Analisi dei segnali con l’ Analizzatore di Spettro
Teoria Unificata dei Segnali Osservati (TUSO)
di Mario Bon
10 aprile 2015
Parte Terza : Sistemi lineari
Con il termine “sistema” si intende un dispositivo dotato di ingressi e uscite che svolge una certa funzione. Agli ingressi si
applicano gli stimoli e alle uscite si ottengono le risposte. Gli oscillatori sono particolari sistemi che hanno solo uscite. Il
“come” la particolare funzione venga realizzata dal sistema è irrilevante. I sistemi di interesse sono quelli “fisicamente
realizzabili” ovvero causali (lo stimolo precede sempre la risposta)e tempo invarianti (non alterano gli intervalli di tempo).
Un sistema si dice lineare quando per esso vale il principio di sovrapposizione degli effetti (la relazione tra ingresso ed
uscita è un omomorfismo = trasformazione tra spazi vettoriali).
Un sistema lineare trasforma uno stimolo sinusoidale in una risposta sinusoidale che differisce dallo stimolo per ampiezza
e fase (moltiplicazione per uno scalare e rotazione). L’importanza delle funzioni seno e coseno sta nell’essere “ivarianti in
forma” rispetto trasformazioni lineari. Questo consente di definire un guadagno ed un ritardo di fase.
Uno stimolo vin(t), combinazione lineare di seni e coseni produce, all’uscita di un sistema lineare fisicamente
realizzabile, una sovrapposizione delle stesse funzioni seno e coseno ciascuna con ampiezza e fase appropriata. Ne
segue che, nel dominio della frequenza, la risposta di un sistema lineare è rappresentata da:
Σι Vout(jwi)
=
Σι H(jwi) Vin(jwi)
H(jw) è la funzione di trasferimento (complessa), Vin(jw) è la rappresentazione in serie di Fourier dello stimolo v(t).
Antitrasformando H(jw) si ottiene h(t) detta funzione caratteristica del sistema o risposta impulsiva. Viste le proprietà della
trasformazione di Fourier ne segue che l’uscita di un sistema lineare è data, nel dominio del tempo, dalla convoluzione
dello stimolo vin(t) con la funzione caratteristica h(t)
|vout(t)> = <h(t) | vin(T-t)> = h(t) ⊗ vin(t)
Valgono tutte le proprietà della convoluzione ed in particolare:
H(jw)= Vout(jw)/Vin(jw)
Quest’ ultima espressione è sensibile sia al rumore in ingresso (associato a Vin) che al rumore in uscita (associato a
Vout). E’ sensibile anche alla distorsione non lineare (che appare in Vout ma non è presente in Vin). Per questo, nelle
misure su sistemi reali, alcuni preferiscono ricavare H(jw) dalla correlazione Rxy utilizzando come stimolo un segnale la
cui autocorrelazione sia una Delta di Dirac (per esempio rumore bianco pseudocasuale o uno sweep lineare).
Naturalmente è possibile utilizzare anche segnali con spettro diverso applicando le opportune correzione. Quando non
erano disponibili segnali pseudocasuali formati da un numero di campioni pari a una potenza del 2 la strada del calcolo di
Rxy era praticamente obbligata (oggi molto meno).
-1
NOTA: Un sistema si dice a fase minima se la sua funzione di trasferimento H(jw) è invertibile e risulta H(jw) H(jw) = 1.
In tal caso vale il Teorema di Conservazione dell’Informazione e tutte le informazioni contenute nello stimolo appaiono
anche nella risposta (anche se attenuate e svasate) e possono essere recuperate applicando la funzione di trasferimento
inversa. In base a questa definizione i filtri anti-alias non devono essere dispositivi a fase minima: se lo fossero la
conservazione dell’informazione comporterebbe la produzione di alias (i segnali non sarebbero rigorosamente limitati in
banda contro le ipotesi del teorema di Shannon).
Come misurare H(jw)
La procedura “manuale” per misurare H(jw) è la seguente:
1
2
3
4
si definisce lo spazio nel quale si intende operare fissando il set di versori di base (per es. un insieme di
frequenze di misura compatibili con la FFT -> una serie armonica)
si applica all’ingresso del sistema uno stimolo sinusoidale di frequenza pari al primo versore e di
ampiezza tale da mantenere il dispositivo nella regione di funzionamento lineare. Si attende che il
sistema raggiunga lo stato stazionario (da nanosecondi a ore)
si annota il guadagno ed il ritardo di fase della risposta rispetto allo stimolo
si ripete l’operazione per ogni versore del sistema di base dello spazio nel quale si opera
Le rilevazioni vanno fatte con tutti gli accorgimenti del caso. Al termine si dispone di H(jw) in forma di ennupla complessa
il che permetterà di simulare la risposa del sistema per ogni stimolo generato dai versori di base dello spazio considerato.
