Corso di Idraulica dei Sistemi Naturali
IDRODINAMICA FLUVIALE
Prof. Enrico Foti
Fonti:
- Appunti del corso di Idraulica Fluviale del Prof. Giovanni Seminara (Università di Genova)
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Premessa
I processi di moto nei corsi d’acqua possono essere descritti attraverso
modelli interpretativi caratterizzati da diversi gradi di complessità, a seconda
del problema che si vuole affrontare.
Esistono:
-Modelli tridimensionali (es. moto in un’ansa fluviale)
-Modelli bidimensionali (es. propagazione della marea in un bacino confinato)
-Modelli unidimensionali (es. propagazione di una piena fluviale)
-Modelli zero-dimensionali (es. riempimento/svuotamento di un serbatoio)
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Il modello unidimensionale: la corrente
Nei corsi d’acqua, nei canali artificiali e nei canali lagunari, il campo di moto
può essere descritto adottando il modello di corrente, individuando cioè una
direzione prevalente del moto, che è in generale ad andamento curvilineo.
x
Definite quindi sezioni della corrente le intersezioni di essa con piani
ortogonali alla linea coordinata x prescelta per rappresentare la direzione
della corrente, si fa riferimento a grandezze dinamiche (velocità, quantità di
moto, energia) mediate nel piano della sezione. Esse risultato funzioni delle
sole coordinate spaziale x e temporale t.
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Il modello unidimensionale: la corrente
Si noti che la scelta di x è in qualche misura arbitraria, non potendo essere in
generale riferita all’assetto tridimensionale della corrente, parte del quale (es.
superficie libera e fondo mobile) è a priori non noto.
Condizioni perché l’adozione dello schema di corrente sia giustificato:
• le curvature della linea d’asse siano piccole (moti secondari modesti);
• le variazioni spazio-temporali della forma della sezione siano
sufficientemente lente (vincolo di quasi-unidirezionalità del moto).
Inoltre, adottando il modello unidimensionale si assume che:
• la velocità verticale è più piccola di almeno un ordine di grandezza rispetto
alla velocità orizzontale (vero nell’ipotesi di acque basse);
• la velocità trasversale è un ordine di grandezza più piccola rispetto a quella
nella direzione prevalente del moto;
• la superficie libera è orizzontale nella direzione trasversale (ovvero si
trascurano le variazioni trasversali del carico pieziometrico)
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Equazione di de Saint Venant (1871)
Sotto le citate ipotesi, si può derivare l’equazione unidimensionale che
descrive il moto (r=cost):



h 1
2
UW  bU W   gW  B 0f  b 3
t
x
x r



in cui:
-U è la velocità media nella direzione del moto;
- W è l’area della sezione
- b è un coefficiente di forma
- g è l’accelerazione di gravità
- h è la profondità locale
- B è il perimetro bagnato
- b è la larghezza in supeficie
-  0f è il valore medio della tensione tangenziale agente sul contorno
bagnato
-  è il valore medio della tensione tangenziale agente sulla superficie
libera
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Equazione di continuità
Il principio di conservazione della massa impone invece che (r=cost)
W Q

0
t x
in cui:
- Q è la portata volumetrica che attraversa la sezione
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti uniformi e stazionarie a superfie libera
Una corrente a superficie libera si dice in moto stazionario uniforme se è:
• unidirezionale
• se le sue caratteristiche risultano indipendenti dal tempo e dalla coordinata
spaziale che individua la direzione di moto.
Condizioni necessarie per un assetto stazionario uniforme del moto sono:
• alveo cilindrico
• moto pienamente sviluppato (non si risente di condizioni al contorno di
monte o di valle)
• condizioni stazionarie alle sezioni di estremità
Nota:
Se la pendenza è modesta le
sezioni possono essere
considerate verticali
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti uniformi e stazionarie a superfie libera
Nei moti stazionari uniformi, la linea piezomatrica risulta parallela al fondo e
coincide con la linea del pelo libero.
Il carico totale è
U2
H  h 
2g
Poiché la portata Q, e quindi la velocità U, è costante si può ricavare che la
linea dei carichi totali è parallela al fondo e alla linea piezometrica
j
dH
 i f  cost
dx
i f  tan 
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti uniformi e stazionarie a superfie libera: equazione di Chezy
Nel caso di moto uniforme si ricava che gli sforzi tangenziali al fondo possono
essere espressi come
 0f  rgRi i f
in cui Ri  W / B è il raggio idraulico, oppure utilizzando il coefficiente di
conduttanza C
E quindi la velocità risulta
 0f 
rU 2
C2
U  C gRi i f
o nella forma originale proposta da Chezy
U   Ri i f
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti uniformi e stazionarie a superfie libera: equazione di Chezy
Il coefficiente di conduttanza C , o il coefficiente di Chezy , dipende dalla
distribuzione di velocità all’interno della sezione
Per esempio, per sezioni di forma regolare, a partire da un profilo logaritimico
di velocità, Marchi (1961) ha ricavato
 C
e

