Misura:
“Espressione quantitativa del rapporto fra una grandezza
ed un’altra ad essa omogenea scelta come unità”
A priori non si conosce il valore di ciò che si misura, al più si avrà
una idea sull’ordine di grandezza.
E’ quindi necessario fornire un errore, cioè una stima della
possibile differenza tra il valore della misura e quello reale
(che non conosciamo).
La misura quindi:



E’ una espressione quantitativa
Necessita di una grandezza di riferimento (metro, grammo,
secondo, Newton ...)
Necessita di una stima dell’errore
Il risultato di una misura NON consiste SOLO nel valore fornito
dallo strumento, ma anche di un errore e di una unità di misura
(la mancanza di uno di questi termini rende gli altri inutili).
Una misura DEVE dare una informazione COMPLETA.
Esempio:
Massa = 0.23 ± 0.01 10-5 Kg
1
Errore:
“Differenza tra un valore misurato e quello reale”
L’errore determina quanto affidabile è la misura, la sua
accuratezza e la sua precisione.
Accuratezza:
• Stima di quanto il risultato di una misura è vicino al valore
reale della quantità misurata (una stima della precisione è
data dalla varianza, deviazione standard ...).
Precisione:
• Stima della ripetibilità della misura (misure diverse della
stessa quantità devono convergere allo stesso risultato)
Bassa Accuratezza
Bassa Precisione
Bassa Accuratezza
Alta Precisione
(errore piccolo, valor
medio lontano dal valore
vero, errore sistematico)
Alta Accuratezza
Alta Precisione
Alta Accuratezza
Bassa Precisione
(errore grande)
2
ATTENZIONE
Da un punto di vista sperimentale, scrivere:
12
12.0
12.00
12.000
Oppure
120000
1.2E5
120E3
è molto diverso !
Non scrivere una cifra o un decimale nel riportare
una data misura o numero indica l’impossibilità di
conoscere il valore di quella cifra
Se scrivo 12.0 indica che
12.0
Valori non noti 3
ma non per questo nulli
ATTENZIONE
Non ha senso scrivere
X = 12.345689 ± 0.1
X = 12.3 ± 0.137845
X = 12.345689 ± 0.190865
Attenzione ai decimali
ogni cifra scritta in una misura ha un preciso significato
4
Analisi dei Dati
Supponiamo di dover misurare una osservabile
(un peso, una lunghezza, etc. etc.)
Facciamo quindi N misure della osservabile in questione
Come procede l’analisi dei dati ?
1.
Distribuzione in frequenza
2.
Parametri della distribuzione: Stime dell’osservabile
•
•
•
3.
Parametri della distribuzione: Stime dell’errore e
dispersione
•
•
•
•
•
4.
Mediana
Moda
Valor medio
Deviazione
Deviazione Media
Varianza
Deviazione Standard
Deviazione dalla Media
Grandezze Derivate e studio di fattibilità
•
•
•
Propagazione degli errori
Retta dei minimi quadrati
Media pesata
5
Distribuzione in Frequenza
Se si vuole misurare una osservabile, quindi, è necessario
effettuare una o più misure. Ciascuna di queste misure ha, il
più delle volte, un risultato differente.
E quindi possibile costruire il grafico della distribuzione:
Misuriamo ad esempio la massa di un oggetto
Eseguo 21 misure della stessa quantità.
Ottengo 21 numeri differenti.
Costruisco un grafico che ha come ascissa
il valore della misura, sulla ordinata il
numero di volte in cui ho ottenuto tale
misura. (Distribuzione in frequenza, f(x))
Stabilisco un passo: in questo caso 0.1 g
• Se troppo piccolo  1 conteggio per
canale/classe
• Se troppo grande  tutte le misure in
un canale/classe
Il totale deve essere uguale al
numero di misure
6
6
Frequenza
5
4
3
2
1
2.
5
2.
3
2.
1
1.
9
1.
7
1.
5
1.
3
1.
1
0.
9
0.
7
0.
5
0
Peso [g]
• I punti sono distribuiti attorno ad un certo valore m
• La dispersione attorno a m è un indice dell’errore della misura
• Maggiore è il numero delle misure maggiore sarà la precisione
con cui determinerò m
16
2.5
14
2
Frequenza
10
8
6
4
1.5
1
0.5
2
0.5
1
1.5
Peso [g]
Passo troppo largo
2
1.
4
1.
57
5
1.
75
1.
92
5
0
0.
7
0.
87
5
1.
05
1.
22
5
0.
17
5
0.
35
0.
52
5
0
0
0
Frequenza
12
Valore [g]
Passo troppo stretto
7
14
30
12
25
0
0.
9
1.
05
1.
2
1.
35
1.
5
1.
65
1.
8
1.
95
0.
6
0.
75
0
0.
3
0.
45
0
0.
15
5
0
2
Peso [Kg]
1.
8
1.
95
10
1.
5
1.
65
4
15
1.
2
1.
35
6
20
0.
3
0.
45
0.
6
0.
75
0.
9
1.
05
8
0.
15
frequenza
frequenza
10
Peso [Kg]
100 Misure
250 Misure
400
120
350
100
frequenza
frequenza
300
80
60
40
250
200
150
100
20
50
0
Peso [Kg]
1.
8
1.
95
1.
5
1.
65
1.
2
1.
35
0.
6
0.
75
0.
9
1.
05
0.
3
0.
45
0.
15
0
0.
6
0.
75
0.
9
1.
05
1.
2
1.
35
1.
5
1.
65
1.
8
1.
95
0
0.
15
0.
3
0.
45
0
Peso [Kg]
1000 Misure
4000 Misure
Nota:
Aumentando il numero di misure non cambia ne la forma della
distribuzione ne la sua dispersione, riesco solo a determinare
con piu precisione la forma della distribuzione ed
eventualmente i suoi parametri
8
400
350
frequenza
300
250
200
150
100
50
1.
8
1.
95
1.
5
1.
65
1.
2
1.
35
0.
6
0.
75
0.
9
1.
05
0.
3
0.
45
0
0.
15
0
Peso [g]
Normalizzando rispetto al numero totale di misure si ottiene
la probabilità con cui è possibile ottenere una misura
0.12
0.08
0.06
0.04
0.02
0.
15
0.
3
0.
45
0.
6
0.
75
0.
9
1.
05
1.
2
1.
35
1.
5
1.
65
1.
8
1.
95
0
0
Probabilità
0.1
Peso [g]
9
Parametri della distribuzione:
Stime dell’osservabile
Infinite Misure (N >> 1)
Media  m
Data una serie di N misure, ciascuna con risultato xi
allora la media m è definita come:
  f ( xi )  xi 
1


