UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PALERMO
FACOLTA' DI INGEGNERIA
DIPARTIMENTO DI RICERCHE ENERGETICHE ED AMBIENTALI
Viale delle Scienze, 90128 - Palermo. Tel. + 39 91 236111 - Fax + 39 91 484425
Gestione delle Risorse Energetiche per il Territorio
A.A. 2007/2008
RADIAZIONE SOLARE
PERCORSI SOLARI
OMBRE PORTATE
a cura di
Maria La Gennusa
Parte della dispensa è tratta da:
F. Calvino, M. La Gennusa, F. Nicoletti, G. Scaccianoce, “La Radiazione Solare Extraterrestre”. Quaderno di
Istituto, Dipartimento di Ricerche Energetiche ed Ambientali (D.R.E.AM.), Palermo, 5 agosto 2001.
PALERMO, MARZO 2008
Capitolo 1 - Il Sole
1.1
Caratteristiche fisiche
Il sole è la stella più vicina alla Terra ed è sede di reazioni termonucleari a catena. Nella reazione
di fusione, durante la quale l’idrogeno si combina per formare elio, avviene nel nucleo una
conversione di massa in energia. L’energia solare (l’energia raggiante sprigionata dal Sole per
effetto di reazioni nucleari e trasmessa alla Terra sotto forma di radiazione elettromagnetica) è in
sostanza l’unica forma energetica ad influenzare i moti atmosferici ed il clima terrestre.
Il Sole si presenta come un disco dai contorni ben definiti. Il raggio lineare, valutato per una
distanza Sole–Terra pari ad una unità astronomica (U.A.), è pari a Rsole 696.000 km, ed il volume
del Sole (volume di una sfera) è pari a:
V=
4
3
⋅ π ⋅ Rsole
= 1, 41 ⋅1018 km3
3
I valori medi della massa e della densità del Sole sono rispettivamente pari a:
ρ sole =
M sole = 2 ⋅1030 kg ;
M sole
kg
= 1410 3
Vsole
m
Il Sole è un corpo sferico completamente gassoso, costituito per lo 70% da idrogeno, per il 29%
da elio e nel restante 1% da altri elementi noti, tra i quali azoto, ossigeno, carbonio, magnesio,
sodio, calcio, ferro ed altri [8].
La sua struttura è complessa e può essere suddivisa in 7 regioni: il nucleo, zona radiante, zona
convettiva, fotosfera, strato d’inversione, cromosfera, corona.
La pressione negli strati più interni si presenterà più elevata, poiché tale pressione è definita dal
peso degli strati sovrastanti; quindi anche la densità aumenterà. Inoltre all’interno del Sole deve
essere soddisfatta la condizione di equilibrio idrostatico, cioè la differenza di pressione a cui è
sottoposto un volume elementare deve essere equilibrata dall’attrazione gravitazionale degli strati
più interni [8].
2
Figura 1.1. Regioni del Sole [Sito Web]
Il nucleo, che si estende tra 0 e 0,23·RSole, è la regione più densa e più calda del Sole. Esso è
composto da gas con densità di 100.000-150.000 kg/m3 (per un confronto si consideri che la densità
del platino è 21.370 kg/m3 e quella del piombo è 11.300 kg/m3) e una temperatura variabile tra gli
8⋅106 e i 40⋅106 K. La massa del nucleo costituisce il 40% dell’intera massa solare, inoltre si ritiene
che il 90% dell’energia solare venga prodotta in tale zona. L’energia solare viene prodotta da
diversi tipi di reazioni nucleari, tra le quali le più importanti sono quella “protone – protone” e
quella del “ciclo del carbonio”. L’energia generata si propaga per conduzione, convezione ed
irraggiamento verso le regioni più esterne, ove le reazioni nucleari non sono praticamente possibili
per i troppo bassi valori di pressione e di temperatura.
Sopra il nucleo c’è la zona radiante che si estende fino a 0,7·R. In essa la temperatura e la
densità scendono rispettivamente fino a circa 130.000 K e 70 kg/m3. Oltre si trova la zona
convettiva, che si estende da 0,7·R a 1,0·R, e dove i processi convettivi diventano importanti. In
essa la temperatura e la densità scendono rispettivamente fino a circa 5.000 K e a circa 10-5 kg/m3.
La manifestazione osservabile di tale zona è il fenomeno della granulazione, così denominato
poiché ricorda chicchi di riso sparsi. Oltre tale strato si trovano gli strati più esterni generalmente
denominati con il termine “atmosfera solare”.
La parte principale dell’atmosfera solare, chiamata fotosfera, è la sorgente della radiazione che
arriva sulla superficie terrestre, tramite trasmissione per irraggiamento. Questa è composta da gas
molto poco densi (circa 10-4 volte la densità dell’aria a livello del mare) e non omogenei che
formano le note macchie solari; presenta una temperatura di circa 4.000–6.000 K. Dopo la fotosfera
viene lo strato d’inversione, regione composta di vapori, che si estende per poche centinaia di
chilometri. Sopra lo strato di inversione si estende per una distanza di circa 10.000 km la
cromosfera, che insieme allo strato d’inversione formano la vera e propria atmosfera solare. La
3
cromosfera composta principalmente da idrogeno ed elio, ed avente una temperatura superiore a
quella della fotosfera, risulta visibile ad occhio nudo durante l’eclisse.
La regione più esterna del Sole è chiamata corona. La luminosità della corona è un milione di
volte più debole di quella della fotosfera, perciò si potrà osservare solo durante la fase totale di
eclissi solare. La corona presenta una forma fortemente irregolare e mutevole nel tempo, ma con
contorni molto netti. Essa si può dividere in due parti: corona interna, parte più brillante, e corona
esterna. Si può inoltre dire che la radiazione coronale non è altro che la luce della fotosfera diffusa.
La corona è composta di gas estremamente rarefatti. Si pensa che questi si diffondano in tutto il
sistema solare provocando i noti venti solari.
Da quanto detto il Sole non ha una fissata dimensione, ma per scopi di calcolo si è considerato
un diametro di 1.391.960 km, mentre la sua massa è pari a circa 2·1030 kg [2; 3].
Il Sole è animato da: a) un moto di rivoluzione attorno al centro della galassia con una velocità
lineare di 300 km/s ed un periodo di 200 milioni di anni; b) un moto di rotazione attorno al proprio
asse di circa un giro ogni 4 settimane per un osservatore posto sulla Terra, più precisamente bisogna
dire che la velocità di rotazione angolare diminuisce allontanandosi dalla zona equatoriale, ove
impiega circa 27 giorni per compiere un giro, ed andando verso le zone polari, ove impiega circa 32
giorni per un giro [3; 8].
1.2
Lo spettro dell’irraggiamento solare extraterrestre e la costante solare
La distribuzione spettrale all’esterno dell’atmosfera terrestre è molto importante in applicazioni
come ad esempio i sistemi fotovoltaici dei satelliti. Invece la distribuzione spettrale che arriva sulla
superficie terrestre, che è funzione non solo della distribuzione spettrale extraterrestre ma anche
della composizione atmosferica della Terra, risulta molto importante in numerose applicazioni:
fotovoltaico, solare termico, fotosintesi, processi fotochimici ecc.
La costante solare è l’energia media irraggiata dal Sole nell’unità di tempo sull’unità di area di
una superficie posta ortogonalmente alla direzione di propagazione della radiazione e posta al di
fuori dell’atmosfera terrestre alla distanza media della Terra dal Sole. La sua costanza non è
realmente vera, poiché fluttua leggermente.
La determinazione del valore della costante solare risale all’inizio del secolo scorso, iniziata con
misurazioni effettuate al livello del suolo ed estrapolazione, che tenevano conto dell’attenuazione
atmosferica, di valori prevedibili esterni all’atmosfera terrestre. Successive misurazioni furono
effettuate ad alta quota in montagna, cosicché l’attenuazione dovuta al pulviscolo atmosferico ed al
vapor d’acqua presente nell’atmosfera risultava praticamente trascurabile. In ogni caso le
4
misurazioni effettuate al disotto dell’atmosfera erano soggette a errori molto grandi a causa della
sconosciuta composizione dell’atmosfera terrestre.
Studi relativamente più recenti, si sono serviti di misurazioni effettuate ad alta quota con aerei,
palloni aerostatici, sonde spaziali, così da rendere minima l’attenuazione atmosferica.
In Tabella 1.1 si riporta un excursus storico dei diversi valori della costante solare ricavata da
diversi autori, effettuato da Thekaekara e riportata successivamente da Iqbal [2].
Tabella 1.1. Storia dei valori della costante solare [2]
La NASA (National Aeronautics and Space Administration), tra il 1968 ed il 1971, valutò la
costante solare sulla media pesata di alcuni valori, ricavando il valore di 1353 Wm-2, il cui errore
stimato era del ±1,5%. Questo valore fu adottato nel 1971 e denominato “NASA design standard”.
Inoltre la NASA determinò la distribuzione spettrale dell’irraggiamento solare extraterrestre alla
distanza Sole–Terra, che fu accettata dall’ASTM (American Society for Testing and Materials)
come standard. Questo standard rimase in vigore per molti anni.
Studi successivi effettuati con strumenti più precisi hanno portato Fröhlich ed altri studiosi
(WRC) ad una migliore valutazione della costante solare e della distribuzione spettrale
dell’irraggiamento solare extraterrestre. Questi ricavarono un valore medio della costante solare pari
a Ics =1367 W ⋅ m -2 , con una deviazione standard di 1,6 Wm-2.
5
Questo valore, denominato costante solare del WRC (World Radiation Center), insieme allo
spettro dell’irraggiamento solare riportato in Tabella 1.5, sarà preso in considerazione in questa
dispensa.
Si riportano di seguito alcune tabelle riportanti valori dell’irraggiamento solare per alcune bande
significative.
Tabella 1.2. Divisioni approssimate dello spettro solare in varie bande di colore [2]
Colore
Viola
Blu
Verde
Giallo
Arancione
Rosso
λ [µm]
0,390 – 0,455
0,455 – 0,492
0,492 – 0,577
0,577 – 0,597
0,597 – 0,622
0,622 – 0,770
Banda di
irraggiamento
108,85
73,63
160,00
35,97
43,14
212,82
Percentuale
rispetto alla Ics
7,96
5,39
11,70
2,63
3,16
15,57
Tabella 1.3. Divisioni approssimate dello spettro solare in bande di colore più larghe [6]
Colore
λ [µm]
Ultravioletto
Visibile
Infrarosso
< 0,380
0,380 – 0,780
> 0,78
Banda di
irraggiamento
109,81
634,40
634,40
Percentuale
rispetto alla Ics
6,4
48,0
45,6
Tabella 1.4. Divisioni approssimate dello spettro solare in intervalli d’energia [2]
λ [µm]
< 0,3
0,3 – 2,4
> 2,4
Energia [%]
1,2
95,0
3,6
In Tabella 1.5 si riporta la distribuzione dello spettro solare con risoluzione del 0,002 µm nella
regione del visibile.
6
Tabella 1.5. Valori della distribuzione spettrale extraterrestre [2]
7
1.3
Confronto tra corpo nero e Sole
Un corpo che si trovi a temperatura diversa dallo zero assoluto, a causa delle agitazioni
molecolare ed atomica che sussistono al suo interno, emette radiazioni elettromagnetiche:
irraggiamento termico.
Lo spettro delle onde elettromagnetiche comprende i raggi γ, raggi X, l’ultravioletto, il visibile,
l’infrarosso, le onde radio e le onde dei radar.
Figura 1.2. Spettro della radiazione elettromagnetica [4]
Il fenomeno di propagazione delle onde elettromagnetiche può essere interpretato con la teoria
ondulatoria o con la teoria corpuscolare (fotoni) [4]. Generalmente le due teorie coesistono poiché
servono l’una a compensare le deficienze dell’altra.
Le grandezze che caratterizzano le radiazioni elettromagnetiche secondo la teoria ondulatoria
sono:
-
Velocità di propagazione: viene indicata con c, rappresenta la velocità della luce, il cui
valore dipende dal mezzo nel quale si propaga la radiazione. La sua unità di misura è il
metro al secondo [m/s]. Questa è massima nel vuoto ed è pari a c0 = 2,998 108 m/s. Nei
mezzi diversi dal vuoto, la velocità di propagazione è data in termini di indice di rifrazione
n, dove n è il rapporto tra la velocità della luce nel vuoto e la velocità della luce nel mezzo
in esame. Per i gas, l’indice di rifrazione è molto vicino all’unità, ma comunque sempre
superiore.
-
Lunghezza d’onda: viene indicata con λ, e rappresenta la distanza, lungo l’asse x, percorsa
durante un oscillazione completa (oppure distanza tra due fronti d’onda aventi la stessa
fase). La sua unità di misura è il metro [m].
-
Frequenza: viene indicata con ν, e rappresenta la misura fisica del numero di oscillazioni
nell’unità di tempo (oppure numero oscillazioni che si hanno nell’unità di tempo). La sua
unità di misura è Hertz [Hz]. L’inverso della frequenza è il periodo T che si misura in
secondi [s].
8
La lunghezza d’onda, la frequenza e la velocità di propagazione sono in relazione secondo la
seguente espressione:
λ=
c
ν
=
c0
λ
= 0
n ⋅ν
n
(1.1)
Poiché stiamo considerando come unica causa eccitatrice la temperatura, si può osservare che al
crescere della temperatura cresce anche l’energia Ef emessa in media con un singolo fotone (teoria
corpuscolare) secondo l’espressione:
E f = h ⋅ν
(1.2)
[J ]
dove h è la costante di Planck pari a 6,6262 ⋅10-34 [J ⋅ s] . Da questa inoltre si può dedurre che al
crescere della temperatura cresce anche la frequenza media della radiazione emessa [4].
La prima legge fondamentale della radiazione è la legge di Kirchhoff, che afferma l’esistenza di
una relazione quantitativa, valevole per tutti i corpi, tra le proprietà relative all’emissione e quelle
relative all’assorbimento.
La legge di Kichhoff asserisce che “il rapporto tra l’energia emessa e quella assorbita da uno
stesso corpo è funzione solo della lunghezza d’onda e della temperatura, essendo invece
indipendente dalla natura del corpo” [1].
E
em = f (λ , T )
E
ass
(1.3)
dove
Eem è l’energia emessa nell’unità di area del corpo [J];
Eass è la frazione di energia incidente che viene assorbita dal corpo [J];
T è la temperatura del corpo [K];
λ è la lunghezza d’onda della radiazione [m].
Il corpo nero è caratterizzato dall’avere Eass pari ad 1, in altre parole un corpo nero assorbe tutta
l’energia che incide su di esso. Ne segue che un corpo nero possiede un alto valore emissivo a
qualsiasi lunghezza d’onda rispetto ad altri corpi.
La seconda legge fondamentale della radiazione è la legge di Planck, che fornisce la
distribuzione spettrale energetica della radiazione del corpo nero, per radiazioni nel vuoto o
comunque in un mezzo con indice di rifrazione unitario. Questa legge risponde alla seguente
relazione:
9
ε=
C1 ⋅ λ −5
e
C2
λ ⋅T
[W/m -3 ]
(1.4)
−1
dove
−
C1 = 2 ⋅ π ⋅ h ⋅ c 2 = 3,7420 ⋅108 [W·µm4·m-2]
−
C2 =
h⋅c
= 1,4395 ⋅10 4 [µm·K]
k
− λ la lunghezza d’onda [µm]
− ε è la potenza emisferica spettrale emessa.
con h la costante di Planck, c la velocità di propagazione (nel vuoto 2,998 108 m/s) e k la costante di
Boltzmann pari a 1,380 ⋅10-23 [J/K] .
1,E+14
1,E+12
1,E+10
T = 373 K
T = 1000 K
T = 3000 K
T = 5779 K
1,E+08
1,E+06
1,E+04
1,E+02
1,E+00
0,E+00
2,E-06
4,E-06
6,E-06
8,E-06
1,E-05
1,E-05
1,E-05
2,E-05
2,E-05
2,E-05
Figura 1.3. Confronto tra distribuzioni spettrali di corpi neri a varie temperature
Dalla legge di Planck può essere ricavata la legge dello spostamento o legge di Wien, dalla quale
si osserva che lunghezza d’onda dove si ha la massima emissione spettrale è inversamente
proporzionale alla temperatura assoluta, secondo la seguente relazione:
λmax =
A
T
(1.5)
dove A è una costante empirica pari a 2,9 10-3 K·m. Considerando il Sole equivalente ad un corpo
nero ed assumendo la sua temperatura pari a 5779 K, si ha:
λmax =
2,9 ⋅10−3
= 5, 018 ⋅10−7 [m]
5779
(1.6)
In ultimo, ma non meno importante, la legge di Stefan-Boltzmann che fornisce la totale energia
emessa dall’unità di superficie nell’unità di tempo da un corpo nero:
Eem = σ ⋅ T 4 [W ⋅ m -2 ]
(1.7)
10
dove σ è la costante di Stefan-Boltzmann pari a 5,67 ⋅10-8 [Wm -2 K -4 ] . Anch’essa si può dedurre
dalla legge di Planck, poiché non altro che un integrazione della potenza emisferica spettrale
emessa estesa a tutte le lunghezze d’onda.
In molte applicazioni pratiche è importante conoscere la percentuale di radiazione propagante in
una data direzione. Questo viene descritto in termini di intensità. L’intensità di radiazione di una
superficie è la percentuale di energia che si propaga in una data direzione per unità di angolo solido
e per unità di area perpendicolare all’asse dell’angolo solido. Essa è espressa dalla seguente
relazione:
i=
dF
d ω ⋅ dA ⋅ cos φ
[Jm -2sr -1 ]
(1.8)
dove dF è l’energia emessa da un elementino di superficie dA all’interno di un angolo solido
dω espresso in steradianti [sr]. φ è l’angolo tra l’asse dell’angolo solido e la normale alla superficie.
L’angolo solido è definito come il rapporto tra l’area dS di una superficie sferica ed il quadrato
del suo raggio R:
dω =
dS
R2
[sr]
(1.9)
Si ricorda che l’intensità di radiazione emessa da un corpo nero è indipendente dalla direzione,
cioè è perfettamente isotropo e diffondente. Inoltre, sempre per un corpo nero, la relazione che
intercorre tra energia emessa ed intensità di un area elementare dA posta al centro di una semisfera
di raggio R è la seguente:
E em = π i
(1.10)
2500
Spettro solare
Corpo nero a T=5779 K
Irraggiamento monocromatico [W m-2 µm]
2000
1500
1000
500
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
λ [µm]
Figura 1.4. Distribuzione spettrale della radiazione solare extraterrestre e di un corpo nero a T = 5779K
Adesso possiamo calcolare la temperatura del Sole utilizzando la legge di Stefan-Boltzmann,
sapendo che il flusso radiante totale sulla superficie esterna del Sole è pari a:
11
2
2
d 
 149.500.000 
-2
φ = I cs ×  m  = 1.367 × 
 = 63.253 [kWm ]
695.000
R


