Geometria in situazione
seconda parte
di Gianfranco Arrigo
Alta scuola pedagogica, Locarno
NRD, Bologna
Indice
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Quarta situazione
Quinta situazione
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Quarta
situazione
Un’idea suggerita dai
cuscinetti a sfera
Consegna iniziale per gli studenti
I meccanici conoscono bene il problema dei cuscinetti a
sfera, consistente nel contornare di sferette l'albero attorno al
quale gira una ruota.
Per esempio, i cuscinetti a sfera li troviamo nei pignoni delle
biciclette, nei mozzi delle ruote delle automobili.
A noi interessa in modo particolare il problema di inscrivere
in un dato cerchio due o più cerchietti tangenti fra di loro
e pure tangenti internamente alla sua circonferenza.
È una variazione del problema dei cuscinetti a sfera, che
riserverà non poche sorprese!
Prima stimolazione: due cerchietti in un cerchio
r2
r2
Raggio dei cerchietti inscritti:
r
r2 
2
r
Commento
Fin troppo facile…
Seconda stimolazione: tre cerchietti in un
cerchio
Raggio dei cerchietti inscritti:
r
1
 x  3 r
 tg 30Þ
x
3
30° x
15°
x
r3
.
.
120° 120°
r
r3
 tg 15Þ 2  3
x

r3  2  3  3 r
Commento
Niente di particolarmente
interessante: assomiglia
a uno dei soliti barbosi
esercizi…
Terza stimolazione: quattro cerchietti in un
cerchio
45
2
Raggio dei cerchietti inscritti:
r
.
45
r4  r  tg
 r   2 1
2
r4
Commento
Ancora niente di eccezionale, ma si nota come il metodo
di calcolo adottato prima sia direttamente applicabile
anche a questo caso.
Quarta stimolazione: cinque cerchietti in un
cerchio
Raggio dei cerchietti inscritti:
r
 tg 54
x
r
x
r5
 tg 27
x
54°
72°
r5
x

r
x
tg 54
27°

r
r5 
 tg 27
tg 54
Commento
Qui si incomincia a vedere la struttura della formula
generale, grazie al fatto che le tangenti interessate non
sono esprimibili mediante radicali.
Quinta stimolazione: sei cerchietti in un
cerchio
r
r
x 6
60°
x
60°
Raggio dei cerchietti inscritti:
r
r
 tg 60
 x
x
3
r 1
r
r6  x  tg 30 


3 3 3
Commento
Potendo usare le radici, i risultati assumono forme più
leggibili. Il valore trovato ci presenta la prima grande
sorpresa…
Quinta stimolazione: sei cerchietti in un
cerchio
Se calcoliamo le lunghezze
lungo un diametro scopriamo
che…
r 2
2 r  4 r6  2 r  4   r  2  r6
3 3
… al centro ci sta un nuovo
cerchietto. Quindi i 6 cerchietti
ipotizzati diventano 7.
Commento
Ora siamo pronti per la generalizzazione.
Sesta stimolazione: n cerchietti in un cerchio
r
.
. rn
x

w
Sia n il numero dei cerchietti
della prima corona.
x
w
 n  2 
2w
2n
 n  2
rn  x  tg
4n

r
x
 n  2
tg
2n
r
 n  2
r 
2  n  2
 1 tg 
rn 
 tg

 n  2
4n
2 
 4 n 
tg
2n
Sesta stimolazione: n cerchietti in un
cerchio
Inseriamo in un computer la formula trovata, per esempio
usando un foglio elettronico.
Schema del calcolo:
r
 n  2
 rn   1 tg2 w
Per n = 1,2,3, …, (24): w 
2
4n

n è il numero di cerchietti nella prima corona (tangenti
internamente alla circonferenza data).
Calcolando sul diametro si può stabilire il numero di
corone concentriche:
 r 
no. corone  Int   1
rn 

