UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DELLA BASILICATA
Corso di
TECNICA DELLE COSTRUZIONI
PROGETTO E VERIFICA DI UN TELAIO IN C.A.
Docente:
Collaboratori:
Prof. Angelo MASI
Prof. Ing. Angelo MASI
Ing. Giuseppe SANTARSIERO
Ing. Vincenzo MANFREDI
Corso di Tecnica delle Costruzioni
a.a. 2011-2012
Progetto di un telaio in c.a.
Progetto e verifica di un telaio piano in c.a. di due livelli sottoposto a carichi
verticali ed azioni orizzontali. Il primo livello è destinato ad abitazione, il
secondo livello è un terrazzo praticabile.
Lx1 = 5m
Lx2 = 5m
Lx3 = 5m Lx4 = 1.4m
Impalcato II
H1
Impalcato I
H2=3.2m
Ly2 = 5m
H2
H2=3.2m
Ly1 = 5m
Telaio da progettare/verificare
Prof. Angelo MASI
Corso di Tecnica delle Costruzioni
a.a. 2011-2012
Schema dei carichi sul telaio
carichi sul telaio:
Solai di piano e di
copertura
Prof. Angelo MASI
Corso di Tecnica delle Costruzioni
a.a. 2011-2012
Schema dei carichi sul telaio
carichi sul telaio:
tamponature
Lx1
Lx2
Lx3
Lx4
Ly2
Ly1
Prof. Angelo MASI
Corso di Tecnica delle Costruzioni
a.a. 2011-2012
Schema dei carichi sul telaio
carichi sul telaio:
Gradini e pianerottoli
Prof. Angelo MASI
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PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A.
Normativa di riferimento:
Norme Tecniche per le Costruzioni
D.M. 14 gennaio 2008 NTC2008
Fasi progettuali
•
•
•
•
•
•
•
Scelta dei materiali
Predimensionamento degli elementi strutturali
Analisi dei carichi
Creazione del modello numerico
Analisi delle sollecitazioni
Progetto e verifica delle armature degli elementi strutturali
Elaborati grafici
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a.a. 2011-2012
Scelta dei materiali: DIAGRAMMI TENSIONI-DEFORMAZIONI
DIAGRAMMI DI CALCOLO TENSIONI – DEFORMAZIONE DEL CLS
σ
σ
σ
fcd
fcd
fcd
0.20%
(a)
0.35%
ε
0.175%
0.35%
(b)
ε
0.07%
0.35%
(c)
ε
a) parabola-rettangolo; b) triangolo-rettangolo; c) rettangolo (stress block)
DIAGRAMMI DI CALCOLO TENSIONI – DEFORMAZIONE DELL’ACCIAIO
σ
σ
Kfyd
fyd
fyd
arctg Es
εyd
(a)
εud εuk ε
attenzione: nel modello (b) si
può limitare la deformazione
ultima (es. εud = 1%)
arctg Es
εyd
(b)
ε
nota: nel modello (a) K è il
rapporto di incrudimento.
(1.35 > K ≥ 1.15)
a) bi-lineare con incrudimento; b) elastico-perfettamente plastico indefinito
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a.a. 2011-2012
Scelta dei materiali: Resistenze di Calcolo
Le resistenze di calcolo si valutano mediante l’espressione:
fk
fd =
γm
dove fk è la resistenza caratteristica, γm il coefficiente parziale del
materiale.
La norma NTC prescrive per elementi in c.a.:
γM
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Calcestruzzo
1.5
Acciaio per c.a.
1.15
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SCELTA DEI MATERIALI: RESISTENZE DI CALCOLO
Calcestruzzo
Resistenza di calcolo a compressione: f cd
dove: f ck = R ck ⋅ 0.83
α cc = 0.85
σ
α ⋅f
= cc ck
γc
fcd
γ c = 1.5
0.20%
(a)
0.35%
ε
Resistenza media a trazione: f ctm = 0.3 ⋅ f ck 2 / 3
Modulo elastico:
E cm = 22000 ⋅ [f cm / 10]0.3
Modulo di Poisson:
dove:
ν = 0.2
f cm = f ck + 8
[NOTA: unità in N/mmq]
[NOTA: per cls fessurato si può ν = 0]
ipotizzando l’impiego di un calcestruzzo C20/25 (Rck = 25 N/mm2 - fck = 20N/mmq)
f cd
0.85 ⋅ 25 ⋅ 0.83
=
= 11.7 N/mm 2
1.5
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f ctm = 2.2 N / mmq
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E c = 30200 N/mm 2
Scelta dei materiali: Resistenze di Calcolo
Acciaio
Resistenza a trazione:
f yd =
f yk
γs
σ
dove: γ s = 1.15
fyd
arctg Es
Modulo elastico: Es = 210000 N/mm2
Deformazione al limite elastico:
ε yd =
ε
εyd
(b)
f yd
Es
Per un acciaio B450C: fyk = 450 N/mm2
f yd
f yk
450
=
=
= 391.3 N/mm 2
γ s 1.15
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f yd
391.3
ε yd =
=
= 1.83o / oo
E s 210000
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ANALISI AZIONI ESTERNE
Carichi permanenti Strutturali G1
Peso proprio di tutte le parti strutturali essenziali a portare i
carichi esterni quali di solai, scale e gradini, travi, pilastri
Carichi permanenti non strutturali G2
Peso proprio delle parti non strutturali quali il pavimento, il
massetto, le tramezzature interne e le tamponature esterne
Carichi variabili Q
Definiti in funzione delle destinazioni d’uso della struttura
Carichi orizzontali H
Rappresentano le azioni dovute ad eventi sismici. Devono
essere valutate in funzione del piano e del peso dell’impalcato
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PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A.
I carichi dei solai (G1, G2, Q) gravano sulle travi. Il valore del carico è
funzione dell’area di influenza sottesa di ciascun elemento.
Lx1 = 5m
Lx2 = 5m
Lx3 = 5m
H2
Impalcato II
H1
Impalcato I
H2=3.2m
Ly2 = 5m
(Lx2+Lx3)/2
Lx4 = 1.4m
H2=3.2m
Ly1 = 5m
Area di influenza dei carichi sulle travi
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SCHEMA DEI CARICHI SUL TELAIO PIANO
Carichi permanenti Strutturali G1 e G2; carichi variabili Q
Peso proprio strutturale, non strutturale, variabile dei solai, gradini e
pianerottoli
Peso proprio G1, G2, Q dei solai,
pianerottoli e gradini.