 
(1.11)
dove con dm è la distanza Sole–Terra e R il raggio del Sole.
Dalla legge di Stefan-Boltzmann si ricava la temperatura del Sole:
1
1
 φ  4  63.253  4
= 5779,3 [ K ]
T =  =
−11 
 σ   5, 67 × 10 
(1.12)
dove σ è la costante di Stefan-Boltzmann.
In Tabella 1.6 si riportano i diversi valori della temperatura esterna del Sole, ricavati con
metodologie differenti.
Tabella 1.6. Temperature degli strati esterni del Sole fornite da metodi differenti [8]
Metodo
Massimo della radiazione solare
Flusso totale di radiazione (Legge di
Stefan-Boltzmann)
Intensità della radiazione
monocromatica (Formula di Planck):
λ = 1000 Å
λ = 2500 Å
λ = 5500 Å
λ=1m
Distribuzione relativa dell’energia
nell’intervallo:
λλ da 4300 a 4700 Å
λλ da 4700 a 5400 Å
Risultato
T [K]
Parametro
caratteristico della
temperatura
6750
-
5770
Temperatura effettiva
4500
5000
6400
1000000
Temperatura
di brillanza
6500
8000
Temperatura
di colore
La quantità di energia irradiata dal Sole nell’unità di tempo si può calcolare moltiplicando la
costante solare per la superficie di una sfera avente raggio pari alla distanza Sole–Terra:
Ics × (4π dm3 )=1367 × [4 × 3,1415 × (149.500.000) 2 ] = 3,84 ⋅1023 [kW]
(1.13)
Quindi la quantità di energia solare incidente sulla superficie terrestre è pari a 1,743·1014 kW. Se
poi teniamo conto che circa il 70% di questa energia viene intercettata dagli oceani, l’energia solare
annua incidente sul suolo è pari a circa 5,23·1013 kW, che costituisce comunque un valore piuttosto
grande, tanto da superare di molto il fabbisogno energetico mondiale.
12
Capitolo 2 - Interazione Sole – Terra
2.1
Distanza Sole – Terra
La Terra ruota attorno al Sole percorrendo un’orbita di tipo ellittica, con il Sole posto su uno dei
due fuochi.
L’eccentricità dell’orbita terrestre è molto piccola, tanto da poter considerare l’orbita molto
simile ad una circonferenza. Di fatto, la minima distanza tra la Terra ed il Sole si ha al perielio che
cade approssimativamente il 3 gennaio, mentre la massima distanza si ha al afelio che avviene
approssimativamente il 4 luglio. Queste distanze hanno valore rispettivamente:
d p =d m (1 - e)=147,1⋅106 km = 0,983 AU
(2.1)
d a =d m (1 + e)=152,1 ⋅106 km = 1,017 AU
(2.2)
dove dm è il semiasse maggiore dell’orbita terrestre ed e l’eccentricità dell’orbita terrestre (pari a
0,01673). La distanza media della Terra dal Sole dm è stata definita come la metà della somma delle
distanze che si hanno al perielio ed all’afelio, corrispondenti a dm nelle espressioni su indicate. Il
suo valore è pari a 149.597.890 km (±500 km), e si verifica approssimativamente il 4 aprile ed il 5
ottobre. Inoltre, questo valore rappresenta l’unità di riferimento per la misura delle distanze
cosmiche, ed è denominato “Unità Astronomica” (A.U. = Astronomical Unit).
Figura 2.1. Moto della Terra intorno al Sole [2]
Sono state proposte diverse funzioni matematiche per la determinazione del valore della distanza
Sole–Terra in funzione del tempo. Queste generalmente si basavano sullo sviluppo in serie di
Fourier. Spencer sviluppò un’espressione che calcola il quadrato del rapporto tra la distanza media e
la distanza vera, rapporto chiamato fattore di correzione dell’eccentricità. Tale espressione presenta
un errore massimo di 0,0001 e la sua espressione è la seguente:
13
ε 0 =(d m /d) 2 =1,000110+0,034221cosθ +0,001280cosθ +0,000719cos2θ +0,000077sen2θ
(2.3)
dove si è indicato con θ l’angolo giornaliero, così definito:
θ =2π (n g -1)/365
(2.4)
con ng si è indicato il numero del giorno dell’anno, che ha valore pari a 1 il 1°gennaio e valore
uguale a 365 il 31 dicembre. In queste trattazioni, il mese di febbraio è sempre considerato di 28
giorni.
Per applicazioni ingegneristiche, dove non si pretende un’elevata accuratezza, si può utilizzare la
seguente espressione proposta da Duffie e Beckman per il calcolo del fattore di correzione
dell’eccentricità:
d 
2

