Compito di Fisica 2
22 – 05 -2015

1. Nello spazio è presente una densità di carica volumetrica
(x) come mostrato nel grafico a lato (d = 2mm, K =
costante). (a) Si esprima E(x), campo elettrostatico in
funzione di x, in tutto lo spazio dimensionando la costante K
in modo che il campo elettrico massimo sia pari a 100V/m e
si mostri tale andamento in grafico. (b) Mostrare
l’andamento del potenziale elettrostatico in tutto lo spazio
in funzione di x e determinare la differenza di potenziale tra
i punti di coordinate x = -d e x = +d.
K
K/2
d 2d 3d
-3d -2d -d
x
-K/2
-K
a
h
2. Un condensatore a facce piane e parallele di area A = ab, distanti d, viene
immerso verticalmente in un liquido dielettrico di costante r e densità .
Determinare a quale altezza h si posiziona il liquido se il condensatore è
connesso ad un generatore di tensione costante V.
3. Nella bobina di N = 200 spire di figura circola la corrente I= 5 A. La
bobina è avvolta su un toroide di materiale ferromagnetico con
permeabilità magnetica r = 70, raggio medio R = 6cm. Il toroide è
dotato di un traferro di spessore h = 3mm. Determinare i vettori H, B,
M nel materiale e nel traferro, trascurando la dispersione e la
rifrazione delle linee di campo di B nel passaggio tra materiale
ferromagnetico ed aria.
4. La spira a forma semicircolare di figura ha resistenza elettrica R = 40
m e raggio a = 10cm. Traslando con velocità costante v = 0.1 cm/s,
all’istante t = 0 entra in una regione di campo magnetico uniforme e
costante B = 1.2T perpendicolare al piano della spira ed entrante
come mostrato in figura. Determinare l’andamento della corrente
che scorre nella spira nel tempo e la forza esterna che è necessario
applicare alla spira per mantenere il moto a velocità costante.
I
h
N
y
B
v
x
5. Tra due superfici piane e parallele in yz distanti x = d =300m, l’una posta a terra (catodo), l’altra mantenuta
al potenziale V0 = +200V (anodo) si ha campo magnetico B0 costante e uniforme, diretto come y. Se un
elettrone viene posto con velocità nulla nei pressi del catodo, quale valore deve avere B0 perché l’elettrone
non giunga all’anodo?
Soluzioni
1.a Applicando il teorema di Gauss ad una parallelepipedo di area A nel piano yz ed altezza h con h > 6d
centrato in x = 0 abbiamo che la carica totale interna alla superficie chiusa è nulla, quindi il flusso del campo
elettrostatico attraverso tale superficie è nullo. Per la simmetria del problema deduciamo che il campo
𝜌
elettrostatico per x > 3d e x < -3d è nullo. La relazione: ∇ ∙ 𝐸 = 𝜀 , per la simmetria del problema, diviene:
𝑑𝐸
𝑑𝑥
=
𝜌
𝜀0
0
, che risolviamo con le condizioni al contorno: E(-3d) = E(3d) = 0.
𝑥
𝐾
𝐾
-3d < x ≤ -2d
𝐸(𝑥) − 𝐸(−3𝑑) = ∫−3𝑑 𝜀 𝑑𝑥 →
-2d < x ≤ -d
𝐸(𝑥) − 𝐸(−2𝑑) = ∫−2𝑑 2𝜀 𝑑𝑥 →
-d < x ≤ +d
𝐸(𝑥) − 𝐸(−𝑑) = ∫−𝑑 0𝑑𝑥
d < x ≤ +2d
𝐸(𝑥) − 𝐸(𝑑) = ∫𝑑 (− 2𝜀 ) 𝑑𝑥 →
2d < x ≤ +3d
𝐸(𝑥) − 𝐸(2𝑑) = ∫2𝑑 (− 𝜀 ) 𝑑𝑥 →
𝐾=
𝐸(𝑥) = 𝜀 (𝑥 + 3𝑑) ,
0
𝑥
𝐾
𝐾 𝑥
𝐸(𝑥) = 𝜀 (2 + 2𝑑) ,
0
𝑥
𝑥
3𝐾
𝐸(𝑥) = 𝐸(−𝑑) = 2𝜀 𝑑 ,
→
𝐸(𝑑) =
0
𝐾 𝑥
𝐸(𝑥) = − 𝜀 (2 − 2𝑑) ,
0
𝐾
𝐾
𝐸(𝑥) = − 𝜀 (𝑥 − 3𝑑) ,
= 2.97𝑥10−7 𝐶/𝑚3 con Emax = 100V/m.
