Filtri analogici
Generalità

I filtri lineari analogici sono esprimibili con la seguente
espressione (con M ≤ N)
m
c
s
m0 m
M
H c ( s) 

Le specifiche sono fornite solitamente in termini di




k
d
s
k 0 k
N
banda passante Ωp (e relativo ripple δ1)
banda interdetta Ωs (e relativo ripple δ2)
e conseguente banda di transizione (Ωp - Ωs)
Spesso ripple ed attenuazione sono definiti come:
1  1 
1
1 
2
e
1
2 
A
Generalità
1
1
1  2
1/ A
 p c


t
s
Dove Ωp ed Ωs le specifiche da rispettare
Ωc ed Ωt sono le reali pulsazioni di banda passante e di
banda attenuata
Generalità

Filtri di tipo “passa-alto”, “passa-banda”, “elimina-banda”
vengono ottenuti dal “passa-basso” tramite opportune
trasformazioni
Filtri di Butterworth (1)

Sono filtri a massima piattezza nell’origine ed all’infinito
2
H
(
j

)
 ossia le prime (2N-1) derivate di
si annullano per
c
Ω=0 e per Ω=inf.

Sebbene la scelta di Ωp , Ωs , δ1 , δ2 può essere
arbitraria, di solito si definisce come Ωp la frequenza
alla quale il guadagno è diminuito di 3 dB (Ωp = Ω-3dB)


ossia
1  1  1
2
ovvero   1
Per garantire le specifiche
H ( j ) 
2
1
  

1  
  3dB 
2N
Filtri di Butterworth (2)
In base all’attenuazione A desiderata ad una certa frequenza Ωs si
puo’ calcolare l’ordine minimo del filtro:
Nel caso del filtro prototipo con ε=1 (Ω-3dB = 1)
log( A2  1)
n
2 log  s
Nel caso generale si puo’ dimostrare:
( A 2 1)
log 
n
2 log  ps
Filtri di Butterworth (3)

Se le specifiche sono del tutto
generiche

Ci sono 2 gradi di liberta’:


Ordine n
Frequenza di taglio a -3dB
H ( j ) 
1
2


  

1  
  3dB 

1
n
0.9
0.8
0.7
2n
Ordine: si usa il minimo consentito
Ω-3dB : Esiste tutta una famiglia di
filtri che possono soddisfare le
specifiche:
p
1
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
s
 3dB  2
1
( A  1) 2 n
500
1000
1500
2000
Posizione di poli e zeri

Nota la risposta in frequenza desiderata | |2
H ( j )  f (  )
2
H ( j )  H ( j ) H * ( j )  H ( j ) H (  j  )
2

Generalizzando jΩ  s
s
H ( s ) H (  s )  f    g ( s )
 j

Si trovino zeri e poli di g(s) e si assegnino
opportunamente a H(s) ed H(-s)
Posizione di poli e zeri (Butterworth)

Nel filtro di Butterworth
1
H ( s)H ( s) 

2n
1

1  ( s 2 )n
s
1   
 j
2 n
I poli complessivi si trovano risolvendo: ( s )  1

per N pari
s  (1)
1/ 2 n
Es: n=2

per N dispari
s  (1)1/ 2 n
Es: n=3
Posizione di poli e zeri (Butterworth)

Successivamente si assume, per garantire la stabilità,
che i poli a parte reale negativa appartengano ad H(s),
mentre gli altri (simmetrici) ad H(-s) !
H(s)
H(-s)
H(s)
H(-s)
Filtri di Chebyshev del 1o tipo (1)

Prototipo normalizzato:
1
H ( j ) 
2 2
1   Tn ()
2
Ove:
cos( n cos 1 x )
if
Tn ( x )  
1
cosh(
n
cosh
x ) if

x 1
To  1
Formula ricorsiva:
Tn1 ( x )  2 xTn ( x )  Tn1 ( x )
NOTA:
x 1
Tn (1)  1
T1  x
T2  2 x 2  1
...
Filtri di Chebyshev del 1o tipo (2)

Caso Generale
1
H ( j ) 
2 2
1   Tn ( /  c )
2
ove Ωc (frequenza di transizione) è la frequenza estrema
della banda passante (NOTA :non e’ la frequenza a -3dB)

Il filtro di Chebyshev del 1o tipo è un filtro ottimo tra il filtri
“all-poles”, ovvero, a parità di ordine, non esiste alcun
filtro composto da soli poli che possa avere
caratteristiche superiori al filtro CHEBY1 tanto in banda
passante che in banda attenuata
Filtri di Chebyshev del 1o tipo (3)

