L’analisi dinamica sperimentale e il monitoraggio delle strutture
esistenti
Giovanni Fabbrocino1, C. Rainieri2, G. M. Verderame2
1
2
Università degli Studi del Molise, Consorzio ReLUIS
Università degli Studi “Federico II” di Napoli, Consorzio ReLUIS
Sommario
L’elevata sismicità del territorio italiano richiede l’adozione di misure efficaci in grado di
mitigare gli effetti dei terremoti sulle strutture. La protezione delle strutture nei riguardi
del rischio sismico può trarre benefici, tra l’altro, dall’approfondita conoscenza del
comportamento dinamico della costruzione.
L’analisi modale sperimentale sta acquisendo sempre maggiore rilevanza quale
strumento per l’esecuzione di analisi strutturali accurate e la valutazione del
comportamento effettivo della struttura in opera. La conoscenza delle caratteristiche
modali delle strutture risulta di grande utilità anche in vista della valutazione delle
prestazioni delle stesse nel caso di condizioni ambientali estreme come i terremoti.
Nel presente articolo sono sinteticamente riportate le principali tecniche e le
problematiche dell’identificazione, con una valutazione delle prospettive offerte dalle
tecniche ad input incognito nel campo del monitoraggio strutturale. Viene, inoltre,
descritta un’applicazione dell’analisi modale operazionale per l’identificazione delle
proprietà dinamiche di una struttura di importanza storica quale la Torre delle Nazioni
ubicata all’interno della Mostra d’Oltremare di Napoli.
Il monitoraggio strutturale
Lo scopo del monitoraggio strutturale per le strutture civili non consiste solo
nell’identificazione di danni improvvisi o progressivi ma anche nel monitorare le
prestazioni delle stesse nelle condizioni di esercizio o durante particolari condizioni
ambientali quali i terremoti [1]. Un sistema di monitoraggio si compone di vari sensori
per rilevare grandezze ambientali e la risposta strutturale alle sollecitazioni. Lo scopo di
un simile sistema non è solo la valutazione della resistenza al sisma di un edificio:
anche il controllo della funzionalità della struttura nelle condizioni di esercizio
rappresenta un aspetto di notevole interesse, sia per la protezione dalle vibrazioni, sia
per l’adeguamento sismico o per il rinforzo di strutture critiche o strategiche. Pertanto, il
monitoraggio strutturale coinvolge un gran numero di applicazioni nel campo
dell’ingegneria civile quali il progetto (attraverso le tecniche di model updating), la
valutazione del danno, la manutenzione e il rinforzo di strutture esistenti, il controllo
strutturale durante i terremoti (mediante sistemi semi-attivi) [2, 3].
Una tipica architettura dei sistemi di monitoraggio è basata su sensori periferici
direttamente connessi tramite cavi a un sistema di acquisizione dati centralizzato. Il
ruolo di tale sistema è quello di aggregare, immagazzinare ed elaborare questi dati.
Tuttavia, all’aumentare del numero di sensori, un gran numero di misure converge
verso il sistema di acquisizione ed esso può, quindi, risultare sovraccaricato, soprattutto
nel caso in cui esso debba elaborare i dati ai fini dell’identificazione del danno: i relativi
algoritmi, infatti, sono particolarmente onerosi da un punto di vista computazionale.
Un’ulteriore limite di questo tipo di architettura risiede negli elevati costi di installazione
e manutenzione, dovuti soprattutto all’impiego dei cavi [4]. Attualmente, la tendenza è a
sostituire i sistemi cablati con sensori wireless di basso costo e a distribuire la
conoscenza sull’intera rete di monitoraggio.
Il monitoraggio strutturale può fornire utili strumenti per accrescere la conoscenza sia
delle problematiche di carattere strutturale sia di quelle di tipo geotecnico.
I progressi nel campo dei sistemi di comunicazione consentono un monitoraggio in
tempo reale delle strutture. I dati possono essere elaborati per individuare eventuali
anomalie o per valutazioni di lungo termine. Nel caso di analisi di rischio sismico, i
sistemi di monitoraggio possono essere usati per creare un database di misure durante
l’intero ciclo di vita della struttura. È evidente, quindi, l’importanza dell’identificazione dei
parametri modali delle strutture nelle condizioni di esercizio e della tecnica per
l’individuazione del danno: di qui, il ruolo fondamentale svolto dall’analisi modale
sperimentale nell’ambito del monitoraggio strutturale.
