Una citazione su Enriques
• “Il capire dunque il mondo algebrico non è tanto
questione di corretta deduzione, quanto anzitutto
una questione di vedere. Una simile concezione
appagava profondamente lo spirito
prevalentemente intuitivo dell’Enriques, il quale
spesso arrivava addirittura al punto -e
nell’intimità con i suoi allievi si compiaceva di
tale aspetto apparentemente paradossale del suo
pensiero- di non sentire il bisogno di una
dimostrazione logica, perché vedeva; e ciò lo
rendeva sicuro della verità della proposizione in
questione e lo appagava pienamente: certamente
ad ogni modo gli impediva di procedere oltre.
• Avendogli una volta dichiarato di non vedere la
verità di un’affermazione, che egli riteneva
evidente, ma che invano avevamo tentato di
dimostrare logicamente, egli si fermò di botto (...)
e, invece di tentare un’ultima dimostrazione, roteò
il suo bastone appuntandolo sopra un cagnolino
sul davanzale di una finestra, dicendomi: non
vede? Per me è come se mi dicesse che non vede
quel cagnolino!” (F. Conforto, 1947)
I Geometri Algebrici Italiani e i
Problemi Didattici
• Paola Gario, 2004, Guido Castelnuovo e il
problema della formazione dei docenti di
matematica, Rend. del Circolo Mat. di Palermo.
Supplemento, 74, 103-121
• Livia Giacardi, 2003a, L. Cremona, G. Vailati, C.
Segre. Tre diversi approcci al problema
dell’insegnamento della matematica fra ‘800 e
‘900, Atti del XXIII Congresso UMI-CIIM, 63-75
• Livia Giacardi, 2006, Da Casati a Gentile.
Momenti di storia dell’insegnamento secondario
della matematica in Italia, Lumières
Internationales
• Marta Menghini, 2006, The role of
Projective Geometry in Italian Education
and Istitutions at the end of the 19th century,
Intern. J. for the Hist. of Mat. Education,
35-56
• Simonetta Di Sieno, 1998, Storia e
Didattica, in Di Sieno-Guerraggio- Nastasi,
La matematica italiana dopo l’Unità,
Marcos y Marcos, 765-816
Qualche Problema
• Distinguere tra “intuizione del senso
comune” e “intuizione scientifica”
• Una questione molto antica
Il Menone di Platone
• Socrate: Ora egli pensa di sapere quale sia la
lunghezza da cui risulterà un’area di otto piedi:
non credi?
• – Menone: Sì
• – Socrate: E dunque lo sa?
• – Menone: Certamente no
• – Socrate: Lo suppone da lato che è il doppio
dell’altro?
• – Menone: Sì
Lo scopo di Socrate
• Rovesciare un’idea intuitiva (ma errata), per
costruire un’intuizione nuova, più “vera”.
• Socrate non affronta una dimostrazione
formale. Non vuole sostituire all’intuizione
un ragionamento logico. Egli vuole passare
dall’intuizione del senso comune a una
intuizione nuova, più “vera” delle relazioni
tra lato e area del quadrato.
Non vedi? E’ come quel
cagnolino
• Socrate: Quante sono
all’interno di questa
superficie queste
metà?
• Schiavo: Quattro
Socrate: E quante in
quest’altra?
• Schiavo: Due
• Socrate: Quattro
cos’è di due?
• Schiavo: Il Doppio
Una Dimostrazione Formale
Area  l ;
2
2  Area  2l  l '
2
2
l '  2l  diagonale del quadrato
Prerequisiti
• Teorema di Pitagora;
• Area del Quadrato
• O no?
Il punto di vista di Fishbein
• the mathematics education should not aim
at eliminating intuitions but rather to
develop new … intuitive interpretations that
are consistent with the formal structures of
logical reasoning
• Insegnamento Trasmissivo o Attivo?
• Entrambi!
