•
•
•
•
Please show the answers on the FINAL COPY in the SAME ORDER as the
problems
SUGGESTION on questions (4) and (5): start by listing the points you want to
treat, and then treat them one by one.
Please DO NOT exceed 8 pages in the final copy
Please note that during the exam you are NOT allowed to:
use books, notes etc
talk to other students
leave the room
NAME (in CAPITALS): …………………………………………………………
SURNAME (in CAPITALS): ……………………………………………………
C.d.L (e.g. Scienze Statistiche, Economiche e Manageriali, etc.)………………
1) (up to 6 points) Prove the Slutsky Identity
2) (up to 6 points) Given the following utility function:
U (l , c) = lc
where
c is consumption;
l is the amount of time devoted to leisure.
Define h = 16 – l as the amount of time devoted to work (labour supply).
Assuming that the individual earns a hourly wage w and an exogenous income y and that
every unit of consumption costs p, determine:
1. The budget constraint and represent it on the (l,c) space (2 points);
2. The labor supply function (2 points);
3. The indirect utility (2 points).
3) (up to 6 points) Consider the following cost function:
c ( w1 , w2 , q ) = q1+ β α1w1 + α 2 w2 + α 3 w1w2
(
)
with β > 0. Find
1. the supply function (2 points)
2. the conditional input demand functions (2 points);
3. the unconditional input demand functions (2 points).
4) (up to 6 points) Explain and possibly exemplify the issue of the integrability of
demand functions in consumer theory.
5) (up to 6 points) Explain and possibly exemplify different monetary measures of
individual welfare.
•
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SUGGESTION on questions (4) and (5): start by listing the points you want to
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NAME (in CAPITALS): …………………………………………………………
SURNAME (in CAPITALS): ……………………………………………………
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1. (6 punti) Enunciate e provate il Lemma di Hotelling (max 1 pagina).
2. (6 punti) Spiegate le caratteristiche dei beni pubblici e la differenza tra
allocazione individualistica e allocazione efficiente (max 2 pagine).
3. (6 punti) Spiegate che cosa sono le cosiddette Condizioni di Slutsky (Slutsky
Conditions) e la loro relazione con il problema dell’integrabilità delle funzioni di
domanda (max 2 pagine).
4. (6 punti) Un consumatore con funzione di utillità u ( x , y ) = 3ln x + ln y e con
reddito 100 acquista cibo x al prezzo 2 and altri beni y al prezzo 1. In seguito ad
un intervento del Governo il prezzo di x passa da 2 a 1. Calcolate la conseguente
variazione di benessere (scegliete voi una delle misure monetarie studiate).
5. (6 punti) Un agente puo’ scegliere fra due diversi livelli di impegno, e = e0 oppure
e = e1 . Il risultato dell’attivita’ dell’agente puo’ assumere due valori alternativi, R
= 16000, oppure R = 40000. La relazione probabilistica tra l’impegno e il risultato
è rappresentata nella seguente Tabella:
Risultato
Impegno
e0
e1
900
3/4
1/4
3600
1/4
3/4
La funzione di utilita’ dell’agente è U(W,e) = W1/2 – C(e), dove C(e) e’ il costo
dell’impegno, W è il pagamento ricevuto e C(e0) = 0, C(e1) = 2. L’utilità di riserva
dell’agente è U0 = 20. Supponendo che il principale possa osservare l’impegno,
determinate: (a) Il vincolo di partecipazione e il vincolo di compatibilità con gli
incentivi, se il principale vuole indurre l’agente a scegliere e0 ; (b) Il vincolo di
partecipazione e il vincolo di compatibilità con gli incentivi, se il principale vuole
indurre l’agente a scegliere e1 (max 1 pagina).
•
•
•
•
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problems
SUGGESTION on questions (4) and (5): start by listing the points you want to
treat, and then treat them one by one.
Please DO NOT exceed 8 pages in the final copy
Please note that during the exam you are NOT allowed to:
use books, notes etc
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NAME (in CAPITALS): …………………………………………………………
SURNAME (in CAPITALS): ……………………………………………………
C.d.L (e.g. Scienze Statistiche, Economiche e Manageriali, etc.)………………
1. (6 punti) Enunciate e provate il Teorema di Roy (max 1 pagina).
2. (6 punti) Illustrate – eventualmente con un esempio – il problema del moral
hazard (modello principale – agente) (max 2 pagine).
3. (6 punti) Definite e discutete i principali modelli di mercato oligopolistico (max 2
pagine).
4. (6 punti) (max 2 pagine) Una impresa concorrenziale q con funzione di costo
C ( q, x) = q 2 − ax + bx 2 , dove x rappresenta la quantità di emissioni inquinanti.
L’output è acquistato da un consumatore le cui preferenze sono rappresentate
1
2
dalla funzione di utilità U ( q, y , x ) = ln( q) + y − cx 2 , dove y è la spesa in altri beni:
perciò il consumatore è danneggiato dalle emissioni x. Il consumatore dispone del
reddito m. Il prezzo unitario di q è p. Determinate:
a)
L’allocazione Pareto Efficiente
b)
L’allocazione individualistica
1
1
5. (6 punti) (max 2 pagine) Data la funzione di utilità U = 4 x12 + 2 x22 determinate le
quantità ottimali dei due beni e la funzione di utilità indiretta dati i prezzi p1 e p2 e
il reddito M.
Modelli Microeconomici Applicati 1.
(6 punti) Enunciate e provate l’Identità di Slutsky (max 1 pagina). Soluzione : vedere la dispensa per la Lezione 4. 2.
