Tutte le strade portano al quadrato
(alcune definizioni di quadrato)
Castel San Pietro Terme (BO)
5 – 6 – 7 novembre 2010
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A
C
B
A
B
D
C
Sezione Mathesis Pesaro
Anna Maria Facenda – Janna Nardi – Daniela Rivelli – Daniela Zambon
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Il percorso
Costruzione della definizione di quadrato con
riferimento:
• Ai lati e agli angoli
• Alle diagonali
Utilizzando, in modo integrato, modelli
dinamici e figure Cabri
Le Classi coinvolte:
• Due terze di scuola primaria
• Due quinte di scuola primaria
• Una prima secondaria di 1° grado
Per un totale di 114 alunni
Tempo impiegato (in ciascuna classe): 8 ore
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Premesse su cui si fonda la proposta:
• Approccio di tipo costruttivista e uso di
materiali
• Consapevolezza che gli oggetti della
matematica sono accessibili solo
attraverso le loro rappresentazioni
• Considerazione che Modelli dinamici e
figure Cabri sono rappresentazioni
• Valorizzazione della discussione e in
genere
della
“componente”
verbale
(interpretazione, valutazione, giustificazione …
delle immagini osservate…)
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La matematica è attività del pensiero.
La sua didattica deve prevedere:
• La centralità dell’alunno
• L’utilizzazione di materiali
La centralità dell’allievo si concretizza
attraverso:
• l’assunzione (da parte dell’alunno) di un ruolo da
protagonista nel processo di costruzione della
conoscenza
• l’utilizzazione dei materiali in funzione euristica
• il recupero, la rielaborazione e l’ affinamento
dell’esperienza personale e percettiva anche
attraverso l’interazione sociale, cioè il dialogo e il
confronto con i compagni e con il docente
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L’uso di materiali facilita la
costruzione di immagini concettuali,
lo sviluppo di processi logici, la
generalizzazione, attraverso:
• l’attenzione prevalente al processo, invece
che al prodotto
• le sollecitazioni percettive
• la discussione
• la constatazione e l’analisi dei limiti
dell’esperienza percettiva
“Se muovi le mani, muovi il cervello”
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E allora … una didattica di tipo costruttivo
(laboratoriale) comporta:
•
•
•
•
•
Centralità dell’azione
Attenzione per le risorse, il sapere, gli ostacoli …
Uso di congetture, messa in relazione, argomentazioni
Attenzione ai linguaggi
Mutamento del ruolo dell’insegnante (deve essere aperto a
modifiche, mediatore, garante della correttezza scientifica)
Cabri e modelli dinamici, utilizzati in forma
integrata:
• suggeriscono nuove domande
• sollecitano la formulazione di congetture
• invitano l’allievo a validare le sue intuizioni con strategie
opportune (controesempi, nuovi modelli, trascinamento,
argomentazioni…)
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Tappe del lavoro:
1. Costruzione del quadrato con legnetti, viti e
bulloni
Primo modello
2. Analisi delle figure ottenute nel movimento e
perché un solo quadrato
3. Definizione di quadrato rispetto a lati e angoli
4. Costruzione della figura Cabri corrispondente al
modello dinamico – Verifica del quadrato e nuova
riflessione sulla definizione
5. Montaggio delle diagonali sul primo modello e
costruzione del secondo modello (partendo dalle
diagonali)
6. Ripetizione dei punti 2 – 3 - 4
Secondo modello
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Cosa è accaduto
Primo Modello
• La costruzione è indipendente dai materiali consegnati (4 di
una misura e 4 di un’altra, oppure 3 e 5)
Prima Figura Cabri
• Utilizzazione prevalente della funzione “circonferenza”
• Utilizzazione minoritaria della funzione di “trasporto di
misura”
Validazione del quadrato
• Con il modello
In maggioranza, fanno riferimento a lati e angoli; dopo la discussione prevale
il riferimento agli angoli solamente
“… l’angolo è dritto… retto (V el.)”; “E’ il mio cervello che me lo dice
(V el.); “Nel quadrato i lati sono perpendicolari … (I media)”; “..
Ha quattro angoli uguali …” (III el.); “La figura al posto giusto”
(III el)
• Con la figura Cabri
Molti usano la misura, poi, dopo essere tornati al modello, adottano la
perpendicolare
“ Nel modello immagino una perpendicolare.. in Cabri c’è (V el.)”
(per scoprire l’uso di retta perpendicolare
è stato utile , nelle III el, usare del
materiale concreto: asticciole incernierate per rappresentare l’angolo retto
su cui appoggiare il modello articolabile)
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Secondo modello
• Costruzione corretta (“.. Un rettangolo con diagonali
perpendicolari e lati uguali..”) (V el)
Seconda figura Cabri
• Uso della funzione circonferenza e di due rette per il centro
Validazione del quadrato
• Con il modello
Colgono correttamente le proprietà
- “IR: E per avere un rettangolo?