In alternativa a questa procedura manuale si può applicare al sistema uno stimolo con spettro noto e misurare la risposta
con l’ analizzatore di spettro. Eseguendo una deconvoluzione si ottiene
H(jw) = Vout(jw)/Vin(jw).
Alcuni analizzatori di spettro a due canali eseguono automaticamente la deconvoluzione.
A volte è possibile riconoscere i poli e gli zeri di H(jw) potendola così esprimere come rapporto tra polinomi complessi.
Noti i poli e gli zeri di H(jw) è possibile trattare analiticamente qualsiasi situazione.
Risposta in frequenza :
La isposta in frequenza di un sistema è il modulo di H(jw).
La misura della risposta in frequenza si può ottenere con apparecchiature analogiche o digitali ed operando nel dominio
del tempo o della frequenza. Le maggiori limitazioni vengono superate utilizzando stimoli sincronizzati con la base tempi
dell’analizzatore di spettro. Il rapporto S/N è fondamentale. Per misurare la risposta in frequenza sono disponibili diversi
metodi. Il più diffuso si basa sull’utilizzo di sequenze pseudocasuali che consentono di mantenere un buon rapporto
segnale rumore. Per quanto riguarda la sensibilità di questa metodologia rispetto alla eventuale distorsione prodotta dal
DUT (Device Under Test) una distorsione dell’1% produce un errore 0.0432 dB. Affinché l’errore raggiunga 0.1 dB la
distorsione deve arrivare oltre il 2%. Un ulteriore metodo prevede come stimolo uno sweep lineare o esponenziale (di
durata opportuna ovvero commisurata al fattore di merito delle risonanze presenti nel sistema). Nel caso di misure su
diffusori acustici è possibile, in opportune condizioni, isolare il solo suono diretto dal quale si ottiene la risposta in
frequenza.
Il fatto che la risposta in frequenza venga calcolata attraverso convoluzione, correlazione o deconvoluzione non esime
dal valutare l’errore di misura anche valutando la coerenza ingresso/uscita. I metodi di misura della risposta in frequenza
dipendono dal sistema in esame. Il diffusore acustico è forse l’esempio più “complicato” perché non esiste un unico
canale tra la sorgente da misurare ed il microfono di misura.
Metodi di misura per diffusori acustici (supponendo un rapporto S/N sufficiente)
Fonometro collegato ad un registratore
In camera anecoica, ottimo rapporto S/N. Limitata verso le
scrivente analogico
basse frequenze dalle dimensioni della camera anecoica.
vedere i grafici per il tempo minimo di sweep. In camera
anecoica, con l’opportuna strumentazione, si misura qualsiasi
cosa.
Gate system (analogico)
In camera semi-anecoica di opportune dimensioni, rapporto S/N
buono, limitata dal ritardo con cui perviene al microfono di
misura la prima riflessione (dimensioni dell’ambiente). Possibilità
di evidenziare le riflessioni e misurare la distorsione armonica.
Stimoli di 2n campioni sincronizzati con la base H(jw) si ottiene per deconvoluzione degli spettri dello stimolo e
tempi dell’analizzatore (stimoli pseudocasuali)
della risposta. A volte viene calcolata la cross-correlazione
ingresso-uscita perché è meno sensibile al rumore. Non c’è
errore di “time variance”. In ambiente non anecoico la limitazione
maggiore la distanza temporale tra suono diretto e prime
riflessioni.
Segnali impulsivi (Dirac e Heaviside)
Limitate dal rapporto S/N
TES
La TES utilizza come stimolo uno sweep lineare. Anche questa
tecnica è limitata dalle dimensioni dell’ambiente.
Sweep esponenziale
Lo Sweep esponenziale, in teoria, è lo stimolo migliore perché la
misura può essere resa immune dalla distorsione del DUT (la
distorsione risulta separabile nel tempo).
Altri segnali di classe B
Stima della risposta in frequenza con
analizzatore di spettro a terzi di ottava + misura
in campo vicino a bassa frequenza.
Consentono solo la stima dello spettro di potenza.
Lo stimolo è rumore rosa pseudo casuale sincronizzato con la
base tempi dell’analizzatore. Misura molto pratica, facile da
implementare e anche sufficientemente precisa (specie in
ambiente semi-anecoico). L’applicabilità dipende da molti fattori
tra cui la dimensione della sorgente. Non è una misura è una
STIMA. In un ambiente di 100 m3 con mezzo secondo di T60 si
ottiene una ottima stima a partire da 150 Hz.
A parte le misure in camera anecoica (dove le riflessioni sono nulle per definizione) in qualsiasi altro ambiente la misura
della risposta di un altoparlante è limitata dalla differenza di tempo che intercorre tra l’arrivo del suono diretto (che deve
essere misurato) e l’arrivo della prima riflessione (che NON deve essere misurata).