(6 punti) Illustrate il Modello Multinomial Logit (o logistico multinomiale) come approccio alla rappresentazione di decisioni con insiemi‐opportunità discreti (max 1 pagina e 1/2). Soluzione: vedere la dispensa per la Lezione 13. 3.
(6 punti) Definite e discutete i principali modelli per la rappresentazione dei mercati oligopolistici (max 2 pagine).
Soluzione: vedere Lezione 18.
4.
(6 punti) (max 2 pagine) Considerate N individui identici con identico reddito m e funzione di utilità U (G , x ) = α ln(G ) + ln( x ) dove G è la spesa pubblica and x è la spesa privata. Determinate: a. il livello Pareto‐Efficiente di G; b. il livello di G raggiunto in una allocazione individualistica (equilibrio di Nash). Soluzione: vedere il Problema 2 degli esercizi Beni Pubblici. 5. (6 punti) Un agente puo’ scegliere fra due diversi livelli di impegno, e = e0 oppure e = e1. Il risultato dell’attivita’ dell’agente puo’ assumere due valori alternativi, R = 16000, oppure R = 40000. La relazione probabilistica tra l’impegno e il risultato e’ rappresentata nella seguente Tabella: Risultato
15000
30000
Impegno
e0
3/4
1/4
e1
1/4
3/4
L’agente riceve un pagamento W. La funzione di utilita’ dell’agente è U(W,e) = W1/2 – C(e), dove C(e) e’ il costo (la disutilita’) dell’impegno: C(e0) = 0, C(e1) = 4. L’utilità di riserva dell’agente è U0 = 80. Supponendo che il principale possa osservare l’impegno, determinate: (a)Il vincolo di partecipazione e il vincolo di compatibilità con gli incentivi, se il principale vuole indurre l’agente a scegliere e0 ; (b)Il vincolo di partecipazione e il vincolo di compatibilità con gli incentivi, se il principale vuole indurre l’agente a scegliere e1. (max 1 pagina). Soluzione: vedere le pagg. 7‐12 della Lezione 22. Modelli Microeconomici Applicati 1.
(6 punti) Enunciate e provate il Lemma di Hotelling (max 1 pagina).
Soluzione: vedere Lezione 10 con riferimento al testo di Varian.
2.
(6 punti) Esemplificate alcune delle forme funzionali che si possono adottare per la rappresentazione empirica delle funzioni di utilità dirette ed indirette (max 1 pagina e 1/2).
Soluzione: vedere Lezione 12 (non è necessario memorizzare tutte le forme, quanto esemplificare alcune
tipologie e sottolinearne la caratteristiche tipiche, pregi e difetti ecc.).
3.
(6 punti) Spiegate ed eventualmente esemplificate il problema della selezione avversa (max 2 pagine).
Soluzione: vedere Lezione 21 pagg. 1 – 17.
4.
(6 punti) (max 2 pagine) Considerate N individui identici con identico reddito m e funzione di utilità U (G , x ) = α ln(G ) + β ln( x ) dove G è la spesa pubblica and x è la spesa privata. Determinate: a. il livello Pareto‐Efficiente di G; b. il livello di G raggiunto in una allocazione individualistica (equilibrio di Nash). Soluzione: vedere il Problema 2 degli esercizi Beni Pubblici. (6 punti) Un agente puo’ scegliere fra due diversi livelli di impegno, e = e0 oppure e = e1. Il risultato dell’attivita’ dell’agente puo’ assumere due valori alternativi, R = 16000, oppure R = 40000. La relazione probabilistica tra l’impegno e il risultato e’ rappresentata nella seguente Tabella: Risultato
10000
60000
Impegno
e0
5/6
1/6
e1
1/6
5/6
L’agente riceve un pagamento W. La funzione di utilita’ dell’agente è U(W,e) = W1/2 – C(e), dove C(e) e’ il costo (la disutilita’) dell’impegno: C(e0) = 0, C(e1) = 5. L’utilità di riserva dell’agente è U0 = 0. Supponendo che il principale possa osservare l’impegno, determinate: (a)Il vincolo di partecipazione e il vincolo di compatibilità con 5.
