Calcolo delle Probabilità
Istituzioni di Matematiche
Scienze Naturali
Sergio Console
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Introduzione
Fenomeno deterministico: se
l’esperimento è condotto nelle
stesse condizioni si trova lo
stesso risultato
Esempi:
•Moto di un grave
•Traiettoria di una pallina in
un biliardo
Fenomeno non deterministico:
anche se gli esperimenti sono
condotti nelle stesse condizioni
si trovano risultati diversi
Esempi:
•Risultato del lancio di una
moneta
•Traiettoria di 100 palline in un
biliardo
•Vincita in una lotteria
•Numero di lanci di un dado per
ottenere un 6
La probabilità si occupa di fenomeni non deterministici
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Spazio campione:
Insieme S di tutti i risultati dell’esperimento
Esempio:
•Nel caso del lancio di una moneta S={Testa, Croce}
•Nel caso dei numeri di lanci di un dado necessari per avere 6
S=N (numeri naturali)
Evento:
Sottoinsieme E di S dato da un insieme di risultati
caratterizzati dal godere di una stessa proprietà
Esempio:
•E={Testa} nel lancio di una moneta
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Esercizi
• Si estrae a caso una carta da un mazzo di 52 carte. Si
descriva lo spazio dei campioni quando (a) i semi non sono presi
in considerazione, (b) solo i semi sono presi in considerazione.
• Supponiamo di estrarre 2 carte da un mazzo di 52 e supponiamo
di essere interessati a che vengano estratti 2 assi. Dire qual è lo
spazio campione S e quale sottoinsieme E di S rappresenti
l’evento cui siamo interessati.
• Essendo di corsa per prendere il treno, Genoveffa prende a caso
2 libri gialli tascabili da uno scaffale che ne contiene 15. Di
questi libri 4 li ha già letti. Rappresentare l’evento: “Geneveffa
prende 2 libri che non ha letto”.
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Evento unione E U F
F
E
EUF
E U F è l’evento che si verifica quando almeno
uno dei due eventi E e F si verificano
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Evento intersezione E ' F
F
E E'F
E ' F è l’evento che si verifica quando entrambi i
due eventi E e F si verificano
Due eventi E e F si dicono incompatibili se E '
F=ø
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Evento complementare Ec
E
Ec
Ec è l’evento che si verifica quando E non si
verifica
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Definizione classica
Probabilità:
regola che a ogni evento E associa un
numero reale compreso tra 0 e 1
p: E
p(E)
Definizioni di probabilità:
Classica
(Pascal)
Se un evento si può verificare in N modi mutuamente
esclusivi ed ugualmente probabili, se m di questi
possiede una caratteristica E, la probabilità di E è il
rapporto tra il numero di casi favorevoli e il
totale dei casi possibili (tutti equiprobabili)
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Esempi
•Nel caso del lancio di una moneta S={Testa, Croce}.
p(Testa)=1/2 (casi favorevoli 1, possibili 2)
•Lanciamo due dadi e calcoliamo la probabilità che la somma
dei punti sia 4
Per semplicità scriviamo i numeri estratti come coppie:
Le coppie di 6 numeri sono 6 * 6= 36 = numero di casi possibili;
I casi favorevoli sono dati dalle coppie (1,3), (2,2) e (3,1) e sono
quindi 3. Pertanto
p(somma 4 in 2 lanci)=3/36=1/12
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Discussione
Problemi della definizione classica:
•non sempre posso dire che eventi sono equiprobabili
(asimmetrie - esempio: ho un dato truccato)
•il numero di casi deve essere finito
Aspetti positivi:
•è una definizione operativa
Definizione
assiomatica
Determinazione
della probabilità
usando il calcolo
combinatorio
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Definizione assiomatica
p(Ac)=1- p(A)
A,B in S
p(AB)= p(A)+ p(B)- p(AB)
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Esercizi
•Una pallina è estratta in modo casuale da un'urna
che contiene 6 palline rosse, 4 bianche e 5
azzurre. Qual è la probabilità di estrarre una
pallina rossa o bianca? Qual è la probabilità di
non estrarre una pallina bianca?
•Estraggo a caso una carta da un mazzo di 52.
Qual è la probabilità estrarre un dieci o una carta
di picche?
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Esercizi
• Qual è la probabilità di fare doppio 2 con una coppia di dadi
non truccati?
• Qual è la probabilità di fare doppio 2 con una coppia di dadi
truccati in modo che nel 50% dei casi esca 6 (e gli altri numeri
siano ugualmente probabili)?
• Qual è la probabilità di totalizzare 4 con una coppia di dadi
non truccati?
• Un impiegato pensa di avere 2 possibilità su 3 di non avere
una promozione, 1 su 2 di avere un aumento e 1 su 4 di avere
entrambi.
Qual è la probabilità che l'impiegato abbia almeno una tra una
promozione e un aumento?