Sofia: Legnetti uguali e li devo attaccare in mezzo.
Diletta: Per il quadrato devono essere uguali, attaccati al centro e
perpendicolari” (III el)
- “Quando sono perpendicolari le diagonali” (I med)
• Con la figura Cabri
In prima battuta usano la misura (angolo tra le diagonali …) – Poi
usano in prevalenza la perpendicolare ad una diagonale condotta
per il centro (alcuni anche per un vertice della figura, ed… è
necessario discutere a quale diagonale deve essere
perpendicolare, altrimenti….)
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Definire il quadrato
Varia la figura di riferimento (è un
poligono.., un quadrilatero.., un
parallelogramma.., un rombo.. ecc.),
si affina così la capacità di mettere in
relazione e si arricchiscono le
capacità e il senso critico
-In base a lati e angoli
• “.. È un quadrilatero che ha lati e angoli uguali…”
(V el)
• “IR: .. Il quadrato è un rombo che ha….
A (Salem): 4 lati uguali.
IR: I rombi hanno i lati uguali, ho bisogno di dirlo?
A (Pietro): Due coppie di angoli uguali.
A (Giulia R): Ha angoli retti (oppure uguali)” (III el)
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Definire il quadrato
-In base alle diagonali
• “E’ un parallelogramma con diagonali uguali e
perpendicolari” (I med)
• “IR: Un rombo che ha le diagonali …
Alcuni: Che si bisecano … no, anche nel rombo si bisecano …
Francesco: Sono uguali” (V el)
• “Sofia: E’ un poligono che ha le diagonali uguali…
Luca S: Si incontrano al centro…
Sofia: Perpendicolari (IR fa riflettere sulla necessità di dire
quante sono le diagonali ….)
Ilaria: Bisogna dire due diagonali.” (III el)
È necessario discutere su come selezionare le proprietà
necessarie e sufficienti e servirsi di controesempi
Si avrà un progressivo affinamento della definizione
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Osservazioni
1. Durante l’attività di scoperta e
discussione diventano visibili i
misconcetti
A (Andrea G): Il parallelogramma mi è venuto in
mente girando il rombo.
A (Domenico): Se formi un rombo formi anche un
parallelogramma.
A (Gianluca): Il rombo è anche un parallelogramma
(perché ha i lati paralleli….).
IR: Il quadrato è un parallelogramma?
A (Gianluca): Sì, perché ha i lati paralleli…
A (Giorgia): No, non è così: non mi viene da dire
che questo è un parallelogramma… (V el)
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Osservazioni
2. Conquista di un linguaggio essenziale e non
ambiguo (saper indicare cosa serve o non serve significa
anche collocare la figura in una rete di relazioni)
• IR: Se dico angoli retti devo aggiungere uguali?
A (alcuni): No, perché sono tutti retti.
A (Domenico): Non è sbagliato ma inutile (V el)
E ancora
• IR: Abbiamo dato altre 5 definizioni di quadrato. Se
partiamo da poligono dobbiamo elencare 4 caratteristiche..
se partiamo da rettangolo o rombo ne basta una…
Alcuni: Rettangolo e rombo sono più speciali…
IR: Hanno già delle proprietà..
Alcuni: Se partiamo da quadrilatero o da parallelogramma
siamo una via di mezzo …(V el))
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Osservazioni
3. Controesempi (l’uso costante riduce il
rischio di considerare caratterizzanti per
una figura delle proprietà che tali non
sono)
•
Diego… (il quadrato) è un parallelogramma che ha gli
angoli uguali… (viene mostrato il modello parallelogramma/
rettangolo per comprendere che non è una caratteristica
sufficiente per il quadrato) (I med)
•
IR: E’ un parallelogramma che ha… incertezza. Si mostra
allora un modello che nell’articolazione genera
parallelogrammi e un rombo. Notano che le diagonali sono
diverse e unite al centro. Poi viene mostrato un modello
dove le diagonali non si incontrano al centro e non si
formano parallelogrammi. Se una è bisecata si osserva un
deltoide.(I med)
In dettaglio
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In dettaglio
Osservazioni
•
IR: E’ un rombo che ha… Si osserva il modello che genera
parallelogrammi e un rombo.. (diagonali diverse che si
bisecano…)
Maddalena: Per essere rombo deve avere le diagonali
perpendicolari… e si incontrano al centro.(V el)
• IR mostra un modello che genera parallelogrammi e un
rombo. Con questo modello non si genera un quadrato,
perché?
Rachele: Perché le diagonali sono diverse. IR mostra un
modello con diagonali uguali, perpendicolari che non si
bisecano.
Rachele: Non si ha il quadrato perché non si incontrano a
metà.
Giacomo: Viene un deltoide. IR Mostra una situazione con
diagonali che si bisecano e non perpendicolari. (I media)
…….