gli incentivi, se il principale vuole indurre l’agente a scegliere e0 ; (b)Il vincolo di partecipazione e il vincolo di compatibilità con gli incentivi, se il principale vuole indurre l’agente a scegliere e1. (max 1 pagina). Soluzione: vedere le pagg. 7‐12 della Lezione 22. COGNOME E NOME (STAMPATELLO):……………………………………………………………………………………………. Tempo disponibile: 2 ore Usare esclusivamente i fogli forniti dal Docente Riportare l’intero svolgimento dell’esercizio (non solo le risposte finali) Durante la prova e’ vietato (pena annullamento della prova): o
o
o
o
uscire dall’aula comunicare con altri studenti consultare libri o appunti utilizzare telefoni cellulari Risultati: a partire dalla mattina di Martedì 30 Giugno sulla pagina web del Prof. Colombino seguendo il link Analisi Economica Registrazioni: tutti i Martedì dalle 12.15 alle 13.15 presso il Dipartimento di Economia, via Po 53. 1. (6 punti) Enunciate e provate il teorema di Roy (max 1 pagina). Soluzione −
∂v ( p, m) / ∂pi
= xi ( p, m) i = 1,…,N. ∂v ( p, m) / ∂m
Differenziamo l’identità V(p, e(p,U)) = U, tenendo U costante: ∂v ( p, m) ∂e( p,U ) ∂v ( p, m)
+
=0 ∂pi
∂pi
∂m
Usando il Lemma di Shepard otteniamo: ∂e( p,U )
= hi ( p,U ) = xi ( p, e( p,U ) = xi ( p, m) ∂pi
Quindi: ∂v( p, m)
∂v ( p, m)
∂v ( p, m)
∂pi
+ xi ( p, m)
=0⇒−
= xi ( p, m) . ∂v( p, m)
∂pi
∂m
∂m
2. (6 punti) Spiegate i problemi posti dalle esternalità negative e le possibili soluzioni (max 2 pagine.) Soluzione (traccia) Mostrare che in presenza di esternalità negative l’allocazione PE differisce da quella di mercato o individualistica. Come nelle dispense, questo può essere fatto sia con uno schema generale sia utilizzando semplici esempi. Tre possibili soluzioni. ‐
‐
‐
Imporre (per via amministrativa o politica) l’allocazione PE Tasse di Pigou Creare un mercato per le esternalità Anche nella illustrazione delle soluzioni si può utilizzare uno schema generale oppure esemplificare con casi specifici. 3. (6 punti) Definite e discutete i diversi tipi di discriminazione del prezzo da parte di un monopolista (max 2 pagine). Soluzione (traccia) La soluzione standard di massimo profitto per il monopolista (prezzo unico uguale per tutti i consumatori) lascia un residuo di surplus ai consumatori. Il monopolista può cercare di estrarre (parte di) questo surplus residuo attraverso la discriminazione del prezzo. Tre tipi: Primo tipo (prezzi diversi per diverse unità del bene e diversi consumatori) Secondo tipo (prezzi uguali per tutti i consumatori ma diversi per diverse unità del bene) Terzo tipo (prezzi diversi per diversi consumatori ma uguali per tutte le unità del bene) Il primo e terzo tipo sono facili da definire. Il secondo in generale è molto complicato: nelle dispense viene esaminato il caso della tariffa in due parti. Il primo tipo di discriminazione conduce ad una allocazione PE, gli altri due in generale no. La possibilità di usare queste forme di discriminazione, e quale di esse, dipende essenzialmente dalle informazioni (utilizzabili da parte dei monopolista) sulla disponibilità a pagare dei consumatori. 4. (6 punti) Considerate la funzione di utilità U ( x1 , x2 ) = x1 + 6 ln x2 , il reddito m = 18 e i prezzi p1 = 1, p2 = 2 , determinate (max 1 pagina e ½ ): •
Il consumo ottimale dei due beni •
La corrispondente utilità monetaria indiretta (indirect money‐metric utility) usando come prezzi di riferimento p1 = 1, p2 = 1 . Soluzione Conviene prima ottenere una soluzione generica in funzione dei prezzi p1 , p2 e del reddito m. Allora otteniamo x1 =
m − 6 p1
p
, x2 = 6 1 . Sostituendo le funzioni di domanda nella funzione di utilità p1
p2
⎛ p ⎞
m
− 6 + 6ln ⎜ 6 1 ⎟
p1
⎝ p2 ⎠
⎡
⎛ p ⎞ ⎤
e( p1 , p2 ,U ) = p1 ⎢U − 6ln ⎜ 6 1 ⎟ + 6 ⎥
⎝ p2 ⎠ ⎦
⎣
V ( p1 , p2 , m) =
In generale, l’utilità monetaria indiretta è e(q1 , q2 ,V ( p1 , p2 , m)) = μ (q1 , q2 ; p1 , p2 , m) . Quindi nel nostro caso: ⎡m
⎛ p ⎞
⎛ q ⎞ ⎤
− 6 + 6ln ⎜ 6 1 ⎟ − 6ln ⎜ 6 1 ⎟ + 6 ⎥ . Sostituendo ⎝ p2 ⎠
⎝ q2 ⎠ ⎦
⎣ p1
p1 = 1, p2 = 2, m = 18, q1 = 1, q2 = 1 otteniamo: μ (q1 , q2 ; p1 , p2 , m) = q1 ⎢
μ (1,1;1, 2,18) = 18 − 6 ln 2. 5. (6 punti) Sia C ( w, q ) = q1+ c ⎡ a w1w2 + b w2 w1 ⎤ la funzione di costo di una impresa ⎣
⎦
concorrenziale, dove q rappresenta il livello di output e w1 e w2 rappresentano i prezzi degli input. Determinate (max 1 pagina e ½): •
Le funzioni di domanda condizionate degli input •
La funzione di offerta dell’output. Soluzione Applicando il Lemma di Shepard otteniamo le funzioni di domanda condizionate. 1
z1 ( w, q ) = q1+ c ( a + b ) w2 w1
2
1 1+ c
z2 ( w, q ) = q ( a + b ) w1 w2
2
La funzione di offerta si può ottenere uguagliando il costo marginale al prezzo dell’output. MC ( w, q) = (1 + c ) q c ( a + b ) w1w2 (1 + c ) q ( a + b )
c
1
c
−
1
w1w2 = p ⇒ q = p ⎡⎣(1 + c )( a + b ) w1w2 ⎤⎦ c Modelli Microeconomici Applicati
1. 6 punti) Dimostrate che la funzione di spesa del consumatore è concava rispetto ai prezzi (max 1
pagina).
Soluzione: vedi la dimostrazione nella dispensa Roy, Shephard and Slutsky.
2. (6 punti) Illustrate il problema della selezione avversa usando il modello introdotto da Akerlof
(Market for Lemons) (max 1 pagina e 1/2).
Soluzione: una traccia è offerta dagli esempi trattati nella dispensa Adverse Selection .
3. (6 punti) Definite e discutete i diversi tipi di discriminazione del prezzo in un mercato
monopolistico (max 2 pagine).
Soluzione: vedi la dispensa Monopoly.
