C A L C O L O
M O D I
P U S H - O V E R
D I
E
F R E Q U E N Z E
T I P O
M O D A L E
Versione 1.12080801
G R U P P O
S I S M I C A
S . R . L .
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Gruppo Sismica s.r.l. © Ottobre 2011
Si ringraziano coloro che hanno collaborato
alla stesura del presente manuale.
Pag. 2
INDICE GENERALE
1.
INTRODUZIONE
4
2.
LE ANALISI PUSH - OVER MODALI
4
2.1 .
2.2 .
3.
CALCOLO MODI E FREQU ENZE CON 3D MACRO ®
3.1 .
3.2 .
3.3 .
4.
P arametri modal i
Determi nazi one del l a di s tri b uzi one di cari co
Defi ni zi one del l ' anal is i modal e
Defi ni zi one del l ’ anal is i pus h over
Dettagl i e ri s ul tati
VALIDAZIONE DEI MODI
4.1 .
4.2 .
4.3 .
4
5
6
6
7
9
11
T el ai o pi ano con tre el evazi oni
T el ai o 3 D s enza tamponamenti peri metr al i
T el ai o 3 D con tamponamenti peri metral i
Pag. 3
11
12
16
3DMacro® - Tutorial Analisi Modale
CAPITOLO 1 – INTRODUZIONE
1. INTRODUZIONE
Il presente documento si articola in tre principali sezioni: nella prima vengono riportati alcuni
cenni teorici sulle analisi push over modali, nella seconda vengono descritte le funzionalità del software
relative al calcolo di modi e frequenze e fornite le indicazioni di utilizzo, nella terza sezione, infine,
vengono presentati i risultati ottenuti su modelli esemplificativi, mediante l’utilizzo di 3DMacro® e
SAP2000® e posti a confronto per la validazione del software.
2. LE ANALISI PUSH - OVER MODALI
Nel presente capitolo vengono introdotte le analisi push-over con distribuzione di forze proporzionale ai
modi di vibrazione della struttura. A partire da una caratterizzazione dinamica di dettalgio (cfr. 2.1)
3DMacro determina in automatico i modi predominanti per ciascuna direzione di carico che vengono
quindi utilizzati per determinare la forma del carico pseudo-statico.
Tale procedura permette di determinae la percentuale di massa partecipante associata a ciascuna
analisi condotta sul modello, e quindi di verificare i limiti imposti dalla norma per ciascuna tipologia
costruttiva. Inoltre nelle analisi proporzionali ai modi la distribuzioen di carico risulta essere più
aderente al reale andamento delle forze d'inerzia conseguenti al sisma, consentono pertanto di predire
meglio la risposta della struttura e le sue reali capacità. L'impiego di tali analisi è preferibile soprattuto
per edifici irregolari in altezza, per i quali la distribuzione triangolare inversa può risultare poco realistica
(edifici sopraelevati con tipologie costruttive differenti).
Le analisi push-over con distribuzioni modali saranno oggetto di ulteriori sviluppi che riguarderanno la
possibilità di considerare contemporaneamente più modi, opportunamente combinati tra loro ( analisi
multi-modale), e quella di aggiornare le forme modali durante l'analisi (analisi adattive). Tali nuove
funzionalità risulteranno particolarmante utili nello studio di edifici irregolari (in pianta e in altezza),
carattrizzati da forti effetti torsionali, presenti fin dalla condizione di quiete, oppure formatisi a seguito del
progressivo degrado della struttura.
2.1.
PARAMETRI MODALI
Si considerino le seguenti grandezze modali:
i
i-esimo modo di vibrare;
m
matrice di massa del sistema;
 X,i Coefficiente di partecipazione modale in direzione X relativo al modo i-esimo;
 Y,i Coefficiente di partecipazione modale in direzione Y relativo al modo i-esimo;
 Z,i Coefficiente di partecipazione modale in direzione Z relativo al modo i-esimo;

X,i Massa
partecipante in direzione X relativa al modo i-esimo;

Y,i Massa
partecipante in direzione Y relativa al modo i-esimo;

Z,i
Massa partecipante in direzione Z relativa al modo i-esimo;
Pag. 4
3DMacro® - Tutorial Analisi Modale

iT  m  ex


 i, x
iT  m  i


iT  m  e y



 i, y
iT  m  i


T
   i  m  ez
 i, z  T  m  
i
i

CAPITOLO 2 – LE ANALISI PUSH OVER MODALI

 M i, x 
i  m  i ex,i

i 1,n


i  m  i e y ,i
M i, y 

i 1,n

i  m  i ez ,i
 M i, z 

i 1,n

(1)








i 
M  1  
m j   j  ex , j
i
,
x

i 

M
 j 1,n



1 
i 
m j  j  ey, j
M i, y  i   

M

 j 1,n



i 
 M i, z  1  
m j   j  ez , j
i 


M
 j 1,n

(2)





