Diffrazione di Fraunhofer e di Fresnel
La diffrazione si presenta quando un’onda e.m. incontra un’apertura od
un ostacolo. Ad es. un foro circolare o rettangolare in uno schermo
opaco; un ostacolo: es. filo o un disco assorbente. Nello spazio dietro
l’ostacolo vi è propagazione in direzioni diverse dall’incidente e si
originano differenze di percorso e interferenze tra onde con cammini
diversi; l’interferenza redistribuisce il flusso luminoso dando luogo a
figure di diffrazione. Tali effetti sono tanto maggiori quanto le
dimensioni delle aperture o degli ostacoli sono
prossime alla lunghezza d’onda della radiazione.
Nella fig. è mostrata la diffrazione prodotta su uno
schermo C da un ostacolo con bordo netto: spigolo
vivo; si vede che vi è luce anche nella zona di ombra
geometrica e che nella parte illuminata l’intensità
presenta fluttuazioni (frange) i massimi delle quali
superano il valor medio I0 dell’intensità luminosa
uniforme (a grandi distanze dal bordo).
Nella fig. è mostrata la diffrazione di un disco opaco.
Vi è un punto luminoso al centro e frange chiare e
scure circolari analoghe a prima. Il punto chiaro
appare a prima vista sorprendente ed infatti fu
previsto da Fresnel e negato da Poisson; oggi si
chiama punto chiaro di Poisson!
Diffrazione di Fresnel: la sorgente S e lo schermo C a
distanza finita dall’apertura; i fronti d’onda non sono
piani. E’ il caso di un ostacolo generico come quelli
considerati.
Diffrazione di Fraunhofer: la sorgente S e lo schermo
C sono a grande distanza dall’apertura; i fronti d’onda
sono piani. Questa situazione è la più facile da trattare
e la si realizza utilizzando lenti; L1 trasforma l’onda
sferica emessa da S in onda piana con fronte d’onda
contenente l’apertura. L2 focalizza i raggi in P.
Applichiamo il principio di Huyghens-Fresnel e con-
sideriamo i soli punti “liberi” quelli non interessati dall’ostacolo.
Diffrazione da una fenditura rettilinea
Una fenditura è costituita da un foro di larghezza a = AB e lunghezza L
>> a su uno schermo opaco. La figura di diffrazione si osserva sul piano
focale della lente di focale f. Sulla fenditura incide
un’onda piana di lunghezza d’onda . Suddividiamo
la fenditura in N striscie di larghezza y . Ciascuna
striscia funge da sorgente e contribuisce con
l’ampiezza E al campo ER nel punto P corrispondente all’angolo  rispetto alla normale. I contributi E relativi a due
striscie adiacenti hanno in P la differenza di fase:   2 y sin 

derivante dalla differenza di cammino y sin .
Il calcolo di come varia ER in funzione di  si farà dopo. Esaminiamo ora
alcuni risultati ottenibili per similitudine con l’esperienza di Young: nella
direzione  = 0 tutte le onde sono in fase: ER è max e così l’intensità in O
e vale I = (c0ER2)/2. Per un angolo generico  la diff di fase tra l’onda
è:  '  2 a sin   a sin 
 2

se questa diff è = : ’ = ; a sin = 
le due onde in P sono in opposizione di fase e interferiscono
distruttivamente. Pensando la fenditura divisa in due parti ad ogni
sorgente della parte superiore ne corrisponde una nella parte inferiore in
opposizione di fase. Il campo è nullo in P per  dato dalla precedente.
Se dividiamo la fenditura in 4 parti e ci poniamo all’angolo  tale che:
 ' ' 
2 a
sin   
 4
a sin = 2 si ha la stessa situazione: la prima
parte interf distruttivamente con la seconda, la
terza con la quarta e l’intensità è 0. Lo stesso se si divide in 6 parti e si
pone:
a sin = 3 La condizione generale per
2 a
 ' ' ' 
 6
sin   
interf distruttiva è sin = m /a; m = 1,2,..
La relazione fornisce le posizioni delle zone scure nella figura di
diffrazione. Pertanto l’intensità max al centro diminuisce fino ad
annullarsi simmetricamente ai due lati per i valori di  di sopra con m =
1. La grandezza (sin) = 2/a si chiama larghezza angolare del
massimo centrale di diffrazione.
Tra il primo (m = 1) ed il secondo
(m = 2) minimo ci deve essere un
massimo
che
si
chiama
secondario (< intensità di quello
centrale): sia per  positivi che
negativi. La figura mostra
l’effetto su uno schermo; è
riportata anche la funzione I()
che troveremo. Si vede che l’80% della potenza è nel massimo centrale:
esso rappresenta l’immagine della fenditura.
Intensità della figura di diffrazione
Utilizziamo il metodo dei fasori per calcolare ER. Gli N
fasori rappresentano le ampiezze E delle singole
sorgenti elementari in cui si è suddivisa la fenditura e
costituiscono una polinomiale di N lati. L’angolo tra un
 