4. (6 punti) (max 2 pagine) Una impresa concorrenziale q con funzione di costo
1
C ( q, x ) = q 2 − ax + bx 2 , dove x rappresenta la quantità di emissioni inquinanti. L’output è
2
acquistato da un consumatore le cui preferenze sono rappresentate dalla funzione di utilità
U ( q , y , x ) = ln( q ) + y − cx 2 , dove y è la spesa in altri beni: perciò il consumatore è danneggiato dalle
emissioni x. Il consumatore dispone del reddito m. Il prezzo unitario di q è p. Determinate:
a)
L’allocazione Pareto Efficiente
b)
L’allocazione individualistica
Soluzione: vedi il Problema 2 degli esercizi delle esternalità.
5. (6 punti) Un consumatore con reddito m acquista cibo x al prezzo p and altri beni y al prezzo q. La sua
funzione di utilità è: u ( x , y ) = 3 ln x + ln y. Il consumatore possiede buoni-cibo che gli permettono di
avere gratuitamente X unità di cibo: se vuole più di X unità le deve pagare al prezzo unitario p. I
buoni sono personali e non possono essere venduti. Determinate la funzione di domanda di x.
Soluzione: vedi il Probema 1 degli esercizi per la Lezione Extensions and Applications II.
1. (6 punti) Dimostrate il Lemma di Shephard (max 1 pagina).
Soluzione: vedi la dimostrazione nella Lezione 3.
2.
(6 punti) Illustrate il problema della selezione avversa usando il modello introdotto da Akerlof (Market
for Lemons) (max 1 pagina e 1/2).
Soluzione: una traccia è offerta dagli esempi trattati nella Lezione 21.
3. (6 punti) Definite e discutete i diversi tipi di discriminazione del prezzo in un mercato
monopolistico (max 2 pagine).
Soluzione: vedi la seconda parte della Lezione 17.
4. (6 punti) (max 2 pagine) Una impresa concorrenziale q con funzione di costo
C ( q , x ) = q 2 − ax + bx 2 , dove x rappresenta la quantità di emissioni inquinanti. L’output è
acquistato da un consumatore le cui preferenze sono rappresentate dalla funzione di utilità
1
U ( q, y , x ) = ln( q ) + y − cx 2 , dove y è la spesa in altri beni: perciò il consumatore è
2
danneggiato dalle emissioni x. Il consumatore dispone del reddito m. Il prezzo unitario di q è
p. Determinate:
c)
L’allocazione Pareto Efficiente
d)
L’allocazione individualistica
Soluzione: vedi il Problema 2 degli esercizi delle esternalità.
5. (6 punti) Un consumatore con reddito m acquista cibo x al prezzo p and altri beni y al prezzo q.
La sua funzione di utilità è: u ( x , y ) = ln x + 2 ln y. Il consumatore possiede buoni-cibo che gli
permettono di avere gratuitamente K unità di cibo: se vuole più di X unità le deve pagare al
prezzo unitario p. I buoni sono personali e non possono essere venduti. Determinate la funzione
di domanda di x.
Soluzione: vedi il Probema 4 degli esercizi per le Lezioni 6 e 7.
Modelli Microeconomici Applicati
COGNOME E NOME (STAMPATELLO):
……………………………………………………………
Tempo disponibile: 2 ore
Usare esclusivamente i fogli forniti dal Docente
Riportare l’intero svolgimento dell’esercizio (non solo le risposte finali)
Durante la prova e’ vietato (pena annullamento della prova):
o
o
o
o
uscire dall’aula
comunicare con altri studenti
consultare libri o appunti
utilizzare telefoni cellulari
1. (6 punti) Enunciate e provate il Teorema di Roy (max 1 pagina).
2.
(6 punti) Spiegate – eventualmente con un esempio – il modello principale-agente (max 2 pagine).
3. (6 punti) Spiegate le caratteristiche dei modelli di scelta discreta (max 2 pagine).
4. (6 punti) Data la funzione di utilità U = ln( x1 ) + ln( x2 ) determinate le quantità ottimali dei due beni
e la funzione di utilità indiretta dati i prezzi p1 e p2 e il reddito M (max 1 pagina).
5. (6 punti) (max 2 pagine) Illustrate, eventualmente con un esempio, il problema posto dalle
esternalità negative e quali politiche si possono adottare per risolverlo.
Modelli Microeconomici Applicati
COGNOME E NOME (STAMPATELLO): ……………………………………………………………
Tempo disponibile: 2 ore
Usare esclusivamente i fogli forniti dal Docente
Riportare l’intero svolgimento dell’esercizio (non solo le risposte finali)
Durante la prova e’ vietato (pena annullamento della prova):
o
o
o
o
uscire dall’aula
comunicare con altri studenti
consultare libri o appunti
utilizzare telefoni cellulari
1.
(6 punti) Dimostrate che la funzione di spesa del consumatore è concava rispetto ai prezzi (max 1
pagina).
2. (6 punti) Spiegate ed eventualmente illustrate con un esempio la divergenza tra soluzione
decentrata e soluzione ottimale in presenza di un bene pubblco (max 2 pagine).
3. (6 punti) Spiegate che cosa sono e a che cosa servono le cosiddette condizioni di Slutsky.
4. (6 punti) (max 2 pagine) Un consumatore con funzione di utillità u ( x , y ) = ln x + ln y e con reddito
1000 acquista cibo x al prezzo 4 and altri beni y al prezzo 1. In seguito ad un intervento del Governo
il prezzo di x passa da 2 a 5. Calcolate: (a) la Variazione Equivalente; (b) La Variazione
Compensativa.
