Dispersione della luce Il rapporto sinθi / sinθt è costante solo per radiazione ad una sola lunghezza d’onda: radiazione monocromatica. Se nella radiazione sono presenti più lunghezze d’onda n2/n1 presenta valori diversi. Se ad es. un fascio di luce bianca incide su una lastra di vetro si ha la situazione: La luce riflessa è ancora bianca mentre il fascio trasmesso è composto da raggi di diverso colore ognuno con diverso angolo di rifrazione: n dipende da λ. n diminuisce al crescere di λ: a parità di θi, θt è più piccolo per il violetto che per il rosso: il violetto è più deviato e più vicino alla normale. E’ questo il fenomeno della dispersione della luce. La tabella seguente mostra l’indice di rifrazione di diversi materiali per la λ = 0.589 μm (giallo). I gas (condizioni standard) hanno n 1. Prisma Esso è costituito da una lastra di materiale trasparente con facce piane formanti un angolo : angolo di apertura del prisma: dispersione Un raggio esce dal prisma con angolo e rispetto alla normale alla superficie; il corrispondente angolo di incidenza è i ; l’angolo è la deviazione e varia con l’angolo di incidenza i . Si può dimostrare che noto si può misurare con buona precisione n misurando l’angolo di deviazione minima m che si ha quando il raggio all’interno del prisma si propaga parallelo alla base. Intensità delle o.e.m. riflesse e rifratte Le relazioni geometriche fin qui trovate sono indipendenti dall’ampiezza delle onde. Dalle eq. di Maxwell si ricavano le ampiezze delle onde riflessa Er e trasmessa Et in funzione di quella incidente Ei. Si verifica che le relazioni sono diverse a seconda della polarizzazione dell’onda incidente: nel piano di incidenza o perpendicolare al piano di incidenza. sia: Ei = E0i sin ( kir-t ) il campo dell’onda incidente con vettore ki e Er = E0r sin ( krr-t ) quello dell’onda riflessa con vettore kr . Le eq. di Maxwell danno: E0 r r E0i tg ( i t ) tg ( i t ) E0 r r E0i sin( i t ) sin( i t ) per i due casi. Ora l’intensità delle onde rifl. e trasm. sono date da: Ii = ½ c 0 E0i2 Ir R Ii Ir R Ii Ir = ½ c 0 E0r2 per cui: 2 E0 r tg 2 (i t ) 2 E0i tg (i t ) 2 E0 r sin 2 (i t ) 2 E sin (i t ) 0i danno la percentuale di energia (potenza) riflessa nei due casi: R e R : coefficienti di riflessione di Fresnel. I coefficienti R e R sono funzione di i perché t si ricava dalla legge di Snell: sin t = sin i/n se la luce proviene dall’aria: n = 1 e si riflette su un mezzo trasparente con indice n. Per il vetro n = 1.5, R(i ) e R (i ) sono mostrati in figura L’energia e la potenza non riflessa viene trasmessa e si definiscono in corrispondenza a R e R i due coefficienti di trasmissione: T e T . In questa ipotesi si ha: T = 1-R e T = 1-R Un fascio di luce ordinaria non è polarizzato: la direzione del campo elettrico varia casualmente nel tempo. Esso può essere considerato formato da due componenti E polarizzata nel piano di incidenza e E polar. nel piano perpendicolare. Entrambe hanno metà della potenza del fascio. La potenza del fascio riflesso è: Pr = ½ P R + ½ P R = ½(R + R) P = R P per cui il coefficiente di riflessione per luce ordinaria è R = ½(R e R). R(i ) per il vetro è mostrato in figura. L’energia trasmessa è T = 1 – R. Angolo di Brewster Dalla figura si vede che vi è un angolo b per il quale R = r = 0; ciò avviene per i + t = /2: tg(i + t) L’angolo i = b per il quale r = 0 si ricava da: sin b sin b sin b tg b n sin t sin( / 2 b ) cos b b = arctg n; b = angolo di Brewster. La figura mostra che essendo r = 0 viene riflessa solo la componente E polarizzata perpendicolarmente al piano di incidenza: il fascio riflesso risulta polarizzato rettilineamente con il campo Er al piano di incidenza. Il fascio trasmesso è non polariz . zato, nel senso che contiene tutte le direzioni del campo del fascio incidente. Tuttavia siccome ad esso manca la (debole) componente riflessa che risulta polarizzata piana, si può dire che il fascio trasmesso è solo parzialmente polarizzato. Se la luce viene fatta passare più volte attraverso superfici di discontinuità inclinate dell’angolo di Brewster (ad es. attraverso