Le funzioni
Le funzioni possono essere:
algebriche
intere
trascendenti
fratte
expon
trigon.(GPS)
log
razionali
irrazionali(con radice)
Lo studio di una funzione parte sempre dallo
studio del suo dominio e del suo segno.
Il dominio di una funzione è dato dalla retta
tranne le zone in cui la funzione non è definita.
Il segno mi permette di capire dove la funzione è
positiva o negativa.
Come eseguo il dominio...
Nelle diseq. polinomiali fratte:
1) pongo il denominatore diverso da 0
2) trovo i numeri
3) li segno sull'asse x
4) traccio le rette verticali e le cancello
Come eseguo il dominio...
Nelle radici fratte (se di indice pari):
1) metto l'argomento maggiore-uguale a 0 (arg≥0)
2) poi divido il num e il den e metto:
num≥0
den>0
3) faccio lo schemino e dove risulta “–“ la funzione non
c'è, se invece risulta “+” c'è.
4) Cancello le fasce verticali corrispondenti al “-” e le
rette ottenute dal denominatore.
N.B.: se la radice è di indice dispari, non crea
problemi, vuol dire che per il dominio faccio lo
stesso delle semplici polinomiali fratte.
Come eseguo il dominio...
Per le funzioni logaritmiche fratte:
1) prendo tutti gli arg dei log e li pongo > 0
2) poi divido il den e il num
3) Procedo come nel caso delle radici di indice
pari con la differenza che cancellerò tutte le
rette
Per fare il segno...
Nelle diseq. polinimiali fratte:
1) pongo tutta la funzione ≥0
2) divido l'arg e metto il num≥0 e il den>0
3) Faccio lo schema dei segni
4) Dove viene negativo cancello la parte positiva
e viceversa.
Per fare il segno...
Nelle funzioni irrazionali:
1) pongo sempre la funzione ≥0
2) risulta sempre positivo quando l'indice della radice è
pari, percui
(retta )
(+)
N.B.: se l'indice è dispari devo vedere il segno dell'arg,
cioè tolgo la radice e risolvo normalmente.
Per fare il segno...
Nelle funzioni log fratte:
1) Pongo la funzione ≥0
2) Trasformo 0= log 1
3) passo agli arg
4) risolvo normalmente
N.B: nel caso di diseq., se la base era <1, passando agli
arg si gira il verso
intersezioni
Dopo aver fatto dominio e segno arrivo alle
intersezioni dell'asse x e y.
Asse x: vedo il punto dove può passare la
funzione sulla retta x
Asse y: vedo nel testo i coeff senza la x e lo
segno sull'asse y
E per finire i limiti
I limiti servono per valutare le funzioni nelle zone
critiche del dominio: cioè agli estremi di esso e
sui “bordi” delle parti cancellate.
Le rette che vengono cancellate facendo il
dominio sono sempre in corrispondenza di
numeri.
Siccome non posso calcolare il valore della
funzione (cioè di y) direttamente, uso il limite
ovvero guardo quanto vale la funzione vicino a
quel valore.
La formula è: Lim f(x)
x
x
0
Successivamente devo calcolare anche i limiti a: - ; +
oltre ai numeri dove ho cancellato le rette sul piano
Sistemare aggiungendo limite e poi scrivere
asintoto orizzontale y=0
- se l'esp di grado massimo sono uguali, trascrivo
i coefficenti perchè il segno mi viene dato
direttamente da loro.
es. Lim 2 x² = 2
x²
Asintoto orizzontale y=2
Quando invece faccio Lim
x
n
devo vedere dove il numero “n” è risultato nelle
operazioni di dominio e segno e in quel caso il
limite sarà pari a 0 al den o al num.
Se ho lo 0 solo al denominatore, verrà ∞ e quindi
avrò un asintoto verticale x=n.
Se ho lo 0 al numeratore e al denominatore è una
forma di indecisione:
in questo caso risolverò scrivendo al posto di
num e den le relative scomposizioni.
Mi ricordo che la formula è= a (x-x ) (x-x )
1
2
Riepilogo asintoti
L'asintoto è la retta cui la funzione si avvicina
senza toccarla.
Abbiamo tre tipi di asintoti:
●
●
Retta orizzontale: è univocamente determinata
una volta fissata la sua intersezione (0;n)
sull'asse y. Ciò significa che l'equazione di una
retta orizzontale è sempre y=n con n= ordinata
del punto di intersezione con l'asse y.
Analogo discorso per le rette verticali.
L'equazione di una retta verticale sarà x=n