato PSK. In realtà questo
tipo
di
modulazione
assume
la
denominazione 2PSK. Ciò in quanto,
come accadeva per l'ASK e la FSK
anche in questo caso è possibile
codificare coppie di bit con fasi
differenti. In pratica, nella 4PSK (anche
indicata con la sigla QPSK), ad ognuna
delle coppie
00, 01 10 e 11 viene
0°, 90°, 180° e
associata una delle fasi
270°.
Nella
8PSK,
invece, si associano terne
di bit a segnali sfasati fra loro di
45°.
7.3.1 Spettro di un segnale 2PSK ed occupazione di banda
Consideriamo un segnale sinusoidale del tipo:
modulato in
2PSK
dal segnale digitale di figura 21 (vedi pag. 22), che può essere considerato un'onda
quadra con duty-cycle del 50%, con
Tm =2Tb.
L'espressione analitica del segnale modulato la possiamo scrivere nel seguente modo:
che per comodità possiamo riscrivere:
(40)
con:
b(t)=1 se d(t)=0 (stato logico basso)
b(t)=-1 se d(t)=1 (stato logico alto)
Il segnale b(t) ha quindi lo stesso andamento di d(t). L'unica differenza è che i livelli di
E' un segnale che, sviluppato in serie di Fourier, diviene:
b(t) sono +1 e -1.
(41)
in quanto la frequenza di ripetizione di
otteniamo:
b(t)
e di
d(t)
coincidono. Se sostituiamo la (41) nella (40)
approssimando questa espressione alla terza armonica si ottiene:
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pag. 27
La trasmissione numerica
ricordando le formule di Werner relativamente al prodotto di un seno per un coseno:
Osservando questa espressione notiamo la presenza di quattro armoniche a frequenza:
fp+fm , fp-fm, fp+3fm e fp-3fm
Notiamo, inoltre, l'assenza della portante e ciò comporta un innegabile vantaggio in termini di risparmio
di potenza. La banda occupata, infine, vale:
(42)
al pari del segnale modulato
ASK-OOK.
7.4 QAM
Quando si desidera raggiungere un'elevata velocità di trasmissione, senza aumentare l'occupazione di
banda, è necessario fare ricorso a modulazioni di tipo misto. Si tratta di tecniche che combinano la
modulazione d'ampiezza e quella di fase. La QAM (Quadrature Amplitude Modulation) ne è l'esempio
più diffuso. Si considerano pacchetti di quattro, cinque o più bit. Alcuni di essi svolgono una modulazione
di tipo ASK a 2, 4 od 8 livelli; i restanti svolgono una modulazione di tipo PSK. La 16QAM, ad
esempio, considera quaterne (o quadribit) di bit
Q1 Q2 Q3 Q4
di cui
Q1
destinato all'ASK e
Q2 Q3 Q4
PSK. Il nome 16QAM deriva dal fatto che con questo tipo di modulazione si possono codificare fino
Q1, ed 8
possibili sfasamenti (0°,45°,90°,135°,180°,225°,270° e 315°) controllati dalla terna (o tribit) Q2 Q3 Q4.
alla
a 16 simboli differenti. Si hanno, pertanto, due possibili valori dell'ampiezza, controllati da
Dal punto di vista matematico l'espressione del
segnale modulato 16QAM si ottiene sommando
vettorialmente due segnali armonici isofrequenziali
e in quadratura (una sinusoide ed una cosinusoide,
ad esempio). Tali segnali, prima di essere sommati,
sono modulati in ampiezza da altri due segnali P(t)
e
Q(t)
a quattro livelli:
-1, -1/3, +1, +1/3.