1b. Dalla definizione di potenziale:
𝐵
𝑥
𝑉(𝐴) − 𝑉(𝐵) = ∫𝐴 𝑬 ∙ 𝒅𝒔 = ∫𝑥 𝐵 𝐸𝑑𝑥 ,
𝐴
ponendo V(x) = 0, otteniamo:
0 3𝐾𝑑
𝑉(𝑥) − 𝑉(0) = ∫𝑥
-d ≤ x ≤ +d
3𝐾𝑑
→ 𝑉(𝑥) = − 2𝜀 𝑥 → 𝑉(𝑑) = −
0
𝐾
𝐾𝑑 2
4𝜀0
𝐾𝑑
0
; 𝑉(−𝑑) = +
0
−2𝑑 𝐾
(𝑥
𝜀0
𝐾
𝐾𝑑
→ 𝑉(𝑥) = − 2𝜀 𝑥 2 − 3 𝜀 𝑥 −
0
0
5𝐾𝑑 2
4𝜀0
; 𝑉(−𝑑) − 𝑉(+𝑑) =
11𝐾𝑑 2
4𝜀0
.
+ 3𝑑)𝑑𝑥
→ 𝑉(−3𝑑) =
𝑑
3𝐾𝑑 2
2𝜀0
+ 2𝑑) 𝑑𝑥
→ 𝑉(−2𝑑) =
𝑉(𝑥) − 𝑉(−2𝑑) = ∫𝑥
-3d ≤ x ≤ -2d
13𝐾𝑑 2
4𝜀0
.
11𝐾𝑑 2
4𝜀0
.
𝐾
𝑉(𝑥) − 𝑉(𝑑) = ∫𝑥 − 2𝜀 (𝑥 − 𝑑)𝑑𝑥
d ≤ x ≤ 2d
0
𝑉(𝑥) =
→ 𝑉(𝑥) =
3𝐾𝑑 2
2𝜀0
−𝑑 𝐾 𝑥
(
𝜀0 2
→ 𝑉(𝑥) = − 4𝜀 𝑥 2 − 2 𝜀 𝑥 −
2d ≤ x ≤ 3d
𝑑𝑥
𝑉(𝑥) − 𝑉(−𝑑) = ∫𝑥
-2d ≤ x ≤ -d
→
2𝜀0
𝐾 2
𝑥
4𝜀0
−2
𝐾𝑑
𝑥
𝜀0
+
𝐾𝑑 2
4𝜀0
→ 𝑉(2𝑑) = −
2𝑑
𝐾
𝑉(𝑥) − 𝑉(2𝑑) = ∫𝑥 (− 𝜀 ) (𝑥 − 3𝑑)𝑑𝑥
0
𝐾 2
𝑥
2𝜀0
−3
𝐾𝑑
𝑥
𝜀0
+
5𝐾𝑑 2
4𝜀0
→ 𝑉(3𝑑) = −
13𝐾𝑑 2
4𝜀0
.
3𝐾𝑑
2𝜀0
𝐾𝑑
𝜀0
𝐸(3𝑑) = 0
0
3𝐾𝑑 2
𝜀0
= 0.4𝑉.
𝐾𝑑
𝜀0
3𝐾𝑑
2𝜀0
𝐸(2𝑑) =
0
0
2𝜀0 𝐸𝑚𝑎𝑥
3𝑑
𝐸(−𝑑) =
0
𝐾
𝑥
𝐸(−2𝑑) =
0
𝜀0 𝜀𝑟 𝑏(𝑎−𝑥)
𝜀 𝑏𝑥
+ 0𝑑 . La forza
𝑑
𝜀 𝑏
(𝜀𝑟 − 1) 0 𝑉 2 . All’equilibrio è
2𝑑
2. Capacità del sistema (due condensatori in parallelo ): 𝐶 =
dielettrico nel condensatore è: 𝐹𝑒 =
𝑑𝑈
−
𝑑𝑥
=
1 𝑑𝐶 2
−
𝑉
2 𝑑𝑥
=
di risucchio del
bilanciata dalla
forza peso della massa di dielettrico al di sopra della superficie libera del liquido: 𝐹 = 𝑚𝑔 = 𝜌𝑔ℎ𝑑𝑏
→ ℎ=
𝜀0 (𝜀𝑟 −1) 2
𝑉 .