2



2







2
(3)
In (1) sono riportate le espressioni dei coefficienti di partecipazione modali, dove con ex ,ey ,ez
rappresentano i vettori pseudo - statici: effettuando il prodotto righe-colonne tra la matrice m e ciascun
vettore e, si ottiene il vettore di carico relativo a una accelerazione al suolo diretta lungo le direzioni X,Y o
Z del sistema di riferimento assoluto.
Le masse pertecipanti a ciascun modo sono determinate mediante le (2), limitatamente al caso di matrici
di massa diagonali, indicando con mi la massa associata al modo i-esimo e con M(i) la massa modale
relativa allo stesso modo (contenuta al denominatore dell'espressione di ), le masse partecipanti
vengono espresse mediante le (3).
2.2.
DETERMINAZIONE DELLA DISTRIBUZIONE DI CARICO
L'analisi viene condotta in due fasi successive: fase a controllo di forze e fase a controllo di spostamenti.
Nella fase a controllo di forze il vettore f0 viene applicato mediante un processo incrementale per passi
costanti. Non appena la matrice di rigidezza diviene singolare ha inizio la fase a controllo di spostamenti,
nella quale il programma applica spostamenti con una forza costante e pari all'ultimo incremento di
deformata registrato, tale procedura assume la denominazione a "velocità di deformazione costante". Di
seguito si riporta nel dettaglio le operazioni seguite per la determinazione della distribuzione di carico.
Indicando con ( i) il generico modo di vibrare, la da esso massa attivata nella direzione di carico
individuata dai versori (ei) risulta :
e
M i =M i, x  ex  M i, y  ey  M i , z  ez
Analogamente, indicando con Mx, My, Mz, rispettivamente la massa totale dell'edificio attivata lungo le
ciascuna delle direzioni principali, la massa totale attivata nella direzione (e) risulta:
 e  =M  e  M  e  M  e
M tot
x x
y y
z z
Indicando con n la forma di vibrare che massimizza la massa partecipante, la distribuzione base del carico
viene ottenuta, a partire dalla forma modale, secondo la seguente espressione:
f 0 =n
e
M tot
e
M 
n
Pag. 5
3DMacro® - Tutorial Analisi Modale
CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI
3. CALCOLO MODI E FREQUENZE CON 3D MACRO ®
3DMacro® esegue l’analisi di modi e frequenze della struttura, eseguendo una analisi push-over, la cui
distribuzione di forze viene determinata a partire dai modi di vibrazione della struttura.
3.1.
DEFINIZIONE DELL'ANALISI MODALE
Utilizzando il comando disponibile dal menu Definisci > Modi e Frequenze è possibile definire i
parametri dell’analisi ed in particolare:
Numero di modi: rappresenta il numero di forme modali (e relative frequenze) da ricercare,
partendo dal modo con periodo più grande (periodo fondamentale).
Numero massimo di iterzioni: rappresenta il numero massimo di iterazioni che possono essere
eseguite nella ricerca di ciascun modo. L'impostazione di default è 100.
Tolleranza: permette di impostare l'accuratezza nella procedura di ricerca del generico autovaloreautovettore del sistema (metodo iterativo). Indicando con a i e ai+1 rispettivamente il valore
dell'autovalore alla iterazione i e i+1, l'errore adimensioanlizzato (e) viene definito come (ai+1 - ai) /
ai. La convergenza della soluzione si ritiene raggiunta quando e diviede minore della tolleranza
fissata.
Determina le masse da: indica i carichi gravitazionali da considerare per il calcolo delle masse. E'
possibile selezionare una tra le analisi statiche di tipo non sismico. Di default è disponibile solo
l’analisi "Vert”.
Stato iniziale della struttura: permette di calcolare i modi di vibrare considerando uno stato
deformato della struttura, conseguente all'applicazione di una serie di carichi gravitazionali. In questo
caso le rigidezze degli elementi non coincideranno con i valori iniziali (in configurazione indeformata),
