Abilità numeriche e di calcolo:
la discalculia nella scuola primaria
Sassuolo (MO) – 29 ottobre 2009
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Abilità numeriche e abilità di calcolo
• Sistema dei numeri
• Sistema del calcolo
compiti sottesi alla capacità
di capire le quantità e le
loro trasformazioni:
compiti sottesi alla capacità
di operare sui numeri
attraverso operazioni
aritmetiche:
• Comprendere il
significato dei numeri
• Conoscere il lessico dei
numeri
• Leggere e scrivere i
numeri
• Possedere automatismi
di calcolo
• Utilizzare strategie di
calcolo
• Conoscere le routine
procedurali del calcolo
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Comprensione del numero
(meccanismi semantici)
• Codificare semanticamente un numero
equivale a rappresentare mentalmente la
quantità che esso rappresenta e quindi a
identificarne la posizione che esso assume
all’interno della linea dei numeri.
• Si tratta di una rappresentazione concettuale
che corrisponde al “significato” di un numero
(Biancardi, Mariani, Pieretti - 2003)
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Comprensione del numero
(meccanismi semantici)
• La numerosità è una proprietà degli insiemi che
permette:
– sia di discriminarli (A è diverso da B perché la sua
numerosità è diversa)
– sia di ordinarli (A < B perché ha una numerosità
minore di B).
• I bambini non solo nascono con la capacità di
riconoscere numerosità distinte fino a un massimo di
circa 4, ma distinguono i cambiamenti di numerosità
provocati dall’aggiunta/sottrazione di oggetti, ossia
possiedono “aspettative aritmetiche”
(B. Butterworth – 1999)
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Contare
• Contare è fondamentale. Costituisce il primo
collegamento tra la capacità innata del bambino di
percepire le numerosità e le acquisizioni
matematiche più avanzate della cultura nella quale
è nato.
• Imparare la sequenza delle parole usate per
contare è il primo modo con il quale i bambini
connettono il loro concetto innato di numerosità con
le prassi culturali della società in cui sono nati.
(B. Butterworth – 1999)
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Principi del conteggio
• ASSOCIAZIONE UNO A UNO
– Associare parole-numero a oggetti
– Separare gli oggetti contati da quelli da contare
• ORDINE STABILE
– Utilizzare in modo stabile una sequenza di numerali
• CARDINALITA’
– Sapere che il numero di oggetti di un insieme
corrisponde all’ultimo numerale utilizzato per
contare quell’insieme
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Comprensione del numero
(meccanismi semantici)
• Comparazione
– Giudizio di numerosità
• Seriazione
– Riordino di sequenze numeriche
• Stima
– Approssimazione numerica
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Produzione del numero
Produzione del numero
(meccanismi sintattici)
(meccanismi lessicali)
I meccanismi sintattici regolano
Nella codifica verbale di un
la relazione posizionale tra le
numero ogni cifra assume un
“nome” diverso a seconda della
posizione che occupa.
cifre.
Costituiscono la grammatica
interna del numero che attiva il
corretto ordine di grandezza di
ogni cifra
Nei sistemi di comprensione
e/o produzione dei numeri,
i meccanismi lessicali hanno il
compito di selezionare
adeguatamente i nomi delle
cifre per riconoscere quello del
numero intero
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Produzione del numero
(meccanismi sintattici e lessicali)
• Dettato di numeri
• Lettura di numeri
• Trasformazione in cifre
– da parole-numero a numerali
– codifica sintattica del numero
Operazioni di transcodifica numerica
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Sistema dei numeri
• Regole semantiche
– Rappresentazione astratta del numero
• Giudizio di numerosità
• Regole sintattiche
– Grammatica del numero
• Valore posizionale delle cifre
• Scrittura di numeri
• Regole lessicali
– Riconoscimento del nome del numero
• Enumerazione
• Lettura dei numeri
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Produzione del numero
(meccanismi sintattici e lessicali)
• 9 è minore di 5
• Semantico
• 319 (scritto)
312 (letto)
• Lessicale
TRANSCODIFICA
• 1492 (dettato)
10004100902 (scritto)
• Sintattico
(lessicalizzazione)
TRANSCODIFICA
• 2006 (dettato)
2060 (scritto)
• Sintattico
TRANSCODIFICA
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Sistema di calcolo
• Conoscere le routine procedurali delle
operazioni scritte
• Utilizzare strategie di calcolo mentale
• Possedere automatismi di calcolo
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Automatismi, strategie, procedure
• Calcolo
• Recupero
Il risultato dell’operazione
richiesta
Il risultato dell’operazione
richiesta
è ottenuto
attraverso l’utilizzo
di procedure o strategie
è recuperato
dalla memoria
Calcolo scritto, calcolo a mente
Recupero di fatti aritmetici
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Automatismi
La tabellina è un calcolo?