L’analisi modale sperimentale
Uno dei principali campi di studio dell’ingegneria civile nell’ambito strutturale è
rappresentato dall’analisi del comportamento dinamico delle strutture. Due sono i
possibili approcci che ne permettono la conoscenza:
• L’approccio analitico: partendo dalla conoscenza della geometria della
struttura, delle condizioni al contorno e delle caratteristiche dei materiali, la
distribuzione di massa, rigidezza e smorzamento della struttura è espressa
tramite matrici di massa, rigidezza e smorzamento; da qui è possibile,
risolvendo un problema agli autovalori, pervenire alla determinazione dei
parametri modali del sistema (frequenze naturali, fattori di smorzamento e
forme modali);
• L’approccio sperimentale: partendo dalla misura dell’input dinamico sulla
struttura e della risposta strutturale, si calcolano le funzioni di risposta in
frequenza e si stimano, a partire da esse, i parametri dinamici della struttura.
Generalizzando, quindi, con l’espressione identificazione dinamica di una struttura si
intendono tutte quelle tecniche, sia analitiche che sperimentali, che consentono di
individuare la risposta dinamica della struttura stessa, ovvero le frequenze proprie, i
relativi modi di vibrazione e i coefficienti di smorzamento. L’analisi modale sperimentale
è nota anche come “problema inverso” (in analogia con il cosiddetto “problema diretto”,
nel quale sono noti l’input e la struttura, e si vuole conoscere la risposta), trattandosi di
un problema nel quale sono noti la risposta e ciò che la causa (l’input) e si vuole
conoscere la struttura. Le varie tecniche di identificazione sono nate inizialmente nel
campo della ricerca aeronautica, allo scopo di studiare il comportamento dei velivoli
sotto l’azione delle vibrazioni indotte dai carichi dinamici a cui essi sono sottoposti in
esercizio; si sono poi estese a vari altri campi, dall’industria automobilistica alla
robotica, alle costruzioni. Il principale motivo di interesse nei riguardi dell’analisi modale
sperimentale è legato alla considerazione che il comportamento dinamico di una
struttura è una sorta di “impronta digitale”, nel senso che esso dipende solo dalle sue
caratteristiche intrinseche (masse, rigidezze, smorzamenti, grado di vincolo, ecc…) e
non dall’entità e/o dal tipo di carico applicato: pertanto, se non intervengono
modificazioni interne al manufatto (come, per esempio, dei danni strutturali), il
comportamento della struttura rimane inalterato; in caso contrario, si noterà una
variazione delle frequenze e dei modi propri di vibrare. Inoltre, l’identificazione
strutturale è di per sé una tecnica non distruttiva, e in quanto tale può essere applicata
sia a strutture nuove, per esempio in fase di collaudo, sia a strutture esistenti o storiche.
L’intero processo di identificazione sperimentale dei parametri dinamici di una struttura
può essere sinteticamente illustrato tramite il seguente diagramma di flusso:
Figura 1. Diagramma di flusso dell’analisi modale sperimentale
La teoria dell’analisi modale sperimentale è basata sulle seguenti ipotesi fondamentali:
• Linearità: il comportamento dinamico della struttura è lineare, per cui la
risposta a una certa combinazione di ingressi al sistema è uguale alla
medesima combinazione delle rispettive risposte, ossia è applicabile il
principio di sovrapposizione degli effetti;
• Stazionarietà: le caratteristiche dinamiche della struttura non cambiano nel
tempo; pertanto i coefficienti delle equazioni differenziali che reggono il
problema sono costanti rispetto al tempo;
• Osservabilità: i dati necessari a determinare le caratteristiche dinamiche di
interesse devono poter essere misurati (di qui la necessità di scegliere in
maniera oculata i punti di misura, evitando di disporre gli strumenti di misura
in quei punti, detti “nodi modali”, in cui l’osservabilità dei modi è nulla).
Le tecniche per l’identificazione: generalità
I sistemi presi in considerazione nell’ambito dell’analisi modale sperimentale sono,
dunque, sistemi lineari e stazionari: essi risultano completamente caratterizzati dalla
loro risposta impulsiva h(t) o dalla sua equivalente nel dominio della frequenza, la
funzione di risposta in frequenza H(f). In generale, quindi, le prove sperimentali per la
determinazione dei parametri modali sono basate sulla possibilità di descrivere il
comportamento dinamico della struttura o mediante un set di equazioni differenziali nel
dominio del tempo, oppure mediante un set di equazioni algebriche nel dominio della
frequenza. Le tecniche di identificazione dinamica possono, pertanto, essere
raggruppate in tecniche nel dominio del tempo e tecniche nel dominio della frequenza.
Le tecniche nel dominio del tempo sono basate sulle soluzioni del seguente sistema di
equazioni differenziali nel dominio del tempo:
[M ]{&x&(t )} + [C ]{x& (t )} + [K ]{x(t )} = { f (t )}
(1)
In particolare, si fa riferimento alla matrice delle funzioni di risposta all’impulso (IRF),
che può essere scritta come somma di risposte sinusoidali smorzate:
[I (t )] = ∑ [ rk e −σ (t ) sin (ω k t + α k )]
m
k
k =1
(2)
dove:
•
•
•
•
m è il numero di modi di vibrazione;
rk
è la matrice dei residui in termini di ampiezza;
α k è la matrice dei residui in termini di fase;
σ k è lo smorzamento modale che definisce l’inviluppo esponenziale
decrescente relativo a ciascun modo;
•
ω k è la frequenza propria di ciascun modo.
