OPERAZIONI CON TRINOMI DI II° GRADO
a x2 + b x + c
Scomposizione del trinomio
(se possibile)
Risolvere l’equazione
Disegnare la parabola associata
Risolvere la disequazione
Completamento di un quadrato
Servirsi della parabola
per risolvere la disequazione
Paola Suria Arnaldi
1
Equazioni
Equazioni di II°: a x2 + b x + c = 0
Se b è pari:
formula ridotta (da sapere e da utilizzare !!)
Paola Suria Arnaldi
2
EQUAZIONI DI II° GRADO
E’ possibile risolverla in modo intuitivo?
1. a x 2 + b x = 0 (c=0; manca il termine noto!)
raccolgo x: x (a x + b) = 0;
annullamento di un prodotto: x = 0 e (ax+b)=0;
le soluzioni sono x = 0 e x = -b/a
2. a x 2 + c = 0 (b=0; manca il termine di I°)
X2 + 4 = 0  l’equazione non ammette soluzioni
reali;
X2 - 4 = 0 x = ± 2 oppure |x| = 2 (attenzione non
x = |2|)
3. a x2 = 0 ( b = c = 0); x = 0 è l’unica soluzione!!
Paola Suria Arnaldi
3
DISEQUAZIONI DI I° grado
a>0
ax+b>0
ax+b≥0
ax+b<0
ax+b≤0
x > -b/a
x ≥ -b/a
x < -b/a
x ≤ -b/a
Paola Suria Arnaldi
a<0
x < - b/a
x ≤ - b/a
x > - b/a
x ≥ - b/a
4
DISEQUAZIONI DI II ° GRADO
(metodo algebrico)
1
ax2+bx+c>0
2
ax2+bx+c≥0
Calcoliamo
x1
ax2+bx+c<0
ax2+bx+c ≤0
Δ = b2 - 4 a c
x2
x1
x2
> 0
1: x < x1 v x > x 2
> 0
1: x 1 < x < x 2
a>0
(-∞ , x1) U (x2 , + )
a<0
2: x < x1 v x > x 2
2:
x1< x < x2
Paola Suria Arnaldi
5
DISEQUAZIONI DI II ° GRADO
(metodo algebrico-grafico)
x1 = x2
= 0
a>0
x1 = x2
1:
1:
2:
2:
< 0
a<0
1:
1:
2:
2:
Paola Suria Arnaldi
6
DISEQUAZIONI
FRATTE
Tecnica di lavoro
1. Indipendentemente dal trovarsi nel caso 1 o 2, conviene
(non è necessario, ma consigliabile) imporre :
2. Costruire una tabella che chiameremo di prodotto/rapporto
oppure di segno oppure + + - 3. Scegliere gli intervalli utili a seconda che ci si trovi nel caso
1 oppure nel caso 2
Paola Suria Arnaldi
7
DISEQUAZIONI FRATTE
La filosofia che sta alle spalle è che:
Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è positivo
(negativo) se il numero di fattori negativi è pari (dispari).
Paola Suria Arnaldi
8
DISEQUAZIONI FRATTE
La filosofia che sta alle spalle è che:
Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è positivo
(negativo) se il numero di fattori negativi è pari (dispari).
Allora vado a cercare quando tutti i fattori sono positivi
(automaticamente so anche dove sono negativi!) imponendo ai
singoli di essere positivi (i fattori a numeratore possono essere
imposti maggiori o uguali a zero!!!! non quelli del
denominatore)
Paola Suria Arnaldi
9
DISEQUAZIONI FRATTE
La filosofia che sta alle spalle è che:
Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è positivo
(negativo) se il numero di fattori negativi è pari (dispari).
Allora vado a cercare quando tutti i fattori sono positivi
(automaticamente so anche dove sono negativi!) imponendo ai
singoli di essere positivi (i fattori a numeratore possono essere
imposti maggiori o uguali a zero!!!! non quelli del
denominatore)
Costruisco una tabella di segno e vedo che segno avrebbe il
rapporto/prodotto nei singoli intervalli
Paola Suria Arnaldi
10
DISEQUAZIONI FRATTE
La filosofia che sta alle spalle è che:
Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è positivo
(negativo) se il numero di fattori negativi è pari (dispari).
Allora vado a cercare quando tutti i fattori sono positivi
(automaticamente so anche dove sono negativi!) imponendo ai
singoli di essere positivi (i fattori a numeratore possono essere
imposti maggiori o uguali a zero!!!! non quelli del
denominatore)
Costruisco una tabella di segno e vedo che segno avrebbe il
rapporto/prodotto nei singoli intervalli
Individuo gli intervalli utili Paola Suria Arnaldi
11
ESEMPIO
primi passi nello studio di funzione 1
Prendiamo una funzione assegnata ad un esame:
1. Cerchiamo il dominio (l’insieme dei valori reali) che possiamo sostituire alla x
per trovare una y reale!!!