ma si terrà conto di tutti gli eventi non lineari (degrado), registrati durante il processo di carico
statico. L'analisi da cui acquisire lo stato iniziale della struttura dovrà essere lanciata
(automaticamente dal software) prima dell'analisi modale. Se si sceglie "Nessuna analisi di partenza" i
modi verranno calcolati sulla struttura integra.
Pag. 6
3DMacro® - Tutorial Analisi Modale
CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI
Figura 1. Definizione dell’analisi per il calcolo di modi e frequenze.
3.2.
DEFINIZIONE DELL’ANALISI PUSH OVER
Dalla finestra di definizione delle analisi, disponibile dal comando Definisci > Analisi, per la pushover appartenenti alla distribuzione principale è possibile selezionare l'opzione “primo modo” in
alternativa a "triangolare", in questo caso la distribuzione del carico statico verrà calcolata
proporzionalmente alla forma del modo di vibrare fondamentale nella direzione di carico.
Figura 2. Definizione delle analisi pushover con distribuzione delle forze proporzionale al primo modo.
Figura 3. Opzioni avanzate dell’analisi modale.
Se si è scelto di eseguire le analisi push-over, appartenenti alla distribuzione principale, utilizzando
una distribuzione delle forze proporzionale al “primo modo”, è possibile settare i parametri che
regolano l’analisi dei modi, dalla finestra di definizione delle Opzioni avanzate dell’analisi selezionata,
nella scheda “Opzioni modali”.
Pag. 7
3DMacro® - Tutorial Analisi Modale
CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI
Attraverso questa scheda è possibile assegnare il limite della massa totale partecipante nella
direzione del carico, inserendo il segno di spunta sulla voce corrispondente ed esplicitandone la
percentuale (in funzione della tipologia costruttiva). In particolare, seguendo le indicazioni delle
NTC2008, per gli edifici esistenti in muratura è impostato al 60%, mentre per edifici nuovi viene al
75% per tutte le altre tipologie.
Le funzionalità di seguito descritte sono in fase di implementazione, pertanto non ancora
disponibili.
Le opzioni presenti nella sottofinestra “Analisi con modo singolo/multimodale” consentono
di scegliere se utilizzare il modo principale o una combinazione di più modi (analisi
multimodale). In tal caso è possibile assegnare il numero di modi da combinare o lasciare
che il programma determini il numero minimo di modi al fine di di rispettare la
percentuale minima di massa partecipante (impostata al punto precedente). In
quest’ultimo caso, il valore indicato non potrà comunque essere maggiore del numero di
modi calcolati nell’analisi modale.
Selezionando l’opzione “Analisi adattiva” il programma aggiorna le forme modali a
intervalli regloari. L'utene in questo caso deve specificare il numero di step di carico da
eseguire tra un aggiornamento e il successivo.
Dalla finestra Calcola > Esegui Analisi è possibile effetuare l’analisi di modi e frequenze della
struttura, selezionando l’opzione “Calcolo di modi e frequenze”, disponibile sotto la voce “Altre
Analisi”. Così facendo il software eseguirà il calcolo degli N modi di vibrazione della struttura, così
come impostato nella scheda di definizione dei parametri (cfr. par. 3.1). Dalla medesima finestra
possono essere eseguite, le analisi proporzionali ai modi selezionando nella vista semplice l'opzione
"1° modo/Triangolare" o selezionando una analisi appartenente alla distribuzione principale dalla lista
dettalgiata (opportunamente definita come riportato in Figura 2).
Pag. 8
3DMacro® - Tutorial Analisi Modale
CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI
Figura 4. Calcolo di modi e frequenze.
Prima di effettuare il calcolo di modi e frequenze, il programma eseguirà automaticamente l’analisi
che è stata impostata come analisi di partenza (ad esempio la “Vert”), in modo da acquisire lo stato
della struttura all'ultimo passo e determinare la matrice di rigidezza.