C  2.5 ln 

 Re f 13.3Ri f
con
•
Re 
4 RiU




numero di Reynolds della corrente
• f coefficiente di forma
• e scabrezza relativa
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti uniformi e stazionarie a superfie libera: equazione di Chezy
In condizioni di moto puramente turbolento, nella pratica professionale si
usano le seguenti formule empiriche:
• Gauckler (1868)- Strickler (1923)
  k s Ri1/ 6
•Bazin (1865)
87

1
B
Ri
•Ganguillet e Kutter (1869)

100
m
1 k
Ri
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti uniformi e stazionarie a superfie libera: equazione di Chezy
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti uniformi e stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Spesso si deve affrontare lo studio di alvei in cui le sezioni trasversali hanno
forma irregolare, costituite da porzioni caratterizzate da profondità e
scabrezze diverse.
Spesso si deve per esempio distinguere tra un letto di magra e aree golenali.
Un semplice approccio, in questi casi, è quello di suddividere la sezione in
porzioni distinte caratterizzate da velocità medie diverse ma pendenza del
fondo costante.
Si noti che il raggio idraulico di ciascuna porzione è determinato dalla
porzione di contorno solido in essa presente.
Alle diverse porzioni si applicano le considerazioni sul moto uniforme, per
esempio la portata complessiva si sommano i contributi delle singole porzioni.
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Lo studio delle correnti stazionarie a superficie libera, fondato sul modello 1D, è finalizzato principalmente al tracciamento dei cosiddetti profili di
rigurgito, cioè dell’andamento della superficie libera in tronchi quasi-cilindrici
del corso d’acqua.
Si definisce carico specifico rispetto al fondo alveo
U2
Q2
E  Y 
 Y 
2g
2 gW2
Nel caso di portata costante, esiste un tirante critico tale che l’energia sia
minima, ovvero
 dE 
0


dY

Q cost
Per determinarlo deve essere soddisfatta la relazione
 W3 
Q2

 
b
g
 Y Yc
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Nel caso di sezione rettangolare, l’altezza critica è
1/ 3
 Q 
Yc    2 
 gb 
2
Nel caso di carico costante, si ha invece:
QW
2g

E  Y 
Si evince che esiste un massimo della portata in corrispondenza della profondità
critica:
W
Yc   
E
 2b Y Yc
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Portata
Energia
Portata
QW
2g

E  Y 
Q2
E  Y 
2 gW 2
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Definita la velocità critica come
Uc 
Q
g W

WY Yc   b Y Yc
o in termini della profondità media Ym =W/b
- U>Uc -> corrente veloce
- U<Uc -> corrente lenta
Uc 
g

Ym Y Y
c
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Definito il numero di Froude come
F
U
gYm
Segue che a meno del coefficiente correttivo , si ha F>1 per le correnti veloci e
F<1 per le correnti lente.
Si noti che assegnata la portata Q e le caratteristiche dell’alveo, a ogni pendenza
del fondo if è associata una profondità di moto uniforme Yu e una profondità
critica Yc..
Esiste una pendenza critica tale che Yu e Yc coincidono.
Gli alvei con pendenza inferiore a quella critica vengono detti a debole pendenza
o fluviali mentre quelli con pendenza maggiore di quella critica si dicono a forte
pendenza o torrentizi.
Le correnti uniformi sono veloci negli alvei a forte pendenza e lente negli alvei a
debole pendenza.
Si noti che tale condizione dipende dalla portata assegnata.
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Profili stazionari in alvei cilindrici
Nel caso di alvei cilindrici e moto stazionario, le equazioni di continutià e del moto
diventano
WU  cost
 0f
d 
U2 
 h 
  
dx 
2g 
rgRi
In particolare, per come è stato assunto il sistema di riferimento h=zf +Y per cui
l’equazione del moto diventa
d 
U 2  dH
 z f  Y 
 
j
dx 
2 g  dx
con j pendenza dei carichi totali, nell’ipotesi che il moto sia una successione di
moti uniformi per cui si può scrivere
U2
j
gC 2 Ri
IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Profili stazionari in alvei cilindrici a pendenza costante
Nel caso di alvei cilindrici a pendenza costante l’equazione del moto diventa
dE
 if  j
dx
Ovvero
dY i f  j

dE
dx
dY
che è l’equazione dei profili stazionari (di rigurgito) in alvei cilindrici.
IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Profili stazionari in alvei cilindrici a pendenza costante
L’equazione
dY i f  j