diverse lamine di vetro, ciascuna con 2 superfici) si può ottenere anche in trasmissione una luce con un (discreto) grado di polarizzazione; tale artificio si impiega nei laser in cui la radiazione va avanti e indietro in cavità polarizzandosi completamente). Incidenza normale alla superficie di separazione Quando l’angolo di incidenza = 0 il raggio coincide con la normale ed il piano di incidenza perde di significato. I campi elettrici delle onde incidente, riflessa e trasmessa sono paralleli tra loro ed alla superficie. Le formule precedenti, tenendo conto che (sin, tg) si approssimano all’angolo e che i n t danno: Er n 1 r Ei n 1 n 1 R n 1 2 La percentuale di energia riflessa è piccola, per cui la maggior parte dell’energia viene trasmessa. Nell’acqua n = 1.33 e R = 0.02: viene riflesso il 2% sia in un senso che nell’altro. Nel vetro n = 1.5, R = 0.04 e viene trasmesso il 96%. La prima formula tuttavia mostra che se l’onda proviene dall’aria n = 1 e si riflette sulla superficie di un vetro con indice n >1, r < 0 e quindi il verso del campo elettrico riflesso Er è opposto a quello del campo incidente Ei. Questa situazione si verifica alla separazione di due mezzi nei quali sia v1 e v2 < v1 quando la luce proviene dal mezzo con velocità maggiore. Nella figura è mostrata la situazione e fatto un confronto con la propagazione di un’onda meccanica in una corda tesa: la velocità di propagazione nella corda più sottile è maggiore della velocità nella corda grossa: alla giunzione la “gobba” della corda si inverte per la parte riflessa. Nel caso in cui la luce passa dal mezzo in cui la velocità è minore a quello in cui è maggiore: v1 < v2, n1 > n2 si ha il contrario e Er ha lo stesso verso di Ei. Queste proprietà trovano la loro conferma nei fenomeni di interferenza in lamine sottili come vedremo. Polarizzazione della luce per assorbimento e diffusione Quando la luce attraversa un mezzo trasparente può attraverso il campo elettrico eccitare gli elettroni delle molecole che assorbono energia e successivamente la riemettono. Questi processi di assorbimento si possono calcolare e portano alla spiegazione dell’indice n e della sua dipendenza dalla frequenza. Se la sostanza è costituita da molecole a simmetria sferica questi processi non dipendono dall’orientazione del campo Ei della luce incidente: non vi è dipendenza dalla polarizzazione: il materiale è isotropo; ciò è tipico ad esempio delle sostanze amorfe. Se le molecole della sostanza sono allungate si può definire un asse di simmetria o asse ottico della sostanza. Si verifica che la velocità della luce è diversa se la direzione del campo coincide od è perpendicolare all’asse ottico; per cui vi saranno due indici n: uno no ordinario associato a E ed uno ns associato ad E. Birifrangenza: ad es. il quarzo o la calcite: CaCO3. Un’altra proprietà delle sostanze birifrangenti è il dicroismo: l’assorbimento della sostanza dipende dalla polarizzazione della luce. Se il campo è all’asse ottico può fare oscillare gli elettroni lungo l’asse: essi assorbono una quantità di energia proporzionale al quadrato dell’ampiezza di oscillazione (dipolo elettrico), diffondendola poi in tutte le direzioni. Se il campo è l’ampiezza dell’oscillazione è più piccola e l’assorbimento minore. Per cui in uno spessore sufficiente del mezzo rimane solo una componente di polarizzazione. Sostanze come ad es. l’erapatite (cristalli di iodosolfato di chinino). Tali cristalli impaccati tra fogli di materiale trasparente (vetro e nitrocellulosa) costituiscono una lamina dicroica: polaroid. Anche alcool polivinilico “stirato”. Una lamina di polaroid assorbe tutta una componente di polarizzazione e trasmette il 70% dell’altra nell’intervallo tra 0.5 e 0.7 m. Una lamina dicroica costituisce un polarizzatore con direzione data dal suo asse . Sia ora una radiazione polarizzata linearmente che incide sul polarizzatore ed il campo E0 formi l’angolo con l’asse del polar. Scomponiamo l’onda incidente secondo y e z; l’onda E0y = E0cos con campo all’asse passa inalterata e l’onda E0z = E0sin all’asse viene assorbita. Se I0 è