3.3.
DETTAGLI E RISULTATI
Per visualizzare i risultati della analisi dei modi e la corrispondente configurazione deformata della
struttura, occorre portarsi sulla finestra delle Proprietà, disponibile nell’area a destra dell’ambiente
principale del programma. All’interno della finestra è presente un menu a tendina, sotto la voce
“Configurazione deformata”, da cui è possibile selezionare l’analisi modale (cfr. Figura 5).
Figura 5. Selezione dell’analisi per la visualizzazione della risposta.
Pag. 9
3DMacro® - Tutorial Analisi Modale
CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI
Figura 6. Visualizzazione dei modi di vibrare della struttura.
Le schede “Passo” e “Stato limite”, per questa configurazione deformata sono inibite, poiché l’analisi
selezionata non è un’analisi pushover. Nella scheda “Modo”, invece, sono disponibili i dettagli
dell’analisi dei modi eseguita.
Per visualizzare la deformata della struttura corrispondente a un determinato modo, ovvero il modo di
vibrare della struttura, occorre selezionare il numero corrispondente nella cella “Modo” (cfr. Figura 6).
È possibile amplificare la deformata assegnando un opportuno fattore di scala con il comando “Scala
deformata” riportato nella figura seguente.
Figura 7. Fattore di scala o di amplificazione della deformata.
Figura 8. Visualizzazione dettagli delle caratteristiche dinamiche.
Mediante il bottone “Dettagli” è possibile visualizzare la tabella con le proprietà modali (cfr. Figura 8),
in cui vengono riportati, per ciascun modo (per ulteriori dettagli vedi il paragrafo 2.1):
- T [sec], w [rad/sec]: il periodo e la frequenza propria di vibrazione;
Pag. 10
3DMacro® - Tutorial Analisi Modale
CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI
- Mx, My, Mz [kN·sec2/cm]: la massa modale partecipante in direzione x, y e z del sistema
globale;
- Mx, My, Mz [%]: la massa modale partecipante in direzione x, y e z del sistema globale,
espressa come percentuale della massa totale;
- Mx Sum, My Sum, Mz Sum [%]: somma della percentuale di massa modale partecipante,
cumulata fino al modo in esame, nelle direzioni x, y e z del sistema globale;
- Gx, Gy, Gz: coefficienti di partecipazione modale in direzione x, y e z del sistema globale.
4. VALIDAZIONE DEI MODI
Segue una validazione del calcolo dei modi e frequenze mediante il confronto dei risultati ottenuti con il
programma di calcolo SAP2000® per modelli elementari.
4.1.
TELAIO PIANO CON TRE ELEVAZIONI
Descrizione
: telaio piano a tre elevazioni L=5m, H interpiano =3m.
Materiali
: calcestruzzo E=30000 Mpa.
Sezioni
: rettangolari 30x50, disposte con la massima inerzia nel piano di inflessione.
Carichi
: pesi propri+ permanenti =5KN/m + sovraccarico variabile =2KN/m (30% di 6KN/m).
Massa
: massa propria elementi 0.382 KNs2/m2; massa traversi = 3.55 KNsec2/m;
- totale massa elementi = 0.382* (33) = 12.61 KNsec2/m
- totale massa carichi
Modo
1
2
3
= 3.55* 3
= 10.65 KNsec2/m
TOT
= 23.26 KNsec2/m
Programma
T
[sec]
Massa part.
[KNs2/cm]
Massa part.
[%]
SAP 2000
0.254
0.2119
82.50
3DMacro
0.236
0.1850
83.42
SAP 2000
0.081
0.0374
14.57
3DMacro
0.072
0.0270
12.13
SAP 2000
0.045
0.0072
2.82
3DMacro
0.040
0.0090
3.98
Tot Massa
modi
SAP 2000
0.2565
99.89
3DMacro
0.2210
99.53
Massa
sismica
SAP 2000
0.2567
100.00
3DMacro
0.2218
100.00
Figura 9. confronto Periodi e masse partecipanti.
Pag. 11
3DMacro® - Tutorial Analisi Modale
SAP 2000
3DMacro
CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI
Figura 10. Confronto forme modali SAP-3DMacro.
4.2.
TELAIO 3D SENZA TAMPONAMENTI PERIMETRALI
Descrizione
: telaio 3D a tre elevazioni composto da 4 telai contenuti in test1
Materiali
: calcestruzzo E=30000 Mpa.
Sezioni
: rettangolari 30x50, disposti con la massima inerzia nel piano X-Z.
Carichi
: pesi propri + sovraccarichi solai =5.6 KN/m2. I solai sono a semplice orditura