2𝜌𝑔𝑑 2
3. Nell’ipotesi che non ci sia dispersione, le linee di campo sono circonferenze con centro nel centro del
toroide. Il campo magnetico è normale all’interfaccia di separazione materiale/aria quindi utilizzando il
teorema di Gauss per il campo magnetico si deduce che il campo magnetico è lo stesso tra materiale e
traferro. Allora nel materiale si ha: 𝐻1 = 𝜇
𝐵
𝐵
e in aria (r=1): 𝐻2 = 𝜇 . La legge di Ampere per il vettore H
0 𝜇𝑟
0
, calcolata utilizzando come linea di campo la circonferenza del raggio medio, è: ∮ 𝐻𝑑𝑙 = 𝐻1 𝑠1 + 𝐻2 𝑠2 = 𝑁𝐼
con s1 lunghezza del tratto di circonferenza di raggio r nel materiale e s2 = h lunghezza del traferro:
𝐵
(2𝜋𝑟
𝜇0 𝜇𝑟
𝐻1 = 𝜇
𝐵
0 𝜇𝑟
𝐵
𝜇 𝑁𝐼
0
− ℎ) + 𝜇 ℎ = 𝑁𝐼 → 𝐵 = 2𝜋𝑟−ℎ
0
𝜇𝑟
𝑁𝐼
+ℎ
= 0.15T. Conoscendo B otteniamo i moduli dei vettori H ed M:
𝐵
𝑁𝐼
= 2𝜋𝑟−ℎ+𝜇 ℎ =1.7x103 A/m, 𝐻2 = 𝜇 = 2𝜋𝑟−ℎ , =1.2x105 A/m, 𝑀1 = (𝜇𝑟 − 1)𝐻1 =1.18x105 A/m,
𝑟
0
𝜇𝑟
𝑀2 = 0.
+ℎ
4.Quando la spira entra nella regione di campo magnetico con velocità v costante si
produce un campo elettromotore ostante E= v x B diretto come l’asse y . La forza
ℎ
elettromotrice indotta nella spira è: 𝜀𝑖𝑛𝑑 = ∮ 𝑬 ∙ 𝒅𝒔 = ∫ 𝒗𝑥𝑩 ∙ 𝒅𝒔 = 2 ∫0 𝑣𝐵𝑑𝑦 =
2𝑣𝐵ℎ = 2𝑣𝐵ℎ con:
ℎ = √𝑎2 − (𝑎 − 𝑥)2 con 𝑥 = 𝑣𝑡 ,
→ 𝜀𝑖𝑛𝑑 (𝑡) = 2𝑣 2 𝐵√2𝑡𝑚𝑎𝑥 𝑡 − 𝑡 2 → 𝐼(𝑡) =
x ≤ a → t ≤ a/v = tmax
𝜀𝑖𝑛𝑑
𝑅
=
2𝑣 2 𝐵
√2𝑡𝑚𝑎𝑥 𝑡
𝑅
− 𝑡2
La forza necessaria a mantenere la spira in moto con velocità costante è : 𝐹 =
𝑅𝐼2
𝑣
=
4𝑣 3 𝐵2
(2𝑡𝑚𝑎𝑥 𝑡
𝑅
− 𝑡 2 ).
𝑃
𝑣
=
5. Sull’elettrone agisce la forza F = -e( E + v x B ) = ma →
𝑚
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
𝑚
𝑚
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑡
= −(𝐸 − 𝑣𝑧 𝐵0 )
B
= 0 → vy = 0
vf
𝑣
𝑑𝑥
𝑑
= −𝑒(𝑣𝑥 𝐵0 ) = −𝑒 𝑑𝑡 𝐵0 → 𝑚 ∫0 𝑧𝑓 𝑑𝑣𝑧 ∫ = −𝑒𝐵0 ∫0 𝑑𝑥
→ 𝑚𝑣𝑧𝑓 = −𝑒𝐵0 𝑑
x
Perché l’elettrone non raggiunga l’elettrodo opposto bisogna che in prossimità
dell’elettrodo la velocità (vf ) dell’elettrone abbia solo componente lungo z. Il
campo elettrico compie lavoro accelerando la carica:
1
2
2
𝑊 = 𝑒𝑉0 = 𝑚𝑣𝑧𝑓
→ |𝑣𝑧𝑓 | = √
2𝑒𝑉0
𝑚
=
𝑒𝐵0 𝑑
𝑚
2𝑉0 𝑚
𝑒𝑑 2
→ 𝐵0 = √
z