Argomentare, congetturare,
provare nelle situazioni non
didattiche
Il ruolo dei ragionamenti
nell’apprendimento

Plan
• 1. Introduzione: i
paradossi
l ’insegnamento del
ragionamento (testo)
• 2. Situazioni per
passare dalla retorica
ai ragionamenti logici
• 3. Un esempio :
l ’apprendimento del
contro esempio
• 4. Situazione
didattica, non
didattica e a- didattica
(ricordare il glossario)
L’ingegnere delle situazioni
• Un gran numero di situazioni sono state inventate
e sperimentate affinchè gli allievi apprendano le
matematiche dalla pratica del dibattito sulla
prova.
• Alcuni hanno per oggetto preciso di insegnare le
regole complesse dell ’argomentazione. ex :« chi
dirà 20 », « il centro del cerchio circonscritto ad
un triangolo » ...
La ricerca del numero più grande
• Ecco un esempio introduttivo alla
situazione di argomentazione e della prova.
Che fanno i matematici?
• Un processo di tre situazioni per far
comprendere a de ragazzi di 10 anni, il
ruolo delle dimostrazioni e dei contro
esempi :
• Il concorso del numero più grande
• Il gioco dei mercanti di metodi
• Il concorso dei teoremi
Il concorso del numero più
grande
• Il professore : « Scrivo 5 numeri naturali alla
lavagna »
• « Utilizzando questi 5 nomeri una volta ed una
sola, e con l’aiuto delle operazioni che voi
conoscete (+, -, x, : ), e che voi sceglierete
come voi vorrete, provate ad ottenere un
numero il più grande possibile. E’ un concorso
tra di voi. »
Ecco i numeri : 3;8;7;5;4
• «Per vincere bisogna :
• Aver detto quali operazioni bisogna fare
per calcolarlo
• Aver effettuato il calcolo senza errori
• e che nessuno abbia trovato un numero più
grande »
(situazione d ’azione)
Situazione d’azione
Figura 4
Conoscen
ze
Situazione
d’Azione
Ambiente
materiale,
sociale
etc.
Soggetto
o
istituzion
e che
agisce
Azioni
informazioni
Il gioco del mercante di metodi
• « L’igegnere che inventa un nuovo metodo,
un materiale o un metodo di fabricazione
ne fa una decsrizione precisa ed ottiene un
brevetto. In seguito tutti quelli che
vogliono utilizzare questo prodotto, questo
materiale o questo metodo devono pagare
dei diritti all’inventore»
(Situazione di formulazione e di
comunicazione)
• « Allora provate a dire prima quali operazioni
bisogna fare per guadagnare il prossimo
concorso del numero più grande. Dovete
scegliere e descrivere un metodo. Mettetevi in
gruppi di 4.
• Non saprete anbcora i numeri che io vi
proporrò, bisognerà dunque disegnarli, con
delle lettere forse ? »
Ordinogramma e formule
• Esempio di proposizioni di allievi
• ((3 x 8) x (7 x 5)) x 4
3
8
7
x
5
x
24
35
x
840
x
3360
4
più tardi
•
…
• Anne io ho sommato il
più grande : 9
• 9 + 0 uguale 9 e 9 volte
tre 27
• Alexandra : Io faccio il
metodo di Aline?
• Anne : Ma no, bisogna
fare il mio poiché é quello
là che si é trovato, allora
tu fai il tuo.

Situazione di comunicazione
Figura 5
Repertori
o
Conoscen
ze,
linguaggi,
etc.
E
Soggetto o
istituzione
Che emette
Situazione di comunicazione
Ambiente di
R
Ambiente
materiale
sociale
etc.
Messaggi
o
Repertorio
Conoscenz
e,
linguaggi,
etc.