5. (6 punti) (max 2 pagine) Data la funzione di utilità U = ln( x1 − α1 ) + ln( x2 − α 2 ) determinate le
quantità ottimali dei due beni e la funzione di utilità indiretta dati i prezzi p1 e p2 e il reddito M.
Modelli Microeconomici Applicati
COGNOME E NOME (STAMPATELLO):
……………………………………………………………
Tempo disponibile: 2 ore
Usare esclusivamente i fogli forniti dal Docente
Riportare l’intero svolgimento dell’esercizio (non solo le risposte finali)
Durante la prova e’ vietato (pena annullamento della prova):
o
o
o
o
uscire dall’aula
comunicare con altri studenti
consultare libri o appunti
utilizzare telefoni cellulari
1. (6 punti) Enunciate e provate l’Identità di Slutsky (max 1 pagina).
2.
(6 punti) Spiegate il problema della selezione avversa (max 2 pagine).
3. (6 punti) Definite la Variazione Equivalente e la Variazione Compensativa. Spiegate a che cosa
servono e in che cosa differiscono (max 2 pagine).
4. (6 punti) Data la funzione di spesa e( p,U ) = U p1 p2 ricavate: (a) la funzione indiretta di utilità;
(b) le funzioni marshalliane di domanda del bene 1 e del bene 2 (max 1 pagina).
5. (6 punti) (max 2 pagine) Sia data la funzione di utilità U ( L, C ) = α ln L + (1 − α ) ln C , dove L =
tempo libero (leisure) e C = reddito disponibile. Indicando con w il salario orario e con M il reddito
esogeno, ricavate la funzione di offerta di lavoro.
Modelli Microeconomici Applicati 1.
(6 punti) Enunciate e provate l’Identità di Slutsky (max 1 pagina). Soluzione : vedere la dispensa per la Lezione 4. 2.
(6 punti) Illustrate il Modello Multinomial Logit (o logistico multinomiale) come approccio alla rappresentazione di decisioni con insiemi‐opportunità discreti (max 1 pagina e 1/2). Soluzione: vedere la dispensa per la Lezione 13. 3.
(6 punti) Definite e discutete i principali modelli per la rappresentazione dei mercati oligopolistici (max 2 pagine).
Soluzione: vedere Lezione 18.
4.
(6 punti) (max 2 pagine) Considerate N individui identici con identico reddito m e funzione di utilità U (G , x ) = α ln(G ) + ln( x ) dove G è la spesa pubblica and x è la spesa privata. Determinate: a. il livello Pareto‐Efficiente di G; b. il livello di G raggiunto in una allocazione individualistica (equilibrio di Nash). Soluzione: vedere il Problema 2 degli esercizi Beni Pubblici. 5. (6 punti) Un agente puo’ scegliere fra due diversi livelli di impegno, e = e0 oppure e = e1. Il risultato dell’attivita’ dell’agente puo’ assumere due valori alternativi, R = 16000, oppure R = 40000. La relazione probabilistica tra l’impegno e il risultato e’ rappresentata nella seguente Tabella: Risultato
15000
30000
Impegno
e0
3/4
1/4
e1
1/4
3/4
L’agente riceve un pagamento W. La funzione di utilita’ dell’agente è U(W,e) = W1/2 – C(e), dove C(e) e’ il costo (la disutilita’) dell’impegno: C(e0) = 0, C(e1) = 4. L’utilità di riserva dell’agente è U0 = 80. Supponendo che il principale possa osservare l’impegno, determinate: (a)Il vincolo di partecipazione e il vincolo di compatibilità con gli incentivi, se il principale vuole indurre l’agente a scegliere e0 ; (b)Il vincolo di partecipazione e il vincolo di compatibilità con gli incentivi, se il principale vuole indurre l’agente a scegliere e1. (max 1 pagina). Soluzione: vedere le pagg. 7‐12 della Lezione 22. Modelli Microeconomici Applicati 1.
(6 punti) Enunciate e provate il Lemma di Hotelling (max 1 pagina).
Soluzione: vedere Lezione 10 con riferimento al testo di Varian.
2.
(6 punti) Esemplificate alcune delle forme funzionali che si possono adottare per la rappresentazione empirica delle funzioni di utilità dirette ed indirette (max 1 pagina e 1/2).
Soluzione: vedere Lezione 12 (non è necessario memorizzare tutte le forme, quanto esemplificare alcune
tipologie e sottolinearne la caratteristiche tipiche, pregi e difetti ecc.).
3.
(6 punti) Spiegate ed eventualmente esemplificate il problema della selezione avversa (max 2 pagine).
Soluzione: vedere Lezione 21 pagg. 1 – 17.
4.
(6 punti) (max 2 pagine) Considerate N individui identici con identico reddito m e funzione di utilità U (G , x ) = α ln(G ) + β ln( x ) dove G è la spesa pubblica and x è la spesa privata. Determinate: a. il livello Pareto‐Efficiente di G; b. il livello di G raggiunto in una allocazione individualistica (equilibrio di Nash). Soluzione: vedere il Problema 2 degli esercizi Beni Pubblici. (6 punti) Un agente puo’ scegliere fra due diversi livelli di impegno, e = e0 oppure e = e1. Il risultato dell’attivita’ dell’agente puo’ assumere due valori alternativi, R = 16000, oppure R = 40000. La relazione probabilistica tra l’impegno e il risultato e’ rappresentata nella seguente Tabella: Risultato
10000
60000
Impegno
e0
5/6
1/6
e1
1/6
5/6
L’agente riceve un pagamento W. La funzione di utilita’ dell’agente è U(W,e) = W1/2 – C(e), dove C(e) e’ il costo (la disutilita’) dell’impegno: C(e0) = 0, C(e1) = 5. L’utilità di riserva dell’agente è U0 = 0. Supponendo che il principale possa osservare l’impegno, determinate: (a)Il vincolo di partecipazione e il vincolo di compatibilità con 5.