(L
x
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Carichi distribuiti
2+
Lx
3)
/2
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SCHEMA DEI CARICHI SUL TELAIO PIANO
Carichi permanenti Strutturali G1
Peso proprio di tutte le parti strutturali travi e pilastri
Peso proprio delle travi
ortogonali: Carichi concentrati
Peso delle travi:
Carichi
distribuiti
Peso proprio dei pilasti: carichi
distribuiti
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Schema dei carichi sul telaio
carichi sul telaio:
tamponature
Lx1
Lx2
Lx3
Lx4
Ly2
Ly1
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SCHEMA DEI CARICHI SUL TELAIO PIANO
(L
x2
+L
x3
)/ 2
Carichi non strutturali G2
Tamponature
Peso proprio delle tamponature
sulle travi: carichi distribuiti
Peso proprio delle tamponature
sulle travi ortogonali: carichi
concentrati
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SCHEMA DEI CARICHI SUL TELAIO PIANO
x2
+L
x3
)/ 2
Carichi orizzontale H
Forza orizzontale al II livello;
Area di influenza dei carichi
(h1+h2)/2
h2/2
(L
(L
Forza orizzontale al I livello;
Area di influenza dei carichi
x2
+L
x3
)/ 2
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PREDIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI
TRAVE DI PIANO
Dall’analisi dei carichi possiamo definire le azioni agenti
Lx2 = 5m
Ly2 = 5m
•Peso Proprio solaio
(strutturale e non)
Lx1 = 5m
•Carico variabile per solaio
di calpestio
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Ly1 = 5m
•Peso Proprio Trave
(Ipotizzata 30×50)
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Lx3 = 5m
(Lx2+Lx3)/2
Lx4 =
1.4m
PREDIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI
Carichi unitari permanenti strutturali e non strutturali
Peso proprio strutturale del solaio G1,1 = 2.8 kN/m2 (nervature, soletta, pignatte):
g1,1 = γG1 x G1,1 x Ls
g1,1 = 1.3 x 2.8 x 5 = 18.2kN/m
Trave emergente 30×50 (G1,2 = 3.75 kN/m):
g1,2 = γG1 x G1,2
g1,2 = 1.3 x 3.75 = 4.9 kN/m
Peso proprio non strutturale del solaio G2 = 3.0 kN/m2 (massetto, pavimento, inc.
tramezzi):
g2 = γG2 x G2 x Ls
g2 = 1.5 x 3.0 x 5 = 22.5 kN/m
Carichi unitari accidentali
Carico accidentale per solaio di calpestio di civile abitazione (Qk.1 = 2.0 kN/m2):
qk,1 = γQ x Qk.1 x Ls
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qk,1 = 1.5 x 2.0 x 5 = 15.0 kN/m
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PREDIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI
Si considera uno schema statico semplificato (es. trave appoggiataappoggiata)
Il carico uniforme q1 è dato dalla somma di g1,1 + g1,2 + g2 + qk1
q1 = 60.6 kN/m
A
B
⎛ 60.6 ⋅ 52 ⎞
⎟ = 189.4 kNm
MSd = ⎜⎜
⎟
8
⎝
⎠
5m
0
100
200
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300
Il massimo momento in campata
vale:
⎛ q1 ⋅ l 2 ⎞
⎟
M Sd = M AB = ⎜⎜
⎟
8
⎠
⎝
400
500
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PREDIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI
Travi rettangolari progettate a flessione con semplice armatura
B
d’
A’s
Equazione di equilibrio alla traslazione
lungo l’asse della trave:
B ⋅ ψ ⋅ x ⋅ f cd − A s f yd = N
H
N= 0
λx
x C
0,85fcd
d
As
Equazione di equilibrio alla rotazione (intorno
al baricentro geometrico della sezione)
⎞
⎞
⎛H
⎛H
B ⋅ f cd ⋅ x ⋅ ψ ⎜
− c⎟ = M
− λ x ⎟ + A s f yd ⎜
⎠
⎝ 2
⎠
⎝ 2
rd
Equazione di congruenza
εs'
ε
0.35%
= s
=
x
x − d' d − x
Prof. Angelo MASI
4 incognite: B, H, x, As
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a.a. 2011-2012
T
S
PREDIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI
Travi rettangolari progettate a flessione
Fissiamo alcune delle incognite in modo
da avere abbastanza elementi per
risolvere il problema
B
λx
d’
x C
A’s
H
0,85fcd
d
ST
As
1) Fissiamo la posizione dell’asse
neutro
B
εcu = 0.35%
x
ξ = x / d = 0.259
fcd
C
d
2) Ipotizziamo che la rottura
avvenga in regione 2
ψ = 0.810
Prof. Angelo MASI
λ = 0.416
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fyd
εsd
T
S
PREDIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI
Travi rettangolari progettate a flessione
Imponendo l’equilibrio alla rotazione
rispetto all’asse passante per il
baricentro delle armature tese As si ha:
B
λx
d’
x C
A’s
H
0,85fcd
d
ST
As
M Sd = B ⋅ d 2 ⋅ f cd ⋅ ψ ⋅ ξ ⋅ (1 − λξ) = B ⋅ d 2 ⋅ f cd ⋅ c
B
dove
c = ψ ⋅ ξ ⋅ (1 − λξ)
x
L’altezza utile d è pari a:
fcd
C
d
M Rd
1
M Sd
d=
⋅
= rslu ⋅
B ⋅ f cd
c B ⋅ f cd
Prof. Angelo MASI
εcu = 0.35%
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a.a. 2011-2012
fyd
εsd
T
S
PREDIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI
Travi rettangolari progettate a flessione
B
d’
A’s
Fissiamo il valore della base
(da considerazioni di carattere
architettonico)
H
λx
x C
0,85fcd
d
As
ST
B = 300mm
rslu =
1
ψ ξ (1 − λ ξ )
d = rslu
M est
b ⋅ f cd
rslu =
1
= 2.31
0.810 ⋅ 0.259 ⋅ (1 − 0.416 ⋅ 0.259 )
d = 2.31 ⋅
189400000
= 536mm
300 ⋅ 11.7
H = d + c = 536 + 30 ≈ 550mm
Prof. Angelo MASI
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Il copriferro - interferro
Estratto dalla NTC08 (D.M. 14/01/2008)
Prof. Angelo MASI
Corso di Tecnica delle Costruzioni
a.a. 2011-2012
Il copriferro
In funzione delle condizioni ambientali e della classe di resistenza del cls deve
essere utilizzato un valore del copriferro secondo quanto riportato nella tabella
(circolareNTC2008 C4.1.6.1.3):
Per classi di cls C < Cmin il valore del copriferro deve essere aumentato di 5mm
Prof. Angelo MASI
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PREDIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI
Pilastri rettangolari progettate a sforzo normale
Le dimensioni (di tentativo) della sezione di cls possono essere
valutate con riferimento al solo sforzo normale N dell’area di carico
afferente all’elemento.
Lx1 = 5m
Lx2 = 5m
Lx3 = 5m
Lx4 =
1.4m
As’
(Lx2+Lx3)/2
Ly1 = 5m
As
(Ly2+Ly1)/2
Ly2 = 5m
Prof. Angelo MASI
c’
H d
c
As
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a.a. 2011-2012
N
G
B
PREDIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI
Analisi dei carichi gravanti sul pilastro
Peso proprio strutturale del solaio (nervature, soletta, pignatte):
G1,1 = 2.8 kN/m2
g1,1 = γG1 x G1,1 x As = 60.3kN
Peso proprio non strutturale del solaio (massetto, pavimento, inc. tramezzi):
G2 = 3.0 kN/m2
g2 = γG2 x G2 x As = 74.5kN
Trave emergente 30×55 (n. 2 elementi):
G1,2 = 4.12kN/m
g1,2 = γG1 x G1,2 x (Lx2+Lx3+Ly1+Ly2)/2 = 50.3 kN
Pilastro 30×40:
G1,3 = 3.0kN/m
g1,3 = γG1 x G1,3 x H1= 12.4 kN
Carico accidentale per solaio di calpestio di civile abitazione:
Qk1 = 2.0 kN/m2
Prof. Angelo MASI
gk1 = γQ x Qk.1 x As = 33.1 kN
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a.a. 2011-2012
PREDIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI
Pilastri rettangolari progettate a sforzo normale
Le dimensioni (di tentativo) della sezione di cls possono essere
valutate con riferimento al solo sforzo normale N dell’area di carico
afferente all’elemento. Per portare in conto il momento flettente si
può assumere la resistenza del cls pari al 40-50% di quella di
calcolo.