I residui definiscono l’ampiezza della risposta di ciascun modo.
I metodi nel dominio del tempo sfruttano, allora, procedure di curve fitting per stimare i
parametri modali di una struttura a partire dai dati sperimentali.
Nel caso delle tecniche nel dominio della frequenza, invece, il comportamento dinamico
della struttura viene descritto tramite la funzione di risposta in frequenza, che contiene
implicitamente al suo interno tutte le informazioni sulle caratteristiche dinamiche della
struttura.
Nel dominio della frequenza, dunque, la soluzione del suddetto sistema di equazioni
differenziali viene ricercata sfruttando la trasformazione funzionale nota come
“trasformata di Fourier”. Il vantaggio legato a questa trasformazione consiste nel
passaggio da un sistema di equazioni differenziali ordinarie ad un sistema di equazioni
algebriche di più semplice risoluzione:
(Mω
2
)
+ Cω + K ⋅ X(ω) = F(ω)
(3)
La funzione di risposta in frequenza (FRF) è esprimibile come rapporto tra la
trasformata di Fourier della risposta e quella dell’ingresso:
H ( jω ) =
X ( jω )
F ( jω )
(4)
La funzione di risposta in frequenza e la corrispondente funzione di risposta all’impulso
formano una coppia di trasformate di Fourier. In altre parole, la funzione di risposta
all’impulso si può ottenere applicando la trasformata inversa di Fourier a una funzione di
risposta in frequenza e, viceversa, la funzione di risposta in frequenza può essere
ricavata applicando la trasformata di Fourier alla funzione di risposta all’impulso.
Anche in questo caso, come per le tecniche nel dominio del tempo, con procedure di
curve fitting è possibile determinare i poli e i residui. I residui portano l’informazione
sulle forme modali.
Per quanto riguarda i poli, poiché ciascuna funzione di risposta in frequenza contiene gli
stessi termini al denominatore, le frequenze proprie e gli smorzamenti modali possono
essere stimati da una qualsiasi funzione di risposta in frequenza, oppure da molteplici
funzioni di risposta in frequenza misurate sulla stessa struttura.
Questa proprietà viene sfruttata dai metodi cosiddetti “globali” (per sottolineare la
differenza rispetto ai metodi “locali” che sfruttano una funzione alla volta ma che
possono produrre ogni volta una stima differente per lo stesso parametro).
Un’ulteriore classificazione dei metodi avviene sulla base del numero di input e output,
dato che le posizioni delle forzanti e dei punti in cui viene misurata la risposta possono
essere singole o molteplici; è possibile, allora, distinguere i seguenti casi:
• Una risposta dovuta a una sola forzante: single-input single-output (SISO);
• Molteplici risposte dovute a una sola eccitazione: single-input multiple-output
(SIMO);
• Molteplici risposte dovute a varie forzanti: multiple-input multiple-output
(MIMO);
• Una risposta dovuta a molteplici forzanti: multiple-input single-output (MISO).
I primi tre metodi sono quelli più usati.
Un’ultima distinzione è quella tra metodi a singolo grado di libertà e metodi a più gradi di
libertà. Si è detto che la risposta dinamica di un sistema è data dalla sovrapposizione
delle sue forme modali. Tuttavia, se in una data banda di frequenza esiste un modo
dominante, i parametri di questo modo possono essere determinati separatamente
assimilando la FRF nella banda in questione a quella del sistema a singolo grado di
libertà equivalente rappresentativo del modo considerato. I metodi basati su questo tipo
di assunzione sono detti, appunto, metodi a singolo grado di libertà.
Figura 2. Classificazione delle tecniche di identificazione dinamica
Va sottolineato che, anche se il sistema è sollecitato in ingresso con una forzante
caratterizzata da una sola frequenza, comunque la sua risposta, determinata dalla
funzione di risposta in frequenza, terrà conto di tutti i modi propri. A seconda degli
obiettivi dell’analisi, dunque, è possibile sfruttare diversi tipi di eccitazione.
In generale, è possibile distinguere eccitazioni a banda stretta (come la sinusoide a
frequenza fissata, per la quale lo spettro contiene essenzialmente un solo valore non
nullo) ed eccitazioni a banda larga (per le quali lo spettro è non nullo per un ampio
intervallo di frequenze, per cui risultano più adatte ad eccitare molti modi
contemporaneamente). In ogni caso, l’eccitazione in ingresso alla struttura deve essere
opportunamente controllata dovendo evitare che la struttura vada in campo plastico
(cioè in campo non lineare), contraddicendo, così, l’ipotesi fondamentale di linearità e
stazionarietà del sistema.
