CORSO DI
MODELLI DI SISTEMI
BIOLOGICI
LAUREA IN
INGEGNERIA CLINICA E BIOMEDICA
CENNI DI TEORIA DELLA STABILITA’
Nella descrizione di un sistema dinamico riveste particolare importanza l’analisi
della stabilità del sistema cioè lo studio degli andamenti delle traiettorie del
sistema quando questo venga lasciato evolvere liberamente a partire da un
determinato stato iniziale.
Di particolare importanza in tale contesto è
l’individuazione e lo studio degli attrattori.
Le zone dello spazio di stato che attraggono le traiettorie sono dette attrattori.
Esistono quattro tipi di attrattori: i punti fissi, i cicli limite, gli attrattori toro e
gli attrattori strani. Gli attrattori giocano un ruolo molto importante nelle
dinamiche non lineari. Forniscono inoltre importanti informazioni per capire se un
sistema può esibire un comportamento caotico o meno.
CENNI DI TEORIA DELLA STABILITA’
Per la definizione di attrattore occorre fornire alcune nozioni:
INSIEME INVARIANTE: Sia F(t,x0) la soluzione del sistema dinamico dx(t)/dt = f(x(t))
per ogni tR e per la condizione iniziale x(0) = x0. Un insieme A  Rn è detto invariante
se e solo se F(t,A)  A per ogni tR . Cioè ogni traiettoria che parte da un punto iniziale x0
contenuto in A rimane confinata in A.
INSIEME ATTRATTORE: Sia A Rn un insieme chiuso ed invariante. A si definisce
insieme attrattore se e solo se esiste un intorno U aperto ed invariante di A per cui F(t,x0)
 A per ogni x0U e per t  .
ATTRATTORE: Sia A Rn un insieme chiuso ed invariante. A si definisce
attrattore se e solo se
1. Per ogni x’, x’’  A esiste un istante di tempo t tale che F(t,x’)  x’’  0
(indecomponibilità)
2. L’insieme A gode delle proprietà di un insieme attrattore.
CENNI DI TEORIA DELLA STABILITA’
PRINCIPALI ATTRATTORI
Punti di equilibrio: Sono le soluzioni x* del sistema dinamico dx(t)/dt= f(x(t)) = 0. Uno stato di
equilibrio è quindi uno stato che, in assenza di perturbazioni, non varia nel tempo (F(t,x*)=x*).
Orbite periodiche (cicli limite): Sono soluzioni della dx(t)/dt= f(x(t)) per cui, per un certo T positivo,
la F(T,x)=x.
Attrattore toro: Si supponga di avere due sistemi dinamici del secondo ordine, indipendenti fra loro,
che ammettano come attrattori rispettivamente i cicli g1 e g2. Il sistema dinamico costituito dai due è
ancora un sistema dinamico il cui stato è rappresentato dalla coppia x1, x2. L’attrattore di questo
sistema sarà a sua volta costituito dalle coppie di punti (P1, P2) con P1 g1 e individuato dall’angolo
q1(t) e P2 g2 (q2(t) ), in definitiva l’attrattore risulta individuato dalla coppia [q1(t) q2(t) ] che
definisce un punto Q sulla superficie di un toro. Se il rapporto fra i periodi dei due cicli T1/T2 è
razionale la traiettoria del punto Q si chiude su se stessa. Se T1/T2 è irrazionale allora la traiettoria
di Q percorre indefinitamente la superficie del toro (regime quasi-periodico). Tale attrattore gode di
due proprietà:
1- Traiettorie radicate in punti vicini sulla superficie del toro rimangono indefinitamente vicine.
2- Il toro è un insieme a dimensione intera (2 in R3).
Attrattore strano: Le caratteristiche più importanti di uno strano attrattore sono:
1- Traiettorie radicate in punti vicini sono localmente divergenti
2- La sua dimensione non è intera
CENNI DI TEORIA DELLA STABILITA’
STABILITÀ DI UN PUNTO DI EQUILIBRIO
Si consideri il sistema dinamico rappresentato dall’equazione dx(t)/dt=f(x(t)) con tR ed
f tale che W Rn con W insieme aperto di Rn . Lo stato x* è un punto di equilibrio se e
solo se f(x*) = 0, da cui F(t,x*)=x*.
Lo stato x* è un punto di equilibrio stabile se e solo se per ogni intorno U di x* esiste
in W un intorno U* U di x* tale che ogni traiettoria x(t) con x(0) in U* è definita e
rimane in U per ogni t0.