A c ,s . n . =
N
461200
=
= 104800mmq
0.4 ⋅ f cd 0.4 ⋅11.6
Fissando una dimensione della sezione (da considerazioni di
carattere architettonico) si ha:
H=
A c ,s . n .
B
=
104800
= 349mm ⇒ 400mm
300
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a.a. 2011-2012
Combinazioni di calcolo delle azioni
COMBINAZIONI PER LE VERIFICHE ALLO STATO LIMITE ULTIMO
Fd = γG1 G1 + γG2 G2+ γqQk1 + Σ(i>1) γq Ψ0i Qki
COMBINAZIONI PER LE VERIFICHE ALLO STATO LIMITE DI ESERCIZIO
Fd = G1 + G2 + P + Qk1 + Σ(i>1) Ψ0i Qki
Combinazioni rare:
Carico accidentale principale
Carico accidentale secondario
Combinazioni frequenti:
Fd = G1 + G2 + P + Ψ1i Qk1 + Σ(i>1) Ψ2i Qki
Combinazioni quasi permanenti:
Fd = G1 + G2 + P + Σ(i>1) Ψ2i Qki
G1
G2
Qk1
Qki
Ψ0i, Ψ1i, Ψ2i
valore nominale delle azioni permanenti strutturali
valore nominale delle azioni permanenti non strutturali
valore caratteristico dell’azione variabile di base di ogni combinazione
valore caratteristico delle altre azioni variabili
coefficienti di combinazione
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a.a. 2011-2012
Coefficienti parziali per le azioni (γF)
Coefficienti parziali per le azioni γF nelle verifiche SLU (§ 2.6.1, NTC2008)
γF (STR)
Carichi
permanenti
Favorevoli
Carichi
permanenti non
strutturali
Favorevoli
Carichi variabili
Prof. Angelo MASI
Sfavorevoli
Sfavorevoli
Favorevoli
Sfavorevoli
γG1
1.0
1.3
γG2
0.0
1.5
γQi
0.0
1.5
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a.a. 2011-2012
Coefficienti di combinazione
I Coefficienti di combinazione
destinazione d’uso dei locali
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(ψ0j; ψ1j; ψ2j) sono funzione della
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Le combinazioni di carico
1) STATO LIMITE ULTIMO
Fd = γG1 G1 + γG2 G2+ γqQk1 + γq Ψ0i Qk2
1.5 x 0.5 x Q2
Carico neve
1.5 x Q1
1.5 x G2
1.3 x G1
1.5 x Q1
1.5 x G2
Carico di esercizio per
locali suscettibili di
affollamento (4kN/mq)
Carico di esercizio per
abitazioni (2kN/mq)
1.3 x G1
Carico permanente
non strutturale
1.
5
x
1.
Q1
5
x
1.
G
3
2
x
G1
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Carico permanente
strutturale
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a.a. 2011-2012
Le combinazioni di carico
2) STATO LIMITE ULTIMO
Fd = γG1 G1 + γG2 G2+ γqQk2 + γq Ψ0i Qk1
1.5 x Q2
Carico neve
1.5 x 0.7 x Q1
1.5 x G2
1.3 x G1
1.5 x Q1
1.5 x G2
Carico di esercizio per
locali suscettibili di
affollamento (4kN/mq)
Carico di esercizio per
abitazioni (2kN/mq)
1.3 x G1
Carico permanente
non strutturale
1.
5
x
1.
Q1
5
x
1.
G
3
2
x
G1
Prof. Angelo MASI
Carico permanente
strutturale
Corso di Tecnica delle Costruzioni
a.a. 2011-2012
Le combinazioni di carico
3) STATO LIMITE ULTIMO
Fd = H1 + H2 + G1 + G2+ ψ2iQk1
Ψ2i x Q1
G2
G1
H2 = 0.1 x (G1 +
G2+ ψ2i x Qk1)
Ψ2i x Q1
G2
H1 = 0.05 x (G1 +
G2+ ψ2i x Qk1)
G1
Ψ2
G2 i x
Q1
G1
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Corso di Tecnica delle Costruzioni
a.a. 2011-2012
Carico di esercizio
per locali suscettibili
di affollamento
(4kN/mq)
Carico di esercizio
per abitazioni
(2kN/mq)
Carico
permanente non
strutturale
Carico
permanente
strutturale
Le combinazioni di carico
4) STATO LIMITE ULTIMO
Fd = H1 + H2 + G1 + G2+ ψ2iQk1
Ψ2i x Q1
G2
G1
H2 = 0.1 x (G1 +
G2+ ψ2ixQk1)
Ψ2i x Q1
G2
H1 = 0.05 x (G1 +
G2+ ψ2ixQk1)
G1
Ψ2
G2 i x
Q1
G1
Prof. Angelo MASI
Corso di Tecnica delle Costruzioni
a.a. 2011-2012
Carico di esercizio
per locali suscettibili
di affollamento
(4kN/mq)
Carico di esercizio
per abitazioni
(2kN/mq)
Carico
permanente non
strutturale
Carico
permanente
strutturale
LA TRAVE A GINOCCHIO
Schema costruttivo della scala con trave a ginocchio
Rea
ri
ola
inc
i
ni v
zio gradin
dei
Carichi applicati
alla trave
Prof. Angelo MASI
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a.a. 2011-2012
37
Gradini a sbalzo portati da una trave a ginocchio
Progetto dei gradini
Considerando il vincolo d’incastro ogni gradino, o gruppo di gradini,
può essere considerato come una mensola indipendente soggetta ad
un carico uniformemente distribuito (peso proprio, carichi
permanenti e accidentali) e ad un eventuale carico puntuale applicato
alla sua estremità libera (parapetto)
Pp,NST
PP,ST
a = 15 - 18cm
p = 25 - 35cm
c
n
c
m
- 6c
4
s=
Pa
FNST
h
n
Prof. Angelo MASI
p
l
l = 1.2 m
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a.a. 2011-2012
38
Gradini a sbalzo portati da una trave a ginocchio
Considerando la geometria dei gradini si intuisce che l’asse di
sollecitazione del momento non coincide con l’asse principale
d’inerzia della sezione e che, quindi, si è in presenza di flessione
deviata. Tuttavia, in virtù della presenza della soletta di
collegamento, la scala può inflettersi essenzialmente ruotando
intorno ad un asse che tende ad avere la stessa inclinazione della
rampa.
Piedata
35 cm
Tutto il problema può essere
semplificato progettando e
verificando la sezione per la
componente del momento
secondo l’angolo α
Prof. Angelo MASI
granito
3 cm
Alzata
15 cm
lv = 45 cm
a = 23.2°
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a.a. 2011-2012
3 cm
cm
09
1
l=
l0 = 1 m
39
Gradini a sbalzo portati da una trave a ginocchio
Pp,NST
PP,ST
Pa
FNST
Conoscendo i carichi possiamo
calcolare le sollecitazioni sulla
fascia di un metro di gradini
l = 1.2 m
q l + FNST
V
FNST
ql²
2
+ FNST l
Prof. Angelo MASI
Il carico accidentale previsto dalla
Normativa (D.M. 14/01/2008 tab
3.1.II) per scale è Pa = 4 kN/m2.
Assumiamo che il peso del
parapetto sia di FNST = 300N.