2
y sin 
fasore ed il successivo è:
la differenza tra l’onda emessa

2
da B e da A è:    a sin  pari all’angolo tra il primo e l’ultimo fasore.
Passiamo al limite y0 N; la poligonale diventa un arco di cerchio
di raggio  con angolo al centro . ER è pari alla corda che sottende
l’arco: ER  2  sin  ; la lunghezza dell’arco è Emax=  e corrisponde
2
all’ampiezza max che si osserva al centro dello schermo quando  = 0 e
sin  / 2
E

E
tutte le onde sono in fase. Da cui R max  / 2 Ora l’intensità è
proporzionale al quadrato dell’ampiezza e vale:
 a sin 
2
 sin
 sin  / 2 

I ( )  I max 
 I max 

a sin 
  /2 








2
Questa funzione è mostrata in figura
per i valori a = , 5, 10 . L’intensità
trasmessa dalla fenditura si annulla:
minimi di diffrazione per:

2

a sin 
 m ,

sin   m

a
m  1,  2,  3...
i primi minimi a destra e sinistra del max centrale si
hanno per sin = /a e permettono di definire:
(sin  ) 
2
a
come larghezza angolare del massimo
centrale di diffrazione. Per a >> il massimo è molto
stretto e l’effetto della diffrazione è trascurabile; il
massimo si allarga se a diminuisce tendendo a . Per
a =  il primo ed unico minimo si forma a  = 90o e con a <  tutto lo
spazio al di là della fenditura è illuminato. Tra due minimi di intensità
esiste un massimo secondario: la posizione è data dai massimi della
funzione (sin2)/2. Si trova tg  = , equazione trascendente che si
risolve graficamente (a parte il caso  =0). Peraltro risulta buona
l’approssimazione di cercare il max di sin2(a sin/) ovvero quando:
L’intensità dei massimi
a sin 


 (2m'1)
sin   (2m'1)
m'  1, 2, 3,..

2
2a
secondari risulta:
I m'
1
0.4


2
I max 
(2m'1) 2

(2m'1) 2 
Nel primo massimo, m’ = 1, I1/Imax = 0.045 cioè
l’intensità è il 4.5% del massimo principale; per
m’ = 2 I2/Imax 0.016; per m’ = 3 I3/Imax 0.008.
E’ da notare che si ha il massimo di ampiezza
quando tutti i fasori sono disposti lungo una
retta  = 0; si ha invece ER= 0 quando i fasori
si dispongono su una circonferenza per cui la
differenza di fase tra gli estremi è:  = 2m.
Per λ « a la larghezza angolare del max centrale è: Δθ = 2λ/a e sul piano
focale della lente Δx = fΔθ = 2fλ/a
Diffrazione prodotta da un’apertura e da un disco opaco
Quando l’apertura è circolare per ragioni di simmetria anche la figura di
diffrazione è circolare: un disco centrale luminoso circondato da una
serie di corone alternativamente chiare e scure. Il sistema presenta analogie con la figura di diffrazione di una fenditura anche se più complicato
da trattare. Le frange si osservano in condizioni di Fraunhofer
Si trova che l’angolo a cui cade il primo minimo di
intensità, corrispondente al bordo del massimo