R
Soggetto o
Instituzion
e
Che riceve
(Nuova sitazione d’azione)
• Prima di fare una nuova partita,
– I gruppi di inventori verranno ad esporre i loro
metodi,
– I giocatori sceglieranno quello che vorranno
utilizzare
– Gli inevntori riceveranno un punto dalla scelta
• ma dopo al partita se il metodo ha perduto,
l’inventore pagerà un compenso
Provate con 3; 5; 2; 6; 7
• « I compratori, mettono alla prova i metodi
venduti dai venditori »
• Adesso una situazione che modellizza una
attività matematica ; la situazione di prova
e di validadazione sociale
Il concorso dei teoremi
• Invece di guadagnare dei punti solamente
giocando a fabricare dei metodi o ad
utilizzarli potete guadagnare discutendoli:
• Se mostrate che un metodo in vendita non
da sempre il numero più grande voi
segnerete 10 punti
Se l’inventore rifiuta di riconoscere
il suo errore?
– Potete obbligarlo a giocare con i numeri che
voi gli proporrete, guadagnerete i punti che
egli perde
Segnerete dei punti ...
– Convincendo i vostri compagni che avete
ragione
– Mostrando che le dichiarazioni degli altri sono
sbagliate
(Situazione di prova e validazione
sociale)
• Perederete dei punti se vi sbagluate
• e soprattutto se vi ostinate a sostenere un
errore
•
• Alexandra: Se tu
moltiplichi 0 per 5
avrai 0. Ma se tu fai 0
+5 avrai 5. Aline
diceva che quando si
ha dei numeri bisogna
moltiplicarli tutti …

•
• Alex. E se si fa 1 volta
5 questo fa 5. Se tu fai
1+5, questo fa 6
• Anne. E’ quello che
avevo dello l’ultima
volta
• Alex. Ecco ! Il metodo
di Aline non funziona
• Eymeric Questo
funziona con i numeri
…
• Anne … Tutti i numeri
salvo 0 e 1
Primi teoremi
• Degli allievi propongono « Bisogna
moltiplicare tutti i numeri »
• Discutono rapidamente e s’accordano sul
fatto che l’ordine non ha importanza:
• « bisogna moltiplicare tutti i numeri non
importa in quale ordine.»
Lo zero truffa !
• Allora il professore propone 3; 4; 7; 0; 2 !
• Subito gli allievi cercano insiemi di numeri
che contraddicono i metodi
Cioè dei contro esempi
1 anche !
•
•
•
•
3; 4; 1; 7; 9 Come utilizzare l’ 1?
E in questo caso 1;3;7;1;2 ? ?
…
Ad ogni tappa di nuovi contro
esempi … fino a
• 1; 1 ;1; 1 ;1
•
• Elsa: Se si somma l’1 alla
fine, non é che una volta
• Anne (off) Questo sarà
minore
• Elsa: Per esempio si
moltiplica al più grande…
heu... si addiziona al più
grande, quando
multiplica, é parecchie
volte, é ripetuto
• Voix (off) Ma non !

•
• Anne (off) Se e si é quello
che ho detto.
• Elsa : 8+1 questo fa 9, ma
se io faccio dopo 9 volte 5,
l’1 é ripetuto… é 5 volte
dentro
• Se tu lo sommi alla fine,
non é che una volta
• Anne (off): E’ quello che
ho detto, anche se ha
trovato 481 ed io ho trovato
540 !
aritmetica
• Così nel corso di questa tappa gli allievi
s’interrogano sulla commutatività, utilizzano
implicitamente la distributività della
moltiplicazione per spiegare il loro lavoro
• Bisogna aggiungere 1 ad uno dei terminidel
prodotto o al prodotto stesso ?
• Ed a quale numero, al grande ? Al piccolo ?
Figura 6
Situazione di prova, o di validazione sociale
Repertorio
Conoscenz
e
Linguaggi,
Logica,
Teoria etc.
Ambiente
materiale
sociale
etc.
Soggetto
del
dibattito
A
Soggetto o
istituzione
Proponente
Repertorio
Conoscenz
e
Linguaggi,
Logica,
Teoria etc.