Intuizione, Rigore e esperimenti
mentali
• Rinserratevi con qualche amico nella maggior
stanza che sia sotto coperta di qualche gran
navilio, e quivi fate d’aver mosche, farfalle e
simili animaletti volanti
• i pesci nella lor acqua non con più fatica
noteranno verso la precedente che verso la
sussequente parte del vaso, ma con pari
agevolezza verranno al cibo posto su qualsivoglia
luogo dell'orlo del vaso; (Galileo)
Qualche analogia
• There is a deep contradiction between many of the
formal definitions, theorems and logical proofs
and our intuitions, which are built on our real life
experiences and are naturally adapted to finite
objects (Tirosh & Tsamir)
• Ciò è vero non solo per il concetto di infinito, ma
anche per un’idea apparentemente molto più
intuitiva (?) come quella di moto
Ancora sugli stessi concetti
• the persistent nature of the primary intuitions, are
still apparent with gains of formal knowledge
(Fishbein)
• La definizione formale non è ancora divenuta
un’immagine mentale, non ha ancora raggiunto lo
status di intuizione.
• Si deve parlare la matematica correttamente prima
di studiarne la struttura formale. Ciò richiede
tempo.
• Students should perform mathematics and dance
mathematics (Henle)
Questioni Epistemologiche vs.
Didattiche
• La critica dei principi della geometria gioca un
importante ruolo in quel processo di costruzione
ed elaborazione dei concetti che costituisce lo
sviluppo della scienza nei suoi rami più elevati. In
particolare, il ruolo dell’analisi logica in questo
processo è quello di distinguere gli atti della
intuizione e di aiutare successive astrazioni; così si
spinge lo sviluppo della intuizione geometrica, il
che da luogo a spazi intuitivi superiori, di vario
interesse (Enriques)
• Nature and nature’s laws were hid in night/ God
said “Let Newton be” and all was light (Pope).
• La idee matematichea (e più in genere quelle
scientifiche) non fanno parte delle nozioni del
senso comune: esse possono divenire intuitive, ma
solo attraverso un percorso guidato; e un
linguaggio rigoroso, formale, diviene
gradualmente uno strumento fondamentale a tal
fine.
Alcuni esempi storici
• Non lo vedi?
• E’ facile costruire una striscia
di Moebius, ma solo dopo aver
conquistato questa nuova
intuizione delle relazioni
spaziali noi possiamo
riconsiderare la nostra vecchia
idea intuitiva di superficie e
costruire una immagine
mentale e il macchinario
formale necessario per afferrare
il concetto di superficie a una
faccia
• How much better it will be when the logical weft
remains discretely hidden under a fabric of
practical and common-sense observations. But all
this must be done with absolute propriety in
language and integrity of thought; absolute, not
ostentatious; and in a way such that what one
takes from one’s intuition and what one wants to
deduce are quite distinguishable, for those who
have the ability for it. In short, one teaches how to
reason by reasoning well; not by dissecting the
reasoning. One can only provide an anatomy of
reasoning when one knows well how to reason.
• (Severi)
Un caso, la storia della geometria
a più dimensioni
Intuizione Geometrica  Formalismo Algebrico
Concevons maintenant que le nombre des
variables … devienne supérieur à trois. Alors
chaque système de valeurs de x, y, z, …
déterminera ce que nous appellerons un point
analytique. … La considération des lieux
analytiques est éminemment propre à guider le
calculateur au milieu des difficultés que je viens
de signaler. (Cauchy)
Formalismo Algebico  Nuova Intuizione
Geometrica
• The science presents itself in two ways: as a
legitimate extension of the ordinary two and three
dimensional geometry and as a need in these
geometries and in analysis generally. To use such a
representation we require the geometry of such
space (Cayley)
• Mais pourquoi ne pas conserver le langage
analytique et le remplacer par un langage
géométrique? … C’est ensuite que l’analogie avec
la géométrie ordinaire peut créer des associations
d’idées fécondes et suggérer des généralisations
utiles (Poincaré)
La matematica come
immaginazione
• Immaginate esseri
bidimensionali, dotati di
capacità razionali, che
vivono e si muovono
sulla superficie di un
corpo curvo.