sin


1
.
22

0
.
61
centrale è dato da:
se D ed R sono
D
R
il diametro ed il raggio dell’apertura; si confronti con
sin = /a per la direzione del primo minimo di una
fenditura
larga
a.
L’andamento
completo
dell’intensità è data in scala normalizzata in figura:
I/Imax in funzione di x = 2 R θ/λ.
In molte applicazioni per la luce <<D e si può
scrivere   1.22   0.61  ;2 è la larghezza angolare del
D
R
massimo centrale. Anche ora si verifica che oltre 80% dell’energia è
contenuta nel disco centrale luminoso: gli anelli chiari concentrici sono
poco visibili. Il disco centrale il cui bordo è visto dal centro del foro sotto
l’angolo 2  rappresenta l’immagine del foro.
Questi risultati si applicano anche ad una lente di apertura D (raggio R)
per cui l’immagine di una sorgente puntiforme molto lontana è data nel
piano focale di una lente convergente da un piccolo disco luminoso
le cui dimensioni sono determinate dal rapporto f/D tra distanza focale e
diametro (utile) della lente: d = 2f = 2.44 λ f/D.
Diffrazione da un disco opaco
I risultati trovati per l’apertura circolare di diametro D si applicano anche
per un disco dello stesso diametro. Un principio dovuto a Babinet dice
che con l’esclusione della direzione  = 0 la figura di diffrazione di
Fraunhofer prodotta da un disco opaco di diametro D coincide con quella
di un foro dello stesso diametro. Consideriamo
un’onda piana monocromatica che incide su
un’apertura G di diametro h >>. A grande distanza
sullo schermo non si osserva diffrazione: Il campo EG
e l’intensità sono diversi da zero solo nella direzione 
= 0. Poniamo sull’apertura G un disco opaco A di
diametro h avente al centro un foro circolare di
diametro D. In un punto P visto sotto l’angolo  vi
sarà il campo EA() e l’intensità IA() propor a EA2().
Se invece di A poniamo un disco opaco B di diametro D nello stesso
punto P vi sarà il campo EB() e l’intensità IB() propor a EB2(): la luce
ora raggiunge lo schermo passando attraverso un’apertura anulare
compresa tra raggio D/2 e h/2. Le due aperture foro nel disco A e anello
sono complementari ossia non hanno zone in comune; se sovrapponiamo
i loro effetti è come se ci fosse solo l’apertura G. Per cui:
EG() = EA() + EB(); d’altra parte EG() = 0 per   0 per cui:
EB() = - EA(); IB() = IA() per   0 . Questo risultato, principio di
Babinet dice che, a parte la direzione  = 0, la figura di diff prodotta da
un foro di diametro D coincide con quella prodotta da un disco opaco
dello stesso diametro.
Il calcolo dell’intensità nel punto P può essere fatto
suddividendo il fronte d’onda piano che incide sul
disco in tanti anelli circolari di area S che inviano in P
contributi della stessa ampiezza ΔE. La risultante si
calcola con il metodo dei fasori tenendo conto delle differenze di
percorso. Il risultato mostra che il campo in P è sempre diverso da zero
Limite di risoluzione delle lenti
La figura mostra due sorgenti puntiformi incoerenti S1
ed S2 lontane viste dalla lente sotto l’angolo ; se
>> = 1.22 /D non vi è sovrapposizione tra i due
dischetti che rappresentano le immagini di S1 e S2: le
due sorgenti appiano distinte o risolte. Al diminuire di
 le due figure di diffrazione si sovrappongono e le
due immagini si fondono. Quando S1 e S2 sono viste
dalla lente sotto l’angolo R = 1.22 /D il primo minimo della figura di diff di una sorgente coincide con il
centro del max della seconda: le due sorgenti sono appena risolte; criterio di Rayleigh. L’angolo R = angolo minimo risolvibile;  = 1/ R = D/(1.22 ): potere
risolutivo o separatore della lente. La figura mostra i
casi  > R,curve risolte;  = R, curve appena risolte;
 < R, curve non risolte. Tutti gli strumenti ottici, sia
semplici o complessi come il telescopio, il microscopio
e l’occhio hanno una lente di diametro D e focale f.
Un aspetto importante è la capacità di osservare come distinti due punti
luminosi separati (es. due stelle o due porzioni di una piccola struttura).
Da qui si vede che è la diffrazione (causa ineliminabile dovuta alla natura
ondulatoria della luce) la causa limitante sempre presente anche quando
le aberrazioni geometriche sono state perfettamente corrette.
Potere separatore di un telescopio
Si applica la formula della lente: esso non dipende dalla focale ma solo
dall’apertura D ob. ed aumenta al crescere di essa. L’oculare non limita
il fronte d’onda e quindi non ha effetto. Lo stesso avviene se si ha uno
specchio invece di una lente. Uno dei più grandi telescopi è il Large
Binocular Telescope (USA) costituito da due specchi identici. Ciascuno
ha un diametro di 8 m; con  = 5 10-6 m: R = 7.6 10-8 rad  0.016’’;  =
1/ R = 1.3 107 rad-1. Sia R che  dipendono dalla lunghezza d’onda: le
prestazioni sono peggiori con luce rossa e migliori con luce violetta.
In realtà un telescopio non raggiunge tali valori essendo limitato sia dalle
deformazioni costruttive o indotte dalla gravità sulla qualità della
superficie e sopratutto dall’effetto della turbolenza dell’atmosfera.
Quest’ultimo effetto è dovuto alla variazione casuale dell’indice di
rifrazione dell’aria a causa delle variazioni di densità della stessa.
Potere separatore del microscopio
In questo caso invece della separazione angolare è meglio parlare di
distanza minima s di due punti distinti. I punti siano nel piano focale
anteriore dell’obiettivo e sono visti sotto l’angolo  = s/f; se  = R si ha:
s = f R = 1.22  (f/D) = 0.61 (f/R); tale relazione si può scrivere in
funzione dell’angolo  di accettanza dell’obiettivo: sin = R/f per cui:
s
0.61 0.610