l’intensità dell’onda incidente E02 l’intensità dell’onda uscente I1, polarizzata lungo l’asse ottico è a E02 cos2 e si ha: I1 = I0 cos2 : legge di Malus. L’intensità varia al variare dell’angolo con andamento cos2 : per un ciclo completo di : 0 - 2π vi sono due periodi di variazione dell’intensità. Se radiazione naturale varia casualmente: il valore medio di cos2 = ½ e I1 = ½ I0. Un’onda non polarizzata incide su P1; l’onda polarizzata uscente da P1 incide su un secondo polarizzatore (analizzatore); ruotando l’asse dell’analizzatore così che l’angolo tra gli assi di P1 e P2 vari da 0 a 2, l’intensità trasmessa è max. per = 0 e = e nulla per = /2 e = 3/2: con gli assi sia ha max e con assi la trasmissione è nulla. Questo comportamento, dato dalla legge di Malus è caratteristico di un’onda polarizzata rettilineamente: un analizzatore che ruotato provoca l’estinzione della trasmissione per due posizioni tra loro a 180o ci assicura esservi luce polarizzata rettilineamente. Lenti polaroid negli occhiali da sole: Si osservi con queste lenti la luce riflessa da una superficie es. il mare. Nella luce riflessa è sempre prevalente la componente con campo al piano di incidenza: R > R . Se le lenti hanno l’asse PP verticale cioè nel piano di incidenza tale componente viene bloccata e l’occhio riceve un’intensità minore. Effetto di assorbimento e non polarizzazione. Per altro gli elementi sensibili dell’occhio sono amorfi e quindi non sensibili allo stato di polarizzazione della luce. Cristalli liquidi Tali sostanze sono costituite da lunghe catene molecolari che in condizioni di riposo sono libere di orientarsi; per effetto della temperatura tali orientamenti sono per lo più casuali. Tuttavia se si applica un opportuno campo elettrico alla sostanza le direzioni delle molecole tendono ad allinearsi con il campo. Tali sostanze costituiscono una via di mezzo tra un cristallo ed un liquido. Quando è applicato un campo elettrico la sostanza presenta proprietà tipiche del cristallo, come la birifrangenza e/o il dicroismo. I cristalli liquidi trovano grande applicazione nei display; essi sono costituiti da un sottile strato di cristallo liquido racchiuso tra due lamine trasparenti, la prima delle quali è un polarizzatore. A seconda che il campo elettrico sia on o off la trasmissione del sistema varia secondo la legge di Malus da max a min. I display a cristalli liquidi possono funzionare sia in trasmissione con un’opportuna sorgente luminosa o in riflessione utilizzando la luce diffusa. Polarizzazione per diffusione Un fascio di luce che incide su un gas può mettere in oscillazione gli elettroni legati agli atomi o molecole. A sua volta tale oscillazione provoca emissione di radiazione in tutte le direzioni: si ha il fenomeno della radiazione diffusa. Una trattazione del fenomeno prevede che se la luce incidente è bianca vi è maggiore assorbimento e quindi maggiore diffusione della componente viola-azzurra rispetto a 4 4 quella rossa: Pv 0.7 r 6.4 Pr v 0.44 Tale predominanza nell’aria determina il colore azzurro del cielo sereno. Se nell’aria vi sono goccioline d’acqua avvengono fenomeni di interferenza e si riduce questo effetto: un cielo nuvoloso appare bianco-grigio. Osserviamo ora la luce diffusa a vari angoli rispetto alla direzione di un’onda piana incidente non polarizzata: la luce diffusa lungo la stessa direzione è non polarizzata mentre quella diffusa a 90o è polarizzata rettilineamente: le vibrazioni degli elettroni pur con direzione casuale sono contenute in un piano alla dir. dell’onda incidente; il campo elettrico è contenuto in questo piano e l’onda emessa a 90o è polar. rettilineamente. Si può osservare con un polarizzatore. Lamina di ritardo: luce polarizzata circolarmente Sia L una lamina di cristallo non dicroico con indici no e ns; la lamina stia nel piano y,z e l’asse ad y. Un fascio di luce polarizzata rettilineamente ottenuto facendo attraversare la luce ordinaria ad un polarizzatore P, si propaga lungo x ed incide sulla lamina. Sia l’angolo tra il campo elett. E = E0 sin(kx - t) e l’asse ottico: Scomponiamo l’onda