gli incentivi, se il principale vuole indurre l’agente a scegliere e0 ; (b)Il vincolo di partecipazione e il vincolo di compatibilità con gli incentivi, se il principale vuole indurre l’agente a scegliere e1. (max 1 pagina). Soluzione: vedere le pagg. 7‐12 della Lezione 22. COGNOME E NOME (STAMPATELLO):……………………………………………………………………………………………. Tempo disponibile: 2 ore Usare esclusivamente i fogli forniti dal Docente Riportare l’intero svolgimento dell’esercizio (non solo le risposte finali) Durante la prova e’ vietato (pena annullamento della prova): o
o
o
o
uscire dall’aula comunicare con altri studenti consultare libri o appunti utilizzare telefoni cellulari Risultati: a partire dalla mattina di Martedì 30 Giugno sulla pagina web del Prof. Colombino seguendo il link Analisi Economica Registrazioni: tutti i Martedì dalle 12.15 alle 13.15 presso il Dipartimento di Economia, via Po 53. 1. (6 punti) Enunciate e provate il teorema di Roy (max 1 pagina). Soluzione −
∂v ( p, m) / ∂pi
= xi ( p, m) i = 1,…,N. ∂v ( p, m) / ∂m
Differenziamo l’identità V(p, e(p,U)) = U, tenendo U costante: ∂v ( p, m) ∂e( p,U ) ∂v ( p, m)
+
=0 ∂pi
∂pi
∂m
Usando il Lemma di Shepard otteniamo: ∂e( p,U )
= hi ( p,U ) = xi ( p, e( p,U ) = xi ( p, m) ∂pi
Quindi: ∂v( p, m)
∂v ( p, m)
∂v ( p, m)
∂pi
+ xi ( p, m)
=0⇒−
= xi ( p, m) . ∂v( p, m)
∂pi
∂m
∂m
2. (6 punti) Spiegate i problemi posti dalle esternalità negative e le possibili soluzioni (max 2 pagine.) Soluzione (traccia) Mostrare che in presenza di esternalità negative l’allocazione PE differisce da quella di mercato o individualistica. Come nelle dispense, questo può essere fatto sia con uno schema generale sia utilizzando semplici esempi. Tre possibili soluzioni. ‐
‐
‐
Imporre (per via amministrativa o politica) l’allocazione PE Tasse di Pigou Creare un mercato per le esternalità Anche nella illustrazione delle soluzioni si può utilizzare uno schema generale oppure esemplificare con casi specifici. 3. (6 punti) Definite e discutete i diversi tipi di discriminazione del prezzo da parte di un monopolista (max 2 pagine). Soluzione (traccia) La soluzione standard di massimo profitto per il monopolista (prezzo unico uguale per tutti i consumatori) lascia un residuo di surplus ai consumatori. Il monopolista può cercare di estrarre (parte di) questo surplus residuo attraverso la discriminazione del prezzo. Tre tipi: Primo tipo (prezzi diversi per diverse unità del bene e diversi consumatori) Secondo tipo (prezzi uguali per tutti i consumatori ma diversi per diverse unità del bene) Terzo tipo (prezzi diversi per diversi consumatori ma uguali per tutte le unità del bene) Il primo e terzo tipo sono facili da definire. Il secondo in generale è molto complicato: nelle dispense viene esaminato il caso della tariffa in due parti. Il primo tipo di discriminazione conduce ad una allocazione PE, gli altri due in generale no. La possibilità di usare queste forme di discriminazione, e quale di esse, dipende essenzialmente dalle informazioni (utilizzabili da parte dei monopolista) sulla disponibilità a pagare dei consumatori. 4. (6 punti) Considerate la funzione di utilità U ( x1 , x2 ) = x1 + 6 ln x2 , il reddito m = 18 e i prezzi p1 = 1, p2 = 2 , determinate (max 1 pagina e ½ ): •
Il consumo ottimale dei due beni •
La corrispondente utilità monetaria indiretta (indirect money‐metric utility) usando come prezzi di riferimento p1 = 1, p2 = 1 . Soluzione Conviene prima ottenere una soluzione generica in funzione dei prezzi p1 , p2 e del reddito m. Allora otteniamo x1 =
m − 6 p1
p
, x2 = 6 1 . Sostituendo le funzioni di domanda nella funzione di utilità p1
p2
⎛ p ⎞
m
− 6 + 6ln ⎜ 6 1 ⎟
p1
⎝ p2 ⎠
⎡
⎛ p ⎞ ⎤
e( p1 , p2 ,U ) = p1 ⎢U − 6ln ⎜ 6 1 ⎟ + 6 ⎥
⎝ p2 ⎠ ⎦
⎣
V ( p1 , p2 , m) =
In generale, l’utilità monetaria indiretta è e(q1 , q2 ,V ( p1 , p2 , m)) = μ (q1 , q2 ; p1 , p2 , m) . Quindi nel nostro caso: ⎡m
⎛ p ⎞
⎛ q ⎞ ⎤
− 6 + 6ln ⎜ 6 1 ⎟ − 6ln ⎜ 6 1 ⎟ + 6 ⎥ . Sostituendo ⎝ p2 ⎠
⎝ q2 ⎠ ⎦
⎣ p1
p1 = 1, p2 = 2, m = 18, q1 = 1, q2 = 1 otteniamo: μ (q1 , q2 ; p1 , p2 , m) = q1 ⎢
μ (1,1;1, 2,18) = 18 − 6 ln 2. 5. (6 punti) Sia C ( w, q ) = q1+ c ⎡ a w1w2 + b w2 w1 ⎤ la funzione di costo di una impresa ⎣
⎦
concorrenziale, dove q rappresenta il livello di output e w1 e w2 rappresentano i prezzi degli input. Determinate (max 1 pagina e ½): •
Le funzioni di domanda condizionate degli input •
La funzione di offerta dell’output. Soluzione Applicando il Lemma di Shepard otteniamo le funzioni di domanda condizionate. 1
z1 ( w, q ) = q1+ c ( a + b ) w2 w1
2
1 1+ c
z2 ( w, q ) = q ( a + b ) w1 w2
2
La funzione di offerta si può ottenere uguagliando il costo marginale al prezzo dell’output. MC ( w, q) = (1 + c ) q c ( a + b ) w1w2 (1 + c ) q ( a + b )
c
1
c
−
1
w1w2 = p ⇒ q = p ⎡⎣(1 + c )( a + b ) w1w2 ⎤⎦ c 1.