Paola Suria Arnaldi
12
ESEMPIO
primi passi nello studio di funzione 1
Prendiamo una funzione assegnata ad un esame:
1. Cerchiamo il dominio (l’insieme dei valori reali) che possiamo sostituire alla x
per trovare una y reale!!!
2. Ricordando le operazioni con i numeri reali, imponiamo al denominatore di
essere diverso da zero
y
x 2 – 4 ≠ 0  |x| ≠ 2
-2
Paola Suria Arnaldi
2
x
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ESEMPIO
primi passi nello studio di funzione 1
Prendiamo una funzione assegnata ad un esame:
1. Cerchiamo il dominio (l’insieme dei valori reali) che possiamo sostituire alla x
per trovare una y reale!!!
2. Ricordando le operazioni con i numeri reali, imponiamo al denominatore di
essere diverso da zero
y
x 2 – 4 ≠ 0  |x| ≠ 2
1. domf: (- ∞, - 2) U (- 2, 2) U (2, + ∞)
-2
2
x
2. Cerchiamo gli zeri della funzione ovvero dove f(x)=0  (x 2 – 1 )/(x2 – 4) = 0
Paola Suria Arnaldi
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ESEMPIO
primi passi nello studio di funzione 1
Prendiamo una funzione assegnata ad un esame:
1. Cerchiamo il dominio (l’insieme dei valori reali) che possiamo sostituire alla x
per trovare una y reale!!!
2. Ricordando le operazioni con i numeri reali, imponiamo al denominatore di
essere diverso da zero
y
x 2 – 4 ≠ 0  |x| ≠ 2
1. domf: (- ∞, - 2) U (- 2, 2) U (2, + ∞)
-2
2
x
2. Cerchiamo gli zeri della funzione ovvero dove f(x)=0  (x 2 – 1 )/(x2 – 4) = 0
3. Ma per la legge di annullamento di un rapporto  x2 – 1 = 0  |x| = 1
Paola Suria Arnaldi
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ESEMPIO
primi passi nello studio di funzione 1
Prendiamo una funzione assegnata ad un esame:
1. Cerchiamo il dominio (l’insieme dei valori reali) che possiamo sostituire alla x
per trovare una y reale!!!
2. Ricordando le operazioni con i numeri reali, imponiamo al denominatore di
essere diverso da zero
y
x 2 – 4 ≠ 0  |x| ≠ 2
1. domf: (- ∞, - 2) U (- 2, 2) U (2, + ∞)
-2
2
x
2. Cerchiamo gli zeri della funzione ovvero dove f(x)=0  (x 2 – 1 )/(x2 – 4) = 0
3. Ma per la legge di annullamento di un rapporto  x2 – 1 = 0  |x| = 1
4. Cerchiamo il segno della f(x): cerchiamo cioè dove f(x) >0 (+) e dove f(x) < 0
(-) (è sufficiente trovare dove f(x) >0, e, per esclusione, sapendo dove f(x)
=0 e dove f(x)>0  sappiamo anche dove f(x)>0
Paola Suria Arnaldi
16
RICORDA
1.
ESISTENZA DI UN RAPPORTO: è possibile dividere due numeri reali (a / b) se
e solo se il denominatore è diverso da zero (b ≠ 0)
2.
ANNULLAMENTO DI UN RAPPPORTO: un rapporto è nullo se e solo se è
nullo il numeratore (e contemporaneamnete il denominatore è diverso da zero):
a / b = 0 se e solo se
3.
a=0
ANNULLAMENTO DI UN PRODOTTO: un prodotto di più fattori è nullo se e
solo se è nullo almeno uno dei fattori
a * b * c ... = 0 se e solo se a = 0; oppure b=0;
Paola Suria Arnaldi
oppure....
17
RICORDA
(esempio)
1. Il rapporto esiste (dominio della funzione) se e solo se
x+2 ≠ 0  x ≠ -2
2. Il rapporto si annulla (f(x)=0) (zeri della funzione) se e
solo se x-1=0  x= -1
1. Il prodotto esiste (dominio della funzione) sempre,
per ogni valore reale di x
2. Il prodotto si annulla (f(x)=0) (zeri della funzione) se
e solo se x - 1=0 oppure x – 2 = 0  x = 1 oppure x
=2
Paola Suria Arnaldi
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ESEMPIO
primi passi nello studio di funzione 2
f(x)>0:
x2 – 1 > 0  |x| > 1
x2 – 4 > 0  |x| >2
-2
oppure
oppure
x< -1 V x >1
x<-2 V x > 2
-1
1
2
+++++++++++++++++++--------------------------+++++++++++++++++
++++++++ ------------------------------------------------------------- +++++++
f(x) +++++
------
++++++++++++
- - - - - - - - - ++++++
l’ultima riga fornisce informazioni sul segno della funzione: per tutte le x < -2 la
funzione è positiva; per le x comprese tra -2 e -1 la funzione è negativa....