M
Il momento torcente da applicare
lungo l’asse della trave a ginocchio
è pari al valore del momento
flettente all’incastro moltiplicato
per il cosα
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40
Gradini a sbalzo portati da una trave a ginocchio
Pp,NST
PP,ST
Pa
FNST
Vsd = Fd · l + FNST·1.5 =
= 12.4 + 0.3·1.5 = 12.8kN
l = 1.2 m
ql+F
V
F
ql²
2
+Fl
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Fd = γg1 G1 + γg2 G2+ γq Qk =
=1.3·(PP,ST) + 1.5·PP,NST + 1.5·Pa =
= 1.3·(1.24) + 1.5·(2.4) + 1.5·4.8 =
12.4kN/m
M
Msd = Fd · l2 / 2 + FNST ·1.5 · 1.2 =
= (12.4·1.44)/2 + 0.3·1.5·1.2 = 9.5
kNm
Il momento torcente da applicare
lungo l’asse della trave a ginocchio è:
Md=Msd·cosα=9.5·cos 23.2=8.7kNm
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41
Progetto di un telaio piano in c.a.
Analisi delle sollecitazioni
DIAGRAMMA DEL MOMENTO FLETTENTE
223.904
185.821
111.237
114.143
114.648
239.812
33.227
15
40.473
11
12
33
70.0
28.303
86.784
107.005
138.233
3
152.711
13
18
30.287
19.948
21
21
55.4
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a.a. 2011-2012
64.994
23.312
19
20
Prof. Angelo MASI
88.306
35.367
22.532
96.228
43.542
7
109.561
176.806
139.771
1
14
117.258
4
82.421
16
43.150
96.224
2
111.237
10
38.083
114.143
8
23
Progetto di un telaio piano in c.a.
Analisi delle sollecitazioni
DIAGRAMMA DEL TAGLIO
191.267
96.309
172.100
26.185
126.112
58.331
183.483
184.968
165.202
121.135
171.501
152.073
184.061
127.321
831
65.
22
45.6
33.231
70.124
210.293
035
54.
Prof. Angelo MASI
417
57.
Corso di Tecnica delle Costruzioni
Prof. A. Masi
a.a. 2011-2012
112.137
66.907
12.137
21.094
262.796
Progetto di un telaio piano in c.a.
Analisi delle sollecitazioni
DIAGRAMMA DEL MOMENTO TORCENTE
9. 9
26.549
.
17.814 21
77 9.222
382
9. 3
30.412
Prof. Angelo MASI
17.958
21.676 22.0
32
Corso di Tecnica delle Costruzioni
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27 8.313
17.049
TRASLAZIONE DEL DIAGRAMMA DEI MOMENTI
La normativa (D.M. 14/01/2008, p. 4.1.2.1.3.2) impone un’unica
correzione sul diagramma d’inviluppo dei momenti delle travi dovuta
all’interazione tra il momento flettente ed il taglio
La norma dice che, per gli elementi armati a taglio, le armature
longitudinali devono essere progettate su un diagramma dei momenti
traslato di una quantità a1 nella direzione che dà luogo ad un aumento
del valore assoluto del momento flettente:
a1= 0.9 d (cotθ – cotgα)/2 ≥ 0
dove α è l’angolo d’inclinazione delle armature a taglio e θ è l’angolo
di inclinazione delle bielle compresse.
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TRASLAZIONE DEL DIAGRAMMA DEI MOMENTI
Adottando staffe come armature a taglio si ha:
α = 90°
cotgα = 0
Il valore dell’angolo θ sarà valutato analiticamente in seguito. Come
dato di partenza si può assumere il valore limite indicato dalla
normativa:
cotθ = 2.5 → θ = 21.8°
223.904
Per quanto riguarda il
copriferro si assume d’= 3 cm
185.821
111.237
114.143
38.083
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33.227
117.258
15
7
40.473
28.303
70.
88.306
18
107.005
3
30.287
20
19.948
21
55
1
.4 2
64.994
19
138.233
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13
033
23.312
1
12
35.367
96.228
22.532
11
152.711
43.150
4
2
14
82.421
16
176.806
86.784
Si avrà quindi:
a1= 0.9·52·2.5 = 117cm
114.648
239.812
109.561
139.771
43.542
Nell’esempio, la trave è alta
55cm (d = 55-3 = 52cm)
96.224
111.237
10
114.143
8
23
PRESCRIZIONI DI NORMATIVA
ARMATURE LONGITUDINALI
La normativa (§ 4.1.6.1.1) fornisce alcune indicazioni sulla quantità
minima di armatura longitudinale delle travi.
Alle estremità delle travi deve essere disposta un’armatura inferiore,
convenientemente ancorata, in grado di assorbire allo stato limite
ultimo uno sforzo di trazione pari al taglio Vd.
As,min= Vd/ fyd
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PRESCRIZIONI DI NORMATIVA
ARMATURE LONGITUDINALI
La percentuale di armatura, in zona tesa o compressa non deve
superare il seguente limite:
A s,max = 0.04 ⋅ A c
dove Ac è l’area della sezione
In zona tesa l’area dell’armatura minima deve essere pari a:
A s,min
f ctm
= 0.26
⋅ b t ⋅ d ≥ 0.0013 ⋅ b t ⋅ d
f yk
dove bt è la larghezza media della zona tesa
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PROGETTO ARMATURE LONGITUDINALI DELLE TRAVI
I dati delle travi riportate nell’esempio sono:
H = 55cm bt = 30 cm d’ = 3 cm d = 52 cm
Ac= 1560 cm2
La trave ha staffe a due braccia quindi si avranno, come minimo, 2
correnti inferiori e 2 correnti superiori
L’area minima di armatura nelle zone tese deve essere:
A s ,min
f ctm
2 .2
= 0.26
⋅ b t ⋅ d = 0.26
⋅ 30 ⋅ 52 = 1.98cmq
f yk
450
A s ,min = 0.0013 ⋅ b t ⋅ d = 0.0013 ⋅ 30 ⋅ 52 = 2.02cmq
A s ,min = 2.02cmq
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PROGETTO ARMATURE LONGITUDINALI DELLE TRAVI
Infine, l’armatura minima in una generica sezione deve essere in
grado di assorbire il momento flettente di calcolo
As,min= Md / (0.9· d · fyd)
con As,min area minima di ferro,
Md= momento di calcolo espresso,
d = altezza utile della sezione d = H – d’ ( d’ = copriferro)
fyd = resistenza di calcolo dell’acciaio
ATTENZIONE: nel dimensionamento si deve tenere in conto che
la dimensione del copriferro e dell’interferro devono essere tali da
garantire un getto compatto consentendo il passaggio degli inerti
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MOMENTO RESISTENTE DI UNA SEZIONE
DIAGRAMMA DEI MOMENTI RESISTENTI ULTIMI
Mrd (4Ø20)
Mrd (2Ø20)
Mrd (2Ø16)
Mrd (3Ø16)
Mrd (5Ø16)
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PROGETTO DELLE ARMATURE LONGITUDINALI
DISPOSIZIONE DEI FERRI
2Ø20
2Ø20
1Ø16
1Ø16
2Ø16
2Ø16
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L’ancoraggio delle barre
fctk = 0.7 x fctm = 1.54N/mmq
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fbd = 2.31N/mmq
LUNGHEZZA DI ANCORAGGIO
Ipotesi di ripartizione uniforme delle tensioni tangenziali di aderenza
in zone di calcestruzzo compatto
fbd=2.25 fctk/γc aderenza migliorata
[NOTA: fctk = 0.7 · fctm]
Tenendo conto dell’equilibrio tra la forza di trazione nella barra e la
risultante delle tensioni tangenziali lungo il suo perimetro si può
calcolare la lunghezza di ancoraggio come:
Lb= (fyd·Φ) / 4fbd
Lb non può comunque essere inferiore a 20 Φ o 15 cm. Spesso, si
approssima Lb= 40 Φ
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a.a. 2011-2012
PROGETTO DELLE ARMATURE LONGITUDINALI
LUNGHEZZE DI ANCORAGGIO
2Ø20
2Ø20
1Ø16
1Ø16
2Ø16
2Ø16
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Verifiche a flessione semplice
Sezione
Ipotizziamo
che
la
a.n. c’ =< x < xlim; ψ = 0.809; λ = 0.416
x lim =
B.
