Dipartimento di Ingegneria Industriale
Lucidi del corso di
Fluidodinamica
Capitolo 5.1: Flussi 2D/3D
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Flussi 2D/3D
• Flussi monodimensionali
–
–
–
–
–
conoscenza a priori della traiettoria media del flusso
semplificazioni nella trattazione con volume di controllo
applicazione immediata dei principi di conservazione
utili per valutazioni di massima
molte applicazioni pratiche consentono l’uso di questo modello semplificato
• Flussi multidimensionali
– necessità di descrivere il campo di moto in un volume nel quale non si conosce a priori la
traiettoria del flusso
– trattazione differenziale su volumi di controllo multidimensionali
– introduzione dei principi di conservazione in termini di equazioni differenziali
• Introduzione dei principi di conservazione 3D
– necessità di formulare un sistema di equazioni in grado di descrivere il moto generale con un
approccio di tipo Euleriano, ovvero su un volume di controllo fissato ed osservatore solidale al
volume di controllo
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Definizione di un volume di controllo
• Per semplicità si definisce il volume di controllo con le facce
allineate con gli assi di un sistema di riferimento cartesiano.
– Questo consente una più semplice rappresentazione dei flussi e delle forze
agenti
• Individuazione di tutte le forze e dei flussi che intervengono sul
volume di controllo
• Integrazione di tutti gli effetti sul volume di controllo. A questo
scopo si applicano i tre principi di conservazione elementari per
poi procedere ad una integrazione:
– una equazione di conservazione della massa
– tre equazioni della quantità di moto lungo x, y, z
– una equazione della conservazione della energia in termini di energia
totale (per unità di massa)
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Modelli di calcolo
• Modelli Completi = Soluzione equazioni complete , con termini
viscosi, scambio termico etc. (Navier Stokes)
• Modelli Viscoso-Non Viscoso = trattano zone diverse in modo
differente:
• Equazioni semplificate per alti Reynolds oppure viscosità e
scambio termico trascurati (Eulero)
– consentono calcolo di azioni scambiate normali alle pareti solide
(pressione) non l’attrito (sforzi di taglio, drag )
• Equazioni dello Strato Limite
– zone di viscosità non trascurabili prossime alla parete, calcolo sforzi di
taglio, viscous drag
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Modelli non viscosi
• Il parametro che definisce il rapporto tra le grandezze spazio-temporali dei
fenomeni viscosi e quelle delle forze d’inerzia è il numero di Reynolds:
Re = ρ
UL
µ
• Per certi fluidi in certe condizioni di flusso la viscosità è molto piccola per cui il
suo effetto può essere trascurato in prima approssimazione. Questo coincide
con Re >> 1. In tal caso si parla di fluidi ed efflussi non viscosi.
• Anche lo scambio termico si sviluppa a causa della presenza di viscosità
• Le equazioni che governano il moto dei fluidi non viscosi si chiamano “di
Eulero” e sono ottenibili da quelle scritte nel caso generale trascurando:
– sforzi di taglio di natura viscosa (fluidi per i quali vale l’ipotesi di Newton)
– scambio termico (fluidi per i quali vale l’ipotesi di Fourier)
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Quando adottare le equazioni di Eulero?
• Si può prescindere dalla viscosità per:
– numeri di Re molto grandi ( > 105, tipici per turbomacchine)
– lunghezze e/o superfici bagnate piccole (l’attrito con la parete è ridotto)
• Cosa si può calcolare con le equazioni di Eulero:
–
–
–
–
flussi bidimensionali e tridimensionali
traiettorie del flusso con buona approssimazione
andamenti delle distribuzioni di pressione sulle pareti di confinamento
lavori e scambi di energia con pareti o palette in movimento
• Cosa non si può calcolare con le equazioni di Eulero:
–
–
–
–
irreversibilità, e quindi dissipazione di energia meccanica in calore
scambio termico
perdite di carico di ogni genere
ogni tipo di miscelamento
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Equazioni di Eulero
Continuità
Quantità di Moto
∂u
dρ
+ρ i =0
dt
∂xi
dui
∂p
=−
+ Fi = 0 ;
ρ
dt
∂xi
Fi = ρf i ;