sin 
n sin 
in cui si è messo in evidenza l’indice di rifrazione n del
mezzo contenente l’oggetto. Il prodotto n sin = apertura numerica An
dello strumento. Si ha s  0.61   1  A
: potere risolutivo lineare;
0
An
n
l
s
0.610
un valore possibile di An= 1.4 e con  = 0.55 10-6 m, s = 0.22 m,
ρ = 4.5 107 m-1. Anche in questo caso le prestazioni migliorano in luce
violetta rispetto a luce rossa. Inoltre è conveniente utilizzare un mezzo
tra oggetto ed obiettivo con il più elevato valore di n (obiettivo ad
immersione).
Potere risolutivo dell’occhio (Acuità visiva)
Il diametro della pupilla varia da D = 8 mm a D = 2
mm. Con  = 0.55 10-6 m si ha: 0.84 10-4 rad < R < 3.4
10-4 rad. Nel caso più sfavorevole D = 2 mm la distanza
minima tra due punti distinguibili posti a L = 25 cm
(distanza della visione distinta) è: s = LR = 250 • 3.4
10-4 = 84 m. Con D = 8 mm si trova s = 21 m.
Sperimentalmente si trova che il potere separatore è
vicino a 3 10-4 rad ed s = 75 m: l’occhio non arriva a s = 20 m: ciò è
dovuto alla struttura granulare della retina; essa è costituita da coni e
bastoncelli di dimensioni finite: due punti sono percepiti come distinti
quando le rispettive immagini (dischi di diffrazione) cadono su elementi
distinti del sensore; la situazione è analoga a quella di una camera
fotografica con un sensore a matrice CCD. Non basta che siano separati i
dischi di diffrazione: essi devono avere raggio almeno eguale alla
distanza s’ tra elementi del sensore. In realtà per la visione distinta di due
punti è necessario che le rispettive immagini cadano su due elementi non
adiacenti del sensore.
Esempio
Un’onda luminosa con λ = 0.59 m attraversa una fenditura di larghezza
a. La larghezza dell’immagine della fenditura, osservata sul piano focale
di una lente di distanza focale f = 60 cm è: Δx = 7.5 mm. Calcolare a.
Semilarghezza dell’immagine, distanza
focale e angolo θ a cui si ha il primo minimo
sono dati da: f tgθ = Δx/2 da cui tgθ = 6.25
10-3 . Pertanto tgθ ≈ θ = 6.25 10-3 rad =
0.36o; con m = 1: λ/a = 6.25 10-3; a = 0.094
mm ≈ 159λ . E’ come se per effetto della diffrazione la fenditura fosse
stata ingrandita di 7.5/0.094 = 80. Se volessimo a = Δx si avrebbe a2=2fλ
e con i dati a = 0.84 mm: per tale valore di a pari a circa 1400 λ,
l’immagine è larga quanto la fenditura.
Esempio
Una fenditura rettilinea larga a = 0.05 mm è illuminata con luce bianca
nella quale sono presenti con la stessa intensità tutte le lunghezze d’onda
dal rosso: λR = 0.7m al violetto λV = 0.4 m. La figura di diffrazione si
forma su di uno schermo posto nel piano focale di una lente con f = 50
cm. Calcolare la posizione dei minimi del rosso e del violetto e
descrivere l’immagine della fenditura osservata.
L’angolo a cui si forma il minimo per le due
lunghezze d’onda è: sinθV = λV/a = 0.008 rad ≈ θV;
sinθR = λR/a = 0.014 rad ≈ θR; sullo schermo
corrispondono a: xV = f θV = 4 mm; xR = f θR = 7
mm. Nella figura sono rappresentate le due
intensità. Il centro dell’immagine è bianco perché la posizione del
massimo centrale non dipende dalla lunghezza d’onda; spostandosi dal
centro si ha colorazione di sottrazione tipica dei fenomeni di interferenza
e determinata dal fatto che in ogni punto vi è mancanza di alcuni colori e
presenza più marcata di altri.
Esempio
L’obiettivo di una macchina fotografica di apertura D = 2.5 cm e focale f
= 5 cm è illuminato da una sorgente puntiforme lontana S che emette
luce con λ = 0.55 m. Calcolare le dimensioni dell’immagine sul piano