U
Lo stato x* è asintoticamente stabile se e solo se:
x* è stabile
U
lim x(t)=x*
t 
x*
U*
U*
Un punto di equilibrio che non sia stabile è detto instabile
Un punto di equilibrio asintoticamente stabile è anche stabile mentre non è vero il viceversa
CENNI DI TEORIA DELLA STABILITA’
STABILITÀ DI UN PUNTO DI EQUILIBRIO
La stabilità di un punto di equilibrio x* può essere analizzata studiando il segno degli autovalori della
matrice A, se il sistema è lineare, o il segno degli autovalori della matrice Jacobiana J = f/xx* del
sistema linearizzato nell’intorno del punto di equilibrio x*.
Se tutti gli autovalori (di A o di J, se il sistema è non lineare) hanno parte reale negativa, x* è
asintoticamente stabile (Pozzo). Se tutti gli autovalori hanno parte reale positiva x* è un punto di
equilibrio instabile (Sorgente), se tutti gli autovalori hanno parte reale diversa da zero, positiva e
negativa, è un punto di equilibrio instabile (Punto di sella ).
Tutti questi punti di equilibrio si chisamano punti di equilibrio iperbolici e possono essere solo
asintoticamente stabili o instabili.
Teorema di Liapunov
Sia x* W un punto di equilibrio per dx(t)/dt = f(x(t)). Sia V:UR una funzione continua definita
in un intorno di x* U  W, differenziabile in U- {x*}, tale che:
•V(x*) = 0 e V(x) > 0
• dV/dt  0
se x  x*
per ogni x U – {x*} Allora x* è punto di equilibrio stabile.
Se inoltre si ha:
• dV/dt< 0
per ogni x U – {x*} Allora x* è punto di equilibrio asintoticamente stabile.
CENNI DI TEORIA DELLA STABILITA’
STABILITÀ DI ORBITE PERIODICHE
x1
x*
L’analisi della stabilità delle orbite periodiche viene in genere effettuata utilizzando le Mappe di
Poincaré. Questa tecnica consiste nel ridurre un sistema dinamico ad n dimensioni (cioé descritto da n
equazioni) in una mappa ad n-1 dimensioni. L'idea che sta alla base della sua costruzione è illustrata in
figura. Si tratta di scegliere una oppurtuna (iper)superficie S che intersechi le orbite ottenute risolvendo
un certo sistema dinamico. La sequenza {x1, x2, x3,...} dei punti di intersezione fra le orbite e la
superficie definisce una mappa P: SS sulla superficie. In particolare, se S interseca un'orbita
periodica del sistema dinamico, la mappa P avrà un punto fisso x* (cioé tale che x* = P(x*) ).
Pertanto, il problema di studiare la stabilità di un'orbita periodica di un sistema
dinamico continuo si riconduce al problema di studiare la stabilità di un punto fisso
della sua mappa di Poincaré.
In termini pratici, scrivere una espressione esplicita per la mappa richiede, in genere, di risolvere
analiticamente il sistema dinamico di partenza. Tuttavia, anche quando non è possibile trovare la mappa
di Poincaré facendo i conti con carta e penna, è sempre possibile integrare numericamente il sistema e
lasciare ad un programma per computer il compito di trovare i punti di intersezione fra l'orbita calcolata
numericamente ed una superficie opportunamente specificata. Spesso il semplice fatto di osservare
l'evoluzione del sistema in n-1 dimensioni, anziché in n , è sufficiente a giustificare l'uso della mappa
di Poincaré.
CENNI DI TEORIA DELLA STABILITA’
STABILITÀ DI ORBITE PERIODICHE- ESEMPIO
Un caso in cui una mappa di Poincaré può essere trovata esplicitamente è dato dal seguente
sistema dinamico in due dimensioni:
dx(t)/dt = x-y-x(x2+y2)
x = rcosq
y = rsinq
dy(t)/dt = x+y-y(x2+y2)
dr/dt = r(1-r2)
dq/dt = 1
Il sistema in coordinate polari è di più facile soluzione del precedende, perché le equazioni
per r e per q sono disaccoppiate. Pertanto si può risolvere ciascuna equazione
indipendentemente dall'altra.