i = 1,2,3
Calore Aggiunto + Lavoro fatto sul fluido = Incremento di energia
Eg. Energia
∂ ( p ⋅ ui )
∂ρE ∂ ( ρE ⋅ ui )
+
=−
+ Fi ui
∂t
∂xi
∂xi
Eg. Energia
ρ
∂u
de
= −p i
dt
∂xi
⇒ T
dS
=0
dt
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Le equazioni di Eulero: conservazione di quantità di moto
• Tutti i termini di sforzo di taglio sono trascurati
• Gli sforzi rimanenti sono quelli di natura non viscosa, ovvero quelli che non
dipendono da deformazioni di taglio del flusso, ovvero gli sforzi normali s per i
quali si può porre sxx=syy=szz=-p
• L’assenza di viscosità implica che due porzioni di fluido che si muovono a
velocità diverse continuino a muoversi con velocità diverse in assenza di altri
fenomeni
• Eventuali distorsioni di flusso rimangono quantitativamente inalterate
y
y
X=0
X=dx
∂p
∂u
∂u
ρ ⋅  ∂ti + u j ∂x i  = ρ ⋅ g i −
j
∂x j

X=0
u
X=dx
u
X=dx
u
y
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Le equazioni di Eulero: conservazione dell’energia
• Tutti i termini di scambio termico sono trascurati
• Tutti i termini di dissipazione di energia meccanica in calore sono trascurati
• L’assenza di viscosità implica che due porzioni di fluido con temperature
statiche diverse mantengano questa differenza in assenza di altri fenomeni
• L’equazione dell’energia può essere sostituita con una equazione di costanza
dell’entropia
ρ⋅
dS
dt
=0
y
y
TA
TB
X=0
T
X=dx
X=dx
X=0
T
y
TA
TB
X=dx
T
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Bernoulli da Eulero (1)
• Si può verificare che l’equazione di Bernoulli è ottenibile dalla
equazione di Eulero, dato che anche Bernoulli è stato ricavato
nell’ipotesi di assenza di sforzi viscosi.
• Il trinomio di Bernoulli viene ricavato integrando l’equazione di
Eulero lungo una traiettoria s.
y
s
∫
s
U2
+ ∫ d ( ) + ∫ gdz = cos t
2
ρ s
s
x
z
dp
Fluido comprimibile
U2
+
+ gz = cos t
ρ 2
p
Fluido incomprimibile
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Bernoulli da Eulero (2)
• Valide per:
– flusso non viscoso
– flusso stazionario
– flusso lungo una linea di corrente (evidente in monodimensionale)
y
Fluido comprimibile
s
x
z
u2
∫s dh + ∫s d ( 2 ) + ∫s gdz =cost
=>
u2
d (e + +
+ gz ) = dH = 0
ρ 2
p
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Equazioni di Eulero 2D in coordinate naturali
Continuità
ρu∆n = costante
∂u
∂p
=−
∂s
∂s
u2
∂θ
∂p
ρ
= ρu 2
=−
R
∂s
∂n
ρu
QdM in s ed n
Energia
u2
h+
= ht = costante lungo s
2
Nell’equazione di continuità la sezione di passaggio
per unità del tubo di flusso di larghezza è ∆n
L’equazione di Q. di M. lungo s stabilisce il bilancio
fra l’accelerazione e il gradiente di pressione
lungo la linea di corrente.
L’equazione di Q. di M. lungo n stabilisce il
bilancio fra l’accelerazione e il gradiente di
pressione normale alla linea di corrente.
L’accelerazione dipende dalla curvatura 1/R della
“streamline”
L’equazione dell’energia stabilisce che ht=cost
lungo una linea di corrente ma può cambiare
dall’una all’altra
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Linee di corrente e linee equipotenziali in flussi bidimensionali
• Le linee di corrente sono curve tangenti alla
velocità del fluido in ogni punto.
• Corrispondono a traiettorie di particelle fluide
• Può essere definita la funzione corrente se il
fluido è piano (esempio incomprimibile)
• Le linee equipotenziali sono ortogonali alle
linee di corrente.
– Può essere definita la funzione potenziale se il
flusso è irrotazionale
ψ ( x, y ) = cos t
∂ψ
= −v
∂x
∂ψ
=u
∂y
ϕ = cos t
∂ϕ
=u
∂x
∂ϕ
=v
∂y
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Aerodinamica esterna bidimensionale (1)
• Immaginiamo di immergere un corpo in un
fluido che si muove con velocità uniforme
U. Sul corpo agirà una forza risultante
dovuta all’interazione tra il flusso e le
superfici del corpo stesso.
• Se il fluido in questione è viscoso, in ogni
punto della superficie del corpo agiranno
due componenti di sforzo:
– sforzi di taglio dovuti alla viscosità del
fluido che genera attrito tra la superficie
del corpo e le linee di flusso adiacenti. Tali
sforzi sono tangenti, punto per punto, alla
superficie dell’oggetto solido ed agiscono
sul corpo con verso pari a quello del flusso.