Durata minima dello sweep da 20 a 20000 Hz in
funzione del tipo di sweeppata (lineare, logaritmica,
iperbolica) e del Q delle risonanza del dispositivo in
prova. Per un altoparlante si deve considerare un
tempo di almeno 60 secondi (log sweep). Il grafico a
destra si riferisce a misure del valore RMS e Q
bassi.
La separazione della distorsione richiede sweep
piuttosto veloci quindi il sistema funziona se la
risposta in frequenza è sostanzialmente piatta (cioè
quando non serve misurarla).
La durata del tempo di sweep è un aspetto della
misura spesso sottovalutato.
Questi grafici rappresentano anche i limiti della TES.
Risposta Impulsiva per correlazione #1:
La risposta impulsiva di un sistema (supposto lineare) può essere calcolata con diversi metodi. Il calcolo che segue è
riportato da Oliver Cage e si riferisce ad un sistema lineare stimolato da rumore casuale stazionario a larga banda (o da
un segnale pseudocasuale) Il calcolo si basa sullo scambio dell’ordine di integrazione. Questa procedura è valida per
qualsiasi stimolo la cui autocorrelazione sia una Delta di Dirac. Tra gli stimoli utilizzabili rientra anche lo sweep lineare
(che ha spettro “bianco”) mentre lo sweep esponenziale (spettro “rosa”) richiede una equalizzazione. Il prof. Farina
propone di utilizzare lo sweep esponenziale (metodo EES) applicando una pesatura per correggere il risultato.
Risposta Impulsiva per correlazione (diffusori acustici) #2:
Le sequenze MSL generate digitalmente con registri a scorrimento controreazionati sono composte da (2n-1) campioni.
Questo impedisce il calcolo della FFT (manca un campione) e costringe a calcolare la correlazione nel dominio del
tempo. (a meno di non aggiungere un campione alla sequenza)
Una volta attenuta h(t) è possibile applicare il padding e ottenere la risposta in frequenza con FFT. In letteratura si legge
che la correlazione è meno sensibile, rispetto ad altri metodi, rispetto alla presenza di rumore sia in ingresso che in
uscita. Finestrando opportunamente h(t) è possibile separare la risposta impulsiva (suono diretto) dalle riflessioni che
giungono con un ritardo maggiore rispetto alla estensione temporale della risposta impulsiva stessa Va detto che, se il
sistema ha una risposta di tipo passa alto con frequenza di transizione a bassa frequenza (tipo 50 Hz) e il fattore di
merito del passa alto è superiore a 0.5, le oscillazioni perdurano per decine di millisecondi e l’operazione di finestramento
va fatta con cautela.
Metodo utilizzato da Audiomatica per la scheda CLIO.
Si noti che si può scrivere: s(n) ⊗ [s(n) * h(n)] = s(-n) * s(n) * h(n) = [s(n) ⊗ s(n)] * h(n)
Se l’autocorrelazione dello stimolo è una Delta il risultato è h(t). In questo caso n è il tempo.
La convoluzione, nel dominio della frequenza, è un prodotto che gode della proprietà commutativa quindi l’ordine della
convoluzione può essere cambiato a piacimento. Nei sistemi non lineari il prodotto tra funzioni di trasferimento, a rigore,
non è commutativo.
Oggi è possibile generare sequenza pseudocasuali di 2n campioni e il calcolo della correlazione non è più strettamente
necessario, se il rapporto S/N lo consente, basta calcolare una deconvoluzione.
Risposta impulsiva per deconvoluzione: la relazione ingresso uscita valida per un sistema lineare vout(t) = vin(t) * h(t)
= vin(-t) ⊗ h(t) diventa, nel dominio della frequenza Vout(jw)=Vin(jw) H(jw) invertendola si ottiene H(jw) =Vout(jw)/Vin(jw).
La risposta impulsiva si ricava antitrasformando H(jw). Questa procedura vale per qualsiasi stimolo e richiede
l’esecuzione della FFT dello stimolo e della risposta. I problemi maggiori sono legati alla eventuale non linearità di h(t) ed
al rapporto segnale rumore che può indurre a scegliere lo stimolo Vin(t) con uno spettro pre-enfatizzato. Per esempio se
la risposta in frequenza scende velocemente alle alte frequenze anche il rapporto segnale rumore peggiora in quel range.
Esaltando le alte frequenze nello stimolo si conserva un rapporto segnale rumore migliore. Questo però potrebbe portare
il DUT oltre la regione di funzionamento lineare o oltre la massima modulazione consentita (clipping).
Nota: per le misure sui diffusori acustici, per non sovracaricare i tweeter, si usa il rumore rosa. Il rapporto segnale rumore
del rumore rosa (rispetto al rumore bianco) decresce di 10 dB per decade.
Per verificare gli errori di misura basta valutare la coerenza tra lo stimolo e la risposta.