Paola Suria Arnaldi
19
Continua segno funzione
f(x) = 0 ↔ x = - 1 e x = 1
f(x) > 0 ↔ (-∞, -2) U (-1, 1) U (2, + ∞)
f(x) < 0 ↔ (-2, -1) U (1, 2)
y
-2
-1
1
Paola Suria Arnaldi
2
x
20
QUANDO PIU’ CONDIZIONI DEVONO ESSERE
VERIFICATE CONTEMPORANEAMENTE
I SISTEMI
Tecnica di lavoro
1. Si risolvono tutte le disequazioni date
2. Si costruisce una tabella (non di segno!!!!) dove:
•
la linea continua significa che la condizione è soddisfatta
•
La linea tratteggiata significa che la condizione non è soddisfatta
3. La soluzione sarà l’insieme di tutti quegli intervalli in cui sono
soddisfatte tutte le condizioni contemporaneamente
Paola Suria Arnaldi
21
ESEMPIO DI APPLICAZIONE DEI SISTEMI
Tecnica di soluzione
La legge della funzione presenta tre radici, due di indice pari e una di indice dispari.
Le operazioni tra numeri reali ci impongono che gli argomenti delle radici di indice
pari siano, contemporaneamente, non negativi, cioè maggiori o uguali a zero!
1
3
Le condizioni sono verificate contemporaneamente nell’intervallo tra 1 e 3
Dom f [1, 3]
Paola Suria Arnaldi
22
Dalla ricerca dei risultati alla loro
rappresentazione grafica...
1
3
Non ci poniamo il problema di trovare zeri e segno della funzione, perché
l’espressione algebrica non è facile da manipolare!
Paola Suria Arnaldi
23
Ancora un esempio...con radici
Confrontiamo dominio, zeri e segno di due funzioni, con una legge
apparentemente molto simile!!!
Constatiamo, con valori numerici semplici, che le due funzioni sono diverse
Per alcuni valori della variabile indipendente si ottengono gli stessi risultati, per altri
invece....
Paola Suria Arnaldi
24
RICERCA DEL DOMINIO: funzione 1
L’algebra dei numeri reali impone che l’argomento della radice di indice pari sia
non negativa e il denominatore sia diverso da zero.
E’ un sistema! Le due condizioni devono essere verificate
contemporaneamente.
La prima disequazione è una frazione, l’algebra delle disequazioni
fratte consiglia di cercare dove i singoli fattori sono positivi e poi
leggere i risultati su una tabella di segno
-2
1
---------------------------- ++++++++++++
--------------+++++++++++++++++++++++
f(x)
++++++++++ --------------- ++++++++++++
Risolvendo il sistema si vede che la II condizione è già compresa nella prima 
Domf (- ∞, -2) U [1, + ∞)
Paola Suria Arnaldi
25
....Continuiamo a cercare le prime informazioni per lo studio di
funzione e, poi, a mettere tali condizioni su un grafico (funzione 1)
• Zeri della funzione: f(x)=0; la legge di annullamento di una radice, prima, e
di un rapporto poi, ci consente di scrivere f(x)=0 ↔ x = 1.
• Segno della funzione: f(x) >0; per l’algebra delle radici di indice pari, una
radice di indice pari, dove consente di ottenere un risultato, produce sempre
un risultato positivo
Riassumiamo:
f(x) = 0
↔
x=1
f(x) > 0 ↔ qualunque x appartenente al domf
f(x) < 0 ↔ per nessuna x appartenente al dominio
Paola Suria Arnaldi
26
Dai calcoli al grafico...funzione 1
y
-2
1
x
Paola Suria Arnaldi
27
RICERCA DEL DOMINIO: funzione 2
L’algebra dei numeri reali impone che i due radicandi siano, contemporaneamente,
positivi. L’avverbio contemporaneamente ci ricorda che siamo in presenza di un
sistema! Ma siamo anche in presenza di una frazione e quindi il denominatore deve
essere diverso da zero. Imporremo questa condizione automaticamente, perché non
accetteremo l’annullamneto del denominatore.
-2
dom f:
x≥1
oppure
1
[1, + ∞)
Zeri della funzione: x =1
f(x) > 0 :
qualunque x appartenente al dominio
f(x) < 0 :
nessuna x appartenente al dominio
Paola Suria Arnaldi
28
Dai calcoli al grafico...funzione 2
y
1
x
Paola Suria Arnaldi
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