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Osservazioni
4. Da ciò che si vede a ciò che accade (che è al di fuori e
quindi forse più convincente… aumenta il livello di
riflessione)
Si osserva il movimento del primo modello … quando il quadrato?
• Niccolò: Quando vedo tutti gli angoli retti.
Alessandro: Quando vedo due segmenti perpendicolari.
Giulia: Dico di fermare il modello quando “vedo” le due semirette che
mi segnalano l’angolo retto.
Alessandro: Quando un lato va sopra la perpendicolare si crea un
quadrato. (III el)
5. Acquisizione di nuove conoscenze
Il caso della nozione di angolo (e non solo), in III el
… Vengono fatte delle osservazioni sugli angoli servendosi di due
aste incernierate ….
6. “Ritorno al concreto”
( come hanno proceduto alla validazione con Cabri in III e V el)
Utilizzando due aste incernierate si costruisce l’angolo retto (che
riconoscono), su un lato dell’angolo si appoggia un lato del
modello; quando nell’articolazione il lato consecutivo si dispone
sull’altro lato dell’angolo la figura che si forma è un quadrato,
perché tutti gli angoli sono retti
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Aspetti qualificanti
• Avvio alla costruzione di concetti
Il dinamismo dei materiali e la discussione
permettono la costruzione corretta delle immagini
mentali e dei concetti. Le definizioni vengono
verificate passo dopo passo.. è una costruzione
della conoscenza sempre più ampia ed
organizzata
• Acquisizione di nuove conoscenze –
Approfondimenti
Dover definire una particolare figura ha messo gli
alunni di fronte alla necessità di ricorrere a nuovi
elementi di conoscenza e dominarli
La discussione apre continue “finestre” attorno al
tema centrale che offrono spunti di
approfondimento e arricchimento
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Aspetti qualificanti
• Forte stimolo al ragionamento
Costruire definizioni secondo un riferimento di partenza
variabile (poligono ecc.) è stata una bella “ginnastica
mentale”: dovevano tenere sotto controllo e valutare le
caratteristiche necessarie e sufficienti, verbalizzare e
argomentare
• Sviluppo di una immagine dinamica della
geometria
Gli alunni hanno constatato che per arrivare alla meta sono
possibili più strade, più rappresentazioni, di cui una è
migliore delle altre … o è la sola corretta. L’approccio
“dinamico” favorisce la flessibilità del pensiero e migliora le
prestazioni
• “Costruzione cumulativa (e collettiva)”
delle definizioni (e dei concetti)
Dato un intervento un altro se ne aggiunge, più ricco e
preciso, … e così via
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Bibliografia
• Bartolini Bussi M. G., Mariotti M. A. (2009). Mediazione
semiotica nella didattica della matematica: artefatti e segni
nella tradizione di Vygotskij. L’insegnamento della
matematica e delle scienze integrate A-B, 3, 269 – 294.
• Facenda A.M., Fulgenzi P., Gabellini G., Masi F., Nardi J.,
Paternoster. F. (2003). I modelli dinamici: costruzioni di
immagini mentali e avvio alla deduzione. L’insegnamento
della matematica e delle scienze integrate. 26 A-B, 6.
• Facenda A. M., Fulgenzi P., Gabellini G., Masi F., Nardi J.,
Paternoster F. (2006). Uso integrato di modelli dinamici e
Cabri a proposito di Triangoli. Atti XXV Convegno Nazionale
UMI-CIIM. Notiziario UMI n. 11/b.
• Laborde C. (2006). L’ingresso nel mondo della geometria
con Cabri-géomètre nella scuola primaria e media. In:
D’Amore B., Sbaragli S. (2006).Il Convegno del ventennale.
Bologna: Pitagora.
• Mariotti M.A. (2005). La geometria in classe. Riflessioni
sull’insegnamento e apprendimento della geometria.
Bologna: Pitagora.
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• Facenda A.M., Fulgenzi P., Nardi J., Paternoster F.,
Rivelli D., Zambon D. (2007). Parallelogrammi
inscritti in quadrilateri. Prima parte.
L’insegnamento della matematica e delle scienze
integrate. A, 5, 550 – 571.
• Facenda A.M., Fulgenzi P., Nardi J., Paternoster F.,
Rivelli D., Zambon D. (2008). Parallelogrammi
inscritti in quadrilateri. Seconda parte.
L’insegnamento della matematica e delle scienze
integrate. A, 1, 13 – 31.
• Facenda A.M., Fulgenzi P., Nardi J., Paternoster F.,
Rivelli D., Zambon D. (2008). Uso integrato di
Cabri e modelli dinamici: resoconto di una
esperienza sui parallelogrammi. Terza parte.
L’insegnamento della matematica e delle scienze
integrate. A, 5, 429 – 444.
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