Le misure e il pre-trattamento del segnale
La bontà dell’analisi dipende anche dalla qualità della misura della risposta strutturale.
Nelle applicazioni di identificazione dinamica delle strutture è possibile ricorrere a
diversi tipi di trasduttori: trasduttori di spostamento, velocimetri, accelerometri, geofoni.
In genere, si usano gli accelerometri sia per le loro ridotte dimensioni (il ridotto peso fa
sì che influenzino in maniera trascurabile le caratteristiche dinamiche del sistema
oggetto di analisi) sia perché le altre grandezze (velocità e spostamenti) possono
essere ottenute con semplici procedimenti di integrazione.
Gli accelerometri più utilizzati sono quelli piezoelettrici e quelli capacitivi: i primi sono
caratterizzati da una banda a 3 dB più ampia ma non sono in grado di misurare la
componente continua (tipicamente, si parte da 0.3÷0.6 Hz fino a frequenze dell’ordine
dei kHz); gli accelerometri capacitivi sono, invece, in grado di misurare anche
componenti a frequenza molto bassa ma sono caratterizzati da una banda più stretta.
Le seguenti curve sono relative a accelerometri di tipo capacitivo:
Figura 3. Esempio di risposta in frequenza di accelerometri capacitivi (Kinemetrics EpiSensors ES-U2)
Si nota come il segnale registrato risulti praticamente indistorto fino a frequenze
dell’ordine di 50 Hz. Poiché, allora, le principali frequenze proprie delle strutture reali
ricadono abbondantemente in questo intervallo, non è necessario correggere le
distorsioni indotte dallo strumento alle frequenze più alte. L’uso di filtri passabasso o
passabanda consente di eliminare le componenti frequenziali indesiderate.
L’uso di convertitori A/D a 24 bit consente di ridurre l’errore di quantizzazione (la
formula dell’SNR per quantizzazione uniforme con b bit evidenzia come a un
incremento di 1 bit corrisponda un incremento di 6 dB del rapporto segnale-rumore) e di
ottenere la necessaria accuratezza per le applicazioni di analisi delle vibrazioni.
L’accuratezza della misura viene garantita anche tramite l’uso di opportuni filtri antialiasing.
Una volta acquisito il segnale, prima di passare all’elaborazione vanno effettuati alcuni
controlli e trattamenti preliminari: in particolare, va verificato che non siano presenti
trend anomali e, soprattutto, va eliminata la componente continua del segnale, dato che
essa non ha significato fisico essendo gli accelerometri montati su strutture
caratterizzate da un’accelerazione netta nulla.
Le tecniche di identificazione dinamica: EMA vs. OMA
L’Analisi Modale Operazionale (OMA) rappresenta un interessante metodo che
consente di determinare le proprietà dinamiche della struttura nelle condizioni reali di
esercizio anche nel caso di input incognito.
Le tecniche di analisi modale trovano oggi sempre maggiore applicazione in campo
ingegneristico: infatti, anche se l’avvento dei moderni computer, caratterizzati da
prestazioni sempre più elevate, consente la realizzazione di modelli, anche molto
complessi, agli elementi finiti per analizzare le proprietà statiche e dinamiche delle
strutture, accade spesso che le proprietà dinamiche calcolate con un’analisi agli
elementi finiti differiscano da quelle effettive della struttura. Questa differenza è da
imputarsi a varie cause:
• L’analisi agli elementi finiti è basata su una discretizzazione della realtà,
intendendo con ciò che i campi di spostamento vengono approssimati attraverso
funzioni di forma predefinite all’interno di ciascun elemento;
• Mentre le proprietà di massa e rigidezza sono facilmente valutabili sulla base
delle proprietà dei materiali e della geometria degli elementi, risulta molto più
difficile tenere correttamente conto delle proprietà di smorzamento della struttura
all’interno del modello: infatti, lo smorzamento strutturale è legato non solo alle
proprietà dei materiali ma anche ad una serie di altri meccanismi difficili da
modellare analiticamente (apertura e chiusura di microfessure nel calcestruzzo,
interazione con elementi non strutturali, etc.);
• La geometria effettiva può essere diversa da quella considerata nel modello.
Per colmare il gap tra struttura reale e modello è necessario, allora, ricorrere a tecniche
sperimentali al fine di confrontare i risultati del modello con quelli ottenuti dalle misure;
le misure effettuate consentono anche di aggiornare il modello in modo da renderlo più
aderente alla realtà.
La determinazione del comportamento dinamico di sistemi lineari mediante prove
sperimentali è detta Analisi Modale Sperimentale (EMA): queste procedure consentono
di identificare le proprietà dinamiche della struttura in termini di frequenze naturali,
rapporti di smorzamento e forme modali; i parametri così determinati vengono poi
utilizzati per costruire un modello matematico del comportamento dinamico della
struttura. Le procedure di analisi modale sperimentale, tuttavia, sono basate su un input
noto: le strutture, infatti, vengono solitamente eccitate sfruttando una o più sorgenti di
eccitazione; si procede, poi, a misurare la risposta strutturale in uno o più punti. È
possibile, così, identificare i parametri modali dalla funzione di risposta in frequenza del
segnale di risposta al segnale di input.