Riguardo alle traiettorie del sistema, l’equazione in q ci dice
che il vettore di figura ruota intorno all'origine con velocità
angolare costante, mentre l’equazione in r ci dice che il
modulo di questo vettore cambia nel tempo. Pertanto, le
soluzioni dovrebbero descrivere delle spirali. L’origine è
un punto fisso instabile, ma, per r grande il sistema tende
a spiraleggiare verso l'origine (perché dr/dt<0 ). Esisterà
allora, per qualche r, una traiettoria periodica che
separa la porzione di piano vicina all'origine composta
dai punti che tendono ad allontanarsi da essa, e la
porzione di piano lontana dall'origine, composta dai
punti che tendono ad avvicinarsi ad essa.
y
r0,q0
x
r(t),q(t)
CENNI DI TEORIA DELLA STABILITA’
STABILITÀ DI ORBITE PERIODICHE- ESEMPIO
Per verificare l’esistenza di un ciclo limite cerchiamo le soluzioni esplicite per il sistema.
Se la condizione iniziale è il vettore (r0 q0) , allora soluzione dell'equazione per q è
q(t)= q0 + t
mentre la soluzione per r è
r(t) = [1 + (1/r02-1) e-2t] -1/2
La soluzione dell’equazione per r è riportata in nota.
Avendo la soluzione esplicita del nostro sistema dinamico si può costruirela sua mappa di
Poincaré. Poiché il sistema è bidimensionale, la sezione di Poincaré deve essere una
``ipersuperficie'' monodimensionale, cioé una linea. In questo caso é particolarmente
conveniente definire S come il semiasse degli x positivi, ovvero (in coordinate polari) la
semiretta individuata dal vettore (r,0). Poiché i vettori
soluzioni ruotano intorno
all'origine con velocità angolare costante, essi intersecano S ad intervalli di tempo pari a
2p . Se al tempo tn la soluzione ha intersecato S , e definendo rn = ( r(tn)) , la soluzione
r(t) ci dice che al tempo tn+1 il raggio sarà
r n+1 = [1 + (1/rn2-1) e-4p] -1/2
Questa è esattamente la mappa di Poincaré che stavamo cercando. Con essa
possiamo conoscere la sequenza dei raggi che intersecano S senza dover calcolare
esplicitamente le traiettorie compiute dal sistema dinamico.
CENNI DI TEORIA DELLA STABILITA’
STABILITÀ DI ORBITE PERIODICHE- ESEMPIO
Si osserva che per l’equazione r n+1 = [1 + (1/rn2-1) e-4p] -1/2 i punti di equilibrio
corrispono alle soluzioni dell’equazione:
r n+1 = rn
e quindi
r n = [1 + (1/rn2-1) e-4p] -1/2
rn=1
Calcolando lo Jacobiano in questo punto si verifica che il ciclo corrispondente a
r n =1 è stabile
NOTA - Soluzione dell'equazione dr/dt = r(1-r2)
Il sistema dr/dt = r(1-r2) avente come condizione iniziale r0 al tempo 0 , è risolto dall'integrale:
dr/ r(1-r2) =  dt
Di fatto il problema è rimandato al saper calcolare esplicitamente l'integrale alla sinistra dell'uguaglianza.
Nel nostro caso l'integrale è dr/ r(1-r2) che può essere calcolato con il metodo detto delle FRAZIONI
PARZIALI, il quale si applica ogni qual volta l'integrando è una funzione razionale (cioè il rapporto di due
polinomi). In breve, esso consiste nell'esprimere la funzione razionale da integrare come la somma di
funzioni razionali di grado inferiore a quello di partenza e quindi (sperabilmente) più facili da integrare. Nel
nostro caso cerchiamo i coefficienti A , B , C tali che
1/ r(1-r2) = A/r + B/(1-r) + C/(1+r)
Questa uguaglianza è soddisfatta per A=1 B=1/2 C= -1/2, da cui:
dr/ r(1-r2) = dr/ r + ½dr/ (1-r) - ½dr/ (1+r)
Il risultato è : r2/(1- r2) = r02/(1- r02)e2t Da cui si ottiene l’espressione di r(t) precedentemente indicata.
CENNI DI TEORIA DELLA STABILITA’
BIFORCAZIONI
Il problema alla base dello studio della stabilità strutturale di un sistema e
delle biforcazioni è quello di studiare il comportamento del sistema, dal punto
di vista della stabilità, al variare di un suo parametro. Se, al variare del
parametro, il sistema conserva le sue condizioni di stabilità si dice
strutturalmente stabile se, viceversa,
tali condizioni si modificano
drasticamente (ad esempio passando da un punto di equilibrio stabile ad un
ciclo stabile e quindi da un comportamento in cui il sistema si trova in uno
stato di quiete ad un comportamento oscillatorio) si parla di Biforcazione.