Parte quarta : Analisi di segnali di classe B
“I fondamenti matematici delle tecniche di stima dello spettro di potenza rientrano nell’argomento più
generale della teoria della stima. … Per questo motivo le stime dello spettro di potenza solitamente usate
hanno una notevole base empirica, ed inoltre ogni tecnica ha pregi e difetti, di modo che è impossibile
definire in generale il metodo migliore.” [A. V. Oppenheim – R.W. Schafer - Elaborazione Numerica dei
Segnali – 1981 – Franco Angeli Editore – ISBN 88-204-1440-6 - Pag 561]
Oppenheim si riferisce alla determinazione dello spettro di potenza di segnali aleatori (di classe B) e a tal proposito parla
di stima e non di misura.
L’analizzatore di spettro non è in grado di analizzare segnali di classe B con errore prevedibile. Ciò non toglie che
qualche misura si debba pur fare e non è detto che l’analizzatore di spettro digitale sia sempre lo strumento più adatto. A
volte gli strumenti analogici sono più pratici.
Il suono o il “rumore” prodotto dalle cascate del Niagara è un segnale di classe B: le cascate sono lì da millenni e passerà
un bel tempo prima che si esauriscano. Il rumore prodotto dalla cascata è il risultato della sovrapposizione di una infinità
di piccoli urti che si possono considerare non correlati tra loro. Il teorema del Limite Centrale dice che il rumore prodotto
della cascata è casuale. Se le condizioni al contorno fossero sempre le stesse il rumore sarebbe stazionario ma la
portata delle cascate del Niagara non è costante: per limitare l’erosione, il flusso viene limitato di notte e ristabilito di
giorno (quando arrivano i turisti). Il fenomeno quindi non è stazionario: di giorno il rumore è maggiore che di notte. Si
intende valutare il livello di rumore nell’area frequentata dai turisti per verificare se supera la soglia di esposizione
consentita (per non produrre danni all’udito). Dobbiamo valutare il Livello SPL nell’area di interesse. Ai fini del risultato
cercato consideriamo solo le ore diurne e consideriamo il rumore stazionario. Eseguiamo le misure di giorno tra le 10 e le
11 del mattino con un fonometro. Il risultato della misura dipende dal tempo di integrazione impostato sul fonometro: se è
troppo breve il valore misurato fluttua rapidamente, se è sufficientemente lungo la lettura si stabilizza su un valore con
fluttuazioni tollerabili (per esempio +/- 1 dB). Durante lo stesso periodo possiamo misurare la pressione acustica di picco
per calcolare il fattore di cresta.
Per valutare lo spettro colleghiamo l’uscita del fonometro ad un analizzatore a terzi di ottava.
Si tratta di un banco di 30 filtri analogici con larghezza percentuale costante pari ad un terzo di ottava tra 20 e 20 kHz..
All’uscita di ciascun filtro c’è un voltmetro RMS la cui costante di integrazione va impostata, come detto, per ottenere una
lettura stabile. Di norma le costanti di tempo sono multipli di 125 milli secondi. Continuiamo a registrare per un’ora
durante la quale gli strumenti danno indicazioni stabili. A questo punto conosciamo: il valore RMS nei terzi di ottava, il
valore di picco e un inviluppo (seppur approssimato per terzi di ottava) dello spettro in banda audio. Questi dati sono
sufficienti allo scopo.
In questo esempio è stato usato uno strumento analogico (evitando così di utilizzare finestre di pesatura). Il banco di filtri
a terzi di ottava provvede a tagliare le frequenze inferiori a circa 17 Hz e quelle superiori a 22000. Le uniche
considerazioni fatte riguardano l’ipotesi di stazionarietà del fenomeno osservato: si è detto che il tempo di integrazione
degli strumenti va impostato su tempi abbastanza lunghi per ottenere letture stabili: ciò significa selezionare un intervallo
di tempo sul quale il valore RMS misurato (energia) dipende dalla lunghezza dell’intervallo e non dal particolare istante
iniziale (come previsto per un rumore stazionario).
In questo esempio la scelta dello strumento di misura e del metodo di misura è stata fatta in funzione del tipo di segnale
(che è di classe B). I criteri di analisi dei segnali di classe B vanno adeguati di volta in volta al fenomeno in esame.
Finestre di pesatura
Non sempre è possibile ampliare l’intervallo di osservazione di un segnale per includervi l’inizio e la fine della sua storia.