Supponiamo che non
possano percepire nulla
al di fuori di questa
superficie
• Immaginate un grande
foglio di carta su cui
rette, triangoli, quadrati
e altre figure si muovono
liberamente sulla
superficie ma senza
potersi sollevare o
sprofondare.
Gauss
• Le coordinate intrinseche (Disquisitiones
generales circa lineas curvas, 1827)
• Parametrizzazione delle superfici (Eulero)
Casorati
• Voi domanderete come mai la curvatura
gaussiana sia il solo carattere che distingue,
secondo Riemann, una superficie dall’altra,
mentre vi hanno superficie per noi diverse,
come in particolare le piane e le cilindriche,
dotate della medesima curvatura? La
risposta è facile e importante.
• In questa teoria una superficie si considera in sé
stessa esclusivamente, nei suoi rapporti metrici
interni, senza riferimento a veruna cosa posta fuori
della medesima, si pensa come uno spazio di due
dimensioni esistente di per sé, costituente da solo
per così dire l’intero mondo; e non già come una
superficie che esista in relazione con altre
superficie e linee e punti fuori di essa e coesistenti
in uno spazio p. e. di tre dimensioni.
Acquisire una nuova intuizione
• dans cette méthode [i. e. Gauss’ theory of
surfaces], les rapports de la surface et de
l’espace environnant échappent
entièrement: la surface est considérée en
elle-même, telle qu’elle le serait par un être
qui n’eut pas le sens de la troisième
dimension (Beltrami)
Helmholtz, 1870
Über Ursprung und Bedeutung der geometrischen
Axiome
• In uno specchio convesso ben lavorato …
l’immagine speculare di un oggetto appare
corporea e situata in un punto ben determinato
dietro la sua superficie. … Le immagini sono tanto
più impicciolite e appiattite quanto più lontani
dallo specchio sono i loro oggetti. … Tuttavia
nell’immagine ogni linea retta del mondo esterno
viene rappresentata con una linea retta …
• In breve, non vedo come gli uomini nello
specchio potrebbero scoprire che i loro
corpi non sono corpi rigidi e le loro
esperienze buoni esempi di correttezza degli
assiomi di Euclide.
• Se gli uomini dei due mondi potessero
conversare gli uni con gli altri nessuno dei
due potrebbe convincere l’altro di avere con
lui le vere relazioni e l’altro quelle errate;
anzi non vedo come un tale problema possa
avere senso …
• La rappresentazione di Beltrami dello spazio
pseudosferico in una sfera dello spazio
euclideo è di genere del tutto simile …
• Se si immagina che nella sfera si muovano
corpi che quando si allontanano dal centro si
contraggono in maniera simile alle immagini
nello specchio convesso degli osservatori i cui
corpi fossero sottoposti con regolarità a questo
cambiamento otterrebbero gli stessi risultati
che se essi stessi vivessero nello spazio
pseudosferico.
13 novembre 1873: Casorati
• Imaginiamo (con Gauss, Helmholtz, e
Beltrami), poiché logicamente il possiamo,
degli esseri intelligenti i quali vivano, si
muovano in una superficie, abbiano, direi,
un corpo di due dimensioni e percepiscano
soltanto cose che si trovano nella superficie
e siano insomma affatto insensibili a tutto
ciò che possa esservi fuori della medesima.
• Poiché si vengono a trovare così possibili
nel pensiero
1875? Clifford
• In uno spazio a due dimensioni
perfettamente piano … se supponiamo in
quello spazio si trovi una sogliola od altro
pesce piatto, infinitamente schiacciato …
And its didactical consequences
• I recommended to my hearers to procure
Flatland … in order to obtain a general
notion of the doctrine of space of n
dimensions.
Per Sylvester l’apparato formale non è
sufficiente per comprendere realmente gli
iperspazi. Egli deve anche stimolare la
fantasia and la immaginazione degli
studenti.