L’analisi modale può essere effettuata anche nel caso di eccitazione ambientale, la
quale può essere considerata un rumore bianco: in questo caso l’input sulla struttura
non è noto (non può, in genere, essere misurato) ma tecniche di analisi modale
possono essere comunque applicate per valutare i parametri dinamici della struttura. I
diversi metodi sviluppati lavorano, quindi, sfruttando i soli dati di output.
L’analisi modale condotta nel caso di input incognito qual è il rumore ambientale viene
detta Analisi Modale Operazionale. Le procedure OMA, come le classiche EMA,
consentono di valutare frequenze naturali, modi naturali e rapporti di smorzamento della
struttura; tuttavia, non è possibile calcolare anche i fattori di partecipazione modale
essendo l’input incognito.
L’esecuzione di un’analisi modale prevede la realizzazione delle seguenti operazioni:
• Pianificare ed eseguire gli esperimenti: gli esperimenti vanno programmati sulla
base di informazioni note a priori circa l’intervallo di frequenze, i nodi modali,
l’accessibilità dei punti di misura. Essendo il numero di sensori strettamente
legato alle risorse finanziarie a disposizione è molto importante posizionare un
numero minimo di dispositivi sulla struttura in modo da ottenere tutte le
informazioni necessarie. Per raggiungere tale scopo, è necessario avere a priori
un’idea approssimativa dei modi propri che si andrà ad individuare. Nella
maggior parte dei casi la misura della risposta è limitata all'identificazione dei
modi di vibrare fondamentali ed alla valutazione dell'ampiezza delle risposte
della struttura nel suo complesso. In presenza di edifici non simmetrici, o
sottoposti a carichi non simmetrici, dovranno essere previste posizioni di misura
atte a rilevare modi di vibrare torsionali dell'edificio stesso;
• Elaborare i dati e determinare i parametri modali;
• Validazione dei modelli modali.
I risultati dell’analisi modale possono, poi, essere usati per differenti scopi: monitoraggio
strutturale, individuazione dei danni strutturali e studio della loro evoluzione, model
updating.
L’analisi modale sperimentale basata sull’applicazione di un input noto alla struttura
risulta attuabile con difficoltà nel caso di grosse strutture (ad esempio, ponti). L’analisi
modale operazionale, invece, consente di sfruttare il rumore ambientale per
l’identificazione strutturale evitando, così, il ricorso ad attrezzature particolari (vibrodine,
martelli strumentati, eccitatori oleodinamici o elettrodinamici) che eccitino direttamente
la struttura. Ciò si traduce in una serie di vantaggi:
• La prova è rapida ed economica, dato che non sono necessarie attrezzature per
l’eccitazione della struttura;
• Le misure vengono effettuate nelle effettive condizioni operative della struttura
per cui i parametri modali che si ottengono sono rappresentativi del
comportamento dinamico della struttura nelle sue reali condizioni di utilizzo;
• La prove non interferisce con l’operatività della struttura (per cui, ad esempio,
non è necessario chiudere al traffico un ponte quando esso viene analizzato).
La correttezza dei risultati forniti dall’analisi modale operazionale può, tuttavia, essere
inficiata se al rumore bianco si sovrappone un’eccitazione non casuale.
Modelli parametrici e non parametrici per l’Analisi Modale Operazionale
I metodi per l’estrazione dei parametri modali di una struttura in presenza di sola
eccitazione ambientale possono essere raggruppati nelle due principali categorie dei
metodi non parametrici e dei metodi parametrici. Si tratta, in generale, sia di metodi
operanti nel dominio del tempo, sia di metodi operanti nel dominio della frequenza.
Il metodo più semplice e meno oneroso dal punto di vista computazionale per la stima
dei parametri modali è certamente la tecnica nota sotto il nome di Basic Frequency
Domain [5]: si parla anche di metodo del Peak-Picking poiché l’identificazione delle
frequenze naturali è basata sull’identificazione dei picchi nei grafici degli spettri di
potenza. Tuttavia tale metodo può dar luogo a risultati erronei se vengono violate le
ipotesi di base di basso smorzamento e modi ben separati: infatti, questo metodo
consente, in generale, di identificare le cosiddette “operational deflection shapes” che,
nel caso di modi vicini, sono il risultato della sovrapposizione di molteplici modi. La
decomposizione in valori singolari della matrice delle densità spettrali di potenza ha
consentito il superamento di questi limiti: il metodo non-parametrico basato sulla
decomposizione in valori singolari della matrice dei cross-spettri prende il nome di
Frequency Domain Decomposition (FDD) [6], e si tratta di un metodo in grado di tener
conto della molteplicità dei modi (più modi alla stessa frequenza).