n 
ε 0 =  m  = 1 + 0, 033 ⋅ cos  2π g 
 d 
 365 
2.2
(2.5)
Declinazione solare
Per un osservatore che dalla Terra osservi il cielo, il percorso del Sole sulla volta celeste assume
la forma di un arco che varia sia durante il corso dell’anno che con la latitudine del luogo.
Il percorso apparente del Sole attorno alla Terra viene denominato eclittica, dunque il piano di
rivoluzione della Terra attorno al Sole viene denominato piano dell’eclittica.
La Terra oltre ad avere un moto di rivoluzione attorno al Sole, ha anche un moto di rotazione
attorno ad un proprio asse, l’asse polare, che presenta un’inclinazione rispetto alla normale del
piano dell’eclittica di 23,5°.
Il moto di rotazione causa la variazione giornaliera della radiazione solare (il giorno), mentre il
moto di rivoluzione causa la variazione stagionale della radiazione solare (l’anno).
L’angolo tra l’asse polare e la normale al piano dell’eclittica rimane sempre costante, così pure
l’angolo formato dal piano equatoriale ed il piano dell’eclittica.
Invece varia giornalmente, o più esattamente istantaneamente, l’angolo formato dalla
congiungente il centro della Terra ed il centro del Sole con il piano equatoriale. Questo angolo
denominato “declinazione solare” è definito come l’angolo che la direzione dei raggi solari forma
a mezzogiorno, sul meridiano considerato, con il piano equatoriale; risulta anche pari all’angolo
che i raggi solari formano a mezzogiorno con la direzione dello zenit sull’equatore e coincide
inoltre con la latitudine geografica alla quale in un determinato giorno dell’anno il Sole a
mezzogiorno sta sullo zenit; è positivo quando il Sole sta al di sopra del piano equatoriale ed è
negativo quando il Sole è al di sotto di esso [3].
14
Figura 2.2. Definizione della declinazione solare [3]
Esso ha valore nullo in corrispondenza dell’equinozio autunnale e primaverile, ed ha
approssimativamente un valore pari a +23,5° al solstizio estivo e circa –23,5° al solstizio invernale.
Questo è vero per l’emisfero superiore, mentre risulta invertito per l’emisfero inferiore.
In Figura 2.3 è rappresentato il moto apparente del Sole nella sfera celeste e l’angolo di
declinazione solare.
Figura 2.3. Sfera celeste che mostra l'apparente percorso del Sole e l'angolo di declinazione solare [2]
L’intersezione del piano equatoriale della Terra con il piano di rivoluzione apparente del Sole
attorno alla Terra, l’eclittica, formano come detto un angolo di circa 23,5°. Dunque, la posizione
relativa del Sole sul piano equatoriale della sfera celeste descrive la declinazione solare. La
principale causa di variazione del valore della declinazione solare è il “leap year cycle” (il ciclo
dell’anno bisestile), che durante i quattro anni può causare al più una variazione di 10’ di grado in
corrispondenza degli equinozi e meno di 1’ di grado in corrispondenza dei solstizi.
Durante un giorno, la massima variazione della declinazione solare è meno di 0,5°. Quindi, se si
suppone costante la declinazione solare durante un giorno l’errore che si commette nel calcolo
dell’angolo dello zenit e quello dell’azimut è al più di 0,5°. Spencer ha ricavato la seguente
espressione della declinazione solare:
15
δ =0,006918-0,399912cosθ +0,070257senθ -0,006758cos2θ +
+0,000907sen2θ -0,002697cos3θ +0,00148sen3θ [rad]
(2.6)
che presenta un errore massimo di 0,0006 rad (meno di 3’). Se gli ultimi due termini vengono
omessi si commette al più un errore di 0,0035 rad (circa 12’). L’angolo θ è dato dall’equazione 2.4.
Esistono espressioni più semplici e più comunemente utilizzate, ma meno precise, come:
δ =arcsen{0,4sen[2π (n g -82)/365]} [gradi]
(2.7)
proposta da Perrin de Brichambaut, e la seguente relazione:
δ =23,45sen[2π (n g +284)/365] [gradi]
(2.8)
proposta da Cooper.
La declinazione solare può anche essere ricavata graficamente dal diagramma, riportato in Figura
2.4.
Figura 2.4. Diagramma dell’andamento della declinazione solare [3]
2.3
Ora solare reale e convenzionale
L’ora solare dipende dalla rotazione della Terra attorno al proprio asse, ma anche dal moto di
rivoluzione della Terra intorno al Sole. Il giorno solare è l’intervallo di tempo che occorre perché il
Sole riappari a completamento di un ciclo ad uno osservatore stazionario posto sulla Terra. Questo
intervallo non è costante, ma varia durante l’anno a causa di due ragioni.
La prima ragione è che la velocità angolare della Terra attorno al Sole non è costante; se ci si
rifacesse alla legge di Keplero si troverebbe che la massima velocità si avrebbe al perielio, mentre
la minima velocità si avrebbe all’afelio; da ciò si può dedurre che la massima durata del giorno si ha
quando il Sole attraversa il meridiano prossimo all’afelio. La differenza tra questi periodi ed il
giorno medio solare è chiamata equazione del tempo dovuta all’eccentricità (curva 1 di Figura 2.5).
La seconda ragione è dovuta al fatto che il piano dell’eclittica è inclinata rispetto all’equatore
della volta celeste o meglio che la posizione dell’asse della Terra è inclinato rispetto al piano
dell’eclittica. Questo angolo è approssimativamente pari a 23° 27’ 8,2”. La differenza tra la reale
16
durata del giorno ed il giorno solare medio, dovuta a quest’ultima ragione, è chiamata equazione del
tempo dovuta all’obliquità (curva 2 di Figura 2.5).
Queste due equazioni del tempo portano a definire la equazione del tempo complessiva ET (curva
3 di Figura 2.5).
Figura 2.5. Equazione del tempo ET [1]
Comunque, in generale, l’ora solare può essere ottenuta conoscendo l’ora convenzionale e la
longitudine del punto di osservazione:
hsole = hconv +
ET − 4 ( Lmr − Loss )
60
(2.9)
dove hconv è l’ora data dall’orologio, Lmr è la longitudine del meridiano di riferimento, Loss è la
longitudine del punto di osservazione. ET rappresenta una correzione, variabile nel corso dell’anno,
chiamata appunto equazione del tempo. Il valore di ET fluttua poiché la velocità della terra attorno
al sole non è costante durante l’anno. Il valore della correzione può essere ricavato dalla Figura 2.5
o dalla seguente relazione:
2n + 31 
ng 