Calcolo dell’ordine minimo del
filtro (in base all’attenazione
desiderata in Ωs
n
cosh
1
A2  1

 
cosh 1  s 
 c 
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3

Gradi di libertà nella
scelta di Ωc
s
 p  c 
2
A
1
1
cosh

cosh
n
0.2
0.1
0
0
500
1000
1500
2000
Filtri di Chebyshev del 1o tipo (4)

Si può sfruttare il grado di libertà
anche per modificare ε
1
0.9
0.8
A2  1

Tn ( cs )
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
Posizione di poli e zeri (Cheby1)

Nel filtro di Chebyshev 1
1
H ( j ) 
2 2
1   Tn ( /  c )
2

1
H ( j ) 
2 2
1   Tn ( x )
2
Si trovino le soluzioni del polinomio a denominatore
(in x) e sucessivamente


si moltiplichino per Ωc
si ruotino di 90o
s'  jc x'

Si assegnino ad H(s) le soluzioni a parte reale negativa
Filtri di Chebyshev del 2o tipo (1)

Prototipo normalizzato (rispetto Ωt):
H ( j ) 
1
2
Tn (1 /  c )
1 
2
Tn (1 / )
2
2

Caso generale:
H ( j ) 
2

1
2
2 Tn ( t /  c )
1 
2
Tn ( t / )
Imponendo che per Ω=Ωt |H|=1/A
1
H ( j) 
A2  1
1 2
Tn (t / )
2

Il lfiltro CHEBY2 presenta le stesse caratteristiche di
CHEBY1
Filtri di Chebyshev del 1o tipo (2)

Calcolo dell’ordine minimo del filtro
(in base all’ε desiderato in Ωc)
n
cosh
1
A2  1

1   t 
cosh  
 c 
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5

Gradi di libertà nella scelta di Ωt
0.4
0.3
0.2
2

A
 1 

1

cosh
 

 p  cosh
t
s


n




0.1
0
0
500
1000
1500
2000
Posizione di poli e zeri (Cheby2)

Nel filtro di Chebyshev 2
1
H ( j ) 
2
T
( /  )
1  2 n 2 t c
Tn ( t / )
2
2
Tn ( x )
H ( j )  2
Tn ( x )  A2  1
2

Si trovino soluzioni di numeratore e denominatore (x’)

queste soluzioni in x vanno:
t
s' 
jx'




invertite (reciproco)
moltiplicate per Ωt
ruotate di -90o
Le soluzioni del numeratore sono a 2 a 2 coincidenti
Analogie tra Cheby1 e Cheby2

Una volta definito l’ordine del filtro dei 4 parametri Ωt, Ωc,
ε, A, solamente due sono indipendenti.


Es. in Cheby1 si scelgono solitamente ‘Ωc’ ed ‘ε’ e ne consegue
‘A=f(Ωt)’.
Si potrebbe pero’ anche operare all’inverso: scelti A e Ωt si puo’
trovare una famiglia di filtri che al variare di ε modificano Ωc (o
viceversa)
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
Analogie tra Cheby1 e Cheby2

In modo del tutto analogo anche per Cheby2 i 4
parametri Ωt, Ωc, ε, A, risultano tra loro legati e non
indipendenti.


Si potrebbe scegliere scelti ε e Ωc ma ci si ritrova con una
famiglia di filtri che al variare di A modificano Ωt (o viceversa).
Solitamente per questi filtri I parametri indipendenti da usare
sono Ωt ed A
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0
0.1
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
Filtri di Cauer (elittici)
H ( j ) 
2
1
2
1   2 Rn (, L)
Dove Rn(Ω,L) e’ detta “funzione razionale di Chebyschev”
Sono Filtri-equiripple in banda passante ed in banda interdetta
Trasformazioni in frequenza (1)

Si può modificare un filtro LP prototipo in qualunque altro
modello applicando opportune trasformate
LP  LP
s
s
c
LP  HP
c
s
s
LP  BP
s 2  l u
s
s ( u   l )
LP  SP
s ( u   l )
s 2
s  l u
Trasformazioni in frequenza (2)

Metodologia di progetto


date le specifiche del filtro
si convertano le specifiche in quelle di un prototipo LP
(applicando l’opportuna trasformata)



in caso di specifiche ridondanti si usino quelle piu’ stringenti
si progetti il prototipo LP
si applichi la trasformata opportuna alla f.d.t del prototipo