Banalmente il segnale potrebbe già essere cominciato quando accendiamo gli strumenti e potrebbe non essere finito
quando li spegneremo. Un esempio è l’analisi dello spettro della radiazione di fondo dell’Universo. Tuttavia è possibile
forzare il segnale ad assumere valori nulli agli estremi dell’intervallo osservato moltiplicandolo per una “finestra di
pesatura” (Hannimg, Hamming, Gaussiana, Triangolare, ecc.). In tal modo il segnale diventa di classe A. Deve essere
chiaro che quello che si misura con questa procedura NON è il segnale presente all’ingresso dello strumento ma il
prodotto del segnale per la finestra di pesatura (quindi lo strumento di misura determina ancor più pesantemente il
risultato della misura stessa). Al prodotto di due segnali nel dominio del tempo corrisponde la convoluzione dei loro spettri
nel dominio della frequenza. Questa convoluzione contiene righe spettrali non presenti nel segnale osservabile. Il segnale
osservato, applicando la finestra di pesatura nel tempo, viene modulato in ampiezza. Vista la definizione di distorsione
non lineare, il segnale “finestrato” è un segnale distorto (per modulazione di ampiezza che produce intermodulazione).
Distorcere un segnale per poi misurarlo sembra un controsenso. Tuttavia esistono applicazioni dove le finestre di
pesatura sono utili. Sicuramente devono essere utilizzate con estrema cautela e solo quando non esiste alternativa.
Le finestre di pesatura possono essere impiegate con successo quando lo spettro da analizzare contiene un numero
limitato di righe spettrali ben spaziate tra loro: in tal caso è possibile migliorare la risoluzione di righe. Con segnali
spettralmente densi è difficile valutare le conseguenze della pesatura.
Le finestre di pesatura si dividono in due categorie: quelle che migliorano la risoluzione in ampiezza e quelle che
migliorano la risoluzione in frequenza. Le due cose sono antitetiche (si pensi alla incertezza tempo-energia). Proprio
perché lo spettro del segnale pesato non è lo spettro del segnale osservabile, una finestra di pesatura vale l’altra e si
sceglierà di volta in volta quella che appare più conveniente in funzione del risultato cercato. Ciascuno può realizzare la
propria finestra personalizzata.
Quando si usano le finestre di pesatura non si può parlare di misura ma di stima.
The Detection of Reflections in Typical Rooms (SEAN E. OLIVE AND FLOYD E. TOOLE)
National Research Council, Division of Physics, Ottawa, Ont. K1A OR6, Canada
……However, ETC measurements incorporating frequency-weighting windows, such as Hamming, can lead to
incorrect estimates of the audibility of reflections…….. Other windows may be more generally useful.……
pubblicato dal Journal of The Audio Engeneering Society of North America.
Questo commento si riferisce a misure su sistemi audio impiegando come stimolo segnali a larga banda. ETC sta per
Energy Time Curve (Curva di Energia in funzione del Tempo ottenuta elaborando la risposta impulsiva del sistema).
F. L. Toole è vice presidente del Gruppo Harman (JBL, Infinity, Revel, ecc.) membro della AES e autore di centinaia
di articoli e libri.
Sinusoide a 102.282714843 Hz
(coincidente con il 19-esimo versore)
Impostazioni dell’analizzatore:
campioni acquisiti: 8192
Frequenza di campionamento: 44100 Hz
Convertitore A/D: 16 bit
pesatura nel tempo = rettangolare (nessuna)
Sinusoide a 102.282714843 Hz
pesatura nel tempo = Hamming.
L’ applicazione di una finestra di pesatura introduce errori. Lo
spettro risultante dipende dal tipo di finestra scelta ed introduce un
fattore soggettivo nella misura.
La misura presentata nella figura qui sopra è stata eseguita con un analizzatore di spettro software che analizza l’uscita
della scheda audio del PC (ma poco importa). La sinusoide analizzata è stata sintetizza via software, salvata in formato
WAVE (standard CD Audio 44100Hz/16 bit) e “suonata” con la scheda audio del PC. La dinamica del grafico è di 70 dB.
La sinusoide ciuncide con il 19° versore del sistema di base dell’analizzatore e quindi appare come una singola riga
(come è giusto che sia). Nella figura in basso la stessa sinusoide è stata pesata con una finestra di tipo Hamming.
Se la finestra di pesatura non alterasse il segnale il risultato sarebbe ancora una singola riga. L’applicazione della finestra
“rovina” il risultato di una misura corretta. Si può calcolare, matematicamente, l’effetto dalla applicazione della finestra di
pesatura su segnali semplici. Tali risultati però non possono essere estesi sic et simpliciter a qualsiasi segnale.
L’applicazione della finestra di pesatura è una modulazione in ampiezza che produce distorsione di intermodulazione e
questo tipo di distorsione (come è noto) dipende dalla specifica forma del segnale modulato nel tempo.
Stimoli per Misure nelle “effettive condizioni d’uso”
Consideriamo misure in regime forzato su dispositivi dedicati alla riproduzione di musica e parlato: interessano le
prestazioni nelle “effettive condizioni d’uso”.
Per simulare tale condizione si utilizza, come stimolo, un rumore casuale a larga banda. Anziché utilizzare sorgenti
naturali (segnali di classe B quali il rumore termico) conviene sintetizzare degli stimoli pseudocasuali con distribuzione
dell’ampiezza simile al rumore casuale (teoricamente gaussiano).