– sforzi normali dovuti alla pressione p
esercitata dal fluido.
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Aerodinamica esterna bidimensionale (2)
• La forza risultante agente sul corpo sarà data dall’integrale di tutti
gli sforzi, normali e tangenziali, agenti su ogni elemento
infinitesimo di superficie dA
• La componente della forza risultante lungo la direzione di
propagazione del fluido è denominata Drag (D, resistenza).
• La componente perpendicolare alla direzione del flusso è
denominata Lift (L, portanza).
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Aerodinamica esterna bidimensionale (3)
dFx = ( pdA) cos θ + (τ w dA) sin θ
dFy = −( pdA) sin θ + (τ w dA) cos θ
D = ∫ dFx = ∫ p cos θ dA + ∫ τ w sin θ dA
Drag
L = ∫ dFy = − ∫ p sin θ dA + ∫ τ w cos θ dA
Lift
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Coefficienti aerodinamici
Solitamente vengono utilizzati dei coefficienti
adimensionali che rapportano Lift e Drag all’energia
cinetica posseduta dal fluido a monte del corpo. Essi si
chiamano coefficiente di lift e coefficiente di drag e
sono definiti rispettivamente come:
CL =
M
L
D
;
;
=
=
C
C
D
M
2
2
2
1
1
1
U
S
U
S
U
Sc
ρ
ρ
ρ
2
2
2
S rappresenta, nei casi più
usuali di corpi aerodinamici, la
proiezione della sua superficie
su un piano parallelo alla
direzione del flusso.
Solitamente sono diverse le
aree utlizzate per profili o
cilindir (bluff bodies)
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Forze scambiate con un profilo (1)
• Definiamo un volume di controllo in cui le
seioni ingresso e uscita sono
sufficientemente lontane da avere una
pressione costante (p=p∞)
• u1 uniforme
• u2 non uniforme a causa della scia
• Sforzi di taglio lungo ab e hi sono
trascurati
• cd e gf adiacenti quindi pressione e taglio
si annullano
• Le forze di superficie sono date da
− � 𝑝𝑝𝒅𝒅𝒅𝒅
1) distribuzione di pressione sulla superficie abhi
𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏
2) Le forze di superficie su def create dalla presenza del corpo –R’
Per un flusso stazionario la conservazione di QdM diventa:
𝑅𝑅′ = − ∯ 𝜌𝜌𝑽𝑽 � 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑽𝑽 − ∬𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑝𝑝𝒅𝒅𝒅𝒅 (1)
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Forze scambiate con un profilo (2)
• Prendendo la componente x
dell’equazione (1), notando che le velocita’
u1 e u2 sono tutte in direzione x e che R’ e’
il Drag
𝐷𝐷 = − ∯ 𝜌𝜌𝑽𝑽 � 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑢𝑢 − ∬𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏(𝑝𝑝𝒅𝒅𝒅𝒅)𝑥𝑥
• Per una pressione costante
�(𝑝𝑝𝒅𝒅𝒅𝒅)𝑥𝑥 = 0
𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏
→ 𝐷𝐷 = − � 𝜌𝜌𝑽𝑽 � 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑢𝑢
• Lungo ab, hi, def la velocita’ e’ parallela quindi ρV·dn = 0
• Gli unici contributi vengono dalle linee ai e bh (orientate in direzione y).
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝐷𝐷 = − � 𝜌𝜌𝑽𝑽 � 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑢𝑢 = − � 𝜌𝜌1 𝑢𝑢1 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 𝜌𝜌2 𝑢𝑢2 𝑑𝑑𝑑𝑑 (2)
𝑖𝑖
2
ℎ
19 Scuola di Ingegneria – Corso di Fluidodinamica e Macchine – A.A. 2013-2014
2
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Forze scambiate con un profilo (3)
• Ricordando l’equazione di continuita’ per
il volume di controllo
𝑎𝑎
𝑏𝑏
− � 𝜌𝜌1 𝑢𝑢1 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 𝜌𝜌2 𝑢𝑢2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
𝑖𝑖
ℎ
(3)
• Moltiplicando questa per u1 e
sostituendo nella (2) si ottiene
𝑏𝑏
𝐷𝐷 = � 𝜌𝜌2 𝑢𝑢2 (𝑢𝑢2 − 𝑢𝑢1 )𝑑𝑑𝑑𝑑
ℎ
(4)
• La quantita’ u2 –u1 e’ la diminuzione di velocita’ ad una data posizione y. Cioe’ nella scia dovuta
alla resistenza del corpo, si instaura un deficit di velocita’. La quantita’ ρ2u2 e’ il flusso di massa,
quindi moltiplicata per (u2-u1) da’ il decremento di quantita’ di moto.