regione
sia
la
2
0.35 % ⋅ d
0.0035 ⋅ 520
=
= 341 .4 mm
0.35 % + ε yd 0.0035 + 0.00183
εsy
4Ø20
F (acciaio
teso)
εs
B=30cm
H
d=52cm
x
xlim
C’
C
2Ø16
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0.41·x
0.35%
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fcd
Verifiche a flessione semplice
La posizione dell’asse neutro è valutata imponendo l’equilibrio alla
traslazione delle risultanti di compressione e di trazione:
NRd = −B ⋅ ψ ⋅ x ⋅ fcd − A ⋅ f yd + As ⋅ f yd = 0 ⇒ x =
'
s
(As − As' ) ⋅ f yd
B ⋅ ψ ⋅ fcd
=
(1256− 402) ⋅ 391.3
= 117 < 341mm = xlim
300⋅ 0.81⋅11.7
!!bisogna verificare l’ipotesi di acciaio compresso snervato!!
4Ø20
B=30cm
d=52cm
H
F (acciaio
teso)
εs
xlim
0.41·x
C’
x
C
2Ø16
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0.35%
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fcd
Verifiche a flessione semplice
Dalla similitudine dei triangoli definiti dalla posizione dell’asse neutro
e dal valore delle deformata del cls e dell’acciaio compresso risulta:
x
x −c
0.0035⋅ (117 − 30)
=
⇒ εs =
= 0.0026 = 0.26%
0.0035 εs
117
Il limite di deformazione in corrispondenza dello snervamento è:
f yd
391.3
acciaio
ε yd =
=
= 0.00186 = 0.183% < εs
compresso
E s 210000
snervato
4Ø16
B=30cm
d=52cm
H
F (acciaio
teso)
εs
xlim
x
0.41·x
C
’
C
2Ø16
Prof. Angelo MASI
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0.35%
fcd
Verifiche a flessione semplice
Il valore del momento resistente è valutato imponendo l’equilibrio alla
rotazione delle risultanti di trazione e di compressione rispetto a
qualsiasi asse (es: H/2):
(
)
MRd = B ⋅ ψ ⋅ x ⋅ fcd ⋅ H 2 − λ ⋅ x + As' ⋅ f yd (H 2 − c') + As ⋅ f yd (H 2 − c)
MRd = 300 ⋅ 0.81⋅ 117 ⋅ 11.7 ⋅ (275 − 0.41⋅ 117) + 402 ⋅ 391.3 ⋅ (275 − 30) + 1256 ⋅ 391.3 ⋅ (275 − 30) =
= 234 ⋅ 106 Nmm = 234kNm > 208kNm = Msd ⇒ verificato
Il momento resistente risulta maggiore di quello agente:
LA SEZIONE è VERIFICATA
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VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TAGLIO
ELEMENTI CON ARMATURE TRASVERSALI RESISTENTI A TAGLIO
La verifica allo SLU per elementi con armature trasversale
resistente a taglio è soddisfatta se:
VRd ≥ VEd
dove VEd è il valore dello sforzo di taglio agente e VRd è il taglio
resistente pari al mimino tra il valore del taglio “compressione”
VRcd e taglio “trazione” VRsd :
VRd = min (VRcd; VRsd)
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60
VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TAGLIO
ELEMENTI CON ARMATURE TRASVERSALI RESISTENTI A TAGLIO
Taglio “compressione”
La resistenza delle bielle compresse di cls si valuta attraverso
la seguente espressione:
'
VRcd = 0.9 ⋅ d ⋅ b w ⋅ α C ⋅ f cd
⋅ (cot α + cot θ) /(1 + cot 2 θ)
bw
d
α
f 'cd
θ
αc
σcp
è la larghezza minima della sezione;
è l’altezza utile della sezione;
angolo di inclinazione dell’armatura trasversale rispetto all’asse della trave;
resistenza a compressione ridotta del calcestruzzo d’anima ( f 'cd = 0,5× fcd );
angolo di inclinazione delle bielle di cls 1 ≤ cot θ ≤ 2.5
coefficiente maggiorativo pari a: 1
per membrature non compresse
0 ≤ σcp < 0.25fcd
1 + σcp/fcd
1,25
0.25fcd ≤ σcp ≤ 0.5fcd
2,5(1 - σcp/fcd) 0.5fcd < σcp < fcd
è la tensione media di compressione della sezione;
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61
VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TAGLIO
ELEMENTI CON ARMATURE TRASVERSALI RESISTENTI A TAGLIO
Taglio “trazione”
La resistenza delle armature trasversali si valuta attraverso
la seguente espressione:
VRsd
Asw
d
s
α
f yd
θ
A sw
= 0.9 ⋅ d ⋅
⋅ f yd ⋅ (cot α + cot θ) ⋅ senα
s
è l’area dell’armatura trasversale;
è l’altezza utile della sezione;
interasse tra due armature trasversali consecutive;
angolo di inclinazione dell’armatura trasversale rispetto all’asse della trave;
resistenza di calcolo dell’acciaio;
angolo di inclinazione delle bielle di cls 1 ≤ cot θ ≤ 2.5
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62
PROGETTO DELLE STAFFE
staffatura minima:
Asw = 1.5 x bw = 1.5 x 300 = 450mmq/m
s = 220mm
Minimo 3 staffe per metro
s = 330mm
s = 416mm
Passo staffa massimo 0.8 x d =
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smin = 220mm
63
PROGETTO DELLE STAFFE
Esempio: progetto e verifica per taglio della trave B-C
= VRd,min
237.54
Prof. Angelo MASI
267.89
258.54
280.67
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64
VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TAGLIO
FASE DI PROGETTO
1) Controllo che Vsd ≤ VRcd(cotθ=1)
2) Determinazione del valore cotθ
3) Controllo del rispetto dei limiti di normativa: 1 ≤ cot θ ≤ 2.5
4) Calcolo dell’armatura a taglio
5) Controllo dei minimi di armatura da normativa
FASE DI VERIFICA
1) Determinazione del valore di cotθ
2) Controllo del rispetto dei limiti di normativa: 1≤ cotθ ≤ 2.5
3) Calcolo del taglio resistente Vrd della sezione
4) Confronto taglio resistente – taglio di calcolo VRd(min) ≥ VSd
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65
Il Progetto delle armature
Per la progettazione delle armatura si procedere secondo il seguente
schema:
VRcd (cot θ=1) < VSd
Si deve ri-progettare
la sezione geometrica
o utilizzare un cls di
resistenza maggiore.