(6 punti) Enunciate e provate l’Identità di Slutsky (max 1 pagina).
Soluzione : vedere la dispensa Roy, Shephard and Slutsky.
2.
(6 punti) Illustrate il Modello Multinomial Logit (o logistico multinomiale) come approccio alla
rappresentazione di decisioni con insiemi-opportunità discreti (max 1 pagina e 1/2).
Soluzione: vedere la dispensa Discrete Opportunity Sets.
1.
(6 punti) Definite e discutete i principali modelli per la rappresentazione dei mercati oligopolistici (max 2
pagine).
Soluzione: vedere La dispensa Monopoly.
2.
(6 punti) (max 2 pagine) Considerate N individui identici con identico reddito m e funzione di utilità
U (G , x ) = α ln(G ) + ln( x ) dove G è la spesa pubblica and x è la spesa privata. Determinate:
a. il livello Pareto-Efficiente di G;
b. il livello di G raggiunto in una allocazione individualistica (equilibrio di Nash).
Soluzione: vedere il Problema 1 degli esercizi Public Goods.
5. (6 punti) Un agente puo’ scegliere fra due diversi livelli di impegno, e = e0 oppure e = e1. Il risultato
dell’attivita’ dell’agente puo’ assumere due valori alternativi, R = 16000, oppure R = 40000. La relazione
probabilistica tra l’impegno e il risultato e’ rappresentata nella seguente Tabella:
Risultato
15000
30000
Impegno
e0
3/4
1/4
e1
1/4
3/4
L’agente riceve un pagamento W. La funzione di utilita’ dell’agente è U(W,e) = W1/2 – C(e), dove C(e) e’ il
costo (la disutilita’) dell’impegno: C(e0) = 0, C(e1) = 4. L’utilità di riserva dell’agente è U0 = 80. Supponendo che il
principale possa osservare l’impegno, determinate: (a)Il vincolo di partecipazione e il vincolo di compatibilità con
gli incentivi, se il principale vuole indurre l’agente a scegliere e0 ; (b)Il vincolo di partecipazione e il vincolo di
compatibilità con gli incentivi, se il principale vuole indurre l’agente a scegliere e1. (max 1 pagina).
Soluzione: vedere il problema 1 degli esercizi Moral Hazard.
Modelli Microeconomici Applicati
1. 6 punti) Dimostrate che la funzione di spesa del consumatore è concava rispetto ai prezzi (max 1
pagina).
Soluzione: vedi la dimostrazione nella dispensa Roy, Shephard and Slutsky.
2. (6 punti) Illustrate il problema della selezione avversa usando il modello introdotto da Akerlof
(Market for Lemons) (max 1 pagina e 1/2).
Soluzione: una traccia è offerta dagli esempi trattati nella dispensa Adverse Selection .
3. (6 punti) Definite e discutete i diversi tipi di discriminazione del prezzo in un mercato
monopolistico (max 2 pagine).
Soluzione: vedi la dispensa Monopoly.
4. (6 punti) (max 2 pagine) Una impresa concorrenziale q con funzione di costo
1
C ( q, x ) = q 2 − ax + bx 2 , dove x rappresenta la quantità di emissioni inquinanti. L’output è
2
acquistato da un consumatore le cui preferenze sono rappresentate dalla funzione di utilità
U ( q , y , x ) = ln( q ) + y − cx 2 , dove y è la spesa in altri beni: perciò il consumatore è danneggiato dalle
emissioni x. Il consumatore dispone del reddito m. Il prezzo unitario di q è p. Determinate:
a)
L’allocazione Pareto Efficiente
b)
L’allocazione individualistica
Soluzione: vedi il Problema 2 degli esercizi delle esternalità.
5. (6 punti) Un consumatore con reddito m acquista cibo x al prezzo p and altri beni y al prezzo q. La sua
funzione di utilità è: u ( x , y ) = 3 ln x + ln y. Il consumatore possiede buoni-cibo che gli permettono di
avere gratuitamente X unità di cibo: se vuole più di X unità le deve pagare al prezzo unitario p. I
buoni sono personali e non possono essere venduti. Determinate la funzione di domanda di x.
Soluzione: vedi il Probema 1 degli esercizi per la Lezione Extensions and Applications II.
1. (6 punti) Dimostrate il Lemma di Shephard (max 1 pagina).
Soluzione: vedi la dimostrazione nella Lezione 3.
2.
(6 punti) Illustrate il problema della selezione avversa usando il modello introdotto da Akerlof (Market
for Lemons) (max 1 pagina e 1/2).