m  x  lim   xi   lim 

N  N
N 


  f ( xi ) 
Mediana  m1/2
 f ( x) x dx
 f ( x) dx
Data una serie di N misure, ciascune con risultato xi
allora la mediana m 1/2 è definita come quel valore
di x tale che il 50% delle misure diano un risultato
superiore ed il 50% inferiore
f ( xi  x12 )  f ( xi  x 12 )  50%
mmax= Moda
Data una serie di N misure, ciascuna con risultato
xi allora mmax è definito come il valore per cui la
probabilità della “Popolazione” sia massima
f ( m max )  f ( xi )
xi
Nota:
• f(x) indica la distribuzione (non normalizzata) delle misure
• Se la distribuzione di probabilità è simmetrica m m 1/2 m max
• In generale m 1/2 è poco usato in quanto difficile da calcolare
Il valor medio m è uno dei parametri che descrivono la
distribuzione di probabilità delle misure. Ha le stesse unità di
10
misura del valore ‘vero’ dell’osservabile e ne è la miglior stima
Parametri della distribuzione:
Stime della dispersione dei dati
Infinite Misure (N >> 1)
d   di   xi  m
Deviazione d
Nota: E’ poco utile
1
N  N
a  lim
Deviazione media ( a )
 x m
i
Nota: Se venisse tolto il modulo la sommatoria sarebbe nulla
Nota: La Deviazione media è una misura della dispersione delle misure
attorno alla media
Varianza (
s2
)
1
N  N
s 2  lim
2


x

m
 i
Nota: La varianza NON ha le stesse unità di misura della media
Deviazione standard ( s )
s  s2
Nota: La deviazione standard HA le stesse unità di misura della media
La Deviazione standard descrive la dispersione delle misure
attorno alla media e quindi quantifica l’effetto delle
fluttuazioni statistiche nelle condizioni sperimentali di misura
11
ATTENZIONE
In qualsiasi esperimento reale è possibile fare solo un numero finito
di osservazioni
Le N misure di un esperimento reale non costituiscono un
sottoinsieme finito della ‘distribuzione ideale’, cioè un campione
(campione di popolazione).
Qui entra in gioco l’errore sperimentale.
Per mezzo delle N misure è possibile stimare i parametri della
distribuzione di popolazione che a loro volta danno una stima del
valore ‘reale’ dell’osservabile misurata
N Misure
Distribuzione di
Popolazione
Valore Reale
12
Parametri della distribuzione:
Stime dell’osservabile e
stime della dispersione dei dati
N Misure
Avendo a disposizione N misure:
•
La più probabile stima della media m della distribuzione di
popolazione, che a sua volta è la più probabile stima del valore reale, è
il valor medio delle misure
1
x
N
•
x
i
m
nota m  x
La migliore stima della Varianza del valor medio misurato da quello
della distribuzione di popolazione è data da:
s 2  s2 