Tra i metodi parametrici, più complessi e onerosi dal punto di vista computazionale
rispetto ai precedenti, vanno ricordate le tecniche note come Least Square Complex
Exponential, Eigensystem Realization Algorithm, i modelli ARMA, i metodi del
sottospazio stocastico e il metodo della “Maximum Likelihood” nel dominio della
frequenza [7]. I metodi Least Square Complex Exponential e Eigensystem Realization
Algorithm sono usati, nel contesto delle tecniche dell’eccitazione naturale (NExT), per
estrarre i parametri modali dalle auto e cross correlazioni dei segnali nel dominio del
tempo. I sistemi dinamici possono essere modellati anche tramite modelli ARMAV [8].
Nel caso dell’identificazione con i metodi del sottospazio stocastico, un modello
stocastico a spazio di stato viene direttamente identificato dai dati di output misurati o
dalle funzioni di correlazione tra gli output [9]. L’approccio della Maximum Likelihood nel
dominio della frequenza, nato per l’applicazione alle funzioni di risposta in frequenza, è
stato recentemente esteso in modo da essere applicato all’estrazione dei parametri
modali basata sugli spettri calcolati a partire dale misure della risposta strutturale [10].
Un caso studio: la Torre delle Nazioni
Un’interessante applicazione dell’analisi modale operazionale ha riguardato
l’identificazione delle proprietà dinamiche (periodi di oscillazione e forme modali) di una
struttura di importanza storica quale la Torre delle Nazioni ubicata all’interno della
Mostra d’Oltremare di Napoli, [http://sit.provincia.napoli.it/md.asp?key=5263].
La necessità di progettare un intervento di restauro e di recupero funzionale con
contestuale rinforzo e adeguamento sismico della struttura ha dato l’opportunità di
eseguire delle misure dinamiche sulla struttura e di sfruttare poi i risultati dell’analisi
modale operazionale per la ottimizzazione del modello numerico.
Una adeguata campagna di indagine ha consentito l’identificazione geometrica di tutti
gli elementi strutturali e delle relative armature. Sia sugli elementi trave che pilastri sono
state sviluppate indagini limitatamente distruttive associate a tecniche non distruttive, ai
fini della definizione delle caratteristiche meccaniche dei materiali.
Con riferimento al calcestruzzo sono stati effettuati parallelamente un numero limitato
di carotaggi e prove tipo SonReb finalizzate alla valutazione della resistenza cilindrica a
compressione [11]. In particolare, il calcestruzzo registra una resistenza cilindrica
variabile tra i 10.64 MPa e i 25.98 MPa. La caratterizzazione meccanica degli acciai è
stata effettuata previa estrazione di campioni di barre. Gli acciai si presentano nella
forma di barre lisce, particolarmente ossidate soprattutto al primo e all’ultimo livello; in
particolare, le barre di acciaio sono caratterizzate da una resistenza media allo
snervamento di 275 MPa.
La caratterizzazione numerica della risposta dinamica della struttura in oggetto è
effettuata mediante una analisi modale attraverso l’ausilio del programma Sap 2000.
La realizzazione del modello geometrico-strutturale è eseguita in modo da
rappresentare nel dettaglio le caratteristiche geometriche e meccaniche degli elementi
componenti la struttura e la distribuzione in pianta ed in elevazione delle masse.
Gli elementi monodimensionali (pilastri, travi e diagonali di irrigidimento) sono definiti
attraverso elementi-modello beam, mentre gli elementi bidimensionali (setti di
tamponatura in c.a., rampanti delle scale, tamponature in tufo) sono definiti mediante
elementi-modello shell. La presenza dell’impalcato è riproposta mediante la definizione
di appositi elementi bidimensionali di piano inseriti in ciascun campo di carpenteria e
caratterizzati da uno spessore di 0.05 m. In termini vincolari il modello è caratterizzato
da una totale assenza di interazione con il terreno.
La valutazione dinamica del modello è effettuata considerando la variabilità delle
caratteristiche meccaniche dei materiali componenti le due configurazioni strutturali
considerate: calcestruzzo e tufo. La definizione delle caratteristiche elastiche dei due
a)
Figura 4. La Torre delle Nazioni (a) e il modello FEM della struttura (b)
b)
materiali è condotta secondo un approccio di estremi inferiori e superiori. Con
riferimento al calcestruzzo sono calcolati i moduli elastici Ec corrispondenti ai valori
minimi e massimi di resistenza cilindrica del calcestruzzo ossia: Ec,min=16317 MPa ed
Ec,max=25485 MPa. Per il tufo costituente le tamponature esterne sono adottati i
seguenti parametri elastici [12]: Et,min=600 MPa, Gt,min=100 MPa e Et,max=1800 MPa,
Gt,max=300 MPa. In definitiva sul modello caratterizzato dalla assenza di tamponature
sono condotte due analisi dinamiche lineari in relazione alle due condizioni elastiche
adottate per il solo calcestruzzo. Analogamente per la configurazione strutturale definita
dalla presenza delle tamponature tufacee sono presentate quattro analisi lineari.