Se
indichiamo con fp la frequenza della portante e con
Vp la sua ampiezza avremo, per il segnale
16QAM:
(43)
Lo schema di principio di questa modulazione è
rappresentato in figura 29. Vi sono due
moltiplicatori, all'ingresso di ognuno dei quali
vengono applicati i due segnali P(t) e Q(t) e le
portanti isofrequenziali ed ortogonali. Le uscite di
tali moltiplicatori sono poi sommate per ottenere il
segnale 16QAM. Va detto, inoltre, che i valori
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pag. 28
La trasmissione numerica
assunti da P(t) e Q(t) sono determinati dal quadribit, relativo al simbolo che di volta in volta deve essere
trasmesso, secondo la tabella successiva.
fase
10
9
12
11
13
15
14
16
8
6
7
5
3
4
1
2
Q3 Q2 Q1 Q0
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
P(t)
-1/3
-1
-1/3
-1
1/3
1/3
1
1
-1/3
-1/3
-1
-1
1/3
1
1/3
1
Q(t)
-1/3
-1/3
-1
-1
-1/3
-1
-1/3
-1
1/3
1
1/3
1
1/3
1/3
1
1
In figura 30a è rappresentato il diagramma vettoriale delle due oscillazioni isofrequenziali e ortogonali.
In figura 30b, invece, è rappresentato il segnale 16QAM. Per fare un esempio, consideriamo la fase 10
P(t) e Q(t) valgono, rispettivamente, -1/3 e -1/3.
-Vp/3 e --Vp/3. Si tratta, allora, dei due vettori
indicati nella figura 30a uno orientato lungo l'asse negativo delle x e l'altro lungo l'asse positivo delle y.
della tabella. Per essa, come si può vedere, i segnali
Le ampiezze delle due oscillazioni varranno, allora,
La loro somma da luogo al vettore indicato con 10 nella figura 30b.
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pag. 29
La trasmissione numerica
7.5 Probabilità di errore
La qualità di una trasmissione numerica è espressa dal tasso di errore indicato con l'acronimo BER (Bit
Error Ratio) che corrisponde al rapporto fra il numero di bit ricevuti errati ed il numero dei bit trasmessi
in un determinato intervallo di tempo.
E' necessario poter conoscere a priori la probabilità di errore
Pe di un sistema di comunicazione numerico.
Questa probabilità dipende da diversi fattori.
7.5.1 Interferenza intersimbolica (ISI) e caratteristiche del canale
La limitazione di banda del canale allarga e arrotonda gli impulsi rettangolari del segnale numerico, in tal
modo ciascun impulso viene ad invadere anche gli intervalli di tempo relativi ai bit adiacenti; è questo il
fenomeno dell'ISI (Inter Simbol Interference). Per il calcolo della probabilità di errore supporremo nel
seguito che il canale impiegato sia di tipo lineare e con funzione di trasferimento costante in una banda
molto maggiore rispetto a quella interessata dai segnali numerici trasmessi; in tal modo si potrà ritenere
trascurabile il fenomeno dell'ISI.
7.5.2 Rumore
Nell'ipotesi di assenza di ISI il rumore è l'unica
causa di errore. In un sistema di comunicazione si
tiene conto del rumore immaginando che esso si
sommi al segnale in ingresso al ricevitore (vedi
figura 31).
II segnale n(t) che rappresenta il rumore è un
segnale aleatorio, di cui si possono stimare
soltanto i valori medi. Supporremo in particolare
che il rumore sia di tipo termico, cioè sia un processo gaussiano a valore medio nullo e con spettro di
densità di potenza costante pari a Gn [W/Hz]. Ciò significa che la potenza del rumore è distribuita in
modo uniforme alle varie frequenze (rumore bianco). Per limitare il rumore in ingresso al ricevitore,
questo è sempre preceduto da un filtro di ingresso passa banda, con banda passante BT . In tal modo la
potenza di rumore in ingresso al ricevitore risulta:
7.5.3 Potenza trasmessa e potenza ricevuta
Nell'ipotesi di canale lineare, la potenza trasmessa e quella ricevuta sono linearmente legate fra loro. La
potenza ricevuta incide sulla probabilità di errore in quanto quest'ultima risulta essere una funzione del
rapporto S/N, tra la potenza media ricevuta e la potenza del rumore.