Gli stimoli artificiali pseudocasuali composti da 2n campioni sono riproducibili e possono essere sincronizzati con il clock
dell’analizzatore. Questi stimoli consentono di eseguire misure accurate e dovrebbero essere gli unici utilizzati (non
richiedono l’impiego di finestre di pesatura).
Segnali Separabili
Due segnali, che si propagano contemporaneamente lungo lo stesso canale, sono separabili se:
-sono separati nel tempo (Sonar, Radar)
-sono separati in frequenza (timpano ed triangolo)
-sono tra loro non correlati e uno dei due presenta autocorrelazione molto più breve dell’altro.
Ricapitolando possono essere separati nel tempo, nello spettro, nella correlazione.
Una sinusoide sepolta in un rumore di natura termica è un esempio di segnale fortemente correlato in presenza di un
segnale casuale a largo spettro. L‘ autocorrelazione della sinusoide è periodica mentre l’autocorrelazione del rumore
termico a larga banda produce un picco isolato nell’origine dell’asse temporale (idealmente una Delta in t=0). Per
separare la sinusoide basta osservare l’autocorrelazione del segnale a partire da un t>0 opportuno.
Padding ed errori causati dal padding nella FFT
Il padding consiste nell’estendere artificialmente la storia di un segnale aggiungendo una serie di campioni nulli agli
estremi dell’intervallo acquisito. Questa tecnica si applica solo ai segnali di classe A2 (ipotesi di annullamento). Gli zeri
vengono aggiunti all’inizio, alla fine o ad entrambe gli estremi (il risultato non cambia perché il tempo è omogeneo). Il
padding è necessario quando i campioni acquisiti non sono esprimibili come una potenza di 2 e si dispone solo della FFT.
Per esempio se sono disponibili 1000 campioni è necessario aggiungerne altri 24 per raggiungere i 1024 necessari.
Facciamo un esempio pratico. Il segnale musicale è una variazione di pressione che, per definizione, non contiene
componenti continue. Il valore medio del segnale musicale è nullo e inizia e finisce nel silenzio. Se ciò non avviene può
significare che, banalmente, il segnale non è stato acquisito completamente. Un eventuale valor medio diverso da zero
potrebbe essere generato da una deriva termica delle elettroniche usate in fase di registrazione. Quando si aggiungono
campioni nulli in testa ed in coda ad un segnale a media non nulla, l’ offset presente nel segnale, se è costante, dà
origine ad una serie di righe spettrali a bassissima frequenza (figura qui sotto). Il segnale con padding si presenta come
la somma di due segnali una delle quali è un’onda quadra creata dal padding (zeri aggiunti) e dall’offset (valore medio).
In questo caso sarebbe stato meglio rimuovere l’offset prima di applicare il padding.
Effetti del padding
Il segnale C è la sovrapposizione di A (con media nulla) e B (un offset costante). Aggiungendo degli zeri in
testa ed in coda al segnale (padding) l'offset dà origine ad un'onda quadra il cui spettro si sovrappone a
quello del segnale. Lo spettro della somma di due segnali è uguale alla somma degli spettri dei singoli
segnali (Linearità della FFT).
Figura qui sopra: esempio di analisi di una registrazione audio eseguita da vivo (8 minuti e 17 secondi). Il segnale
dovrebbe avere media nulla e invece risulta un valor medio di 456.22 sul canale sinistro e di 406.87 sul destro (la
massima modulazione corrisponde a 32768 = 215). Questo valor medio, con il padding (necessario per la FFT), causa la
comparsa delle righe a bassissima frequenza. La FFT è stata fatta su 225 campioni.
Parte quinta : misure di distorsione non lineare con l’analizzatore di spettro
Vista la definizione di sistema lineare, quando un sistema produce, nella risposta, delle componenti spettrali di frequenza
diverse da quelle presenti nello stimolo si dice che è “NON lineare”. Le righe spettrali che appaiono nella risposta ma che
non sono presenti nello stimolo sono i “prodotti di distorsione non lineare”. La distorsione è sempre il risultato di una
distorsione della forma del segnale nel tempo. Dato che la distorsione di forma è difficilmente apprezzabile “a occhio”
(oscilloscopio) si preferisce spostare la valutazione nel dominio della frequenza (analizzatore di spettro).
Tutti i sistemi fisici, superati determinati limiti di ampiezza degli stimoli, diventano non lineari. Tutti i sistemi fisici con
caratteristica statica di trasferimento derivabile nell’intorno dello zero possono essere considerati lineari per “piccoli
segnali”. Fanno eccezione gli amplificatori in classe B che non sono lineari per piccoli segnali.
La misura della distorsione non lineare viene fatta in regime stazionario e comunque così viene interpretata
dall’analizzatore di spettro. In elettronica è consuetudine distinguere due tipi di distorsione: armonica e di
intermodulazione. In elettroacustica esiste anche la distorsione Doppler che dipende dal moto relativo della sorgente
rispetto all’osservatore.