In Tabella 1 sono riportati i risultati della caratterizzazione numerica della risposta
dinamica in termini di periodo e frequenza dei primi tre modi per entrambe le
configurazioni strutturali adottate. Le caratteristiche dinamiche della direzione
ortogonale alle pareti tamponate (prima riga) sono sostanzialmente influenzate dalle
proprietà elastiche del calcestruzzo. Infatti, i valori estremi delle frequenze (o periodi)
della configurazione in assenza di tamponature risultano praticamente similari alle
corrispondenti frequenze del modello definito dalla presenza delle stesse. Di contro, le
caratteristiche dinamiche della direzione parallela alle tamponature (seconda riga)
risultano fortemente dipendenti dalle proprietà elastiche delle tamponature tufacee
analogamente nella misura del 30% massimo. Tale tendenza si registra anche per le
caratteristiche torsionali (terza riga) dell’edificio.
Tabella 1. Periodi e frequenze naturali per i primi tre modi: valori analitici
calcestruzzo Ec,min calcestruzzo Ec,max
assenza tamponature in tufo
T [s]
f [Hz]
T [s]
f [Hz]
1.52
0.66
1.21
0.83
1.28
0.78
1.02
0.98
1.07
0.94
0.85
1.18
calcestruzzo Ec,min
tufo Gt,min
tufo Gt,max
T [s]
f [Hz]
T [s]
f [Hz]
1.50
0.67
1.46
0.69
1.00
1.00
0.77
1.30
0.84
1.20
0.65
1.54
calcestruzzo Ec,max
tufo Gt,min
tufo Gt,max
T [s]
f [Hz]
T [s]
f [Hz]
1.19
0.84
1.17
0.85
0.85
1.17
0.69
1.44
0.71
1.40
0.58
1.72
La caratterizzazione sperimentale dei parametri dinamici della struttura è stata operata
sfruttando la sola eccitazione ambientale.
La risposta dinamica della struttura è stata misurata in corrispondenza del quinto livello
e della copertura, per un totale di cinque punti di misura. Ciascuna posizione di misura
ha visto l’installazione di due accelerometri capacitivi uniassiali del tipo Kinemetrics FBA
Episensor ES-U2 diretti parallelamente alle direzioni principali dell’edificio. Gli
accelerometri installati erano caratterizzati da una banda a 3dB di circa 200 Hz, da un
fondo scala di ±1 g e da una sensitività di 2,5 V/g. L’acquisizione è stata effettuata
tramite un Kinemetrics K2 Digital Recorder caratterizzato da un DSP a 24 bit.
Registrazioni di durata variabile, compresa tra 30 minuti e 1 ora, sono state effettuate
con una frequenza di campionamento di 100 Hz. L’identificazione dei parametri dinamici
è stata condotta sfruttando una consolidata tecnica operante nel dominio della
frequenza, la Enhanced Frequency Domain Decomposition [6]. L’identificazione dei
parametri dinamici della struttura, operata secondo la tecnica appena descritta, è stata
condotta mediante un software sviluppato per il sistema di monitoraggio strutturale della
Torre della Facoltà di Ingegneria dell’Università di Napoli Federico II [13, 14] in
ambiente LabView. Le analisi sono state condotte applicando una finestra di Hanning
per ridurre i problemi di leakage, e adottando un overlap del 66%.
In Figura 5 è riportato il grafico dei valori singolari ottenuto per la struttura in esame, con
l’indicazione dei picchi corrispondenti ai primi sei modi.
I risultati dell’identificazione in termini di frequenze naturali e rapporti di smorzamento
sono riportati in Tabella 2.
Tabella 2. Risultati dell’identificazione.
Modo
1
2
3
4
5
6
Tipo
Traslazionale
(facciata aperta)
Traslazionale
(facciata cieca)
Torsionale
Traslazionale
(facciata aperta)
Traslazionale
(facciata cieca)
Torsionale
Frequenza
[Hz]
Smorzamento
[%]
0.81
3.3
1.38
3.8
1.73
2.5
3.02
N.A.
4.21
N.A.
4.92
N.A.
I risultati sperimentali sono stati confrontati con i dati ottenuti dai modelli numerici
precedentemente descritti. I confronti hanno riguardato i valori delle frequenze naturali e
i vettori delle forme modali, considerando solo i modelli caratterizzati dalla presenza
delle tamponature in tufo dato il ruolo non secondario da esse svolto nella definizione
del comportamento dinamico della struttura.