• Le funzioni periodiche : f(z+kz0) = f(z)
Le funzioni ellittiche f(z+z0+z1) = f(z)
La “periodicità” nelle funzioni automorfe
f(A(z)) = f(z)
• Nell’istante in cui posi il piede sul gradino
mi venne l’idea, senza che niente nei miei
pensieri precedenti mi avessero preparato a
ciò, che le trasformazioni che avevo usato
per definire le funzioni fuchsiane erano
identiche con quelle della geometria non
euclidea.
La periodicità rivelata
Poincaré: Scienza e Ipotesi
• Supponiamo un mondo rinchiuso in una grande
sfera e sottomesso alle seguenti leggi: la
temperatura non è uniforme; essa è massima al
centro, diminuisce nella misura in cui ci se ne
allontana, per ridursi allo zero assoluto quando si
raggiunge la sfera in cui questo mondo è chiuso
• Così, individui come noi, la cui educazione si
realizzasse in un mondo simile, non avrebbero la
stessa nostra geometria
Guido Castelnuovo
• Per far rilevare come avvenga il passaggio dalla
realtà allo schema simbolico, conviene ricorrere
all’esperienza e all’intuizione ... molto più spesso
di quello che oggi si faccia. ... Si ha un bel dire
che l’intuizione può condurre all’errore; sarà; ma
l’intuizione fornisce pure la principale, se non
l’unica, guida alla scoperta della verità. Dovremo
forse rinunziare alla verità per paura dell’errore?
Stendhal: il punto all’infinito
• All’inizio del trattato di geometria si trova
scritto: si dicono parallele due rette che,
prolungate all’infinito, non si incontrano
mai. E, all’inizio della Statique,
quell’insigne bestione di Louis Monge ha
scritto all’incirca così: Due rette parallele
possono essere considerate incrociantesi, se
le si prolunga all’infinito.
• Ebbi l’impressione di
leggere un catechismo, e
oltre tutto dei più scalcinati.
Chiesi inutilmente
spiegazioni a M. Chabert.
• Figliolo, disse assumendo
quell’aria paterna … figliolo
lo capirete più avanti.
• E il mostro, avvicinandosi al pannello
di tela cerata e tracciando due linee
parallele molto vicine, mi disse: Vedete
bene che si può dire che esse si
incontrano all’infinito.
• Rischiai di lasciar perdere tutto
Stendhal incontra la matematica
Il mio entusiasmo per la matematica aveva
origine forse dal mio orrore per
l’ipocrisia. Alla terza o quarta lezione
passammo alle equazioni di terzo grado
e a quel punto Gros ci disse cose
completamente nuove. Mi sembra che
ci abbia trasportato di colpo alle porte
della scienza o davanti al velo che
bisognava sollevare.
Provavo un piacere intenso,
analogo a quello della lettura
di un romanzo appassionante.
Ero allora come un grande fiume
che va a gettarsi in una cascata,
come il Reno sopra Sciaffusa
dove il suo corso è ancora
tranquillo ma sta per gettarsi in
un’immensa cascata. La mia
cascata fu l’amore per la
matematica.
Il punto all’infinito
• L’idea di punto
all’infinito non può venire
prima dell’idea di
prospettiva, ma questa
idea può portare l’arte
della pittura a nuova
perfezione
• Sempre la pratica deve
essere edificata sopra la
bona teorica della quale la
Prospettiva è guida e
porta, e sanza di questa
niente si fa bene ne’ casi
di pittura
• one teaches how to reason by reasoning well; not by
dissecting the reasoning. One can only provide an
anatomy of reasoning when he knows well how to
reason.
• Si può giungere a una anatomia dei metodi didattici
quando si sa bene come insegnare.
• Anche nel lavoro pedagogico la nostra intuizione delle
relazioni umane gioca un ruolo importante. La ricerca
didattica deve aiutare a spostarsi dalle intuizioni
primarie a quelle secondarie e “non dovrebbe mirare a
eliminare le intuizioni ma deve preservarne il ruolo”.
Altrimenti la dissezione delle questioni metodologiche
potrebbe interferire con le relazioni umane tra
insegnante e studente, ostacolando i loro sforzi di
trasmettere la conoscenza e la cultura matematica alle
nuove generazioni.