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pag. 30
La trasmissione numerica
7.5.4 Velocità di trasmissione dell'informazione
La velocità di trasmissione
larghezza di banda
vT
è doppiamente legata alla potenza trasmessa. Infatti da
vT
dipende la
BT del segnale utile e quindi la potenza di rumore N=BTGn. Assumendo, ad esempio,
BT=2vT risulta:
Pe,
S a scapito della velocità di trasmissione vT, o viceversa.
Per avere, quindi, in una comunicazione, una certa probabilità di errore
potenza trasmessa
si può agire sul valore della
7.5.5 Modulazione e demodulazione dei segnali
La funzione che lega la probabilità di errore
Pe
al rapporto
dalla tecnica di demodulazione adottate. La durata
corrispondente all'inverso della velocità di trasmissione:
In luogo di
Tb
S/N
dipende anche dal tipo di modulazione e
di un singolo bit del segnale modulante,
vT si considera, spesso, la frequenza fondamentale della trasmissione, data da:
7.6 Pe nel caso della modulazione ASK
La demodulazione di un segnale OOK può essere effettuata in modo coerente o in modo incoerente (vedi
figura 32). In generale la demodulazione coerente offre prestazioni superiori rispetto a quella incoerente,
poiché a parità di rapporto segnale/rumore comporta una probabilità di errore inferiore. È però più
complessa, in quanto è necessario sincronizzare in frequenza e in fase il segnale generato dall'oscillatore
locale con il segnale ricevuto; tale operazione è normalmente effettuata con un circuito ad aggancio di
fase (PLL).
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pag. 31
La trasmissione numerica
Nel caso della demodulazione coerente, il segnale ricevuto, dopo essere stato filtrato dal filtro passabanda d'ingresso per limitare il contenuto di rumore, viene moltiplicato per la portante:
ricostruita mediante un oscillatore locale; il prodotto viene filtrato con un filtro passa-basso che ne estrae
la componente continua, e infine inviato ad un circuito di soglia, all'uscita del quale sono presenti i bit
demodulati.
Con i simboli di figura 32, valutiamo l'uscita in presenza del solo segnale utile tralasciando per ora il
rumore:
con:
La presenza del rumore si traduce in un termine aleatorio sommato a
esattamente pari a:
V2;
pertanto,
V2,
non sarà
(a seconda del bit trasmesso) ma sarà prossimo a tali valori.
Per decidere quale bit sia stato trasmesso, il circuito di soglia viene tarato ad un valore
in modo che restituisca un segnale corrispondente al livello logico 1 se
corrispondente al livello logico
V2
VS:
Vs,
ed un segnale
0 se V2<Vs:
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pag. 32
La trasmissione numerica
In ogni caso il rumore
n(t),
nell'istante di clock in cui avviene il confronto di
V2
con
Vs,
può essere tale
da far "scavalcare" a V2 la soglia Vs, causando una ricezione errata. Nell'ipotesi di rumore AWGN (cioè
di rumore additivo bianco e gaussiano), la probabilità che questo avvenga (probabilità di errore) è data
da:
con:
I valori della funzione
x
Q(x)
.05
.10
.15
.20
.25
.30
.35
.40
.45
.50
.55
.60
.65
.70
.75
.80
.85
.90
.95
1.00
fino a
.4801
.4602
.4405
.4207
.4013
.3821
.3632
.3446
.3264
.3085
.2912
.2743
.2578
.2420
.2266
.2119
.1977
.1841
.1711
.1587
Q(x) sono riportati nella tabella, per valori dell'argomento:
x
1.05
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
1.35
1.40
1.45
1.50
1.55
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
1.95
2.00
Q(x)
.1469
.1357
.1251
.1151
.1056
.0968
.0885
.0808
.0735
.0668
.0606
.0548
.0485
.0446
.0401
.0359
.0322
.0287