In Tabella 3 sono riportati gli scostamenti percentuali delle frequenze ottenute dal
modello agli elementi finiti della struttura rispetto ai valori sperimentali. Il primo modo
della struttura risulta di tipo traslazionale nella direzione ortogonale a quella delle pareti
cieche.
In Figura 6 sono riportati l’istogramma rappresentante la matrice degli AutoMAC e la
matrice con i relativi valori numerici, calcolata al fine di ottenere una prima validazione
dei dati sperimentali, dimostrata dai valori prossimi all’unità lungo la diagonale
principale e praticamente nulli nel resto della matrice.
Figura 5. Grafico dei valori singolari
Tabella 3. Variazione percentuale frequenze naturali.
calcestruzzo Ec,max
calcestruzzo Ec,min
modo
tufo
G
tufo
Gt,min tufo Gt,max
tufo Gt,min
t,max
1
-17%
-15%
+3%
+5%
2
-27%
-6%
-15%
+5%
Figura 6. Matrice degli AutoMAC
Figura 7. Complexity plots
3
4
5
6
-31%
-8%
-30%
-28%
-11%
-5%
-9%
-6%
-19%
+14%
-18%
-16%
-1%
+18%
+1%
+5%
Un’ulteriore validazione dei risultati sperimentali è stata condotta sulla base dei
complexity plots, i quali mostrano che le forme modali sono normali (Figura 7) o quasi
normali (cfr. forme modali del quinto e sesto modo).
Le forme modali analitiche e sperimentali sono state innanzitutto comparate calcolando
la matrice dei MAC: è emerso che la combinazione Gt,min - Ec,max non fornisce vettori
delle forme modali consistenti con quelli ottenuti sperimentalmente con riferimento ai
modi traslazionali superiori. I valori più elevati del MAC sono stati ottenuti con
riferimento alla combinazione Gt,max - Ec,min sebbene anche le rimanenti combinazioni
dessero luogo a forme modali consistenti per tutti i modi considerati.
I confronti operati in termini di frequenze naturali e forme modali evidenziano un buon
accordo tra i valori sperimentali e quelli analitici, in particolare nel caso della
combinazione Gt,max - Ec,min, e forniscono utili indicazioni per l’aggiornamento e
l’ottimizzazione del modello agli elementi finiti.
In definitiva, il risultato emerso dalle analisi condotte sottolinea come l’eccitazione
ambientale, per via del suo basso contenuto energetico, faccia sì che anche le parti non
strutturali partecipino alla risposta sismica: risulta, pertanto, necessario tenere in conto il
loro contributo nella valutazione della risposta dinamica al fine di ottenere una
congruenza tra risultati numerici e sperimentali in condizioni operative.
Conclusioni
L’elevata sismicità del territorio italiano richiede l’adozione di misure efficaci in grado di
mitigare gli effetti dei terremoti sulle strutture. La protezione delle strutture nei riguardi
del rischio sismico può trarre benefici, tra l’altro, dall’approfondita conoscenza del
comportamento dinamico della costruzione. L’analisi modale sperimentale sta
acquisendo sempre maggiore rilevanza quale strumento per l’esecuzione di analisi
strutturali accurate e la valutazione del comportamento effettivo della struttura in opera.
La conoscenza delle caratteristiche modali delle strutture risulta di grande utilità anche
in vista della valutazione delle prestazioni delle stesse nel caso di condizioni ambientali
estreme come i terremoti.
Accanto alle tradizionali tecniche basate sull’input noto, negli ultimi anni si è assistito a
una crescente diffusione delle tecniche di identificazione dinamica in presenza di sola
eccitazione ambientale, che hanno, tra l’altro, il vantaggio di fornire le caratteristiche
dinamiche della struttura nelle effettive condizioni di esercizio. Oggi si tende sempre più
a preferire le tecniche di identificazione ad input incognito poiché l’esecuzione delle
prove avviene con costi ridotti rispetto all’analisi modale sperimentale classica, e
interferendo in maniera minima col normale uso della struttura. Poiché, inoltre, le misure
vengono effettuate nelle effettive condizioni operative della struttura i parametri modali
che si ottengono sono rappresentativi del comportamento dinamico della struttura nelle
sue reali condizioni di utilizzo. I parametri modali così ottenuti possono, quindi, essere
usati per validare o migliorare i risultati delle analisi agli elementi finiti: la validazione dei
modelli analitici consente il loro efficace impiego nella valutazione del rischio sismico
per la struttura in esame.
L’analisi modale operazionale, infine, costituisce uno strumento particolarmente
flessibile, che si presta particolarmente bene al monitoraggio continuo dei parametri
dinamici delle strutture.
Nel presente articolo è stata descritta anche un’applicazione dell’analisi modale
operazionale per l’identificazione delle proprietà dinamiche (periodi di oscillazione e
forme modali) di una struttura di importanza storica quale la Torre delle Nazioni ubicata
all’interno della Mostra d’Oltremare di Napoli.
Bibliografia
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