ET = −10,1sen  360 g
 − 6,9 sen  360

366 
366 


(2.10)
Altri studi, tuttavia, hanno considerato un andamento dell’equazione del tempo opposto a quello
riportato in Figura 2.5, e che viene oggi maggiormente utilizzato. La Figura 2.5-bis riporta
l’equazione del tempo maggiormente utilizzata.
17
Figura 2.5-bis. Andamento dell'equazione del tempo in minuti nell'arco di un anno [6]
Oltre a poter ricavare il valore dell’equazione del tempo dalla Figura 2.5-bis, Spencer sviluppò
un’espressione matematica dell’equazione del tempo con una serie interpolante:
E T =(0,000075+0,001868cosθ -0,032077senθ +
(2.11)
− 0,014615cos2θ -0,04089sen2θ ) ⋅ (229,18)
In questa equazione il primo termine a destra, posto in parentesi, rappresenta l’andamento di ET
espresso in radianti, mentre il secondo termine posto tra parentesi (229,18) rappresenta il fattore di
conversione da radianti a minuti. Tale equazione interpolante presenta un errore massimo di 0,0025
rad (35 s).
Molto spesso i dati sulla radiazione solare sono dati in ora solare vera (TST true solar time o LAT
local apparent time), mentre i dati relativi alla temperatura dell’aria, alla velocità del vento sono
generalmente dati in ora convenzionale. Risulta conveniente poter convertire l’ora convenzionale in
ora solare vera o viceversa. Ma per fare ciò bisogna conoscere la longitudine del meridiano di
riferimento e la longitudine del luogo in esame. Tutti i meridiani internazionali standard sono
multipli di 15° ad est o ad ovest del meridiano di Greenwich (Inghilterra), e tutte ore convenzionali
sono multipli interi positivi o negativi del ora di Greenwich (GMT Greenwich mean time). Le
longitudini vanno considerate positive se poste a est del meridiano di Greenwich. Il meridiano di
riferimento per l’Italia è quello passante per Monte Mario (anche passante per l’Etna) avente
longitudine 15°.
L’equazione di conversione tra l’ora solare vera e l’ora convenzionale è la seguente:
ora solare vera = ora convenzionale + 4' (longitudine del luogo +
- longitudine del meridiano di riferimento) + E T
18
(2.12)
dove la longitudine del luogo è la longitudine della località considerata.
Per esempio:
Si vuole conoscere l’ora solare vera a Palermo (longitudine 13,35; latitudine 38,12) a
mezzogiorno (12h 00min) il 28 dicembre (ng = 362 giorno dell’anno).
L’angolo del giorno è pari a:
θ = 2 π (ng – 1) / 365 = 6,2143 rad
Dalla formula di Spencer il valore dell’equazione del tempo risulta pari a
ET = -1,08 min
Quindi si trova che:
ora solare vera = 12h + 4’ (13,35 – 15) – 1,08 = 11° 52’ 19,2”
19
Figura 2.6 Fusi orari
20
2.4
Posizione relativa Sole – Terra
Per poter calcolare la radiazione solare che si ha su un piano sulla superficie terrestre, si deve
conoscere la posizione relativa del Sole sulla volta celeste e le coordinate del piano. La posizione
del Sole è definita se viene specificato il sistema di riferimento.
Per il moto di Rivoluzione che la Terra compie in un anno intorno al Sole, ad un osservatore che
sta sulla Terra il Sole sembra spostarsi ogni giorno di circa 1° lungo l’Eclittica, da Ovest ad Est.
L’inclinazione dell’Asse Terrestre rispetto all’Asse dell’Eclittica è di 23° 27’, per cui anche i
rispettivi Piani ad essi perpendicolari, cioè quello dell’Equatore celeste e dell’Eclittica, si
intersecano tra loro mantenendo lo stesso angolo.
Si supponga un osservatore posto sulla Terra e la sfera celeste logicamente concentrica alla
Terra.
Ad un dato istante, l’osservatore presenterà una posizione nella volta celeste identificata dal suo
zenit, che non è altro che il punto corrispondente all’intersezione della volta celeste con la normale
della superficie terrestre ove è posto l’osservatore. Sulla sfera celeste, in posizione opposta allo
zenit, c’è il nadir. L’orizzonte dell’osservatore è invece la circonferenza ricavata dall’intersezione
della sfera celeste con il piano passante per il centro della Terra e ortogonale alla linea congiungente
il centro della Terra con lo zenit.
L’angolo zenitale (θz) è l’angolo formato dalla direzione dello zenit con la congiungente
l’osservatore con il Sole (praticamente l’angolo letto sulla sfera celeste congiungente lo zenit con il
Sole). Questo angolo può al più variare tra 0° e 90°.
La posizione del Sole rispetto ad un punto sulla Terra è determinata dall’angolo di altezza solare,
α, e dall’angolo azimutale, γ.
L’altezza solare o altitudine solare (α) è l’angolo formato dalla direzione dei raggi solari
(intendendo quelli diretti verso la Terra) con il piano orizzontale (orizzonte).
L’angolo azimutale o azimut solare (γ) è l’angolo formato tra la proiezione sul piano
orizzontale dei raggi solari e la direzione sud; è positivo se la proiezione cade verso est (prima del
mezzogiorno solare) ed è negativa se la proiezione cade verso ovest (dopo il mezzogiorno) [3]. Esso
può variare tra 0° e ±180°.
21
Figura 2.7. Angolo di altezza solare (α) ed angolo azimutale (γ)
Questi due angoli dipendono a loro volta dalla declinazione δ, dalla latitudine ϕ e dall’angolo
orario ω.
L’angolo orario (ω) è definito come la distanza angolare tra il Sole e la sua posizione a
mezzogiorno lungo la sua traiettoria apparente sulla volta celeste; è anche pari all’angolo di cui
deve ruotare la terra affinché il Sole si porti sopra il meridiano locale. Tale angolo è nullo a
mezzogiorno, positivo nelle ore antimeridiane e negativo nelle ore pomeridiane. Esso risulta dato
dalla seguente relazione:
ω = 15 ⋅ (12 - orario) [gradi]
(2.13)
Figura 2.8. Sfera celeste e coordinate del Sole relative ad un osservatore posto nel punto C [4]
22
Definite queste grandezze, l’altezza (α) del Sole alle 12 in un punto di latitudine ϕ può essere
ricavata, ai solstizi ed agli equinozi, dalla seguente Figura 2.9:
Figura 2.9. Angolo di altezza solare alle ore 12, per una località posta ad una latitudine ϕ ai solstizi ed agli
equinozi
La Figura 2.10 mostra la posizione della Terra attorno al Sole in corrispondenza degli equinozi e
dei solstizi.
Figura 2.10. Moto della Terra attorno al Sole
23
All’Equinozio di primavera (21 Marzo), il Sole ha declinazione 0°. Per l’osservatore di una
qualunque località della Terra, esso sembra spostarsi, nel suo percorso diurno, lungo l’Equatore
celeste nel cielo, da Est a Ovest in senso orario verso Sud nell’Emisfero boreale, in senso antiorario
verso Nord in quello australe. I raggi del sole arrivano perpendicolari all’asse terrestre, per cui il dì
è uguale alla notte in tutte le località della terra, tranne ai Poli, dove rimane sull’orizzonte tutto il
giorno in quanto l’Equatore celeste coincide col piano dell’orizzonte (Figura 2.11).
Figura 2.11. Posizione del Sole agli equinozi
Dall’Equinozio di primavera al Solstizio d’estate (21 Giugno), il Sole si sposta lungo il ramo
ascendente dell’Eclittica, fino a raggiungere la sua massima declinazione positiva di +23° 27’;
pertanto nel cielo di ogni località percorre archi diurni quasi paralleli all’Equatore celeste, sempre
più spostati verso Nord. Nell’emisfero boreale il dì è via via più lungo della notte mentre succede il
contrario nell’emisfero australe (Figura 2.12).
Figura 2.12. Posizione del Sole al solstizio d’estate
24
Dal Solstizio d’estate all’Equinozio d’autunno (21 Settembre), il Sole si sposta in senso inverso
sul ramo ascendente dell’Eclittica fino a raggiungere la declinazione 0°; ripercorre quindi a ritroso
le sue posizioni nel cielo precedenti il solstizio estivo.
Dall’Equinozio di autunno al Solstizio d’inverno (21 Dicembre), il Sole si sposta lungo il ramo
discendente dell’Eclittica, fino a raggiungere la sua minima declinazione negativa di -23° 27’;
percorre sempre archi diurni quasi paralleli all’Equatore celeste di ogni località, di giorno in giorno
più spostati verso Sud; nell’emisfero boreale il dì è progressivamente più corto rispetto alla notte,
mentre succede il contrario nell’emisfero australe (Figura 2.13).
Figura 2.13. Posizione del Sole al solstizio d’inverno
Dal Solstizio invernale all’Equinozio di primavera, il Sole si sposta in senso inverso al percorso
precedente, sul ramo discendente dell’Eclittica; di nuovo sembra tornare indietro rispetto alle sue
posizioni nel cielo, con archi diurni sempre più spostati verso Nord nel nostro emisfero fino a
raggiungere la posizione dell’Equinozio di primavera. E il ciclo annuale del sole ricomincia.
Ricapitolando: il Sole agli Equinozi percorre l’Equatore celeste di un luogo; nel semestre estivo
percorre archi diurni spostati, rispetto all’Equatore celeste, verso Nord di un angolo uguale alla
declinazione del sole, nel semestre invernale percorre archi diurni spostati, rispetto all’Equatore
celeste, verso Sud sempre di un angolo uguale alla declinazione del sole.
Definiti questi angoli, si può affermare che per data località, quindi per data posizione
geografica, in assenza di rifrazione dovuta all’atmosfera terrestre (cosa che per scopi pratici sarà
trascurata, perchè tale ipotesi porta ad una leggera sottostima dell’altezza solare reale di al più 34’
all’orizzonte), la posizione del Sole in ogni istante dell’anno può essere ottenuta dalle seguenti
relazioni trigonometriche:
25
cosθ z = sen α = sen δ ⋅ sen ϕ + cos δ ⋅ cos ϕ ⋅ cos ω
cos(γ ) =
sen(α ) ⋅ sen(ϕ ) − sen(δ )
cos(α ) ⋅ cos(ϕ )
(2.14)
(2.15)
dove con ϕ si è indicata la latitudine della località.
Qualche volta viene usata la seguente equazione per ricavare l’angolo azimutale:
sen(γ ) =
cos(δ ) ⋅ sen(ω )
cos(α )
(2.16)
che dovrebbe essere evitata o usata con accortezza, poiché dà valori inesatti per γ > 90°.
L’equazione (2.14) può essere utilizzata per trovare l’angolo orario dell’alba, ha; infatti, questa si
verifica per θz = 90°, cioè α = 0°, quindi ponendo cos θz = 0, si ha:
cos(ha ) =
− sen(ϕ ) ⋅ sen(δ )
= − tan(ϕ ) ⋅ tan(δ )
cos(ϕ ) ⋅ cos(δ )
(2.17)
Osservando che l’angolo orario del tramonto differisce da quello dell’alba solo per il segno, si
può facilmente affermare che la durata del giorno è pari a 2 volte ha. Volendola esprimere in ore si
ha:
Nd =
2 ⋅ arccos[(− tan(ϕ ) ⋅ tan(δ )]
15
(2.18)
É opportuno fare alcune osservazioni:
− nelle regioni polari, in inverno, il Sole non sorge mai, quindi non si può parlare di durata del
giorno. Ugualmente durante l’estate il Sole non tramonta per sei mesi.
− all’equatore, ϕ = 0°, perciò ω = 90°, quindi la durata del giorno è indipendente dalle stagioni
(cioè dalla declinazione solare) ed è sempre pari a 12 ore.
− all’equinozio, δ = 0°, perciò ω = 90°, quindi la durata del giorno è indipendente dalla
latitudine ed è sempre pari a 12 ore.
Per una più agevole determinazione dell’ora del tramonto, si può utilizzare il nomogramma di
Whillier, come illustrato di seguito (Figura 2.14):
26
Figura 2.14. Nomogramma di Whiller per la determinazione dell'ora del tramonto [2]
Nel caso si voglia considerare la posizione relativa tra il Sole ed un piano comunque inclinato,
bisogna conoscere la pendenza del piano rispetto all’orizzontale, 0≤β≥180, e l’angolo azimutale o
azimut aw del piano, cioè l’angolo formato dalla proiezione della normale alla superficie sul piano
orizzontale con la direzione Sud nell’emisfero settentrionale (Nord nell’emisfero meridionale):
positivo se la proiezione è rivolta verso est, negativo verso ovest. Si farà distinzione tra piano
rivolto verso l’equatore e piano rivolto verso est o ovest (Figura 2.15).
Figura 2.15. Posizione del Sole relativa ad un piano inclinato [3]
2.4.1 PIANO RIVOLTO VERSO L’EQUATORE
Se consideriamo la Figura 2.16, possiamo osservare che due piani posizionati rispettivamente
alle latitudini ϕ e ϕ – β, con il primo piano avente pendenza β, avranno stesso angolo di incidenza
della radiazione solare se il secondo è disposto orizzontalmente. Infatti secondo Liu e Jordan i due
piani risultano paralleli.
27
Figura 2.16. Equivalenza piano inclinato - piano orizzontale [2]
Poiché l’angolo di incidenza del piano disposto alla latitudine ϕ coincide con quello del piano
orizzontale disposto alla latitudine ϕ – β, allora, dalla relazione (2.14), possiamo scrivere:
cos(z 0β ) = sen(δ ) ⋅ sen(ϕ - β ) + cos(δ ) ⋅ cos(ϕ - β ) ⋅ cos(ω )
(2.19)
Dalla precedente relazione si può ricavare l’angolo orario della prima radiazione sul piano
inclinato. Quest’angolo è chiamato angolo dell’alba per un piano inclinato. Per un piano inclinato,
l’alba o il tramonto si hanno quando l’angolo di incidenza della radiazione sul piano è pari a z0 =
90°. L’angolo dell’alba h’a è dato dalla seguente relazione:
cos(ha' ) = −
sen(δ ) ⋅ sen(ϕ − β )
= − tan(δ ) ⋅ tan(ϕ − β )
cos(δ ) ⋅ cos(ϕ − β )
(2.20)
Per tutti i piani inclinati orientati verso l’equatore, l’angolo orario del sorgere del Sole coincide
con l’angolo orario del tramonto ad eccezione del segno. Si considerino i tre seguenti casi:
a) All’equinozio, δ è nullo, allora dall’equazione (2.20) si ha h’a = 90°, che è l’angolo del
sorgere del Sole indipendente dall’inclinazione del piano e dalla latitudine del posto.
b) Durante l’estate (nell’emisfero settentrionale), δ > 0, che implica ha > h’a.. Cioè il Sole sorge
prima su una piano orizzontale che su un piano inclinato.
c) Durante l’inverno (nell’emisfero settentrionale), δ < 0. Questo potrebbe indurre ha pensare
che ha < h’a. Ma questo è fisicamente impossibile, allora si potrebbe scrivere la seguente
espressione:
h 'a =min{arccos[- tan(δ ) tan(ϕ )]; arccos[- tan(δ ) tan(ϕ -β )]}
(2.21)
Quest’ultima relazione può essere applicata indistintamente sia nel punto b) che in c).
2.4.2 PIANO COMUNQUE ORIENTATO
Per superfici comunque orientate rispetto al meridiano locale, la relazione che fornisce l’angolo
di incidenza ziβ è stata fornita da Benrod e Block, Kondratyev, e in dettaglio da Coffari. Questa
relazione si presenta nella seguente maniera:
28
cos z iβ = [sen(ϕ )cos(β ) - cos(ϕ )sen(β )cos(a w )] ⋅ sen(δ )
+ [cos(ϕ )cos(β ) + sen(ϕ )sen(β )cos(a w )] ⋅ cos(δ )cos(ω )
(2.22 a)
+ cos(δ )sen(β )sen(a w )sen(h)
oppure
cos ziβ = cosβ cosθ z + senβ senθ z sen(γ - a w )
(2.22 b)
Per piani rivolti verso l’equatore (aw = 0), si può notare che queste due equazioni si riducono alla
(2.19).
È anche molto utile scrivere l’equazione dell’angolo d’incidenza per pareti verticali, cioè β=90°:
cos z i = - cosϕ cos(a w )senδ + senϕ cos(a w )cosδ cosω + cosδ sen(a w )senω
(2.23)
È utile, inoltre, calcolare il periodo di tempo durante il quale il piano vede il Sole. Se si indica
con h”a e con h”t i rispettivi angoli orari del sorgere e del calare del Sole, questo periodo sarà dato
dalla loro differenza. Questi due angoli non sono uguali neanche in valore assoluto. Ognuno di
questi angoli deve essere calcolato singolarmente per superfici orientate verso est o verso ovest.
Inoltre bisogna tenere presenti due possibili situazioni: 1) l’angolo orario dell’alba del piano
inclinato è maggiore di quello di un piano orizzontale; 2) l’angolo orario del tramontare del Sole per
un piano inclinato è più grande del corrispondente di un piano orizzontale.
L’angolo orario dell’alba hia può essere ottenuto in maniera numerica dall’equazione (2.22a)
ponendo ziβ = 90°. Si presentano delle espressioni esplicite sia nel caso di superficie orientata ad est
che per quelle orientate ad ovest.
Tenendo in mente che l’angolo orario del sorgere o del tramontare del Sole per una superficie
inclinata non potrà mai essere maggiore di quello di una superficie orizzontale, i due angoli per
piani orientati verso est (aw > 0) sono:

 − x ⋅ y − x 2 − y 2 + 1 


h = min ha ; arccos


x2 +1




(2.24)

 − x ⋅ y + x2 − y2 + 1 

h = min  ht ;arccos 
2


x
+
1


 
(2.25)
"
a
"
t
mentre per piani orientati verso ovest (aw < 0) sono:

 − x ⋅ y + x2 − y 2 + 1 

ha" = min  ha ;arccos 
2


x
+
1



(2.26)

 − x ⋅ y − x2 − y 2 + 1 

ht" = min  ht ;arccos 
2


x
+
1



(2.27)
dove si è posto
29
x=
cos(ϕ )
sen(ϕ )
+
sen(aw ) ⋅ tan( β ) tan(aw )

sen(ϕ )
cos(ϕ ) 
y = tan(δ ) ⋅ 
+

 sen(aw ) ⋅ tan( β ) tan(aw ) 
e ha e ht rappresentano rispettivamente l’angolo orario dell’alba e del tramonto su un piano
orizzontale.
30
2.5
Percorsi solari
È possibile rappresentare graficamente il moto apparente del Sole nella volta celeste mediante i
diagrammi dei percorsi solari, ovvero delle carte solari proiettate sul piano orizzontale (diagramma
polare) o sul piano verticale (diagramma cilindrico).
In questi diagrammi, tracciati per fissato valore della latitudine, si riportano l’altezza solare, α, e
l’angolo azimutale, γ, nei vari periodi dell’anno. Il valore degli angoli (α) e (γ) dipende dall’ora del
giorno, dal giorno dell’anno e dalla località in esame. Devono, dunque, essere noti, rispettivamente:
• la latitudine ϕ, cioè l’angolo misurato tra l’equatore terrestre e la località in esame (da 0° a
90° nord per l’emisfero settentrionale);
• la declinazione δ, ovvero l’angolo tra la posizione del sole al mezzogiorno solare ed il piano
equatoriale (da –23,45° al solstizio d’inverno a +23,45° al solstizio d’estate);
• l’angolo orario ω, cioè l’angolo formato dal piano meridiano passante per l’osservatore con il
piano meridiano passante per il sole.
Questi angoli possono essere calcolati utilizzando le equazioni precedentemente riportate e di
seguito riassunte:
− Angolo orario:
ω = 15 ⋅ (t − 12)
− Declinazione:
δ = arcsen 0.4 ⋅ sen  2π ( ng − 82 ) / 365
(Equazione 2.7)
− Altezza solare:
α = arcsen(cos ϕ ⋅ cos δ ⋅ cos ω + sen ϕ ⋅ sen δ )
(Equazione 2.14)
− Angolo azimutale:
γ = arccos 
 sen α ⋅ sen ϕ − sen δ 