dE
dx
dY
Presenta alcuni casi limite:
- se Y  Yu allora j if e il profilo tende a disporsi parallelo al fondo;
- se Y  Yc allora jdE/dY0 e il profilo tende a disporsi ortogonlae al fondo;
- se Y  h allora j 0 e E  Y (dE/dY1) e il profilo tende a un asintoto
orizzontale.
IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Profili stazionari in alvei cilindrici a pendenza costante
Alvei a debole pendenza
D1
D2
D3
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Profili stazionari in alvei cilindrici a pendenza costante
Alvei a forte pendenza
F1
F2
F3
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Profili stazionari in alvei cilindrici a pendenza costante
Alvei a pendenza critica
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Profili stazionari in alvei cilindrici a pendenza costante
Alvei orizzontali o acclivi
Non hanno profondità di moto uniforme: questa tende ad
infinitamente grandi al tendere di if a zero.
assumere valori
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Il risalto idraulico
Il passaggio da corrente veloce a corrente
lenta avviene attraverso la formazione di un
risalto idraulico. hydraulic jump
U
F<1
F>1
Fr < 1
Fr > 1
Siano Yu, Uu, Yd e Ud i valori di profondità e velocità a monte e a valle del risalto
rispettivamente.
Si consideri l’equazione di bilancio della quantità di moto del volume di controllo
(assunto il fondo orizzontale).
control volume
Q
YHu
u
Yd
Hd
Q
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Il risalto idraulico
Assunto il canale rettangolare, di larghezza B, il volume di controllo si assume
abbastanza piccolo da trascurare gli effetti degli sforzi tangenziali al fondo. Il
flusso della quantità di moto (spinta dinamica) e la spinta idrostatica possono
essere espressi come
1
S D  rU 2YB
S I  ρgY 2 B
2
La conservazione del flusso di quantità di moto nel caso di moto permanente
implica che
S D monte  S D valle  S I monte  S I valle  0
control volume
Q
YHu
u
Yd
Hd
Q
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Il risalto idraulico
Da tale relazione si ricava
rU u 2Yu B  rU d 2Yd B 
1
1
2
2
ρgYu B  ρgYd B  0
2
2
Poiché la portata è Q=UYB=qwB in cui qw è la portata per unità di larghezza.
Indicando  = Yd/Yu e Fu2 = Uu2/(gYu) = qw2/(gYu3), si può scrivere
 3  (1  2 Fu2 )  2 Fu2  (  1)( 2    2 Fu2 )  0
Le cui uniche radici fisicamente basate sono =1 (stato critico  non si realizza
il risalto) e la relazione delle altezze coniugate del risalto idraulico


Yd 1
 1  1  8Fu2
Yu 2

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IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Il risalto idraulico
Considerando l’equazione di continuità qw=UY e il numero di Froude F = U2/(gY)
= qw2/(gY3), la relazione delle altezze coniugate può essere utilizzata per trovare
le velocità (coniugate) a monte e a valle del risalto, nonchè i rispettivi numeri di
3.5
Froude.


2.5

Ud 1

  1  1  8Fu2 
Uu  2



1
Fd  1

  1  1  8Fu2 
Fu  2

, Fr
YdH/Y
d/H
u,u Fdd

Yd 1
 1  1  8 Fu2
Yu 2
3
2
Yd/Yu
Hd/Hu
Fd
Frd
1.5
1
3 / 2
0.5
0
1
1.5
2
2.5
Fr
Fuu
3
3.5
4
Il risalto idraulico quindi induce un aumento della profondità e una diminuzione
29
della velocità quando il moto da supercritico (Fu>1) diventa subcritico (Fu<1)
IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Condizioni al contorno per il tracciamento dei profili
Il tracciamento dei profili di rigurgito richiede che all’equazione del moto vengano
associate opportune condizioni al contorno. Poiché si tratta di un’equazione del I
ordine, una sola condizione è sufficiente a determinare la soluzione.
Lo stato veloce di una corrente uniforme rende il profilo condizionabile solo da
monte, mentre lo stato lento di una corrente rende il profilo condizionabile solo
da valle.
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superfie libera: il caso degli alvei naturali
Soluzione numerica dell’equazione dei profili di rigurgito
L’equazione dei profili di rigurgito
dY i f  j

dE
dx
dY
può essere risolta nota una condizione al contorno a monte (correnti veloci) o a
valle (correnti lente). Facendo riferimento a un sistema di riferimento orizzontale,
si può usare la profondità h invece di quella locale Y. Inoltre notando che tutte le
grandezze al secondo membro sono funzioni di x e h , l’equazione del profilo di
rigurgito può essere scritta in generale come posssono essere
dh
 f ( x, h )
dx
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IDRODINAMICA FLUVIALE
Correnti stazionarie a superficie libera: il caso degli alvei naturali
Soluzione numerica dell’equazione dei profili di rigurgito
La soluzione numerica è ricavata passo passo in ogni sezione a partire da un
assegnato valore della quota della superficie libera (condizione al contorno). Gli
schemi più utilizzati sono il metodo di Eulero e più frequentemente il metodo di
Eulero-Cauchy (standard-step method).
Nel caso subcritico l’integrazione procede da valle verso monte, dunque
adottando lo schema di Eulero (metodo esplicito)
hn1  hn  Dxn f xn1 , hn1 
ovvero, secondo lo schema di Eulero-Cauchy (metodo implicito)
hn 1  hn 
1
Dxn  f  xn , hn   f  xn 1 , hn 1 
2
E’ importante porre correttamente le condizioni al contorno, al fine di avere la
corretta e stabile integrazione del profilo.
Attenzione: in alvei a forte pendenza la soluzione risulta fortemente condizionata
dalla scelta di Dxn, che deve essere sufficientemente piccolo!
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