Caso 1
Sì
No
VRcd cot θ=1.0 ≥ VSd ≥ VRcd cot θ= 2.5
Sì
Vedi caso 2
No
VSd < VRcd cot θ= 2.5
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Sì
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Vedi caso 3
Il Progetto delle armature
Caso 2.
VRcd cot θ=1.0 ≥ VSd ≥ VRcd cot θ= 2.5
Il valore della cotθ è valutato attraverso l’uguaglianza tra il taglio
agente VSd e quello resistente del cls VRcd (taglio “compressione”) :
VRcd = VSd ⇒ cot θ = f (VSd , d, b w , α C , f cd' , cot α)
Noto il valore di cotθ l’armatura a taglio è determinata attraverso
l’uguaglianza tra il taglio agente VSd e quello resistente “trazione”
VRsd, dove l’unica incognita è il rapporto Asw/s.
A sw
VSd
=
s
0.9 ⋅ d ⋅ f yd ⋅ (cot α + cot θ) ⋅ senα
Asw
s
è l’area dell’armatura trasversale
interasse tra due armature trasversali consecutive
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Il Progetto delle armature
Caso 3.
VSd < VRcd cot θ= 2.5
Il progetto dell’armatura a taglio (rapporto Asw/s) viene eseguito
imponendo l’uguaglianza tra il taglio agente VSd e quello resistente
dell’armatura VRsd (taglio “trazione”) in corrispondenza di cotθ = 2.5 :
VSd = VRsd cot θ= 2.5 = A sw ⋅ f yd ⋅
0.9d
⋅ senα ⋅ (cot α + 2.5)
s
A sw
VSd
=
s
0.9 ⋅ d ⋅ f yd ⋅ (cot α + 2.5) ⋅ senα
Asw
s
è l’area dell’armatura trasversale
interasse tra due armature trasversali consecutive
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VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TAGLIO
FASE DI PROGETTO
ESEMPIO:
DATI DI PROGETTO DELLA TRAVE B-C
- Vsd = 280.67kN;
- d = 520mm;
- bw = 300mm;
- αc = 1;
- f 'cd = 0,5× fcd = 5.85N/mmq;
- cotα = 0 (ipotesi di utilizzo staffe α = 90°)
Controllo della resistenza massima del cls
VRcd (cot θ = 1) ≥ VSd
VRcd (cot θ = 1) = 450.15 ≥ 280.67 kN = VSd
Se la verifica non è soddisfatta bisogna definire una nuova geometria della
sezione ovvero adottare un cls più resistente
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Il Progetto delle armature
Controllo Caso 2
VRcd cot θ=1.0 ≥ VSd ≥ VRcd cot θ= 2.5
450.1kN = VRcd cot θ=1.0 ≥ VSd ≥ VRcd cot θ= 2.5 = 322.8kN
La sezione in esame non rientra nel Caso 2
Controllo del Caso 3
VSd = 280.7 kN < VRcd cot θ= 2.5 = 322.8kN
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Caso 3
Il Progetto delle armature
Caso 3.
VSd < VRcd cot θ= 2.5
Il progetto dell’armatura a taglio (rapporto Asw/s) viene eseguito
imponendo l’uguaglianza tra il taglio agente VSd e quello resistente
dell’armatura VRsd (taglio “trazione”) in corrispondenza di cotθ = 2.5 :
VSd = VRsd cot θ= 2.5 = A sw ⋅ f yd ⋅
0.9d
⋅ senα ⋅ (cot α + 2.5)
s
A sw
VSd
280670
=
=
= 0.61
s
0.9 ⋅ d ⋅ f yd ⋅ 2.5 0.9 ⋅ 520 ⋅ 391 ⋅ 2.5
Ipotizzando l’uso di staffe Ø8 a due braccia (Asw=2x0.5cmq) si ha:
s=
A sw 2 ⋅ 50
=
= 163.9mm
0.61 0.61
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Passo = 15cm
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VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TAGLIO
FASE DI VERIFICA
1) Calcolo del taglio resistente
Il valore del taglio resistente è dato dal valore minimo tra il taglio
“compressione ” e il taglio “trazione”.
VRd = min (VRcd; VRsd)
La verifica deve essere effettuata per ogni sezione con l’armatura effettiva.
Questo comporta la determinazione del valore cotθ in questa nuova
configurazione. Tale valore è prodotto uguagliando il valore del taglio
“compressione” e taglio “trazione”.
VRcd = VRsd
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s ⋅ b w ⋅ α c ⋅ f cd'
⇒ cot θ =
−1
A sw ⋅ f yd ⋅ senα
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72
VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TAGLIO
Il valore cotθ deve rispettare i limiti prescritti dalla normativa. Quindi si
possono avere tre casi:
caso 1):
1 ≤ cot θ ≤ 2.5 ⇒ VRd = VRcd = VRsd
caso 2):
cot θ > 2.5 ⇒ VRd = min(VRsd cot θ= 2.5 ; VRcd cot θ= 2.5 )
caso 3):
cot θ < 1 ⇒ VRd = min(VRsd cot θ=1.0 ; VRcd cot θ=1.0 )
Nell’esempio in svolgimento si ha che:
VRcd = VRsd ⇒ cot θ = 2.57 > 2.5 ⇒ caso2
VRcd = 306.8kN
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VRd = min(VRsd; VRsd) = 306.8kN > 280.7 kN = VSd
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73
PROGETTO DEI PILASTRI
ARMATURE LONGITUDINALI DI UN PILASTRO
Prescrizioni normative
Nei pilastri soggetti a compressione centrata o eccentrica deve essere
disposta un’armatura longitudinale di sezione non minore di
As,min ≥ 0.10 Nsd/ fyd
Dove Nsd è la forza normale per combinazione di carico per SLU
L’armatura totale del pilastro deve avere sezione compresa tra
0.3% Ac ≤ As ≤ 4% Ac
dove Ac è l’area della sezione in calcestruzzo
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PROGETTO DEI PILASTRI
ARMATURE LONGITUDINALI E TRASVERSALI
Prescrizioni normative
• Diametro delle barre longitudinali non minore di 12 mm con
interasse non minore di 300 mm
• Staffatura posta ad interasse non maggiore di:
smin= min(12Φl; 25 cm)
dove Φl è il diametro più piccolo dei ferri longitudinali adottati per
armare il pilastro
• Diametro delle staffe non minore di 6 mm e di 1/4 del diametro
massimo delle barre longitudinali
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Utilizzo dei domini M – N per progetto-verifica
Le dimensioni della sezione sono note
Si costruiscono i domini M-N per diverse quantità di armatura.
Si riporta sul diagramma il punto di coordinate (NSd, MSd) delle sezioni
maggiormente sollecitate valutate per tutte le combinazioni di carico considerate
Si determina la quantità di armatura necessaria
110000
100000
90000
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
-500
As= A’s = 2 φ 18 cm2
M
As= A’s = 2 φ 16 cm2
As= A’s = 2 φ 14 cm2
As= A’s = 2 φ 12 cm2
As= A’s = 2 φ 10 cm2
Nsd; Msd
(comb1)
0
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500
N
1000
1500
2000
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Domini M – N allo Stato Limite Ultimo
Per ogni pilastro devono essere riportate le coordinate N,M delle sezioni di testa
e alla base
100000
(NSd, MSd ) punto ESTERNO al dominio
SEZIONE NON VERIFICATA
75000
50000
25000
(NSd, MSd ) punto INTERNO al dominio
SEZIONE VERIFICATA
0
-500
-25000
0
500
1000
-50000
-75000
-100000
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1500
REGOLE PRATICHE DI PROGETTAZIONE PER I PILASTRI
L’interasse tra le barre longitudinali non deve essere superiori a 30 cm
anche lungo i lati meno sollecitati del pilastro.