Soluzione: una traccia è offerta dagli esempi trattati nella Lezione 21.
3. (6 punti) Definite e discutete i diversi tipi di discriminazione del prezzo in un mercato
monopolistico (max 2 pagine).
Soluzione: vedi la seconda parte della Lezione 17.
4. (6 punti) (max 2 pagine) Una impresa concorrenziale q con funzione di costo
C ( q , x ) = q 2 − ax + bx 2 , dove x rappresenta la quantità di emissioni inquinanti. L’output è
acquistato da un consumatore le cui preferenze sono rappresentate dalla funzione di utilità
1
U ( q, y , x ) = ln( q ) + y − cx 2 , dove y è la spesa in altri beni: perciò il consumatore è
2
danneggiato dalle emissioni x. Il consumatore dispone del reddito m. Il prezzo unitario di q è
p. Determinate:
c)
L’allocazione Pareto Efficiente
d)
L’allocazione individualistica
Soluzione: vedi il Problema 2 degli esercizi delle esternalità.
5. (6 punti) Un consumatore con reddito m acquista cibo x al prezzo p and altri beni y al prezzo q.
La sua funzione di utilità è: u ( x , y ) = ln x + 2 ln y. Il consumatore possiede buoni-cibo che gli
permettono di avere gratuitamente K unità di cibo: se vuole più di X unità le deve pagare al
prezzo unitario p. I buoni sono personali e non possono essere venduti. Determinate la funzione
di domanda di x.
Soluzione: vedi il Probema 4 degli esercizi per le Lezioni 6 e 7.
Modelli Microeconomici Applicati
COGNOME E NOME (STAMPATELLO):
……………………………………………………………
Tempo disponibile: 2 ore
Usare esclusivamente i fogli forniti dal Docente
Riportare l’intero svolgimento dell’esercizio (non solo le risposte finali)
Durante la prova e’ vietato (pena annullamento della prova):
o
o
o
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uscire dall’aula
comunicare con altri studenti
consultare libri o appunti
utilizzare telefoni cellulari
1. (6 punti) Enunciate e provate il Teorema di Roy (max 1 pagina).
2.
(6 punti) Spiegate – eventualmente con un esempio – il modello principale-agente (max 2 pagine).
3. (6 punti) Spiegate le caratteristiche dei modelli di scelta discreta (max 2 pagine).
4. (6 punti) Data la funzione di utilità U = ln( x1 ) + ln( x2 ) determinate le quantità ottimali dei due beni
e la funzione di utilità indiretta dati i prezzi p1 e p2 e il reddito M (max 1 pagina).
5. (6 punti) (max 2 pagine) Illustrate, eventualmente con un esempio, il problema posto dalle
esternalità negative e quali politiche si possono adottare per risolverlo.
Modelli Microeconomici Applicati
COGNOME E NOME (STAMPATELLO): ……………………………………………………………
Tempo disponibile: 2 ore
Usare esclusivamente i fogli forniti dal Docente
Riportare l’intero svolgimento dell’esercizio (non solo le risposte finali)
Durante la prova e’ vietato (pena annullamento della prova):
o
o
o
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consultare libri o appunti
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1.
(6 punti) Dimostrate che la funzione di spesa del consumatore è concava rispetto ai prezzi (max 1
pagina).
2. (6 punti) Spiegate ed eventualmente illustrate con un esempio la divergenza tra soluzione
decentrata e soluzione ottimale in presenza di un bene pubblco (max 2 pagine).
3. (6 punti) Spiegate che cosa sono e a che cosa servono le cosiddette condizioni di Slutsky.
4. (6 punti) (max 2 pagine) Un consumatore con funzione di utillità u ( x , y ) = ln x + ln y e con reddito
1000 acquista cibo x al prezzo 4 and altri beni y al prezzo 1. In seguito ad un intervento del Governo
il prezzo di x passa da 2 a 5. Calcolate: (a) la Variazione Equivalente; (b) La Variazione
Compensativa.
5. (6 punti) (max 2 pagine) Data la funzione di utilità U = ln( x1 − α1 ) + ln( x2 − α 2 ) determinate le
quantità ottimali dei due beni e la funzione di utilità indiretta dati i prezzi p1 e p2 e il reddito M.
Modelli Microeconomici Applicati
COGNOME E NOME (STAMPATELLO):
……………………………………………………………
Tempo disponibile: 2 ore
Usare esclusivamente i fogli forniti dal Docente
Riportare l’intero svolgimento dell’esercizio (non solo le risposte finali)
Durante la prova e’ vietato (pena annullamento della prova):
o
o
o
o
uscire dall’aula
comunicare con altri studenti
consultare libri o appunti
utilizzare telefoni cellulari
1. (6 punti) Enunciate e provate l’Identità di Slutsky (max 1 pagina).
2.
(6 punti) Spiegate il problema della selezione avversa (max 2 pagine).
3. (6 punti) Definite la Variazione Equivalente e la Variazione Compensativa. Spiegate a che cosa
servono e in che cosa differiscono (max 2 pagine).
4. (6 punti) Data la funzione di spesa e( p,U ) = U p1 p2 ricavate: (a) la funzione indiretta di utilità;
(b) le funzioni marshalliane di domanda del bene 1 e del bene 2 (max 1 pagina).
5. (6 punti) (max 2 pagine) Sia data la funzione di utilità U ( L, C ) = α ln L + (1 − α ) ln C , dove L =
tempo libero (leisure) e C = reddito disponibile. Indicando con w il salario orario e con M il reddito
esogeno, ricavate la funzione di offerta di lavoro.