.
Modello
dell’ambien
te
Prove
Teoremi
B
Soggetto o
Istituzione
Opponent
e
Gli allievi domandano : esistono
teoremi senza contro-esempio?
• In questa attività, gli allievi
– si esercitano nell’arte del contro-esempio
– utilizzano e formulano dei teoremi
d ’aritmetica
– «scoprono» le regole della dimostrazione
come mezzo dell’argomentazione.
– E si fanno un’idea soggettiva di « che cosa é
l’attività matematica ? »

1. possono condurre
Quali situazioni
all’uso non didattico della retorica
equindi ai ragionamenti logici ?
Situazione d ’azione
Repertorio
Conoscenz
e
Linguaggi,
Logica,
Teoria etc.
Ambiente
materiale
sociale
etc.
azion
e
A
Soggetto o
istituzione
Proponente
informazione
• A interagisce con
l’ambiente M per
ottenere un certo
risultato
• Se non si ottiene
• E se si rende conto
che gli manca un
mezzo d ’azione o una
informazione...
Situazione di cooperazione
Repertorio
Conoscenz
e
Linguaggi,
Logica,
Teoria etc.
Ambiente
materiale
sociale
etc.
.
azion
e
informazione
A
Soggetto o
istituzione
B
Soggetto o
istituzione
influenza
• … E che un altro
B può agire per
lui o aiutarlo
• Allora tenta
d’influenzare B
– con la coercizion
o
– con la retorica
Retorica
• Influenzare le decisioni di B
• Modificare il sistema delle decisioni di B (le sue
ragioni d ’agire) con dei mezzi di cui non può
essere cosciente: seduzione, autorità etc.
Argomentazione
Modificare il repertorio di B, ma convincerlo con
degli argomenti contrllabili e accettati da lui.
Rinunziare ad ogni altro mezzo
Modificare il repertorio di B, ma convincere B
con degli argomenti controllabili e accettati.
Repertorio
Conoscenz
e
Linguaggi,
Logica,
Teoria etc
A
Soggetto o
istituzione
Ambiente
materiale
sociale
etc.
Modello
dell’Ambie
nte
proposizione
• Comunicare una
« proposizione » che si
riferisce all’ambiente M
• E ad un repertorio di
« ragioni », o di
B
Soggetto o
istituzione
Conoscenze
comuni
Figura 6
Situazione di prova, o di validazione sociale
Milieu de E
Repertorio
Conoscenz
e
Linguaggi,
Logica,
Teoria etc
Ambiente
materiale
sociale
etc.
Soggetti
del
dibattito
A
Soggetto o
istituzione
Proponente
Repertorio
Conoscenz
e
Linguaggi,
Logica,
Teoria etc
Modello
dell’ambien
te
Prove
Teoremi
A
Soggetto o
istituzione
Opponent
e
Questioni d ’ingegneria
• Gli scambi tra un proponente e un
opponente devono seguire delle regole
precise (ref. P. Lorenzen)
• Possono apprendere senza la pratica dei
dibattiti (ref. Lakatos) ?
• I soli dibattiti a-didattici possono portare
alla conoscenza di queste regole ?
e di didattica
• Quali relazioni precise debbono avere con
l’ambiente quando dibattono un teorema
preciso?
• Ogni teorema esige un ambiente
differente?
• Le matematiche sono fatte con gli stessi
tipi di ragionamenti?
• I differenti componenti
del ragionamento logico
Oggetti di giustificazioni
• Le operazioni, il calculo dei termini
– loro natura e loro buona forma
– loro ordine o loro organizzazione
•
•
•
•
Le dichairazioni, le asserzioni
le dimostrazioni
gli oggetti stessi (definizioni)
loro notazione
Giustificazioni e prove 1
• Per rapporto all’ambiente proprio:
– la pertinenza
– l ’adeguazione
• per rapporto all’ambiente esteso
– la novità
– l ’utilità...