La distorsione armonica si osserva quando lo stimolo è sinusoidale con frequenza f0: nella risposta si osservano, oltre
alla frequenza f0 detta “fondamentale”, anche componenti di frequenza multipla 2f0, 3f0, 4f0, 5f0 ecc. dette armoniche di
ordine 2, 3, 4, 5 …ecc. In alcuni casi si valutano le armoniche oltre il ventesimo ordine. Negli altoparlanti è possibile
osservare la generazione di sub-armoniche con frequenza pari ad 1/n f0 (1/2 f0, 1/3 f0, … 1/n f0). Ciò avviene in
particolare negli altoparlanti con diaframmi non sufficientemente rigidi e in gamma media (ma anche bassa).
La distorsione di intermodulazione si osserva quando lo stimolo non è una sinusoide pura. Nel caso più semplice lo
stimolo usato per misurare la distorsione di intermodulazione è composto da due sinusoidi di frequenza diversa (ma
vicina) f1 ed f2. Nella risposta appaiono componenti di frequenza (n f1+ m f2 ) e (n f1 – m f2) con n ed m interi. Tali
componenti non sono (tutte) multipli di f1 o f2 da qui la distinzione rispetto la distorsione armonica.
Se un dispositivo ha lo scopo è amplificare esclusivamente segnali sinusoidali in regime stazionario, la valutazione della
distorsione armonica è sufficiente. Ma se lo scopo è, per esempio, amplificare la voce o la musica, allora è più importante
valutare la distorsione per intermodulazione che risulta essere la più fastidiosa.
La presenza di distorsione armonica implica la presenza di distorsione di intermodulazione mentre l’assenza di
intermodulazione (per qualsiasi coppia di frequenze) implica l’assenza di distorsione armonica.
La condizione necessaria e sufficiente per avere distorsione nulla è l’assenza di qualsiasi forma di intermodulazione.
Per esempio in un diffusore acustico a due vie con frequenza di cross-over a 2000 Hz, la coppia di frequenze 100 – 5000
Hz non produce intermodulazione perché queste frequenze vengono riprodotte da due altoparlanti diversi: ciò non
significa che il sistema non distorca con altri segnali (per esempio la coppia 200 e 250 Hz e la coppia 3000, 3100 Hz).
La distorsione deve essere misurata nelle effettive condizioni d’uso dei dispositivi (per esempio con frammenti musicali).
Ma i frammenti musicali presentano uno spettro denso e rendono impossibile distinguere la parte lineare della risposta
dalla distorsione. Per questo, recentemente, sono stati introdotti gli stimoli multitono (composti da un insieme discreto di
sinusoidi variamente distribuite nello spettro). In passato era stata proposta la misura di Random Distortion (basate sulla
misura della coerenza). Purtroppo la Random Distortion non è applicabile ad ogni situazione perché richiede che la
risposta viaggi all’interno di un unico canale di trasmissione.
Misura della distorsione Armonica con l’analizzatore di spettro FFT
La distorsione armonica si misura all’uscita di un dispositivo stimolato da una sinusoide pura di frequenza fissa
sincronizzata con la base tempi dell’analizzatore di spettro. Lo spettro dello stimolo è composto da una singola riga di
frequenza f0 mentre lo spettro della risposta si presenta composto da una serie di righe di frequenza f0, 2 f0, 3 f0, 4
f0…..N f0. Se f0 è la frequenza di un versore del sistema di base dell’analizzatore lo sono anche i multipli di f0 e la misura
è accurata (errore prevedibile). Le componenti di distorsione che superano la frequenza di Nyquist vengono bloccate dal
filtri Anti-Alias. La misura è quindi precisa ma incompleta. Alcuni sistemi producono sub-armoniche della fondamentale
(1/2 f0, 1/3 f0,….,1/N f0). Queste frequenze (se non sono soppresse da un filtro passa alto posto all’ingresso
dell’analizzatore) possono avere un periodo superiore alla durata della finestra di acquisizione ed inficiare il risultato della
misura. Per questo è opportuno ripetere la misura con una finestra di acquisizione di lunghezza doppia, quadrupla, ecc.
tenendo d’occhio, in particolare, la parte bassa dello spettro risultante.
Misura della distorsione di intermodulazione con l’analizzatore di spettro FFT
Consideriamo la misura di distorsione per intermodulazione eseguita applicando, ad un ipotetico dispositivo, uno stimolo
composto da due sinusoidi di frequenza diversa f1 ed f2 ma entrambe sincronizzate con il clock interno dell’analizzatore.