Per evitare problemi d’instabilità delle barre longitudinali è bene
prevedere dei ganci supplementari quando il lato della staffa è troppo
lungo
6Ø16
40
6Ø16
40
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REGOLE PRATICHE DI PROGETTAZIONE PER I PILASTRI
In alcuni casi, soprattutto in zona sismica, quando si desidera non solo
garantire la stabilità dei ferri longitudinali ma anche la duttilità e il
confinamento del calcestruzzo della sezione, invece dei ganci
vengono usati anche due o più staffe
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REGOLE PRATICHE DI PROGETTAZIONE PER I PILASTRI
Rastremazione dei pilastri per
dimensioni superiori o inferiori ai
10 cm
Nella modalità di rastremazione per
riseghe di dimensioni inferiori a 10
cm è importante prevedere delle
staffe
più
consistenti
in
corrispondenza della piegatura al
fine di assorbire le componenti di
forza trasversale che nascono per il
cambiamento di direzione del ferro
teso
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LA TRAVE A GINOCCHIO
Schema costruttivo della scala con trave a ginocchio
Rea
ri
ola
inc
i
ni v
zio gradin
dei
Carichi applicati
alla trave
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81
Gradini a sbalzo portati da una trave a ginocchio
Progetto dei gradini
Considerando il vincolo d’incastro ogni gradino, o gruppo di gradini,
può essere considerato come una mensola indipendente soggetta ad
un carico uniformemente distribuito (peso proprio, carichi
permanenti e accidentali) e ad un eventuale carico puntuale applicato
alla sua estremità libera (parapetto)
Pp,NST
PP,ST
a = 15 - 18cm
p = 25 - 35cm
c
n
c
m
- 6c
4
s=
Pa
FNST
h
n
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p
l
l = 1.2 m
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82
Gradini a sbalzo portati da una trave a ginocchio
Considerando la geometria dei gradini si intuisce che l’asse di
sollecitazione del momento non coincide con l’asse principale
d’inerzia della sezione e che, quindi, si è in presenza di flessione
deviata. Tuttavia, in virtù della presenza della soletta di
collegamento, la scala può inflettersi essenzialmente ruotando
intorno ad un asse che tende ad avere la stessa inclinazione della
rampa.
Piedata
35 cm
Tutto il problema può essere
semplificato progettando e
verificando la sezione per la
componente del momento
secondo l’angolo α
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granito
3 cm
Alzata
15 cm
lv = 45 cm
a = 23.2°
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3 cm
cm
09
1
l=
l0 = 1 m
83
Gradini a sbalzo portati da una trave a ginocchio
Pp,NST
PP,ST
Pa
FNST
Conoscendo i carichi possiamo
calcolare le sollecitazioni sulla
fascia di un metro di gradini
l = 1.2 m
q l + FNST
V
FNST
ql²
2
+ FNST l
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Il carico accidentale previsto dalla
Normativa (D.M. 14/01/2008 tab
3.1.II) per scale è Pa = 4 kN/m2.
Assumiamo che il peso del
parapetto sia di FNST = 300N.
M
Il momento torcente da applicare
lungo l’asse della trave a ginocchio
è pari al valore del momento
flettente all’incastro moltiplicato
per il cosα
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84
Gradini a sbalzo portati da una trave a ginocchio
Pp,NST
PP,ST
Pa
FNST
Vsd = Fd · l + FNST·1.5 =
= 12.4 + 0.3·1.5 = 12.8kN
l = 1.2 m
ql+F
V
F
ql²
2
+Fl
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Fd = γg1 G1 + γg2 G2+ γq Qk =
=1.3·(PP,ST) + 1.5·PP,NST + 1.5·Pa =
= 1.3·(1.24) + 1.5·(2.4) + 1.5·4.8 =
12.4kN/m
M
Msd = Fd · l2 / 2 + FNST ·1.5 · 1.2 =
= (12.4·1.44)/2 + 0.3·1.5·1.2 = 9.5
kNm
Il momento torcente da applicare
lungo l’asse della trave a ginocchio è:
Md=Msd·cosα=9.5·cos 23.2=8.7kNm
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85
REGOLE PRATICHE DI PROGETTAZIONE PER LA SCALA
Il minimo di armature tesa da disporre è pari a:
A s,min = 0.26
f ctm
⋅ b t ⋅ d ≥ 0.0013 ⋅ b t ⋅ d
f yk
A f 1 = 71 . 6 mmq
•L’armatura necessaria per il momento flettente è valutata attraverso:
Af2 = Md/(0.9d fyd) = 5.2*10^6 / (0.9·145·391.3)=101mm2 = 1.01 cm2
•Scegliamo la massima tra le due quantità:
Af = MAX (Af1; Af2)=1.01 cm2
•Trasformando l’area in tondini di ferro, disponiamo una barra Φ12 nella parte
superiore della sezione per portare il momento pari a Af (Φ12)=1.13 cm2. Disponiamo
un’altra barra Φ12 nella parte inferiore come reggi staffa
•Disponiamo un’armatura di ripartizione della soletta costituita da una rete
elettrosaldata di Φ8/20
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86
REGOLE PRATICHE DI PROGETTAZIONE PER LA SCALA
Esempi di armatura longitudinale a flessione del gradino
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87
REGOLE PRATICHE DI PROGETTAZIONE PER LA SCALA
Armatura longitudinale a flessione del gradino
La scala con gradini portanti può essere vista e progettata come una
soletta in c.a., e quindi in virtù di quanto previsto dalla normativa su
solai e solette piene. può non essere armata a taglio.
Le staffe, quindi hanno solo una funzione costruttiva, vengono
disposte a distanze di circa 20 ÷30 cm e l’armatura di ripartizione della
soletta mantiene lo stesso passo.
Armatura
trasversale
Dovendo calcolare il valore del taglio
resistente viene utilizzata la nota
espressione impiegata per il solaio
utilizzando come altezza utile h
assieme ad una base equivalente
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Armatura a
flessione
88
VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE
La verifica dello SLU per sollecitazioni di torsione è soddisfatta se:
TRd ≥ TEd
dove TEd è il valore dello sforzo di torsione agente e TRd è la torsione
resistente pari al mimino tra il valore della resistenza delle bielle di cls
compresse TRcd, delle barre longitudinali TRld e delle armature trasversali
TRsd tese:
TRd = min (TRcd; TRld; TRsd)*
* La verifica è riferita a sezioni prismatiche cave o piene il cui schema
resistente è riconducibile a un traliccio periferico in cui gli sforzi di trazione
sono affidati alle armature longitudinali e trasversali ivi contenute e gli sforzi
di compressione sono affidati alle bielle di calcestruzzo.