.0256
.0228
x
2.05
2.10
2.15
2.20
2.25
2.30
2.35
2.40
2.45
2.50
2.55
2.60
2.65
2.70
2.75
2.80
2.85
2.90
2.95
3.00
Q(x)
.0202
.0179
.0158
.0139
.0122
.0107
.0094
.0082
.0071
.0062
.0054
.0047
.0040
.0035
.0030
.0026
.0022
.0019
.0016
.0013
x
Q(x)
3.05
3.10
3.15
3.20
3.25
3.30
3.35
3.40
3.45
3.50
3.55
3.60
3.65
3.70
3.75
3.80
3.85
3.90
3.95
4.00
.00114
.00097
.00082
.00069
.00058
.00048
.00040
.00034
.00028
.00023
.00019
.00016
.00013
.00010
.00009
.00007
.00006
.00005
.00004
.00003
4. Per x > 4 è lecita l'approssimazione, per il calcolo della Pec :
Nel caso della demodulazione incoerente (vedi figura 33), il segnale ricevuto, anziché essere moltiplicato
per la portante ricostruita localmente, viene moltiplicato per se stesso, sottoponendolo ad una operazione
di quadratura (che si ottiene passando attraverso una non linearità quadratica, come ad esempio un
diodo).
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pag. 33
La trasmissione numerica
Per mezzo di considerazioni analoghe a quelle fatte per la modulazione coerente si ottiene, per la
probabilità di errore:
che possiamo anche scrivere:
7.7 Pe nel caso della modulazione FSK
Come per la ASK , la probabilità di errore nella demodulazione FSK coerente si calcola mediante la
funzione Q(x) definita in precedenza e tabulata nella corrispondente tabella. II valore dell'argomento x
dipende anche dall'indice di modulazione mf, oltre che, come per la ASK , dall'ampiezza della portante,
dalla velocità di trasmissione e dalla densità spettrale del rumore; per
minima probabilità di errore, data da:
formula valida indicativamente anche per
>> 1;
p >>
mf 2/3,
mf = 2/3 = 0,67
si ottiene la
nelle ipotesi, solitamente verificate in pratica:
pTb
p.
7.8 Pe nel caso della modulazione PSK
Ponendo la soglia a livello zero, si ottengono in uscita i bit demodulati. In presenza di rumore
ha una probabilità di errore:
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AWGN si
pag. 34
La trasmissione numerica
Per una corretta demodulazione è di fondamentale importanza un riferimento coerente del ricevitore, per
evitare che la portante ricostruita si trovi agganciata in modo casuale ad una delle due posizioni di fase.
II superamento di tale indeterminazione comporta una certa complessità circuitale.
Questo problema può anche essere risolto mediante la modulazione DPSK (Differential PSK), che
associa la cifra, non al valore assoluto della fase del segnale, ma alla sua variazione. In questo caso il
demodulatore risulta più semplice.
DPSK è fatta in modo da provocare un salto di fase di 180° (da 0° a 180° o viceversa)
in corrispondenza della cifra 1, e nessuna variazione in corrispondenza della cifra 0.
Normalmente la
Con la
DPSK la probabilità di errore è data da:
7.9 Pe nel caso della modulazione LPSK
La modulazione polifase si realizza effettuando una codifica preliminare dei bit di sorgente, ottenuta
n
raggruppandoli in simboli di m bit (parallelizzazione) e facendo corrispondere a ciascuno degli L=2
simboli possibili una determinata fase della frequenza portante. In ricezione si effettua il procedimento
opposto: il riconoscimento della fase (o della variazione di fase) porta alla individuazione del simbolo ed
alla serializzazione dei bit che lo compongono.
In pratica per la trasmissione dati è di normale impiego la codifica a
2 bit
nei modem a
2400 bit/s,
a
3
bit nei modem a 4800 bit/s, e a 4 bit in quelli a 9600 bit/s.
per
che per
L>4
L = 4 fornisce in particolare:
con:
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