CENNI DI TEORIA DELLA STABILITA’
x
TIPI DI BIFORCAZIONI
1- Collisione fra equilibri
Si consideri l’equazione dx(t)/dt = ax(t), dove a è un parametro
reale. Per a0 il sistema ha un solo punto di equilibrio x=0 che
èstabile per a<0 e instabile per a>0. Per a=0 ha infiniti punti di
equilibrio che risultano tutti stabili. Il punto a = a*= 0 è un punto di
biforcazione chh risulta una collisione fra equilibri.
2- Scambio di stabilità
–x2(t).
Si consideri l’equazione dx(t)/dt = px(t)
Tale sistema ammette
per p=0, un solo punto di equilibrio x*=0, mentre per p  0 ne
ammette infiniti che sono i punti sulla retta x(t)=p. Studiando il
sistema linearizzato dx(t)/dt = [p-2x]x=x* (x-p) si osserva che il
sistema ammette un unico autovalore pari a –p. Per p>0 si ha quindi
un equilibrio asintoticamente stabile, per p<0 instabile: quindi per per
p=p*=0 si ha un punto di biforcazione poichè variando anche di poco
p* si può avere un equilibrio stabile o instabile e quindi uno scambio
fra equilibri
a
x
p
CENNI DI TEORIA DELLA STABILITA’
TIPI DI BIFORCAZIONI
x
3- Nodo-Sella
p
x
Si consideri il sistema dx(t)/dt = p + x2(t). I suoi punti di
equilibrio sono dati dall’equazione p + x2(t)=0. Questa
equazione ammette soluzioni per p<0 che sono gli infiniti
punti della parabola con vertice in (0 0) e asse coincidente
con il semiasse negativo delle p. Linearizzando il sistema si
ha dx(t)/dt = 2|p| (x-/+ |p| ) Si ha quindi per x>0 un
autovalore positivo e per x<0 un autovalore negativo (punti
di equilibrio stabili)
4- Forcone
Si consideri il sistema dx(t)/dt = px(t) – x3(t). I punti di
equilibrio sono x*=0 , p qualsiasi e p – x*2=0 che ha senso
per p>0. Linearizzando si ha dx(t)/dt = [p –3 x2(t)]x* (x-x*).
Il sistema ammette un unico autovalore negativo per cui i
punti della parabola sono asintoticamente stabili, mentre gli
equilibri x=0 sono asintoticamente stabili per p>0 e instabili
per p>0.
Studi analoghi posono essere condotti cambiando i segni ai termini quadratici o cubici.
p
CENNI DI TEORIA DELLA STABILITA’
TIPI DI BIFORCAZIONI
Biforcazione di Hoph
La forma normale della biforcazione di Hoph è:
dx1/dt = px1 + wx2 + cx1(x12 + x22)
x = rcosq
y = rsinq
dx2/dt = -wx1 + px2 + cx2(x12 + x22)
dr/dt = pr + cr3
dq/dt = w
La prima delle due equazioni in coordinate polari è l’equazione del forcone in cui c valeva –1 o 1.
Per c= -1 e p<0 si aveva un equilibrio asintoticamente stabile (c<0 biforcazione supercritica). Si
può verificare che per c=1 l’equazione dr/dt=pr+cr3=r(p+r2) ha senso per p<0 per cui
nell’equazione relativa ad r si ha una inversione dell’equilibrio: p<0 punto di equilibrio instabile e
ciclo stabile e per p>0 punto di equilibrio stabile (c>0 biforcazione subcritica). Per c=0 il sistema
x1
diventa :
dr/dt = pr
p
dq/dt = w
Il punto di equilibrio è r=0
che per p=p*=0 è un centro
circondato da infiniti cicli
semplicemente stabili.
x2
Cicli stabili
CENNI DI TEORIA DELLA STABILITA’
TIPI DI BIFORCAZIONI - Biforcazione di Hoph
Si consideri ora lo Jacobiano della forma in coordinate cartesiane della biforcazione di Hoph:
p + 3cx12 + cx22
w + 2cx2
-w + 2cx1x2
p + cx12 + 3cx22
J=
Valutato nel punto di equilibrio x1 = x2 = 0 si ha:
p
w
J=
il cui polinomio caratteristico è:
-w
p
(p –l)2 + w2 =0 da cui l1,2 = pjw.
Al variare di p, gli autovalori sono complessi e coniugati o immaginari puri. Questa
proprietà viene comunemente utilizzata per individuare una biforcazione di Hoph. Per
individuare se la biforcazione è supercritica o subcritica si controlla la stabilità per p =
p* (equilibrio asintoticamente stabile= biforcazione supercritica; instabile = biforcazione
subcritica)