• per rapporto al soggetto
– l ’adattazione (repertorio, ergonomia)
Gustificazio e prove 2
• Per rapporto alla teoria
– la consistenza (non contraddizione)
– l ’indipendenza, la costruibilità...
– la falsificabilità…
• per rapporto allambiente circostante
– l ’opportunità
– l ’idoneità...
Situazioni e métodi
•
•
•
•
Congetture
prove e contr-esempi
Modelli e rappresentazioni
teoremi e meta-teoremi
Retorica didattica
Repertorio
Conoscenz
e
Linguaggi,
Logica,
Teoria etc
.
Ambiente
materiale
sociale
etc.
saperi
A
Soggetto
professore
Azione
futura
B
Soggetto
allievo
insegnamento
• L ’insegnante A
influenza i
repertori
dell’allievo B
affincè egli possa
agire
convenientemente
sull’ambiente M
nel futuro.
I paradossi
• Apprendere il ragionamento senza ragionare?
• Insegnare quello che l’allievo deve pensare da
se stesso ?
• Utilizzare una logica didattica differente da
quella che si vuole insegnare ?
• Confondere il pensiero dell’allievo e la
dimostrazione matematica ?

3.
Situazioni a- didattiche
Ricorda
Situation
• A1) Una situazione é (in didattica), un
insieme di condizioni che conducono un
soggetto umano a utilizzare una
conoscenza precisa come mezzo per
regolare questa situazione o d’ottenervi un
certo risultato.
Situation non didactique
• A2) Una situazione é detta “ non
didattica ” (self content) se il soggetto é
condotto a questa utilizzazione di
conoscenza senza l’interveto d’un terzo,
senza informazione esterna né correzioni e
senza ingiunzioni di sorta. Per esempio una
prova di controllo é in principio “ non
didattica ”. (Snd)
Situazione n.d. con uso didattico
• A3) Una situazione non didattica può
essere utilizzata a dei fini didattici: per
esempio per un controllo o nel quadro di
un insegnamento per riproduzione o per
ripetizione…
Situazione d ’apprendimento n.d.
• B1) Alcune di queste situazioni permettono
o conducono un soggetto umano a mettere
in opera e/o di sviluppare questo mezzo di
soluzione, anche se non lo conosceva
prima.
Queste sono delle situazioni
d’apprendimento non didattiche.
Situazioni didattiche
• B2) Une situazione é didattica quando uno
dei patner della situazione prova a
modificare le conoscenze degli altri con
degli interventi specifici
• I professori provano a metterei loro allievi
nella posizione di utilizzare ciò che loro
insegnano nelle condizioni non didattiche.
Tipi di situazioni
• C1) Le conoscenze si manifestano sotto tre
forme
principali
(comportamenti,
informazioni, argomenti). Ad ogni forma
corresponde un tipo d’apprendimento
spontaneo differente e una struttura
specifica delle situazioni non didattiche
che li provocano (azione, comunicazione,
giustificazioni).
Devoluzione,
Instituzonalizzazione
• C2) I professori perparano e manipolano le
situazioni nelle quali si trovano gli allievi,
facendoli entrare (devoluzione) o uscire
(instituzionalizzazione) dal dominio nondidattico in processi complessi de
situazioni didattiche. Gli corrispondono
delle modalità didattiche di tre forme di
conoscenze presentate quì di seguito.
De-didattificazione
• C3) Nel corso dell’educazione, tutte le
situazioni
sono
spontaneamente
considerate dai ragazzi e dagli adulti come
didattiche. Bisogna fare uno sforzo
particolare di devoluzione per privare la
situazione lasciata all’allievo dei suoi
presupposti didattici.
Situazione a-didattica
• Una situazione resa provvisoriamente e
parzialmente non didattica é detta adidattica : l’allievo é cosciente che deve
regire con le proprie sue forze e la sua
rsponsabilità, benchè egli non sia sicuro di
arrivarvi.