cos α ⋅ cos ϕ


(Equazione 2.15)
(Equazione 2.13)
{
}
L’angolo orario ω, come abbiamo già detto, varia nel corso della giornata con una velocità
costante di quindici gradi all’ora, visto che la rotazione completa della terra avviene in 24 ore; esso
assume valore nullo al mezzogiorno solare e aumenta di 15 gradi ogni ora a partire dal
mezzogiorno, con valori positivi la mattina e negativi di pomeriggio.
Nella determinazione dell’angolo orario si dovrebbe tener conto delle perturbazioni dell’orbita e
delle variazioni della velocità di rotazione della terra, mediante l’equazione del tempo, e della
differenza tra la longitudine del meridiano della località considerata e quella del meridiano di
riferimento del fuso orario. Quest’ultimo per l’Italia, come già accennato, è il meridiano 15° E
(Monte Mario). In pratica per passare dall’ora standard (civile) all’ora solare occorre sommare al
valore dell’ora standard la correzione che si determina dall’equazione del tempo (con il proprio
31
segno) e 4 volte la differenza fra la longitudine del meridiano della località in esame e la
longitudine del meridiano di riferimento del fuso orario (Equazione 2.12). Con un foglio di calcolo
elettronico (Microsoft Excel©) si può implementare l’equazione del tempo di Spencer (Equazione
2.11) e valutare, quindi, giorno per giorno il valore assunto da tale equazione; le correzioni dovute
all’equazione del tempo per il tracciamento dei percorsi solari possono essere solitamente
trascurate.
Il diagramma solare polare è una proiezione delle traiettorie del Sole sul piano orizzontale,
ottenibile riportando graficamente i valori dell’altezza solare e dell’azimut, calcolati con le
equazioni (2.14) e (2.15) per la località considerata, in funzione del tempo solare vero e della
declinazione.
Si consideri la seguente Figura 2.17.
Figura 2.17. Costruzione di un percorso solare [2]
La proiezione della traiettoria solare di raggio unitario (1 A.U.) sul piano orizzontale descrive il
percorso solare. Nella figura (2.17) possiamo notare il punto “a” ottenuto dall’azimut solare all’ora
del sorgere del Sole, il punto “b” rappresentante qualsiasi ora del giorno dato dall’azimut solare e
dalla distanza “Ob”. Tale distanza coincide, per le ipotesi fatte, con il valore di cos α.
Nei diagrammi polari l’osservatore è posizionato al centro del diagramma. Le circonferenze
concentriche rappresentano gli angoli di altezza solare costante sopra l’orizzonte, con incrementi di
10 gradi. Il cerchio di raggio massimo che limita il diagramma è quello caratterizzato da altezza
solare α=0, corrispondente dunque al sorgere o al tramontare del Sole.
Per α=40°, ad esempio, il cerchio da considerare è quello evidenziato in grassetto in Figura 2.18.
32
Figura 2.18. Altezza solare α = 40° costante nel diagramma solare polare
Dal punto centrale del diagramma partono poi una serie di raggi che rappresentano gli angoli
azimutali (γ) costanti, con incrementi di 10°.
In Figura 2.19 è evidenziata la linea di angolo azimutale γ=30° costante.
Figura 2.19. Angolo azimutale γ = 30° costante nel diagramma solare polare
Ogni percorso solare è identificato da un valore di latitudine ϕ. Quest’ultima determina sul
diagramma una fascia di possibili posizioni del Sole, delimitata dalle tracce corrispondenti ai due
solstizi d’inverno e d’estate.
Ogni mese, caratterizzato da una declinazione media, è rappresentato sul diagramma mediante
archi simmetrici rispetto all’asse nord-sud che si spostano verso nord a mano a mano che si va dal
solstizio d’inverno al solstizio d’estate e viceversa. Questi archi sono solcati da linee che
rappresentano l’ora.
Nel diagramma polare il reticolo originato dall’incrocio fra circonferenze concentriche e i
segmenti radiali consente di trasferire la posizione del sole dalla volta celeste alla carta solare e
33
l’incrocio tra una linea della data e una linea dell’ora corrisponde ad una coppia di valori di (α) e (γ)
(Figura 2.20).
Figura 2.20
Una volta noti gli angoli dell’altezza solare e dell’angolo azimutale si può stabilire la posizione
del sole nel cielo e collegando i punti che rappresentano le posizioni del sole nelle diverse ore del
giorno, si può tracciare il percorso solare in quel giorno (Figura 2.21).
Figura 2.21. Percorso solare di un dato giorno nel diagramma solare polare
Il percorso del sole si può così tracciare per ogni giorno dell’anno. Le linee rappresentano il
percorso del sole per il ventunesimo giorno di ciascun mese.
Il percorso è più lungo durante i mesi estivi quando esso raggiunge la sua massima altezza
sorgendo e tramontando con i massimi angoli azimutali misurati dal sud geografico. Durante i mesi
invernali il sole è molto più basso sull’orizzonte sorgendo e tramontando con i minimi angoli
azimutali (Figura 2.22).
34
Figura 2.22. Percorso solare nel solstizio d’inverno (curva più bassa) e nel solstizio d’estate (curva più alta)
Se si collegano le ore del giorno su ciascun percorso solare si ottiene una linea, generalmente
raffigurata tratteggiata, che rappresenta le ore del giorno (Figura 2.23).
Figura 2.23
Il diagramma solare risultante fornisce giorno per giorno e ora per ora la posizione del Sole.
In Figura 2.24 è riportato il diagramma polare dei percorsi solari relativo alla latitudine di 40°
Nord.
35
Figura 2.24. Diagramma polare dei percorsi solari alla Latitudine di 40° N [2]
Riassumendo, questo diagramma è così costituito:
− il cerchio esterno rappresenta l’orizzonte, mentre il centro rappresenta lo zenit;
− i cerchi interni rappresentano i vari valori dell’altezza solare α, che sono egualmente spaziate
l’una dall’altra;
− le linee radiali indicano l’azimut γ, diagrammate a passi di 10°;
− le linee intersecanti i percorsi solari per le varie date indicate, rappresentano l’ora locale vera.
Inoltre i diagrammi polari ottenuti per una certa latitudine (per esempio 40°N) possono essere
usati per la relativa latitudine opposta (allora 40° S), semplicemente ruotando il diagramma di 180°.
Alternativamente al diagramma polare si può utilizzare un diagramma cilindrico della posizione
del Sole.
I diagrammi in coordinate cartesiane danno una proiezione verticale del percorso solare così
come sarebbe visto da un osservatore posto sulla terra.
Per il diagramma cilindrico le linee orizzontali rappresentano gli angoli di altezza solare sopra
l’orizzonte, distanziati a passi di 10 gradi. In Figura 2.25 è evidenziata la linea ad altezza solare α =
40° costante.
Le linee verticali rappresentano gli angoli azimutali costanti, con incrementi di 15 gradi (Figura
2.26).
36
Figura 2.25. Altezza solare α = 40° costante nel diagramma solare cilindrico
Figura 2.26. Angolo azimutale γ = 45° costante nel diagramma solare cilindrico
Il reticolo del diagramma cilindrico rappresenta gli angoli verticali e orizzontali dell’intera volta
celeste e consente di trasferire la posizione del sole dalla volta celeste alla carta solare. L’incrocio
tra una linea della data e una linea dell’ora corrisponde ad una coppia di (α) e (γ) (Figura 2.27).
Figura 2.27
37
Anche per questo diagramma valgono le stesse considerazioni fatte per quello polare. Ovvero:
noti gli angoli dell’altezza solare e dell’angolo azimutale si può stabilire la posizione del Sole nel
cielo, e collegando i punti che rappresentano le posizioni del Sole nelle diverse ore del giorno, si
può tracciare il percorso solare in quel giorno (Figura 2.28).
Figura 2.28. Percorso solare di un dato giorno nel diagramma solare cilindrico
Si può così tracciare il percorso del sole per ogni giorno dell’anno. Anche in questo caso, le
traiettorie solari sono tracciate al ventunesimo giorno di ogni mese (Figura 2.29).
Figura 2.29. Percorso solare nel solstizio d’inverno (curva più bassa) e nel solstizio d’estate (curva più alta)
Ed infine, collegando tra loro le ore del giorno su ciascun percorso solare si ottengono delle linee
tratteggiate che rappresentano le ore del giorno (Figura 2.30).
38
Figura 2.30
Tali diagrammi vengono spesso usati nelle applicazioni pratiche per ottenere velocemente, in
maniera grafica, l’altezza solare e l’azimut solare.
Riassumendo
Si riporta brevemente un riassunto della procedura per il tracciamento dei percorsi solari su
diagramma cilindrico.
In un generico giorno dell’anno il Sole descrive sulla volta celeste una traiettoria, e un
osservatore posto alla latitudine ϕ, nell’arco diurno della giornata vedrà di tale traiettoria soltanto la
parte contenuta nella calotta celeste visibile. È possibile diagrammare il moto apparente del Sole
nella volta celeste per ogni ora del giorno e per ogni mese dell’anno, fissando un sistema di
coordinate centrato nell’osservatore e riferito al piano dell’orizzonte, e facendo riferimento a due
misure angolari, l’altezza del sole α e l’azimut solare γ.
Ricavate tutte queste grandezze si può costruire il diagramma solare cilindrico, nel quale le linee
orizzontali rappresentano gli angoli di altezza costante sopra l’orizzonte con incrementi di 10 gradi,
mentre le linee verticali rappresentano gli angoli azimutali con incrementi costanti di 15 gradi.
Utilizzando un foglio di calcolo, al variare di un solo parametro (la latitudine della località in
esame), si può tracciare il percorso solare relativo alla località prescelta. Infatti è proprio la
latitudine della località che determina sul diagramma una fascia di possibili posizioni del sole,
delimitata dalle tracce corrispondenti ai due solstizi d’inverno e d’estate.
39
Per ogni mese, caratterizzato da un valore della declinazione media, noti gli angoli dell’altezza
solare e dell’azimut si può stabilire la posizione del sole nelle diverse ore del giorno. Collegando
questi punti si può tracciare il percorso del sole relativo al giorno considerato.
I percorsi solari sono rappresentati sul diagramma mediante archi simmetrici rispetto all’asse
nord – sud, i quali si spostano verso nord man mano che si va dal solstizio d’inverno verso quello
d’estate e viceversa. Se si collegano le ore del giorno su ciascun percorso solare si ottiene una linea
tratteggiata che rappresenta il percorso solare annuo relativo all’ora in esame.
Il diagramma risultante fornisce giorno per giorno e ora per ora la posizione del Sole nella volta
celeste, come raffigurato ad esempio nella Figura 2.31 relativa alla latitudine di 38° N e nella Figura
2.32 per la latitudine di 40° N.
90°
F =38°
80°
mezzogiorno
ore 13
ore 11
70°
Giu
Lug
ALTEZZA SOLARE
ore 14
ore 10
60°
Mag
Ago
ore 9
50°
Apr
ore 15
Set
Mar
Ott
40°
ore 8
ore 16
Feb
Nov
30°
Gen
Dic
ore 7
ore 17
20°
ore 6
ore 18
10°
ore 19
ore 5
0°
-135°
EST
-120°
-105°
-90°
-75°
-60°
-45°
-30°
-15°
0°
15°
AZ I MUT
30°
45°
60°
75°
90°
SUD
Figura 2.31. Diagramma solare per ϕ= 38°N
Figura 2.32. Diagramma solare per ϕ= 40°N [3]
40
105°
120°
135°
OVEST
Come si evidenzia dai precedenti grafici, il percorso del sole è più lungo durante i mesi estivi,
nei quali esso raggiunge la massima altezza, sorgendo e tramontando con i massimi angoli azimutali
misurati dal sud geografico, e più breve durante i mesi invernali nei quali sorge e tramonta con i
minimi angoli azimutali.
Per mezzo di tale diagramma è possibile determinare graficamente i periodi di tempo nei quali
un determinato punto di una superficie rimane in ombra a causa di ostacoli che intercettano i raggi
solari.
41
2.6
Determinazione delle ore di soleggiamento di una parete: metodo grafico
Per determinare graficamente il periodo di soleggiamento di una parete di un qualsiasi edificio si
procede come segue (Figura 2.33):
1.
si orienta il diagramma polare dei percorsi solari relativo alla latitudine del luogo in esame,
secondo la direzione Nord della pianta dell’edificio;
2.
dal centro del diagramma si traccia una retta parallela alla proiezione sul piano orizzontale
del piano di prospetto dell’edificio, e la retta normale ad essa uscente in direzione Sud;
3.
la parete esaminata risulta soleggiata in quei periodi dell’anno (mesi, giorni, ore)
corrispondenti ai tratti delle curve dei percorsi solari che giacciono dalla parte della normale
uscente;
4.
i rimanenti tratti di curva corrispondono, invece, a periodi in cui la parete esaminata si trova
in ombra.
Figura 2.33 – Metodo grafico per la determinazione del periodo di soleggiamento di una parete
42
2.7
Determinazione delle ombre portate sulle facciate soleggiate: metodo grafico
A livello edilizio le ombre portate da ostacoli in un determinato punto del territorio possono
ottenersi con metodo grafico, disegnando il profilo dell’orizzonte sul diagramma solare relativo alla
latitudine in esame.
A tale scopo può essere utilizzato sia il diagramma solare polare che quello cilindrico.
Di seguito si riporta una breve descrizione dei due metodi.
Rilievo del profilo dell’orizzonte mediante i diagrammi solari cilindrici.
Per determinare le ore del giorno in cui un ostacolo impedisce alla radiazione solare di
raggiungere un punto è necessario disegnare tale ostacolo così come è visto dal punto in esame,
tracciando il profilo dell’orizzonte sul diagramma solare corrispondente alla latitudine del luogo.
Per rilevare il profilo di orizzonte si può usare una mappa quotata indicante tutti gli ostacoli e le
loro altezze, od un teodolite, oppure in alternativa una bussola per la determinazione degli angoli
azimutali ed una livelli per le altezze.
Dopo aver rilevato le altezze dell’ostacolo, il profilo d’orizzonte viene disegnato sul diagramma
solare attraverso i seguenti passi:
• determinazione della direzione del sud geografico attraverso una bussola od un teodolite;
• determinazione dell’angolo di altezza solare, facendo ricorso alla seguente relazione:
α i = arc tan g
∆H i
Xi
dove ∆Hi è la differenza di quota tra i due punti considerati, Xi è la distanza planimetrica tra i
due punti. L’altezza solare dell’orizzonte va riportata sul diagramma solare sopra l’angolo
azimutale 0 (sud geografico);
• determinazione degli angoli azimutali, angoli che la direzione congiungente il punto considerato
con il punto di ipotetica ostruzione (ad esempio i vertici dell’ostacolo) forma con il sud
geografico. I rispettivi punti vanno riportati sul diagramma solare e va tracciata la linea che li
collega.
Così facendo per ogni punto analizzato si ottiene una coppia coordinata di punti (α, γ) che
riportati sul diagramma dei percorsi solari permettono di valutare i giorni e le ore dell’anno in cui
gli edifici circostanti impediscono la radiazione solare di raggiungere il punto esaminato.
43
Figura 2.34
Rilievo del profilo dell’orizzonte mediante i diagrammi solari polari.
Come per i diagrammi solari cilindrici, occorre tracciare gli ostacoli così come sono visti dal
punto in esame, tracciando il profilo dell’orizzonte sul diagramma solare corrispondente alla
latitudine del luogo esaminato.
Per il calcolo di ombre portate da edifici od ostacoli in genere, si opera nel modo seguente
(Figura 2.35):
• si orienta il diagramma secondo il Nord della pianta in esame;
• il punto A non vede il sole per la presenza degli edifici, quando il sole si trova nella zona di
cielo limitata in pianta dagli angoli α1, α2, α3, ….ed in alzato dagli angoli β1, β2, β3 …
• riportando i vari angoli sul diagramma delle ombre e sovrapponendolo al diagramma della
latitudine del luogo, si può determinare quando gli ostacoli fanno ombra al punto A.
44
Figura 2.35
In alternativa, in riferimento alla Figura 2.36, si indichino con π1 e π2 i piani dove sono riportati
rispettivamente la pianta ed un prospetto dell’edificio in esame. Si indichino, inoltre, con r la
direzione del raggio solare, r’ la proiezione del raggio solare sul piano d’orizzonte π1, e con r’’ la
proiezione del raggio solare sul piano di prospetto π2.
45
Figura 2.36.
46
Per il calcolo delle ombre portate da ostacoli in genere, si opera nel modo seguente:
a) si orienta il diagramma solare polare secondo il Nord della pianta in esame;
b) dal centro del diagramma, O, si traccia la parallela alla linea di terra del prospetto;
c) si traccia sul diagramma il punto S’ della curva solare corrispondente al mese, giorno ed ora
in esame;
d) si unisce il punto trovato, S’, con il centro del diagramma, O, ottenendo così il segmento OS’
coincidente con la retta r’, ovvero la proiezione del raggio solare sul piano d’orizzonte π1;
e) dal punto S’ si traccia poi una retta ortogonale alla linea di terra, che interseca tale linea nel
punto P;
f) dal punto P si traccia un segmento ortogonale alla linea di terra, nel verso della normale
entrante (r’), pari a PY, essendo Y l’intersezione tra la retta r’ con l’ultimo cerchio del
diagramma solare, caratterizzato da altezza solare α=0, corrispondente dunque al sorgere o
al tramontare del Sole;
g) si determina in questo modo un punto S’’;
h) infine ricongiungendo S’’ con il centro del diagramma solare O, si ottiene la retta r’’, cioè la
proiezione del raggio solare sul piano di prospetto dell’edificio.
Note le rette r’ e r’’, si tracciano le parallele ad esse rispettivamente nel prospetto e nella pianta
dell’edificio in esame a partire dai vertici di tutti gli ostacoli, determinando così graficamente le
aree di ombreggiamento.
In Figura 2.37 si riporta un esempio di ombre portate su di un edificio dai sui stessi balconi alle
ore 15:00 del 22 giugno.
47
Figura 2.37. Esempio di ombre portate dai balconi di un edificio alle ore 15:00 del 22 giugno.
48
Radiazione solare extraterrestre
Introduzione
È noto che la presenza di macchie sulla superficie del Sole riduce la quantità di radiazione
emessa. Questa variazione della radiazione dipende dall’attività, continuamente variabile, delle
macchie solari. Si suppone, da studi effettuati, che tali macchie creino una variazione della
radiazione solare meno dell’1,5%. Da studi effettuati da Willson et al. (1981) riportano variazioni
superiori al 0,2%. Per mancanza comunque di informazioni, per la bassa influenza sulla variazione
della radiazione solare e sull’incerta conoscenza della trasmissione atmosferica, questo fenomeno
viene ad oggi trascurato ai fini ingegneristici.
Invece non viene trascurata la variazione di energia emessa dal Sole dovuta alla variazione della
distanza Sole–Terra. Questo fenomeno dovuto all’ellitticità dell’orbita terrestre attorno al Sole,
porta ad una variazione dell’irraggiamento extraterrestre del ±3,3% nel corso dell’anno causata da
una variazione della distanza Sole–Terra del ±1,7% [3].
Si può interpolare l’andamento di questa variazione con la seguente relazione [3]:
 I 0 = I cs ⋅ e(t )