lungo la direzione Y (le travi caricate sono quelle in direzione X).
Massa
: massa propria elementi 0.382 KNs2/m2; massa solai = 0.57 KNsec2/m3;
- totale massa elementi = 0.382* (90) = 34.38 KNsec2/m
- totale massa carichi
= 0.57* (75)
= 42.75 KNsec2/m
TOT
= 77.13 KNsec2/m
Pag. 12
3DMacro® - Tutorial Analisi Modale
CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI
Figura 11. Vista in painta del modello con indicazione del sistema di riferiemnto globale .
Periodo
Direzione
1
Traslazione Y
2
Traslazione X
3
Torsionale
4
Traslazione Y
5
Traslazione X
6
Torsionale
Massa sismica totale
M part.
[sec]
M part.
[KNs2/m]
SAP 2000
0.431
0.694
87.29
3DMacro
0.404
0.668
86.46
SAP 2000
0.370
0.669
84.17
3DMacro
0.315
0.640
82.83
SAP 2000
0.336
0
0
3DMacro
0.352
0
0.01
SAP 2000
0.140
0.824
10.37
3DMacro
0.132
0.080
10.33
SAP 2000
0.115
0.987
12.42
3DMacro
0.095
0.940
12.19
SAP 2000
0.100
0
0
3DMacro
0.110
0
0
Programma
T
SAP 2000
79.52
3DMacro
77.26
Figura 12. confronto Periodi e masse partecipanti.
Pag. 13
[%]
3DMacro® - Tutorial Analisi Modale
CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI
Primo modo
Secondo modo
Terzo modo
Quarto modo
Quinto modo
Sesto modo
Figura 13. Forme modali ottenute mediante 3DMacro.
Pag. 14
3DMacro® - Tutorial Analisi Modale
CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI
Primo modo
Secondo modo
Terzo modo
Quarto modo
Quinto modo
Sesto modo
Figura 14. Forme modali ottenute mediante SAP2000.
Pag. 15
3DMacro® - Tutorial Analisi Modale
4.3.
CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI
TELAIO 3D CON TAMPONAMENTI PERIMETRALI
Descrizione
: telaio 3D del testo 2 con tamponamenti perimetrali.
Le pareti in direzione y sono prive di aperture mentre le pareti in direzione x
presentano delle aperture centrate di forma quadrata con lato pari a 2m.
Materiali
: calcestruzzo E=30000Mpa.
Tamponamenti elastici E=2000Mpa, G=800Mpa, spessore=20cm, peso specifico=18KN/mc.
Sezioni
: rettangolari 30x50, disposti con la massima inerzia nel piano X-Z.
Carichi
: pesi propri + sovraccarichi solai =5.6 KN/m2. I solai sono a semplice orditura
lungo la direzione Y (le travi caricate sono quelle in direzione X.
Figura 15. Particolari del modello in SAP2000®.
= 0.382* (90)
= 34.38 KNsec2/m
- massa solai
= 0.57* (75)
= 42.75 KNsec2/m
- massa pannelli y
= (0.2*11)*18/9.81
= 5.50 * 6
= 33.03 KNsec2/m
- massa pannello x
= (0.2*11)*18/9.81
= 4.04 * 6
= 24.22 KNsec2/m
Massa - massa elementi in c.a.
mTOT = 134.38 KNsec2/m mY = 110.16 KNsec2/m mX = 101.35 KNsec2/m
Pag. 16
3DMacro® - Tutorial Analisi Modale
CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI
Le masse relative alle pareti vengono applicate ai vertici dell'edificio considerando che la massa di
ciascuna parete si attiva unicamente nella direzione del piano della parete stessa.
Primo modo
Secondo modo
Terzo modo
Quarto modo
Quinto modo
Sesto modo
Figura 16. Forme modali ottenute mediante SAP2000 ®.
Pag. 17
3DMacro® - Tutorial Analisi Modale
CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI
T
M part.
[KNs2/m]
M part.
Periodo
Direzione
[sec]
[%]
1
x
0.1869
108.1198
84
2
y
0.1397
115.6462
84
3
Torsionale
0.1307
0
0
4
x
0.0610
12.9744
12
5
y
0.0505
17.8976
13
6
Torsionale
0.0455
0
0
Figura 17. Caratteristiche dinamiche modello SAP 2000 ®.
(a)
(b)
Figura 18. Caratteristiche dinamiche modelli 3DMacro®: (a) mesh base; (b) mesh fitta.
Pag. 18
3DMacro® - Tutorial Analisi Modale
CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI
Primo modo
Secondo modo
Terzo modo
Quarto modo
Quinto modo
Sesto modo
Figura 19. Modi di vibrare del modello 3DMacro® con mesh base.
Pag. 19
3DMacro® - Tutorial Analisi Modale
CAPITOLO 4 – VALIDAZIONE DEI MODI
Primo modo
Secondo modo
Terzo modo
Quarto modo
Quinto modo
Sesto modo
Figura 20. Modi di vibrare del modello 3DMacro® con mesh fitta.
Pag. 20