Il moto ondulatorio
Un'onda è una perturbazione che si propaga
attraverso lo spazio trasportando energia e non
materia.
Fatta
eccezione
per
le
onde
elettromagnetiche, che possono propagarsi anche nel
vuoto, le onde esistono in un mezzo (che per
deformazione è in grado di produrre forze elastiche
di ritorno). Attraverso di esso, queste possono
viaggiare e trasferire energia da un punto all'altro,
senza che alcuna particella del mezzo venga dislocata
permanentemente: non esiste, quindi, un trasporto di
massa associato, ogni punto oscilla attorno a una
posizione fissa.
Il moto ondulatorio
Onda superficiale nell’acqua.
Il moto ondulatorio
Un moto si dice periodico quando, dopo uguali intervalli di
tempo, assume di nuovo lo stesso stato.
In un moto periodico, lo spostamento, la velocità e
l’accelerazione sono funzioni periodiche del tempo e
quindi espresse da una funzione del tipo:
f (t) = f (t + T)
dove T è il periodo.
In base ad un teorema stabilito da Fourier, qualsiasi
funzione periodica può essere espressa come somma di
funzioni seno o coseno. Quindi, tutti i problemi in cui
intervengono funzioni periodiche anche complesse,
possono essere ridotti allo studio di grandezze variabili
sinusoidalmente, che sono particolarmente semplici.
Il moto ondulatorio
In particolare, si dice che un corpo puntiforme compie
un’oscillazione o una vibrazione quando percorre
avanti e indietro, con moto periodico, una traiettoria
prestabilita.
Ad esempio, un corpo, soggetto solo a forze elastiche,
può generare delle oscillazioni armoniche.
Quando la deformazione del mezzo materiale è
sufficientemente piccola, ovvero non supera i limiti di
elasticità, genera delle reazioni interne proporzionali e
dirette in senso opposto alla deformazione stessa, che
tendono a riportare le particelle del mezzo materiale
nella configurazione di equilibrio. La posizione di
equilibrio viene superata e si originano forze di richiamo
di senso opposto e così via.
Il moto ondulatorio
Si dice allora che le particelle compiono delle vibrazioni
elastiche attorno alla propria posizione di equilibrio,
vibrazioni che possono essere considerate in prima
approssimazione armoniche e che quindi possono essere
descritte dall’equazione:
 2

s  Asen
t  
 T

s indica la coordinata che misura lo spostamento del
punto mobile dal centro della traiettoria assunto come
origine (s=0). A, detta ampiezza, è il massimo
spostamento dall’origine. L’angolo  è detto fase
iniziale.
Il moto ondulatorio
Un moto vibratorio, che ha origine in un punto di un
mezzo non resta localizzato solo nel punto
perturbato, ma a causa delle forze di interazione
esistenti tra le particelle viene ad interessare
tutto il corpo materiale.
La perturbazione, dopo un certo tempo che
dipende dalla natura del mezzo si propaga a tutto il
sistema che assume una configurazione, chiamata
onda, variabile continuamente nel tempo.
Esempi di moti ondulatori:
• onde che si originano sulla superficie libera dei
liquidi o in una corda, fissa alle estremità, quando
in un loro punto viene prodotta una perturbazione.
Il moto ondulatorio
All’istante t=0, eccitiamo il punto O di una superficie libera di
acqua. L’acqua in quel punto acquista un moto oscillatorio
attorno alla posizione di riposo. Tale moto non resta
localizzato allo straterello di acqua perturbato. In ogni punto
a distanza x dal punto scelto come origine, si ripete con un
certo ritardo Dt=x/u, il moto oscillatorio di O, dove u è la
velocità di propagazione dell’onda nel mezzo considerato ed è
costante se il mezzo è omogeneo. Il punto O diviene sorgente
di un sistema di onde superficiali concentriche.
Il moto ondulatorio
Se ad una certa distanza dal punto O è situato un
galleggiante, notiamo che, quando esso è raggiunto dalla
perturbazione, comincia ad oscillare senza però che vari la
sua distanza da O. Una volta oltrepassato dal moto
ondulatorio, che continua a propagarsi inalterato oltre
l’ostacolo incontrato, ritorna nelle condizioni di quiete
iniziali. Possiamo quindi enunciare la caratteristica
fondamentale del moto ondulatorio: c’è propagazione di
energia da un punto ad un altro, ma non c’è spostamento
di materia.