• QUINDI IL DECREMENTO DI QUANTITA’ DI MOTO E’ UGUALE ALLA RESISTENZA (DRAG) DEL
CORPO.
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Aerodinamica incomprimibile (0)
• Sono possibili due approcci allo studio della Aerodinamica di un
profilo, sia esso in flusso esterno o interno:
Approccio TEORICO
– Uno studio finalizzato alla conoscenza della portanza , (Lift) che può essere
svolta con modelli teorici semplificati: Eulero
– Uno studio anche degli effetti d i Drag , che richiede l’uso di altre
strumenti teorici SL, che vedremo oltre.
Approccio Sperimentale
– Uno studio che, grazie all’uso della teoria della similitudine ed strumenti
sperimentali consenta di misurare, ed generalizzare i risultati ottenuti in
adeguate infrastrutture sperimentali (gallerie del vento…..)
– Uno studio che può produrre risulatati validi in limitati contesti
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Aerodinamica incomprimibile (1-Approccio TEORICO)
• La velocità del suono in un fluido incomprimibile deve essere
infinita e dunque qualunque perturbazione di pressione nel fluido
causato dal moto di un corpo in esso viene avvertita
istantaneamente ovunque.
• Quando la velocità del corpo è molto inferiore alla velocità del
suono del fluido in cui si muove, il regime di flusso sarà
assimilabile a quello di un fluido incomprimibile.
• Poiché il profilo alare corrisponde ad una linea di corrente, su di
esso il campo di pressione e di velocità sono legati dalla
equazione di Bernoulli.
• Si definisce circolazione per un Profilo isolato:
 
Γ = ∫ U ⋅ dl
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Aerodinamica incomprimibile (2)
• Nel caso di flussi interni la circolazione viene calcolata
– lungo un percorso fatto da un passo a monte ed a valle
– lungo due percorsi distanti tra loro un passo e percorsi in senso inverso
 
Γ = ∫ U ⋅ dl
Γ = t ⋅ ∆u t
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Flussi elementari (1)
1. FLUSSO UNIFORME
- Stazionario, irrotazionale
𝜕𝜕𝜕𝜕
= 𝑢𝑢
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝜕𝜕
= 𝑢𝑢
𝜕𝜕𝑦𝑦
𝜙𝜙 = 𝑉𝑉∞ 𝑥𝑥
𝜓𝜓 = 𝑉𝑉∞ 𝑦𝑦
Γ = − � 𝑽𝑽 � 𝒅𝒅𝒅𝒅 = −𝑉𝑉∞ 𝑙𝑙 − 0 ℎ + −𝑉𝑉∞ 𝑙𝑙 − 0 ℎ = 0
Γ = − � 𝛻𝛻 × 𝑽𝑽 � 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 0
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Flussi elementari (2)
2. FLUSSO SORGENTE (o POZZO)
- La velocita’ varia in maniera inversamente proporzionale alla
distanza da O.
- E’ irrotazionale, incomprimibile
𝑐𝑐
𝑉𝑉𝑟𝑟 =
𝑉𝑉𝜃𝜃 = 0
𝑟𝑟
L’intensita’ della sorgente e’ definita come
Λ = 2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑉𝑉𝑟𝑟 (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)
Λ
ln𝑟𝑟
𝜙𝜙 =
Γ = − � 𝛻𝛻 × 𝑽𝑽 � 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 0
2𝜋𝜋
Λ
𝜓𝜓 =
θ
2𝜋𝜋
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Flussi elementari (3)
3. DOPPIETTA
- Dato da una coppia sorgente-pozzo di uguale instensita’ a
distanza l.
- L’intensita’ κ della doppietta e’ data da
− κ= lΛ
- Ogni doppietta e’ caratterizzata da una
direzione delle linee di flusso.
- Una doppietta e’ una singolartia’ che
induce intorno ad essa un pattern del flusso a due lobi.
Le combinazioni di flussi elementari finora visti (da 1 a 3) porta a
flussi che NON generano lift.
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Flussi elementari (4)
4. VORTICE
- Le linee di flusso sono linee concentriche intorno a un dato punto
-
La velocita’ e’ costante lungo una streamline e varia in modo inverso alla
distanza dal centro.
𝑉𝑉𝑟𝑟 = 0
-
𝑐𝑐
𝑉𝑉𝜃𝜃 =
𝑟𝑟
E’ irrotazionale (𝛻𝛻 × 𝐕𝐕 = 0) tranne che al centro dove la vorticita’ e’ infinita.