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Definizione frequentistica
(o a posteriori)
Richard von Mises
Si ripete un esperimento N volte e se un evento con una
certa caratteristica E si verifica m volte, la frequenza
relativa di successo è
f(E) dà una stima per la probabilità di E
Problemi della definizione frequentistica:
•In sitazioni concrete il passaggio al limite su cui si basa la
definizione non può essere effettuato
•È necessario ripetere l’esperimento un gran numero di volte
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Definizione soggettiva
(o bayesiana)
Bernoulli, De Finetti
Probabilità: grado di fiducia che una persona ha nel
verificarsi dell’evento=
Prezzo p che si è disposti a pagare per ricevere 1 se
l’evento si verifica e 0 se non si verifica
Esempio: se lancio un dado il prezzo equo per la scommessa
“esce il 4” dipende dalle informazioni di cui si dispone; se il dado non
è truccato si può assumere p=1/6
Problemi della definizione soggettiva:
•Non è operativa
•Una valutazione soggettiva non è necessariamente obiettiva
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Calcolo Combinatorio
Problema: determinare il numero di
elementi di un insieme finito
elenco diretto (lungo!)
Esempio:in un menù ho 3 antipasti, 2 primi, 4 secondi.
Quanti sono i possibili pasti completi (includono tutte le 3
portate - scelte una sola volta)?
Diagramma ad albero
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Diagramma ad albero
S1
S2
P1
S3
A1
S4
P2
A2
P1
P2
P1
A3
3
……….
……….
………..
P2
x
2
x
4 = 24
pasti completi
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“Contare le scelte”
Se gli insiemi A1, A2, …, Ak contengono
n1, n2, …, nk elementi
Ho
N= n1 n2 … nk
modi di scegliere
prima un elemento di A1 , poi un elemento di A2 …
...
infine un elemento di Ak
In particolare: se n1 = n2 =…= nk =n allora
N=nk
= numero delle disposizioni con ripetizione
di n oggetti a gruppi di k
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Disposizioni
= gruppi di oggetti che si possono formare
scegliendo k oggetti tra n oggetti
(I gruppi devono differire per qualche oggetto e per
l’ordine)
Disposizioni con ripetizione: si può ripetere lo stesso oggetto
Esempio:
Determinare e schedine del totocalcio si devono giocare
per essere sicuri di fare 13
Le possibili schedine sono 313=1.594.323
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Disposizioni semplici (senza ripetizione)
di n oggetti tra k (≤n)
D(n,k)
Non si può ripetere lo stesso oggetto
Esempio:
Ad un gran premio di formula 1 partecipano 20 piloti.
I primi tre classificati vanno sul podio..
Quante sono le possibili terne di piloti sul podio?
Il primo classificato può essere un qualunque pilota tra 20,
Il secondo uno qualunque tra i restanti 19, il terzo uno tra 18
Quindi: D(20,3)=20*19*18
In generale: D(n,k)=n*(n-1)*…*(n-k+1)
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Permutazioni
= numero dei modi in cui si possono ordinare n oggetti
P(n) = D(n,n)=n*(n-1)*… 2*1=n!
Esempio:
Quanti anagrammi (non necessariamente di senso
compiuto) si possono formare della parola FOGLI
Ho 5 possibili scelte per la prima lettera, 4 per la seconda, …
1 per la quinta, quindi gli anagrammi sono
P(5)=5*4*3*2*1=5!=120
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Combinazioni
= disposizioni a meno dell’ordine=
gruppi di oggetti che si possono formare scegliendo k
oggetti tra n oggetti
(I gruppi devono differire per qualche oggetto ma non per l’ordine)=
Esempio
Quante squadre di pallacanestro si possono formare con 8
giocatori
Sono le combinazioni di 5 persone scelte tra 8 =
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Esercizi
• In quanti modi 10 persone possono sedersi su una panchina che ha solo 4
posti? (Si risolva l'esercizio due volte, una volta considerando importante l'ordine in
cui si siedono e una no).
• In quanti modi diversi si possono sedere 7 persone in un tavolo rotondo?
• Supponiamo di estrarre per 40 volte una pallina da un'urna contenente
palline numerate da 1 a 365 ( dopo ciascuna estrazione la pallina estratta
viene nuovamente messa nell'urna). Quanti sono i possibili risultati
diversi? Quanti sono i possibili risultati in cui i 40 numeri estratti risultano
tutti diversi tra loro?
• Si deve costituire un comitato di 3 membri, rappresentanti ciascuno gli
studenti, i docenti e il personale amministrativo. Se ci sono 4 candidati per
gli studenti, 3 per i docenti e 2 per il personale amministrativo, si determini
quanti comitati differenti si possono formare.
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Esercizi
• Dovete preparare un dolce, disponete di una cesta con 10 uova di cui ve ne
serviranno solo 2 per l'impasto. Ma vi ricordate che il giorno prima avete
posto in quel cesto 4 uova vecchie di due settimane. Qual è la probabilità di
aver utilizzato almeno un uovo non fresco?
• Intorno ad un tavolo rotondo si dispongono a caso 5 uomini e 5 donne.
Qual è la probabilità che ogni donna sia seduta tra due uomini?
• Qual è la probabilità di fare tre volte 6 lanciando tre volte un dado non
truccato?
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