focale dell’obiettivo.
Siamo sicuramente con λ<< D: l’apertura
angolare 2θ dell’immagine vista dal centro della
lente è: 2θ = 2.44 λ/D = 5.37 10-5 rad.
L’immagine di S è un dischetto di diametro
d = 2 θ f = 2.44 λ f/D = 2.68 m. A causa della diffrazione il fuoco non è
un punto geometrico ma acquista una dimensione piccola ma finita: in
alcune applicazioni non trascurabile. La dimensione del dischetto è tanto
più piccola quanto maggiore è il rapporto D/f (apertura relativa):
nell’esempio D/f = 1/2
Esempio
Determinare quale è la distanza L dall’occhio alla quale di notte
appaiono distinti i fari di un’automobile separati tra loro di s =1.4 m.
Assumiamo D = 2 mm e λ = 0.55 m.
Per effetto della diffrazione l’angolo di risoluzione è: αR = 3.3 10-4 mrad
e quindi: L = s/αR = 4.17 km. Con il valore medio αR = 4 10-4 rad risulta
L = 3.5 km. Se invece fosse αR = 0.84 10-4 rad ( limite per D = 8 mm)
sarebbe L = 16.7 km: un valore certamente non corrispondente
all’esperienza.
Applicazioni alla fotolitografia
La fotolitografia è una tecnica molto utilizzata per la produzione di
circuiti stampati. Da un punto di vista ottico si proietta su un wafer
ricoperto di materiale fotosensibile (fotoresist) l’immagine del circuito
che si vuole produrre codificato in una mask. L’esposizione del fotoresist
provoca in quest’ultimo delle variazioni chimico/fisiche (es.
polimerizzazione) che consentono successivamente di “sciogliere”
selettivamente le parti esposte (non esposte).
Si viene così a creare nel wafer l’immagine della mask.
Come ogni sistema ottico anche il “proiettore” della fotolitografia è
limitato nella sua risoluzione dalla diffrazione per cui vi sarà un limite
alla “finezza” con cui si possono “scrivere” circuiti o parti di essi.
D’altra parte negli ultimi decenni si è assistito ad una sempre crescente
miniaturizzazione dei circuiti per cui vi è l’esigenza di aumentare il più
possibile la risoluzione dei sistemi fotolitografici.
Metodi usati:
1) Utilizzo di lunghezze d’onda sempre più corte: 254 nm (Lampade a
Hg); 193 nm laser ad eccimeri; sviluppo di Extreme Ultraviolet
Lithography: 13.5 nm
2) Utilizzo di un liquido tra l’ultima lente del proiettore ed il wafer:
acqua n = 1.33; altri liquidi n ancora maggiore: Immersion
lithography
3) Utilizzo di obiettivi di proiezione con il più elevato valore di apertura
relativa: R/f (ma ha controindicazione sulla profondità di fuoco)
4) Utilizzo di photoresist con risposta non lineare (ad es. a soglia)
all’intensità di esposizione
5) Uso di phase shifting masks: PSM. La PSM introduce in modo
selettivo nel percorso del fascio un ritardo di fase controllato in modo
da alterare la posizione e l’intensità dei massimi secondari di
diffrazione
Esempio del funzionamento di una PSM:
La figura mostra a sinistra l’immagine di una
mask contenente una serie di striscie “linee”
metalliche e quindi opache. La parte destra
mostra cosa succede quando si è sovrapposta una
striscia trasparente che introduce una differenza
di fase nel cammino ottico di π. Le parti chiare e
scure si invertono. L’utilizzo sapiente di ritardi di fase qualunque può ad
es spostare i massimi secondari di diffrazione o variare la forma del
massimo principale.
Una PSM può essere di due tipi: o a variazione di spessore ottico oppure
utilizzare la variazione di trasparenza della mask stessa.
Esempio di PSM
In questo modo a parità di λ è possibile
aumentare la risoluzione e riuscire a “scrivere”
strutture più piccole del limite dato dalla
diffrazione