1
x  xi

N 1

2
Esempio Dadi !!
•
Il fatto che al denominatore vi sia (N-1), invece che N come nel caso
della distribuzione di popolazione, dipende dal fatto che in un insieme
di N osservazioni ho solo N-1 gradi di libertà. Perdo un grado di libertà
rispetto alla distribuzione di popolazione perché con le N osservazioni
devo trovare anche il valor medio.
Grado di libertà: numero di osservazioni in eccesso rispetto a quelle
necessarie per determinare i parametri delle equazioni.
Nota: quando N  allora
xm
e
s s
13
Infatti la varianza della distribuzione di popolazione non dipende dal numero
di misure ma è intrinseca nella misura stessa
Nota:
Se ho una sola osservazione x1
x  x1
s 2 non è definita

1
s 
x  xi

N 1
2

2

1

x  x1
1 1

Infatti con una sola osservazione ho un solo grado di libertà che
uso per determinare il valor medio, non ho gradi di libertà
addizionali per calcolare la varianza
Se avessi usato la varianza della distribuzione di Popolazione
x  x1
1
s 
N
2
 x  x 
2
i


1
 x  x1  0
1
Cioè avrei una misura con varianza nulla cioè con precisione
infinita
14
Nota MOLTO Importante:
•
Tanto maggiore è il numero di misure tanto minore sarà la
differenza tra m ed <x>.
•
La deviazione standard s NON cambia se aumento il
numero di misure
14
30
120
12
25
100
20
80
400
350
1.
8
1.
95
1.
5
1.
65
1.
2
1.
35
0.
3
0.
45
0.
6
0.
75
0.
9
1.
05
0
0.
15
0.
9
1.
05
1.
2
1.
35
1.
5
1.
65
1.
8
1.
95
0.
6
0.
75
0.
3
0.
45
150
50
1.
8
1.
95
1.
5
1.
65
1.
2
1.
35
0
0
0
200
0.
6
0.
75
0.
9
1.
05
5
250
100
20
2
0
0.
15
frequenza
40
10
4
0
60
0
0.
15
0.
3
0.
45
15
0.
6
0.
75
0.
9
1.
05
1.
2
1.
35
1.
5
1.
65
1.
8
1.
95
6
0
0.
15
0.
3
0.
45
frequenza
frequenza
8
frequenza
300
10
Peso [Kg]
Peso [Kg]
Peso [Kg]
Peso [Kg]
100 Misure
250 Misure
1000 Misure
4000 Misure
•
Che cosa misura la deviazione standard (s o s) ?
•
Perché aumentando il numero di misure aumento
la precisione nella stima di m ?
•
La stima dell’errore nella stima di m deve dipendere dal
numero di misure N.
•
Si può dimostrare che l’errore sm che si compie nella stima
del valor medio della distribuzione di popolazione mediante
la media del campione (standard error) vale
s
sm 
N
•
Nota che se N ->  allora sm= 0, cioè non
ho errore nella determinazione del valor
medio della distribuzione di popolazione
Sm = Deviazione dalla Media o ‘Errore Standard’
15
Nota importante
La deviazione dalla media è uno strumento molto utile per
valutare il numero di misure necessarie per ottenere un certo
errore. P.es.
Devo misurare una osservabile, una stima a priori mi dice che
dovrei ottenere come valor medio <x> ed una deviazione
standard s
Se volessi raggiungere una precisione pari all’1% quanti cicli
di misura dovrei fare ?
sm
 1%
x
sm
s
1


 0.01
x
N x
1 
 s
N 


  x  0.01 
2
16
Analisi degli errori
Sono state misurare un certo numero di osservabili. Ciascuna
osservabile è quindi nota con un valor medio e con un errore
In che modo è possibile combinare questi risultati per trovare
l’errore con cui conosco una quantità derivata ?
Esempio:
Voglio misurare l’accelerazione di gravità mediante il pendolo
• Misuro la lunghezza del pendolo
l = 0.95 m
s = 0.1 m
• Misuro il periodo di oscillazione
sec
T = 2.0 sec
s = 0.5
• Posso estrarre g
l
T  2
g
4 2
g 2 l
T
Con che precisione conosco g ?
17
Tecnica della propagazione errori:
Data una quantità x = f(u,v,...)
dove u,v,.. sono delle osservabili
La misura di u ha dato un valor medio <u> ed una varianza su2
La misura di v ha dato un valor medio <v> ed una varianza sv2
Allora il valore più probabile per la quantità x sarà
x  f  u , v , ....