L’ideale sarebbe poter dimostrare che lo spazio vettoriale rappresentato dall’analizzatore FFT è chiuso rispetto alla
“operazione” di intermodulazione. Ciò non è sempre possibile perché la frequenza dei prodotti di intermodulazione
possono superare la frequenza di Nyquist. Fortunatamente i filtri anti-alias mettono le cose a posto definendo una
condizione di “chiusura forzata”.
Nel seguito M, N, K e J rappresentano numeri interi da 0 a infinito e la x rappresenta la moltiplicazione. Sia fmin l’inverso
della durata della finestra di acquisizione e sia f1 = K fmin e f2 = J fmin
Le frequenze fi delle righe spettrali prodotte per intermodulazione si calcolano come segue:
fi = |(N f1) ± (M f2)|
ma f1 e f2 sono multiple della stessa frequenza fmin e risulta essere:
f1 = K fmin
f2 = J fmin
sostituendo nella prima espressione si ottiene:
fi = |(N K fmin) ± (M J fmin)| = fmin |(N K ± M J)|
Essendo N, K, M e J interi, fi è ancora un multiplo intero di fmin e appartiene al set di base dell’analizzatore. Questo vale
per qualsiasi coppia di frequenze presenti nello stimolo purchè versori del sistema di base dell’analizzatore stesso. Quindi
le misure di distorsione di intermodulazione eseguite con analizzatore FFT, se lo stimolo è sincronizzato con il clock
dell’analizzatore, forniscono risultati accurati e NON si devono usare finestre di pesatura. A causa dei filtri anti alias le
misure sono incomplete sulle frequenze più alte. Se si usano finestre di pesatura vengono prodotte una quantità di righe
spettrali che non hanno nulla a che vedere con la distorsione di intermodulazone del DUT .
Misure indirette: la Random Distortion
La RD misura la parte incoerente tra stimolo e risposta. Questa tecnica di misura è molto sensibile al rumore in uscita
(introdotto tra l’uscita del dispositivo e l’ingresso dell’analizzatore) e richiede che l’uscita del DUT e l’ingresso dello
strumento di misura siano collegati da un unico canale. Ne segue che non è adatta per valutare gli altoparlanti (dove la
coerenza viene distrutta dalla diffrazione ai bordi del cabinet e altri fenomeni) mentre è applicabile con successo agli
amplificatori ed alle elettroniche in generale.
Minima distorsione misurabile
Con un convertitore D/A da 16 bit si può convertire una sinusoide con ampiezza di 215 (da -32768 a +32767) quindi la
dinamica è di 90 dB. Posta la minima ampiezza di una armonica pari a ±1 bit la minima distorsione misurabile, in assenza
di rumore di qualsiasi natura, è nell’ordine dello 0.0032%. La risoluzione è limitata anche dalle componenti periodiche del
rumore di quantizzazione (che possono produrre righe spettrali di una certa intensità). Un ottimo altoparlante produce
distorsione nell’ordine dello 0.1%. Un ottimo amplificatore può produrre distorsione 100 volte inferiore.
Un analizzatore di spettro con convertitore a 16 bit può riuscire a misurare, se il rumore di fondo lo consente, livelli di
distorsione armonica nell’ordine della 0.01%
Conclusione:
L’analizzatore di spettro è uno strumento fondamentale ma spesso usato con leggerezza specie quando si insiste sulla
analisi in tempo reale o si applicano processi di media senza utilizzare filtri passa alto e senza preoccuparsi della
stazionarietà dei segmenti mediati. Pochi sembrano badare alle condizioni di prevedibilità dell’errore e molti accettano
acriticamente qualsiasi risultato si presenti sul disply dello strumento Raramente viene fatta una distinzione tra misura e
stima. Capita di trovare inesattezze anche nella letteratura tecnica.
L’analizzatore di spettro definisce uno spazio vettoriale e può rappresentare solo segnali appartenenti a spazi ad esso
isomorfi. Questa è la condizione necessaria (ma non sufficiente) per poter prevedere l’errore associato alla misura. I
segnali conoscibili sono solo quelli di tipo A1 e A2. Considerata la difficoltà pratica di regolare il passo di campionamento
con la precisione necessaria, le uniche misure accurate solo quelle in regime forzato che utilizzano stimoli sincronizzati
con il clock dell’analizzatore.
I filtri anti-alias (imposti dal teorema di Shannon) limitano l’estensione dello spettro verso le alte frequenze mentre la
presenza di rumore, specie a bassa frequenza, nel migliore dei casi, peggiora il rapporto segnale/rumore e nel peggiore
impedisce la misura stessa. I filtri passa-alto sono importanti quanto i filtri anti-alias. Il Data Precison è uno strumento da
laboratorio basato su FFT ed è molto apprezzato e utilizzato. Tra gli accessori opzionali disponibili c’è un set di filtri passa
alto: ci sono perché servono.
Per quanto riguarda la bibliografia si può far riferimento alla Teoria dei Segnali che si trova in ogni buon teso a
livello universitario.
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