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89
S.L.U. TORSIONE (NTC2008)
Momento torcente resistente delle bielle di calcestruzzo (TRcd)
La resistenza delle bielle si calcola attraverso la seguente espressione:
c
'
TRcd = 2 ⋅ A ⋅ t ⋅ f cd
⋅ cot θ /(1 + cot 2 θ)
t
A
t = Ac/u ≥ 2c
Ac = b x H
um
A
f’cd
θ
è lo spessore della sezione cava;
è l’area della sezione;
um
è il perimetro medio della sezione;
area racchiusa entro la fibra media del
perimetro della sezione;
f'cd resistenza a compressione ridotta
del calcestruzzo d’anima (f 'cd = 0,5× fcd );
angolo di inclinazione delle bielle di cls con limitazione
H
b
0.4 ≤ cot θ ≤ 2.5
NOTA: la tensione del cls è ridotta perché le bielle sono presso-inflesse
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S.L.U. TORSIONE (NTC2008)
Momento torcente resistente delle armature trasversali e longitudinali (TRsd, TRld)
La resistenza delle armature trasversali si calcola attraverso la seguente
espressione:
TRsd
As
= 2⋅A⋅
⋅ f yd ⋅ cot θ
s
La resistenza delle armature longitudinali si calcola attraverso la seguente
espressione:
TRld
t = Ac/u
As
um
s
Asl
A
θ
A sl
1
= 2⋅A⋅
⋅ f yd ⋅
um
cot θ
è lo spessore della sezione cava, Ac è l’area e u il perimetro;
è l’area della staffa;
è il perimetro medio del nucleo resistente,
passo delle staffe;
area complessiva delle barre longitudinali;
area racchiusa nel perimetro medio della sezione cava
angolo di inclinazione delle bielle di cls con la limitazione 0.4 ≤ cot θ ≤ 2.5
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VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE
COMPORTAMENTO A ROTTURA DELLE SEZIONI
Nelle sezioni in c.a. sottoposte a torsione sono possibili 3 diverse
condizioni di verifica:
Snervamento simultaneo delle armature (staffe + barre
longitudinali)
Rottura delle bielle di cls e contemporaneo snervamento
delle staffe
Rottura delle bielle di cls e contemporaneo snervamento
delle barre longitudinali
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VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE
Esempio: progetto per torsione trave 12
Diagramma della sollecitazione di torsione
10
9
15
4
2
11
14
7
13
12
8
9. 9
6
1
3
21.
26.549 17.814
779.222
17.958
82
18
3
17
16
5
27
9.3 8.313 17.049
22.
30.412 21.676
t
H
c
032
DATI DI PROGETTO
= 1800/180 = 10cm
t = Ac/u
Ac = b x H = 30 x 60 = 1800cmq
u
= 2 x (30 + 60) = 180cm
A
= ((30 – 10) x (60 - 10)) = 1000cmq
f’cd
= 5.85N/mmq (fcd = 11.7N/mmq)
= 26.5kNm
TSd
c
= 3cm
um
= 2 x ((30 – 10) + (60 – 10)) = 140cm
b
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93
VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE
PROGETTO PER TORSIONE
Per il progetto dell’armatura resistente a torsione può essere realizzato
un diagramma riportante la funzione della torsione resistente del cls
(TRcd) e le funzioni della torsione resistente delle barre longitudinali
(TRld) e trasversali (TRsd) per diversi valori del rapporto di armatura
(ωsw; ωsl) al variare del valore di cotθ.
A tale scopo possono essere considerati tutti i punti di incontro tra le
funzioni TRld e TRsd che ricadono entro i valori cotθ = 0.4 e cotθ = 2.5 e
delimitati dai punti della funzione TRcd e del valore della torsione
agente TSd
ATTENZIONE: Se il valore della torsione agente TSd risulta essere
maggiore del valore massimo della torsione resistente del cls TRcd
(valutato per cotθ = 1) bisogna necessariamente definire una nuova
geometria della sezione di cls ovvero utilizzare un cls di resistenza
maggiore
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VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE
θ=68°.2
90
80
ωs=0.3
ωs=0.2
θ=21°.8
100
ωs=0.1
torsione [kNm]
70
area di verifica
soddisfatta
Trd > Tsd
60
50
ωs=0.05
40
30
20
10
ωl=0.1
ωl=0.05
ωl=0.3
ωl=0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
cotθ
ωs =
A s ⋅ f yd
s ⋅ t ⋅ f cd
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ωl =
A l ⋅ f yd
u m ⋅ t ⋅ f cd
Trcd (300 x 600mm)
Tsd
Trsd
Trld
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VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE
PROGETTO PER TORSIONE
Per l’esempio in svolgimento si prende in considerazione il punto con
ωsw = 0.1 e ωsl = 0.2. Il passo delle staffe e l’area dell’armatura
corrispondente ai due valori assegnati è di seguito valutato:
s=
0.1 ⋅ 50 ⋅100 ⋅11.7
ωs ⋅ A s ⋅ t ⋅ f cd
⇒
≈ 160mm
f yd
391
ω ⋅ u ⋅ t ⋅ f cd
0.2 ⋅1400 ⋅100 ⋅11.7
Al = l m
⇒
= 830mmq
f yd
391
Passo staffe di verifica 150mm
Armatura longitudinale di verifica
6Ø16 (Asl = 6 x 201mmq =
1206mmq)
ATTENZIONE: la verifica di sicurezza deve essere effettuata con il
valore effettivo dell’armatura disposta
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PROGETTO DELLA TRAVE A GINOCCHIO
Disposizione delle barre a torsione e a flessione
La disposizione longitudinale delle barre a torsione si effettua allo
stesso modo del momento flettente.
Le uniche differenze stanno nel fatto che i ferri a torsione si sommano
a quelli a flessione, e vengono disposti lungo il perimetro della
sezione
Ciò avviene non solo per un miglior funzionamento delle sezioni nei
confronti della torsione, ma anche per la mancanza di spazio nella
parte superiore e in quella inferiore delle sezioni delle travi.
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97
PROGETTO DELLA TRAVE A GINOCCHIO
Disposizione delle staffe a torsione e taglio
Le staffe disposte per il taglio e per la torsione devono essere
sommate, in modo tale che il passo sia sufficiente per sopportare
contemporaneamente taglio e torsione
•Calcoliamo il rapporto tra l’area delle staffe disposte per il taglio
(lavorano con 2 braccia) ed il relativo passo:
AswV/s
•Calcoliamo il rapporto tra l’area delle staffe disposte per la torsione
(lavorano con 1 braccio) e il passo necessario per portare la sola
torsione:
2AswT/s
•La somma di questi due contributi rappresenta il rapporto tra l‘area
totale delle staffe e il passo
AswTOT/s
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98
PROGETTO DELLA TRAVE A GINOCCHIO
TORSIONE E TAGLIO
Per quanto riguarda la crisi lato calcestruzzo, la resistenza
massima di una membratura soggetta a torsione e taglio è limitata
dalla resistenza delle bielle compresse di calcestruzzo. La verifica
è soddisfatta se risulta:
TEd
VEd
+
≤1
TRcd VRcd
ATTENZIONE:
Per l’angolo θ delle bielle compresse di conglomerato cementizio deve essere
assunto un unico valore per le due verifiche di taglio e torsione.
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99
S.L.U.: SOLLECITAZIONI COMPOSTE (NTC2008)
TORSIONE, FLESSIONE E SFORZO NORMALE
Le armature longitudinali calcolate come indicato per la resistenza
nei riguardi della sollecitazione torcente devono essere aggiunte a
quelle calcolate nei riguardi delle verifiche per flessione
Si applicano inoltre le seguenti regole:
- nella zona tesa all’armatura longitudinale richiesta dalla
sollecitazione di flessione e sforzo normale, deve essere aggiunta
l’armatura richiesta dalla torsione
- nella zona compressa, se la tensione di trazione dovuta alla
torsione è minore della tensione di compressione nel calcestruzzo
dovuta alla flessione e allo sforzo normale, non è necessaria
armatura longitudinale aggiuntiva per torsione
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