Quanto vale l’errore (deviazione standard) sul valore di x ?
1
N  N
s x2  lim
 x  f (u , v ,...  
2
i
i
Si può dimostrare che, se le fluttuazioni delle osservabili u e v sono tra loro
scorrelate, allora:
 f u , v, ...   2  f u, v, ...   2
2
sx  
 su  
 s v  ....

u

v




2
2
Per dimostrarlo si sviluppa in serie sx (attorno al valor medio) e ci si ferma
al primo ordine
18
Esempio
Calcoliamo l’errore sul seno di un angolo
Sia q = 1.484 radianti
Sia sq = 0.017 radianti
85 gradi
0.97 gradi
Voglio conoscere come l’errore si propaga l’errore su
x  f (q )  sin q 
Applico la relazione di propagazione degli errori
sx 
cosq 2 s q2
sx 
cos1.4842 0.017 2
 0.0014737
Quindi
x  0.9962356
s x  0.0014737
x  0.9962  0.0015
19
Nota Importante
La propagazione degli errori può essere usata in diversi contesti:
Prima di effettuare una misura:
Si può fare uno studio di fattibilità della misura sperimentale.
Infatti ipotizzando a priori una determinata configurazione
sperimentale e l’errore sperimentale sulle singole quantità
misurate posso avere una stima di quale può essere l’errore
finale sulla mia misura sperimentale
Una volta fissata la condizione sperimentale, è possibile
valutare quale sia il peso che le misure delle differenti
osservabili hanno sull’errore totale
Dopo aver effettuato la misura
Una volta misurate tutte le osservabili e ricavato il loro valor
medio e deviazione standard ricavare l’errore sulla quantità
derivata
20
Esempio:
Voglio misurare l’accelerazione di gravità mediante il pendolo
• Misuro/stimo la lunghezza del pendolo
l = 0.95 m
s = 0.001
• Misuro/stimo il periodo di oscillazione T = 1.94 sec s = 0.01
l
T  2
g
4 2
g 2 l
T
• Quindi g = 9.92 m/s2
• Calcolo l’errore su g
2
2
2
 8 2 


4

2
s g    3 l 
s T   2 
s l2
 T T T0 L  L0
 T T T0 L  L0
s g  105.5 s T2  110.0 s l2  0.10
m / s2
• Gli errori pesano in maniera identica
• L’incertezza sul tempo è quello piu importante vista la
strumentazione usata (sT >> sl)
21
ERRORE PERCENTUALE
E’ il rapporto tra l’errore ed il valore della osservabile
Esempio 1:
Il peso di un uomo e’ di 85.4 Kg con s=0.1 kg
Errore Percentuale = 0.1/85.4 = 0.001171 = 0.1 %
Esempio 2
La misura di un tavolo e’ 1.23 m con s = 0.02 m
Errore Percentuale = 0.02/1.23 = 0.016 = 1.6 %
22
Media Pesata
Può capitare che una grandezza sia stata misurata più volte da persone o
con tecniche differenti
Ciascuna di queste misure a sua volta è il risultato di molte misure e quindi
è nella forma
x  x1  s 1
x  x2  s 2
x  x3  s 3
Il calcolo del semplice valor medio potrebbe non essere conveniente se le
incertezze non sono uguali o molto simili. E’ in generale più corretto usare
la media pesata definita come
w x

w
i
xbest
i
wi 
i
i
1
s i2
i


s best    wi 

i
1/ 2

Attenzione: controllare che le misure siano consistenti, cioè che la
discrepanza tra le diverse misure non sia sensibilmente maggiore delle
rispettive deviazioni standard
23
Metodo dei minimi Quadrati
• Date delle coppie di misure xi ed yi
• Sia l’errore nella determinazione di xi molto minore di quello
relativo a yi
• Sia lineare il legame tra le due osservabili x ed y
y  ax  b
• Il problema consiste nel trovare una tecnica per trovare i
coefficienti a e b che minimizzano la discrepanza tra la
retta ed i punti sperimentali
yi  Misura con varianza s i2
xi  Misura con varianza s 2x  s i

xi 
 2
   2 
si
s  si 
1
2
i
2
i
x
2
xi yi
xi
yi 
1
1

a    2  2   2  2 
  si
si
si
si 
xi2
yi
xi
xi yi 
1

b    2  2   2 
  si
si
si
s 
24
Nell’ipotesi di trascurare gli errori sull’osservabile Y
  N  xi2   xi 
2



1
a   N  xi yi   x i  yi 








1
2
b    xi  yi   x i  xi yi 




N
2
1
 yi  b  axi 
s 

N  2 i 1
2
s N
2
a
s
2

2
i
x
s s 

2
b
2
25