Sesta stimolazione:
n cerchietti in un cerchio
A destra, un esempio di
possibile output:
Possiamo notare che per
n=6 appaiono due corone
(come abbiamo già trovato
con il calcolo).
Inoltre il computer ci segnala
che per n=10 si passa a tre
corone, per n=13 a quattro,
per n=16 a cinque, per n=19
a sei, per n=22 a sette.
Quinta
situazione
Oltre la terza dimensione:
ipercubo e compagni
Consegna iniziale per gli studenti
Così come…
il punto è il “cubo” a zero dimensioni,
il segmento è il “cubo” a una dimensione,
il quadrato è il “cubo” a due dimensioni,
il cubo è il “cubo” a tre dimensioni,
… l'ipercubo è il cubo a quattro dimensioni.
Così come…
è possibile rappresentare (mediante proiezione) un cubo a
tre dimensioni su di un foglio di disegno (bidimensionale),
… dovrebbe essere possibile realizzare un modellino
tridimensionale che sia la proiezione dell'ipercubo.
Ogni modellino tridimensionale può essere rappresentato su
un foglio (bidimensionale), quindi anche sullo schermo.
Guida per l’insegnante
La situazione è stimolante sin dall'inizio: la curiosità degli
studenti per quello che può essere definito un superamento
della terza dimensione è nota ad ogni insegnante.
Qui si propone di adottare un modo semplice ma efficace che
permetta di passare dalla dimensione k alla k+1.
L'oggetto della ricerca è il cubo a k dimensioni (k-cubo), con
k=0,1,2,3,4,…
Di ogni k-cubo verranno contati gli elementi a 0, 1, 2, …, (k–
1) dimensioni: essi formano una n-tupla caratteristica del kcubo.
Prima stimolazione: da 0-dim a 1-dim
t01
traslazione
punto:
0 dimensioni
segmento:
1 dimensione
(1)
(2,1)
Seconda stimolazione: da 1-dim a 2-dim
t12
traslazione
segmento:
1 dimensione
quadrato:
2 dimensioni
(2,1)
(4,4,1)
Terza stimolazione: da 2-dim a 3-dim
t23
traslazione
quadrato:
2 dimensioni
cubo:
3 dimensioni
(4,4,1)
(8,12,6,1)
Quarta stimolazione: da 3-dim a 4-dim
t34
traslazione
cubo:
3 dimensioni
ipercubo:
4 dimensioni
(8,12,6,1)
(16,32,24,8,1)
Quarta stimolazione: l’ipercubo
Proiezione
tridimensionale
dell’ipercubo
Quinta stimolazione: prima generalizzazione
Per poter chiarire bene la natura dei diversi k-cubi,
costruiamo una tabella che ci permette di indurre le formule
per il calcolo del termine n-esimo di ogni successione
relativa agli elementi di dimensione 0,1,2,3,4, che
chiamiamo ordinatamente:
pk:
numero vertici (0-dim) del k-cubo
sk:
numero spigoli (1-dim) del k-cubo
fk:
numero facce (2-dim) del k-cubo
ck:
numero cubi (3-dim) del k-cubo
Quinta stimolazione: prima generalizzazione
Con un po’ di pazienza…
Dim.
k-cubo pk
sk
0
1
0
1
2
1
2
4
4
3
8
12
4
16
32
…
…
…
fk
0
0
1
6
24
…
ck
0
0
0
1
8
…
fk  2 fk –1  sk1
ck  2 ck –1  fk 1
… e con un po’ di intuito
2
k
sk  2 sk –1  pk1
Sesta stimolazione: ultima generalizzazione
Chiamiamo Eik l' elemento i  dim di un k  cubo
Allora la nostra congettura diventa:
Inizializzazione: E0k  2k
Eik  2 Eik1  Ei1
k1
E00  1 ; Ei0  0 per i  0
k\i 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 punto
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
segmento
1
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
quadrato
2
4
4
1
0
0
0
0
0
0
0
0
cubo
3
8
12
6
1
0
0
0
0
0
0
0
4
16
32
24 ipercubo
8
1
0
0
0
0
0
0
5
32
80
80
40
10
1
0
0
0
0
0
supercubo
6
64
192
240
160
60
12
1
0
0
0
0
fantacubo
7
128
448
672
560
280 extracubo
84
14
1
0
0
0
8
256 1024
1792
1792
1120 448 specialcubo
112
16
1
0
0
9
512 2304
4608
5376 4032 2016 672 elefancubo
144 18
1
0
10 1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180kilocubo
20
1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
… …
…
Settima stimolazione: scopriamo un teorema
Chiamiamo Eik l' elemento i  dim di un k  cubo
10
0
1
2
10
i
Calcoliamo: k  Ek  Ek  Ek    Ek   1 Ek
k\i 0
0
1
1
2
2
4
3
8
4
16
5
32
6
64
7
128
8
256
9
512
10 1024
… …
1
2
3
0
0
0
1
0
0
4
1
0
12
6
1
32
24
8
80
80
40
192
240
160
448
672
560
1024 1792 1792
2304 4608 5376
5120 11520 15360
…
…
…
4
5
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
10
1
60
12
280
84
1120 448
4032 2016
13440 8064
…
…
k è uguale a 1, per ogni k
i
i0
6
7
8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
14
1
0
112
16
1
672 144 18
3360 960 180
…
…
…
9 10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
20 1
… …
k
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
…
Settima stimolazione: enunciamo il teorema
Il teorema può essere generalizzato.
Chiamiamo Eik l' elemento i  dim di un k  cubo
k
Allora vale la formula:
i i

1

Ek  1

i0
Caso particolare: k=3
E03  E13  E23  E 33  8 12  6  1 1
Ossia:
p3  s3  f3  1 1
Vertici – spigoli + facce = 2
p3  s3  f3  2
(formula di Euler per i poliedri)
FINE
© 2002 [email protected]