Modellistica e simulazione1
Esercitazione 3
Sommario:
- Algoritmi di discretizzazione
- Taratura dei parametri di un modello
Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1
1
Richiami: SIMULAZIONE di un
sistema dinamico
dato un sistema dinamico:
continuo
discreto
calcolare il movimento delle variabili di stato e di uscita
Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1
2
Richiami: SIMULAZIONE di un
sistema dinamico
calcolare le traiettorie delle variabili di stato e di uscita
cosa serve ?
1. un sistema dinamico completamente definito
2. orizzonte di simulazione
3. funzioni di ingresso u(•) definite su tutto l’orizzonte
Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1
3
Il caso dei sistemi DISCRETI
COME FUNZIONA
- noti i parametri che definiscono il sistema
[se lineare note le matrici A, B, C, (D)]
- dato lo stato iniziale (t=0):
- fissato un’orizzonte H (ad es. 10 istanti)
- definita una funzione di ingresso u(•) su tutto H:
oppure
Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1
4
Il caso dei sistemi DISCRETI
COME FUNZIONA
calcolo iterativamente i valori di x(t) con t=1, 2, ..., H:
se il sistema è lineare
con t=1,2,...,H
Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1
5
Esempio di un sistema discreto
sistema a 3 serbatoi
eq. di stato:
eq. di uscita:
parametri:
se
equilibrio:
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6
Esempio di un sistema discreto
sistema a 3 serbatoi
stato iniziale:
ingresso:
parametri:
orizzonte: H=10
t
1
2
3
...
...
10
2
2
2
...
...
2
2
2
2
...
...
2
0
4
4
...
...
4
Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1
dopo due passi
è all’equilibrio!!
7
Esempio di un sistema discreto
sistema a 3 serbatoi
stato iniziale:
ingresso:
parametri:
orizzonte: H=10
t
1
2
3
...
...
10
2
3
3,5
...
...
...
2
3
3,5
...
...
...
0
2
3
...
...
...
Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1
non è ancora arrivato
all’equilibrio!!
8
Il caso dei sistemi CONTINUI
sistema di equazioni differenziali
- noti i parametri che definiscono il sistema
[se lineare note le matrici A, B, C, (D)]
- dato lo stato iniziale (t=0):
- fissato un’orizzonte H (ad es. 10 istanti)
- definita una funzione di ingresso u(•) su tutto H
Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1
9
Il caso dei sistemi CONTINUI
soluzione analitica
sistema di equazioni differenziali
1. sistemi semplici (caso raro):
integro le equazioni differenziali (soluzione analitica)
dx(t )
&
es. sistema lineare con u(•)=0: x  t  =
=  x t 
dt
x
t
1
t
dx
=
adt
x
t
=
x
(0)
e


x x
0
0
equazione del movimento
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10
Il caso dei sistemi CONTINUI
metodi di discretizzaione
sistema di equazioni differenziali
2. caso generale su calcolatore: approssimo
cioè approssimo la derivata con il rapporto incrementale
diversi metodi a seconda
di come viene calcolata
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espliciti
impliciti
a un passo
a più passi
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Metodo di EULERO
Es. massa-molla
K MU
discretizziamo:
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12
Metodo di RUNGE-KUTTA
Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1
13
Metodo di RUNGE-KUTTA
Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1
14
Metodo di RUNGE-KUTTA
esempio monodimensionale:
........
Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1
15
Metodo di RUNGE-KUTTA
caso bidimensionale
Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1
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Metodo di RUNGE-KUTTA
esempio bidimensionale: massa-molla
K MU
p1
.... continua
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f1
17
Foglio Excel
Excel
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18
Osservazioni
1. Più il passo è piccolo:
- più il metodo è preciso
- maggiori sono i tempi di calcolo
2. Se il movimento calcolato è instabile:
- riduco il passo
- cambio metodo
Se è ancora instabile lo è strutturalmente
Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1
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Modelli deterministici
Per alcuni modelli i parametri
rappresentano dei coefficienti
misurabili
Per altri modelli i parametri
non sono misurabili ma
vanno stimati
K
M U
p(t )
a t 
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Richiami: taratura di un modello
lineare
Modello:
Parametri:
Dati
Stima
forma ricursiva
Innovazione
Coefficiente di oblio
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Taratura di un modello lineare
Esempio: Valore medio (1)
Dati:
Modello:
Qual’è la retta orizzontale che passa più vicino
a tutti i punti?
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Esempio: Valore medio (2)
Taratura di un modello lineare
Dati:
Modello:
Esercitazioni di Modellistica e Simulazione 1
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Taratura di un modello lineare
Esempio: Regressione lineare (1)
Dati:
Modello:
Qual’è la retta passante per l’origine che passa
più vicino a tutti i punti?
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Esempio: Regressione lineare (2)
Taratura di un modello lineare
Dati:
Modello:
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Esempio: Ticino e Po (1)
scala di deflusso
B
C
A
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Taratura di un modello non lineare
Esempio: Ticino e Po (2)

B
rigurgito
A
Dati:
C
Parametri:
scala di deflusso
Come posso calcolare la portata
nel tratto A?
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Taratura di un modello non lineare
Esempio: Ticino e Po (3)
Modello:
Scomposizione:
Linearizzazione:
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