Il galleggiante segue la vibrazione
elastica muovendosi dall’alto verso il
basso senza seguirne la propagazione. Il
movimento del galleggiante mostra
l’ampiezza dell’oscillazione.
Il moto ondulatorio
Supponiamo di fotografare in vari istanti
il profilo di una corda o di una superficie
d’acqua quando venga eccitata in un suo
punto con un moto oscillatorio armonico.
Dalla figura si vede che la forma d’onda
avanza verso destra, come è indicato
dalla freccia puntata su una generica
cresta, mentre ciascun punto del mezzo
(ad esempio P) oscilla attorno alla
posizione di equilibrio di moto armonico.
Onda sinusoidale trasversale che si propaga
verso destra mostrata ad intervalli di 1/8 di
periodo. Lo spostamento s è funzione della
distanza x dall’origine e del tempo t.
Il moto ondulatorio
Confrontiamo il moto di un punto generico A,
posto in prossimità della sorgente con il
movimento di un punto vicino B. A causa della
loro distanza saranno raggiunti dalla
perturbazione e quindi cominceranno ad
oscillare in tempi successivi. Aumentando la
distanza, aumenterà il ritardo, finchè
troveremo un punto in ritardo di un intero
periodo e che quindi si troverà nello stesso
stato di moto, ovvero oscillerà in fase con la
prima particella. La minima distanza tra due
particelle che oscillano in fase tra loro è pari
a l, che prende il nome di lunghezza d’onda.
Poiché questa distanza è percorsa nel tempo
T, mentre la velocità di propagazione è u sarà
u
anche:
l  uT 
n
dove n =1/T è la frequenza.
Rappresentazione matematica di un’onda
Vogliamo determinare all’istante generico t lo stato di vibrazione s del punto
generico P che si trova ad una distanza x dall’origine delle vibrazioni.
Supponiamo che la legge di vibrazione della sorgente sia del tipo:
s  Asen2
t
T
(  0)
Se indichiamo con Dt il tempo impiegato dalla vibrazione per andare da O a P,
lo spostamento s del punto P all’istante t sarà uguale allo spostamento della
sorgente al tempo t - Dt :
2
2
x
t x
s  Asen
(t  Dt )  Asen
(t  )  Asen 2 (  )
T
T
u
T l
dove abbiamo fatto uso delle relazioni: Dt=x/u e l= u T.
Dalla relazione sopra scritta si vede che lo stato di vibrazione s di una
particella del mezzo in cui si propaga un’onda è funzione del tempo e della
distanza della particella rispetto alla sorgente di vibrazioni. Il termine 2x/l
rappresenta il coefficiente di fase. Si può concludere che tutte le particelle
del mezzo investite dalla perturbazione ondosa vibrano nel tempo con la
stessa legge della sorgente, ma con una fase iniziale che dipende dalla
distanza dalla sorgente.
Rappresentazione matematica di un’onda
t x
s  Asen2 (  )
T l
L’equazione sopra scritta fornisce per un dato
valore di t, s in funzione di x, per così dire la
fotografia istantanea dell’onda; invece per un dato
valore di x l’equazione fornisce s in funzione di t,
ossia la variazione nel tempo della posizione della
singola particella.
Il moto ondulatorio
Onde longitudinali e onde trasversali.
Sono definite trasversali le onde in cui la direzione di
vibrazione è perpendicolare alla direzione di propagazione.
Se invece, come accade nelle onde sonore, le vibrazioni
avvengono nella stessa direzione di propagazione, le relative
onde sono dette longitudinali.
Onde longitudinali
Onda longitudinale piana
(onda di pressione).
Rappresentazione della
propagazione di un'onda
longitudinale
su
una
griglia bidimensionale).
Onde trasversali
Esempio di onda
piana trasversale.
Propagazione
di
un'onda
circolare
trasversale in una
griglia
bidimensionale.