19/12/2015
Alessandro Pighin 2°F
I PRINCIPI PER
RISOLVERE I SISTEMI
DI EQUAZIONI
19/12/2015
Il simbolo di sistema (parentesi graffa) significa
trovare le soluzioni in comune tra le espressioni
che lo compongono. Con le equazioni a due
incognite x e y, le soluzioni in comune del sistema
saranno COPPIE .
Alessandro Pighin 2°F
CHE COSA SONO I SISTEMI DI
EQUAZIONI ?
I principi sono cinque:
Principio zero o di calcolo;
 Principio uno;
 Principio di sostituzione;
 Principio di riduzione;
 Metodo di Cramer.

Alessandro Pighin 2°F
I principi per risolvere i sistemi di equazioni
servono per ridurre il livello di calcolo delle
equazioni che compongono il sistema.
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I PRINCIPI:
PRINCIPIO ZERO O DI CALCOLO
Facciamo il minimo comune
multiplo con il principio zero
15
 x  12 y



3
3

  2x  y  5

2
2

 x  12 y  15

 2 x  y  5
Alessandro Pighin 2°F
1
5


x

y



2
2 Coppia sol.

(3;1)
1
 x  4y  5

3
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Dato un sistema se si eseguono calcoli algebrici in una o più
righe, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.
Coppia sol. (3,1)
Sono equivalenti con la sola differenza che
l’ ultima equazione e più semplice a livello
di calcolo
PRINCIPIO UNO
P1
(delle
equazioni)
 3 x  4 y  2

12 x  17  7 y
Equazione equivalente alla
precedente con coppia soluzione
(-2;-1)
Alessandro Pighin 2°F
2 xy  6 x  y  3  5 y  1  2 xy  8 x  x

12 x  17  7 y
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Dato un sistema se al posto di una equazione si sostituisce
una sua equivalente (principio delle equazioni) si ottiene un
sistema equivalente a quello dato.
PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE
x  5 y  3

 x  2 y  4
1°Parte del principio
di sostituzione
x  3  5 y

 x  2 y  4
Principio di sostituzione.
Isoliamo un’ incognita da
una delle due equazioni.
x  3  5 y

3  5 y  2 y  4
Normalissima equazione
x  3  5 y

 7 y  7
x  3  5 y

Rifacciamo il principio di sostituzione
y 1
 x  3  51

y 1
 x  2

y 1
Alessandro Pighin 2°F
Spiegazione:
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Dato un sistema, se dopo aver isolato una delle due incognite da una
delle due equazioni si sostituisce l’ espressione trovata nell’ altra
equazione, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.
Coppia Soluzione (-2;1)
Ci sono due modi per svolgere il sistema:
Isolare prima la x;
Isolare prima la y.
Conviene però, isolare l’ incognita che ha coefficiente 1 o -1
perché non viene prodotta frazione.
PRINCIPIO DI RIDUZIONE
3 x  7 y  2
+
+
+

 3
4 x  2 y 
=
=
=
7 x  5 y  1
3 x  7 y  2

7 x  5 y  1
Sostituisco:
...

...
Le due equazioni sono perfettamente equivalenti. Il metodo
diventa vantaggioso quando i coefficienti di una delle due
incognite sono opposti.
La scelta su quale equazione sostituire è perfettamente
arbitraria.
Alessandro Pighin 2°F
Spiegazione:
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Dato un sistema se al posto di una delle righe si sostituisce la loro
somma membro a membro, si ottiene un sistema equivalente a
quello precedente.
METODO DI CRAMER
 2 x  y  1

x  y  1
D=det(matrice dei coefficienti)=
Dx= 1 1
1 -1
=
-2
-2 1
1 1
=
-3
Dy=
x
Dx  2

 2
D 1
Dy  3
y

 3
D
1
-2 1
1 -1
x y
=
(-2*-1)-(1*1)=1
Prendiamo la matrice dei
coefficienti e mettiamo al posto
della colonna della x i termini noti
Prendiamo la matrice dei
coefficienti e mettiamo al posto
della colonna della y i termini noti
Coppia sol. (-2;-3)
Alessandro Pighin 2°F
Def: si chiama matrice dei coefficienti di un sistema quella
matrice quadrata di ordine due che si ottiene prendendo i
coefficienti delle variabili del sistema scritto in forma
canonica.
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Spiegazione:
Coppia sol. (-2;-3)
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Alessandro Pighin 2°F
Grazie per la visione,
Alessandro Pighin
Classe 2°F