La tabellina non è un calcolo. La tabellina è un automatismo
La verifica delle tabelline deve avvenire oralmente
La risposta del bambino deve essere rapida
(circa 5 secondi)
Se impiega più tempo, la sua risposta è il risultato
di una procedura o di una strategia di calcolo.
Ciò significa che il bambino non ha automatizzato
la tabellina richiesta
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Automatismi
Fatti aritmetici moltiplicativi: i più semplici
Fatto
aritmetico
•
•
•
•
•
1.
2.
3.
4.
5.
3
6
2
5
4
x
x
x
x
x
3
6
2
5
2
Rapidità
(secondi)
Accuratezza
(percentuale)
0.81
0.84
0.88
1.05
1.06
100
97
100
100
100
(Fiorio, 2006)
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Automatismi
Fatti aritmetici moltiplicativi: i più difficili
Fatto
aritmetico
•
•
•
•
•
1.
2.
3.
4.
5.
9
9
8
7
7
x
x
x
x
x
7
8
6
8
6
Rapidità
(secondi)
6.82
5.47
5.17
5.02
4.74
Accuratezza
(percentuale)
84
72
87
69
97
(Fiorio, 2006)
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Automatismi
Fatti aritmetici moltiplicativi: tempi
Rapidità
(secondi)
Percentuale
< 1 sec
1-2 sec
2-3 sec
3-4 sec
4-5 sec
5-6 sec
6-7 sec
4.69
31.25
35.94
67.19%
12.50
9.37 93.75%
4.69*
1.56**
* 3 fatti aritmetici
** 1 fatto aritmetico
•
•
•
•
•
•
•
(Fiorio, 2006)
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Automatismi
Ai fatti aritmetici si accede senza eseguire gli
algoritmi di soluzione:
• Tabelline
• Calcoli semplici
• Risultati memorizzati
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Strategie
Strategie di calcolo
L’uso di strategie costruttive del calcolo a mente consente
di operare scomposizioni sui numeri per ottenere
operazioni intermedie più semplici:
– proprietà delle operazioni
commutativa: 12 + 38 = 50 (38 + 12 = 50)
– strategia N10
scomposizione del secondo operatore:
12 + 38 = 50 (12+30=42), (42+8=50)
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Strategie
Il calcolo scritto è un paragrafo del calcolo mentale, e non
il contrario.
Il calcolo scritto è un ripiego, una protesi costituita da
carta e inchiostro per situazioni in cui la mente è in
difficoltà per i suoi limiti di rappresentazione.
Il calcolo mentale è il superamento del conteggio
(C. Bortolato, 2005)
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Strategie
Il calcolo scritto è cieco.
Procediamo colonna per colonna fino alla definizione del
risultato finale come se si trattasse sempre di unità.
Il calcolo scritto è la rinuncia alla visione strategica delle
quantità.
Nel calcolo scritto applichiamo procedure, al contrario nel
calcolo mentale ognuno è libero di inventarsi delle
strategie.
(C. Bortolato, 2005)
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Procedure
1
125+
65=
__________
ROUTINE PROCEDURALI
elaborazione delle informazioni aritmetiche
incolonnamento
serialità SX
DX
riporto
19 0
RECUPERO DI FATTI ARITMETICI
5+5=10;
2+1=3;
3+6=9;
ALGORITMI DI CALCOLO
modello min (counting on)
modello sum
conteggio totale
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Procedure
Modelli di calcolo (problema m+n)
• Conteggio totale (counting all)
2+5=7
1, 2; 1, 2, 3, 4, 5; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
• Conteggio dal primo addendo (counting on from first)
2+5=7
(2) 3, 4, 5, 6, 7
• Conteggio dal numero maggiore (counting on from larger)
2+5=7
(5) 6, 7
(Groen, Parkman; 1972)
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Livelli di intervento
• Intervento didattico
– Scelte metodologiche (es.: didattica analogica)
• Intervento di potenziamento
– Percorsi operativi (es.: intelligenza numerica)
• Intervento compensativo-dispensativo
– Strumenti di lavoro (es.: tabella pitagorica)
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Quale didattica?
Codice
semantico
Codice
lessicale
Codice
sintattico
••••• •••••
••••• •••••
ventitré
23
•••
La preoccupazione per il valore posizionale delle cifre cede
il posto alla considerazione del valore posizionale che
ciascuna pallina occupa nello spazio della memoria
(C. Bortolato, 2002)
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Quale didattica?