incidente: Ey = E0 cos sin( kx - t) , Ez = E0 sin sin( kx - t). L’attraversamento della lamina di spessore d introduce una differenza di fase tra le due componenti: la fase kx - t eguale all’entrata è diversa all’uscita: kx; = ksd; = kod per le due onde. La differenza = (ks - ko)d; ora si ha: ks = nsk e ko = nok da cui: 2 k (ns no )d (ns no )d con = 2/k = lunghezza d’onda in vuoto. Se si verifica: = /2 o: ed inoltre sia = /4, all’uscita dalla lamina il fascio è: d 4(ns no ) E0 E0 E0 Ey sin( kx t ) Ez sin( kx t / 2) cos( kx t ) 2 2 2 che rappresenta un’onda polarizzata circolarmente di ampiezza E0/√2. L’intensità Ii dell’onda incidente e It dell’onda trasmessa sono: Ii = ½ c0E02 , It = c 0E02/2 e risultano eguali: la lamina ha cambiato lo stato di polarizzazione senza assorbire energia. La lamina si chiama lamina quarto d’onda. Se ad es. ns – no = 0.01, d = 25 : per = 0.6 m d = 15 m. Questo è lo spessore minimo: analoghi effetti si hanno per = multipli dispari di /2 e spessori multipli dispari di d. Se l’angolo /4 (ha valore qualsiasi) si vede che la lamina quarto d’onda trasforma la luce polarizzata rettilineamente in polarizzazione ellittica. Se = o multipli dispari di , Ez ad es. diventa –Ez (cambia segno): l’effetto è una rotazione di 2 della direz. di polarizzazione: l’onda uscente è ancora polarizzata linearmente; lo spessore minimo è d = /2(ns – no): lamina mezz’onda. Infine si vede che uno spessore tale da produrre sfasamento = 2 , 4 .. non produce alcun effetto; invece uno spessore qualsiasi trasforma l’onda polarizzata rettilineamente in un’onda a polarizzazione ellittica con gli assi dell’ellisse non coincidenti con y e z. Infine se la radiazione incidente è non polarizzata l’angolo θ varia casualmente nel tempo per cui la differenza di fase δΦ introdotta dalla lamina non ha influenza sulla stato di polarizzazione. Rifrazione anomala Tale effetto si verifica in cristalli come sopra quando l’asse ottico del cristallo non è parallelo alla superficie su cui incide la luce. Un fascio di luce pol. rettilineamente in direzione all’asse ottico. Utilizzando il principio di Huyghens-Fresnel ciascun punto della superficie diventa sorgente di luce che si propaga nel cristallo con velocità v0 = c/n0 Il fronte d’onda all’interno è l’inviluppo delle onde sferiche: l’onda si muove rettilineamente: è il comportamento ordinario. Se consideriamo l’onda polarizzata nel piano contenente l’asse ottico, intanto le ondine si propagano con velocità vs = c/ns, ma un’analisi più completa mostra che esse diventano ellittiche. L’inviluppo di queste ondine permette di calcolare il fronte d’onda e la direzione di propagazione che non è più perpendicolare ad esso: l’onda è straordinaria. Quando un fascio non pol. incide su un tale mezzo si originano 2 fasci che si propagano in direzioni diverse: i due fasci, ordinario e straordinario sono polarizzati su due piani . Se interponiamo un polaroid sul fascio incidente, ruotandolo passa o solo il fascio ordinario: asse del polaroid asse ottico, o solo il fascio straordinario: asse del polaroid asse ottico. Materiali isotropi ordinari quali ad es. il vetro o plexiglass presentano rifrazione anomala se soggetti a stress meccanici. Ad es. se si hanno due polarizzatori incrociati ed in mezzo un materiale isotropo non passa luce. Se però il materiale è soggetto a stress esso si comporta come birifrangente con asse ottico alla forza esercitata, ed è possibile un passaggio di luce nelle zone soggette a stress. Metodo diagnostico. Potere rotatorio Alcune sostanze hanno la proprietà di ruotare il piano di polarizzazione di un’onda polarizzata rettilineamente che li attraversa: levogire o destrogire a seconda del verso di rotazione. Attività ottica: es. zuccheri, canfora, trementina, quarzo. L’attività ottica trae origine dalla particolare forma delle molecole della sostanza L’angolo di rotazione risulta proporzionale allo spessore attraversato: nel caso di soluzioni anche alla concentrazione; metodo di misura: polarimetri. Vi è anche un’attività ottica di rotazione indotta da un campo magnetico: effetto Verdet.