e(t ) = 1 + 0,033 ⋅ cos 2 ⋅ π ⋅ n g
 365







(3.1)
dove con ng si è indicato il giorno progressivo dell’anno. Volendo rappresentarla graficamente:
Figura 0.1. Andamento dell'irraggiamento extraterrestre nel corso dell'anno [3].
Su un piano orizzontale
2.7.1 RADIAZIONE ORARIA
Per un dato giorno, la quantità di radiazione extraterrestre che incide su una superficie normale ai
raggi solari è pari a:
I0n =Isc (d o /d) 2 =Isc ⋅ ε 0 [Wm -2 ]
(3.2)
49
mentre quella che incide su un piano orizzontale sarà data dalla
I0 =I0n cosz [Wm -2 ]
(3.3)
dove cosz è data dalla (2.12) e I0n dalla (3.2), allora possiamo scrivere
I0 =Iscε 0 (senδ ⋅ senL + cosδ ⋅ cosL ⋅ cosh) [Wm -2 ]
(3.4)
La radiazione dI0 durante un infinitesimo periodo di tempo dt sarà
d I0 =Iscε 0 coszdt [kJ ⋅ m -2 ⋅ h -1 ]
(3.5)
Poiché cosz contiene h che rappresenta l’angolo orario, si procede ad una conversione da tempo
ad angolo orario di dt nella seguente maniera:
Velocità di rotazione della Terra attorno al proprio asse =
dh 2 ⋅ π
=
dt 24h
quindi
dt =
12
⋅ dh
π
(3.6)
La relazione (3.5) può allora essere scritta nella seguente maniera:
d I0 =(12/π )Iscε 0 (senδ ⋅ senL + cosδ ⋅ cosL ⋅ cosh)dh
(3.7)
Se si considera la i-esima ora, a partire dal mezzogiorno solare, e si indica con hi l’angolo orario
a metà della i-esima ora, si può ricavare la radiazione solare totale che si ha per quella intera ora
partendo dalla (3.7):
I0 =
12
π
⋅ I sc ⋅ ε 0 ⋅ ∫
hi +π / 24
hi −π / 24
[sen δ ⋅ sen L + cos δ ⋅ cos L ⋅ cos h] ⋅ dh
risolvendo l’integrale


24
π 
⋅ sen  ⋅ cos(δ ) ⋅ cos( L) ⋅ cos(hi )
I 0 = I sc ⋅ ε 0 ⋅ sen(δ ) ⋅ sen( L) +
π
 24 


(3.8)
ma poiché possiamo considerare valida la seguente approssimazione
sen (π / 24 )
≅1
π / 24
(3.9)
si può scrivere
I 0 = I sc ⋅ ε 0 ⋅ [sen δ ⋅ sen L + cos δ ⋅ cos L ⋅ cos hi ]
(3.10)
Questa relazione rappresenta la radiazione extraterrestre che si ha nell’ora centrata nell’angolo
solare hi. Questa relazione si può trovare scritta in altra forma; per esempio scrivendo l’espressione
dello zenit in funzione dell’angolo orario del tramonto,
cos z=cosδ ⋅ cosL(cosh - cosh t )
(3.11)
si ha
50
I 0 = I sc ⋅ E0 ⋅ cos δ ⋅ cos L ⋅ [ cos hi − cos ht ]
(3.12)
Se invece si volesse conoscere la radiazione che si avrebbe per un qualunque lasso di tempo [t1 –
t2], si dovrà usare la seguente relazione:
I0
t2
12


= I sc ⋅ E0 ⋅ sen δ ⋅ sen L ⋅ (t2 − t1 ) + cos δ ⋅ cos L ⋅ [ sen(15 ⋅ t1 ) − sen(15 ⋅ t2 )]
t1
π


(3.13)
Se si volesse determinare la radiazione oraria media mensile extraterrestre su un piano
orizzontale, si può scrivere per una data ora su un periodo di un mese la seguente espressione:
I0 =
n2
1
⋅ ∑ I 0, j
n2 − n1 j = n1
(3.13)
dove con n1 ed n2 si sono indicati rispettivamente il giorno progressivo dell’anno iniziale del mese
considerato e quello finale. Si può adesso determinare un particolare giorno che ha irraggiamento
equivalente all’irraggiamento orario medio mensile. Questo giorno può essere caratterizzato dalla
sua declinazione δc, per cui:
I 0 = I0
(3.14)
δ = δc
Poiché δc non varia sostanzialmente durante le 24h, allora un sol valore di δc può essere usato per
tutte le ore di un mese. Questo valore di δc è stato computato a mezzogiorno e viene riportato nella
seguente tabella insieme al corrispondente giorno dell’anno.
Tabella 3.1. Declinazioni caratteristiche calcolate con la formula di Spencer.
Mese
Gennaio
Febbraio
Marzo
Aprile
Maggio
Giugno
Luglio
Agosto
Settembre
Ottobre
Novembre
Dicembre
Giorno
dell'anno
17
47
75
105
135
162
198
228
258
288
318
344
Data
17-gen
16-feb
16-mar
15-apr
15-mag
11-giu
17-lug
16-ago
15-set
15-ott
14-nov
10-dic
Declinazione
caratteristica δc
-20,90
-12,61
-2,04
9,48
18,67
23,04
21,35
13,99
3,34
-8,22
-18,04
-22,84
Si riportano dei diagrammi dove è possibile osservare la dipendenza della radiazione oraria
extraterrestre su un piano orizzontale dalla declinazione e dalla latitudine della località considerata.
All’equatore gli effetti della declinazione sono minimi, mentre più vicino si va ai poli più si sente
l’effetto della declinazione.
51
Figura 0.2. Andamento giornaliero della radiazione oraria extraterrestre su un piano orizzontale [2].
2.7.2 RADIAZIONE GIORNLIERA
La radiazione durante un giorno è data dall’area sottostante la curva della radiazione solare
giornaliera (Figura 3.2), delimitata dal alba e dal tramonto. Inoltre
tramonto
H 0= ∫alba
tramonto
I 0 ⋅ dt = 2 ⋅ ∫0
I 0 ⋅ dt
(3.15)
Se si suppone costante ε0 durante il giorno e convertendo dt in angolo orario, si ottiene
H0 =
24
π
⋅ I sc ⋅ ε 0 ⋅ ∫ [sen δ ⋅ sen L + cos δ ⋅ cos L ⋅ cos h ] ⋅ dh
ht
0
(3.16)
risolvendo l’integrale
H0 =
24
π
⋅ I sc ⋅ ε 0 ⋅ {ht ⋅ [sen δ ⋅ sen L ] + cos δ ⋅ cos L ⋅ cos ht }
(3.17)
dove ht è espresso in radianti.
Si possono scrivere le suddette espressioni in modo più semplice. Si rielabori la (2.15), e
combinandola con la (3.17) si ottiene
H0 =
24
π
⋅ I sc ⋅ ε 0 ⋅ sen δ ⋅ sen L ⋅ [ ht − tan h t ]
(3.18)
52
oppure
H0 =
24
π
⋅ I sc ⋅ ε 0 ⋅ cos δ ⋅ cos L ⋅ [sen ht − ht ⋅ cos h t ]
(3.19)
Si può osservare che queste due espressioni non sono valide all’equatore ed ai poli.
Infatti all’equatore (L = 0° ⇒ ht = 90° = π/2) la radiazione extraterrestre giornaliera diverrebbe
H0 =
24
π
⋅ I sc ⋅ ε 0 ⋅ cos δ
(3.20)
Mentre ai poli, durante l’estate non c’è né l’alba né il tramonto, quindi ht sarà pari a 180° o π,
quindi
H0 =
24
π
⋅ I sc ⋅ ε 0 ⋅ sen δ ⋅ sen L ⋅ π
(3.21)
In molti calcoli ingegneristici è richiesta la radiazione extraterrestre giornaliera media mensile su
un piano orizzontale. Questa quantità è così definita:
n2
1
H0 =
⋅ ∑ H0
n 2 − n1 n1
(3.22)
Allo stesso modo della radiazione oraria media mensile, la H 0 può essere calcolata dalla
declinazione caratteristica.
H 0 = H0
(3.23)
δ = δc
In figura è mostrato l’andamento di H in funzione della latitudine e del mese. Si può osservare
che la variazione della radiazione extraterrestre è minima all’equatore.
Figura 0.3. Irraggiamento solare extraterrestre giornaliero medio mensile su una superficie orizzontale [2].
53
Su un piano comunque inclinato ed orientato verso l’equatore
In questa sezione si tratteranno piani inclinati verso l’equatore e piani comunque orientati.
2.7.3 RADIAZIONE ORARIA
Si consideri la figura qua sotto riportata, dove il piano è inclinato di β gradi verso l’equatore:
Figura 3.4. Irraggiamento su un piano inclinato orientato verso l'equatore [2].
La radiazione extraterrestre su detto piano sarà data dalla seguente relazione:
I0 = Isc ⋅ ε 0 ⋅ cos z 0
(3.24)
dove θ0 è l’angolo di incidenza della radiazione su un piano inclinato orientato verso l’equatore. La
radiazione solare sul piano che si ha tra gli angoli orari h1 e h2 sarà data dalla seguente espressione:
I oβ =
12
π
⋅ I sc ⋅ ε 0 ⋅ ∫
h2
h1
[sen δ ⋅ sen( L − β ) + cos δ ⋅ cos( L − β ) ⋅ cos h] ⋅ dh
(3.25)
Integrando tale relazione bisogna stare attenti al segno degli angoli orari (positivi se compresi tra
alba e tramonto per tale piano inclinato).
La procedura che adesso si impiegherà per ricavare la radiazione oraria è la stessa di quella
impiegata per il caso del piano orizzontale, con l’unica differenza che al posto di L troveremo (L –
β) come era prevedibile. Dunque si ha:
I oβ = I sc ⋅ ε 0 ⋅ [sen δ ⋅ sen( L − β ) + 0,9972 ⋅ cos δ ⋅ cos( L − β ) ⋅ cos hi ]
(3.26)
oppure
I oβ ≅ I sc ⋅ ε 0 ⋅ [sen δ ⋅ sen( L − β ) + cos δ ⋅ cos( L − β ) ⋅ cos hi ]
(3.27)
dove hi è l’angolo orario dell’ora considerata (si interpreta sempre considerando l’orario a metà
dell’ora).
Invece la radiazione solare che si ha su detto piano per un lasso di tempo compreso tra t1 e t2,
espressi in ore, è data dalla seguente espressione:
I0β
t2
12