OOOOO
OOOOO
Se per la matematica è indifferente come sei
mele siano disposte sul tavolo per continuare a
essere sei, per la nostra mente è diverso.
Abbiamo bisogno di disporre i nostri oggetti
mentali con un ordine prestabilito e stabile se
vogliamo conservarli Nella mente.
(C. Bortolato, 2005)
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Quale didattica?
OOOOO
OOOOO
Un piccolo scarto di simmetria.
In questo piccolo scarto i regolarità tra il cinque
e il sei sta tutta la differenza tra una didattica
capace di sviluppare il calcolo mentale e una
didattica sempre condannata alla fase
della conta.
(C. Bortolato, 2005)
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Quale didattica?
(C. Bortolato, 2000)
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Tavola pitagorica personalizzata
nx1
n x 10
Tabellina del 2
Tabellina del 5
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Tavola pitagorica personalizzata
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
4
3
6
15
30
4
8
20
40
5
10
6
12
30
60
7
14
35
70
8
16
40
80
9
18
45
90
10
20
1
5
6
7
8
15
20
25
30
35
40
9
10
30
40
50
60
70
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80
45
50
90 100
Tavola pitagorica personalizzata
Con l’utilizzo di
due regole
e l’apprendimento di
due tabelline
si controlla il
64% dei nodi
della tavola pitagorica
Con la memorizzazione
di
15 “incroci”
si controllano
28 nodi
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Sequenza di presentazione delle tabelline
1 – 10
5
2–4–8
3–6–9
7
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L’intelligenza numerica
• Il programma carta e matita “L’intelligenza
numerica” è rivolto a bambini dai 3 agli 11
anni di età.
Può essere utilizzato anche per ragazzi della
scuola media che presentano difficoltà nelle
abilità di calcolo.
• Comprende esercizi relativi al sistema dei
numeri e al sistema del calcolo.
(Lucangeli, Molin, Poli, de Candia; 2003)
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L’intelligenza
numerica
(Lucangeli,
Molin,
lorenzo
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Poli, de Candia; 2003)
L’intelligenza
numerica
(Lucangeli, Molin, Poli, de Candia; 2003)
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L’intelligenza numerica
• Il calcolo scritto è l’area del programma meno
nutrita in quanto si ritiene che, nei primi anni
di scuola, sia opportuno assecondare e
sviluppare soprattutto il calcolo mentale che
ha il vantaggio di rendere flessibili e di
aiutare nella costruzione dei fatti aritmetici,
nel loro rapido recupero.
• Il calcolo mentale realizza i risultati parziali
implicati nel calcolo scritto.
(Lucangeli, Poli, Molin; 2003)
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L’intelligenza numerica
• Nel Progetto “L’Intelligenza Numerica”, le aree di
lavoro su calcolo a mente (strategie) e calcolo
scritto (procedure) sono così distribuite:
• Secondo volume (6-8 anni):
– Calcolo a mente: 83%
- Calcolo scritto: 17%
• Terzo volume (8-11 anni):
– Calcolo a mente:49%
• CALCOLO A MENTE: 63%
- Calcolo scritto: 51%
- CALCOLO SCRITTO: 37%
(Lucangeli, Poli, Molin; 2003)
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Biancardi, Mariani, Pieretti:
La discalculia evolutiva
Ed. Angeli (2003)
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Potenziare le abilità numeriche e di calcolo.lnk
Biancardi, Pulga, Savelli:
Potenziare le abilità numeriche e di calcolo
Ed. Erickson (2009)
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www.campustore.it
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Soluzione di problemi matematici
• Modello delle componenti dell’abilità di
soluzione dei problemi matematici
(Lucangeli, Tressoldi, Cendron, 1998)
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Soluzione di problemi matematici
• Processo di pianificazione:
• Presuppone una conoscenza strategica:
– capacità di organizzare le azioni che portano a un
obiettivo, organizzarle in sequenze temporali,
causali, gerarchiche
– capacità di monitorare e utilizzare strategie di
controllo
• Richiede:
– capacità di generare sotto-obiettivi (differendone
l’operatività diretta)
– sufficienti risorse in WM (per mantenere attive tutte
le informazioni necessarie al piano di soluzione)
– capacità di individuare le operazioni necessarie per
rispondere ai diversi sotto-obiettivi
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Strumenti compensativi
Dislessia. Strumenti compensativi
(a cura dell’Associazione Italiana
Dislessia)
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www.ritabartole.it
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insegnante - pedagogista
AID MILANO
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