= I sc ⋅ ε 0 ⋅ sen δ ⋅ sen( L − β ) ⋅ (t2 − t1 ) + cos(δ ) ⋅ cos( L − β ) ⋅ [ sen(15 ⋅ t1 ) − sen(15 ⋅ t2 ) ] (3.28)
t1
π


54
Anche qua t1 e t2 sono gli orari a metà delle ore limiti considerate e si trovano tra l’alba ed il
tramonto.
Come per il caso del piano orizzontale anche qua la radiazione extraterrestre oraria media
mensile può essere determinata dalla conoscenza della declinazione caratteristica:
I 0β = I0β
(3.29)
δ = δc
2.7.4 RADIAZIONE GIORNALIERA
Per la determinazione della radiazione giornaliera che si ha su un piano inclinato di β ed
orientato verso l’equatore, basta integrare l’espressione (3.25) tra gli angoli orari corrispondenti
all’alba ed al tramonto. Risulta la seguente espressione:
H 0β =
24
π
⋅ I sc ⋅ ε 0 ⋅ ∫
min( ht , ht' )
0
[sen δ ⋅ sen( L − β ) + cos δ ⋅ cos( L − β ) ⋅ cos h] ⋅ dh
(3.30)
Coerentemente deve essere considerato il minimo tra i due valori anche perché il risultato finale
deve essere positivo. Allora definendo:
ht* = min {ht ;arccos [ − tan δ ⋅ tan( L − β ) ]}
(3.31)
si può scrivere:
H0β =
24
π
⋅ I sc ⋅ ε 0 ⋅ {ht* ⋅ [sen δ ⋅ sen( L − β ) ] + cos δ ) cos( L − β ) ⋅ sen ht*}
(3.32)
La radiazione solare extraterrestre giornaliera media mensile su un piano inclinato orientato
verso l’equatore può essere calcolata tramite la seguente espressione sulla base della declinazione
caratteristica:
H 0β = H0β
(3.33)
δ = δc
Su un piano comunque inclinato ed orientato
In questo sezione si tratterà il caso più generale.
2.7.1 RADIAZIONE ORARIA
Si useranno le stesse procedure usate fino ad adesso. L’irraggiamento per superfici orientate, con
un azimut pari ad a, è pari a
Iaβ = Isc ⋅ ε 0 ⋅ cos z
(3.24)
dove z si ricava dalla (2.20).
La radiazione che si ha tra due angoli orari h1 ed h2 è pari a:
55
I aβ =
12
π
h2
⋅ I sc ⋅ ε 0 ⋅ ∫ cos z ⋅ dh
(3.25)
h1
Quindi si trova
I aβ = I sc ⋅ ε 0 ⋅ ( sen L ⋅ cos β − cos L ⋅ sen β ⋅ cos aw ) ⋅ sen δ +
+ ( cos L ⋅ cos β + sen L ⋅ sen β ⋅ cos aw ) cos δ ⋅ cos hi + cos δ ⋅ sen β ⋅ sen aw ⋅ sen hi
(3.26)
dove hi è l’angolo orario dell’orario a metà dell’ora considerata.
Il valore orario medio mensile sarà
I aβ = I aβ
(3.27)
δ = δc
2.7.2 RADIAZIONE GIORNLIERA
Continuando nella stessa maniera la trattazione, possiamo scrivere per la radiazione giornaliera
extraterrestre
H aβ =
12
π
⋅ I sc ⋅ ε 0 ⋅ ∫
htramonto
halba
cos z ⋅ dh
(3.28)
Se si sostituiscono i valori degli angoli orari dell’alba e del tramonto per il piano inclinato in
questione, si ricava la seguente espressione:
H aβ =
12
π
⋅ I sc ⋅ ε 0 ⋅ [cos β ⋅ sen δ ⋅ sen L ⋅ ht − ha − sen δ ⋅ cos L ⋅ sen β ⋅ cos aw ⋅ ht − ha +
cos L ⋅ cos δ ⋅ cos β ⋅ sen ht − sen ha + cos δ ⋅ cos aw ⋅ sen L ⋅ sen β ⋅ sen ht − sen ha +
cos δ ⋅ sen β ⋅ sen aw ⋅ cos ht − cos ha
(3.29)
Il valore giornaliero medio mensile sarà dato dalla
H aβ = H aβ
(3.30)
δ = δc
Relazione tra radiazione su un piano inclinato ed un piano orizzontale in assenza di
atmosfera
Si presenterà questa problematica secondo due casi: il primo considera un piano inclinato ma
orientato verso l’equatore, il secondo un piano comunque orientato.
2.7.1 PIANO INCLINATO ORIENTATO VERSO L’EQUATORE
Si considereranno i rapporti per la radiazione istantanea, oraria, giornaliera.
56
a) Si indica con ri,b il rapporto tra la radiazione istantanea su una superficie inclinata e quella su
un piano orizzontale in assenza di atmosfera terrestre.
Dalla seguente figura:
Figura 0.5. Irraggiamento piano orizzontale (a) e piano inclinato (b) [2].
si ricavano le seguenti espressioni
I0 = I0n cos z
(3.31)
I0β = I0n cos z 0
(3.32)
Inoltre
ri,b = I0β /I0 = cos z 0 /cos z
(3.33)
b) Si indica con rb il rapporto tra la radiazioni oraria su un piano inclinato ed un piano
orizzontale in assenza di atmosfera terrestre. Questo è dato dalla
I 0β
rb =
I0
=
I sc ⋅ ε 0 ⋅ ∫
hi +π / 24
hi −π / 24
I sc ⋅ ε 0 ⋅ ∫
cos( z 0 β ) ⋅ dh
(3.34)
hi +π / 24
hi −π / 24
cos( z ) ⋅ dh
Questa può essere ben approssimata con la seguente relazione:
I0β
rb =
I0
=
cos z0 β
(3.35)
cos z
Bisogna fare attenzione quando si calcola rb in prossimità dell’angolo critico corrispondente
all’alba o al tramonto poiché il denominatore dell’ultima espressione diventa molto piccolo
rapidamente facendo tendere rb all’infinito. Questo dipende molto dall’inclinazione del piano,
dalla latitudine e dal giorno dell’anno considerato.
c) Si indica con r b il rapporto tra la radiazione oraria media mensile su un piano inclinato e
quello su un piano orizzontale in assenza di atmosfera terrestre. Questo può essere valutato
a partire dalla declinazione caratteristica.
rb =
I 0 β cos( z0 β )
=
cos( z ) δ = δ c
I0
(3.36)
57
d) Si indica con Rb il rapporto tra la radiazione giornaliera su un piano inclinato e quella su
un piano orizzontale in assenza di atmosfera terrestre. Da Liu e Jordan abbiamo che questo
rapporto è pari a:
Rb =
H 0β
(3.37)
H0
La Rb può essere scritta in forma sintetica, cioè contemplando i due casi di ht ≤ ht’ e ht ≥ ht’, nella
seguente maniera, rapportando le equazioni (3.32) e (3.17):
Rb =
ht* ⋅ sen δ ⋅ sen( L − β ) + cos δ ⋅ cos( L − β ) ⋅ cos ht*
ht ⋅ sen δ ⋅ sen L + cos δ ⋅ cos L ⋅ cos ht
(3.38)
con ht* = min {arccos [ − tan δ ⋅ tan L ] ;arccos [ − tan δ ⋅ tan( L − β ) ]}
e) Si indica con R b il rapporto tra la radiazione giornaliera media mensile su un piano
inclinato e quella su un piano orizzontale in assenza di atmosfera terrestre. Si può scrivere
in funzione della declinazione caratteristica:
Rb =
f)
H 0β H 0β
=
H0 δ = δc
H0
(3.39)
All’equinozio, cioè δ = 0 e ht = ht’ = π / 2, i seguenti rapporti coincidono:
rib = rb = Rb =
cos( L − β)
cos( L)
(3.40)
2.7.2 PIANO INCLINATO COMUNQUE ORIENTATO
In tal ambito i rapporti risultano piuttosto complicati. Questi devono essere trattati
separatamente.
a) Si indica con rb il rapporto tra la radiazioni oraria su un piano inclinato comunque
inclinato ed un piano orizzontale in assenza di atmosfera terrestre. Questo rapporto è pari a
rb =
cos( z aβ )
(3.41)
cos( z )
b) Si indica con Rb il rapporto tra la radiazione giornaliera su un piano inclinato comunque
orientato e quella su un piano orizzontale in assenza di atmosfera terrestre.
Questo
rapporto è pari a
Rb =
H aβ
(3.42)
H0
Dalle equazioni (3.29) e (3.17) si ha
Rb = {cos β ⋅ sen δ ⋅ sen L ⋅ ht − ha − sen δ ⋅ cos L ⋅ sen β ⋅ cos aw ⋅ ht − ha +
58
cos L ⋅ cos δ ⋅ cos β ⋅ sen ht − sen ha + cos δ ⋅ cos aw ⋅ sen L ⋅ sen β ⋅ sen ht − sen ha +
cos δ ⋅ sen β ⋅ sen aw ⋅ cos ht − cos ha } ⋅ {2 ⋅ [ cos L ⋅ cos δ sen ht + ha ⋅ sen L ⋅ sen δ ]}−2
59
(3.43)
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SITI WEB
[W1] www.meteorologia.it/didattica
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