Calcolando la circolazione secondo la sua formula si ottiene
𝑉𝑉𝜃𝜃 = −
Γ
2𝜋𝜋𝜋𝜋
cioe’ la circolazione intorno af ogni linea di flusso e’ costante.
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Combinazioni di Flussi elementari
- Flusso uniforme + doppietta =
flusso senza portanza intorno a
un cilindro circolare (non
viscoso).
- Aggiungendo alle precedenti il
vortice = Flusso a portanza
intorno a un cilindro.
Combinando le relazioni relative ai
singoli flussi elementari si ottiene
che per questo tipo di flusso
𝐿𝐿 = 𝜌𝜌∞ 𝑉𝑉∞ Γ
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Aerodinamica incomprimibile (4)
• Questo tipo di flusso vale anche per un profilo alare.
• Teorema di Kutta-Joukowski
– La forza per unità di lunghezza agente su una sezione trasversale di un
profilo cilindrico con velocità U∞ relativa al fluido in cui è immerso è pari a:
 L = ρU ∞ ⋅ Γ

D = 0
• La curva deve includere l’origine del vortice
(unico punto in cui la vorticita’ non e’ nulla)
per avere una circolazione non nulla
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Aerodinamica incomprimibile (3)
• Problema della circolazione: la circolazione di fluido intorno al profilo nasce per
effetto della presenza della viscosità, nella fase di moto iniziale, ma può essere
calcolata e simulata anche con il calcolo Euleriano purché si scelga fra le
possibili soluzioni quella più “realistica”
• Esiste un numero infinito di soluzione teorica alla teoria potenziale, ma in
realta’ una sola viene attuata.
• Un corpo con trailing edge appuntito che si muove in un fluido crea attorno a
sé una circolazione se scegliamo un punto di ristagno sul trailing edge (imm. 2)
Γ>0
L=0
L = ρV∞ Γ
Γ=0
1
2
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Aerodinamica incomprimibile (4)
• Condizione di Kutta:
– corrisponde ad imporre , dall’esterno, la posizione del punto di ristagno a
valle (sul trailing edge)
– più realistica è questa condizione e più corretto sarà il valore della
circolazione e quindi della portanza calcolato
• Senza attrito si potrebbe avere Lift?
-
Il lift e’ principalmente dovuto alla pressione sul profilo, per cui una teoria non
viscosa (Euleriana) puo’ ben predire il Lift.
Ma se non ci fossero effetti viscosi NON si genererebbe Lift. La presenza
dell’attrito e’ il motivo per cui si genera Lift.
La ragione per cui la natura «applica» la condizione di Kutta lasciando il T.E. in
modo continuo e’ che lo strato limite viscoso rimane attaccato alla superficie
fino al T.E. Quindi se non ci fosse attrito non ci sarebbero le condizioni per
generare Lift.
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Profilo investito da un flusso U (1)-Approccio Sperimentale
• Solitamente vengono utilizzati dei coefficienti adimensionali che
rapportano Lift e Drag all’energia cinetica posseduta dal fluido a
monte del corpo.
• Sperimentalmente in gallerie del vento si puo’ misurare la
distribuzione sulla superficie e calcolare il Cp.
𝑝𝑝 − 𝑝𝑝∞
𝐶𝐶
=
𝑝𝑝
• Dalla distribuzione di pressione si calcola il CL.
1
2
𝑐𝑐
1 𝑐𝑐
𝑐𝑐𝑛𝑛 = � 𝐶𝐶𝑝𝑝,𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝐶𝐶𝑝𝑝,𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 + �
𝑐𝑐 0
0
2 𝜌𝜌𝑈𝑈∞
𝑑𝑑𝑦𝑦𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑑𝑑𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠
− 𝑐𝑐𝑓𝑓,𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑐𝑐𝑓𝑓,𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑐𝑐
𝑑𝑑𝑦𝑦𝑝𝑝𝑝𝑝
1 𝑐𝑐
𝑑𝑑𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠
− 𝐶𝐶𝑝𝑝,𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑐𝑐𝑎𝑎 = � 𝑐𝑐𝑓𝑓,𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝑐𝑐𝑓𝑓,𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 𝐶𝐶𝑝𝑝,𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑐𝑐 0
0
Suction side
𝐶𝐶𝑙𝑙 = 𝑐𝑐𝑛𝑛 cos 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑎𝑎 sin 𝛼𝛼
Pressure side
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Profilo investito da un flusso U (2)
• La portanza è la forza che sostiene il corpo
mentre la forza D rappresenta invece la
resistenza offerta dal corpo al flusso.
• Nel caso di corpi non aerodinamici (i.e.
autoveicoli) la D è espressa in funzione della
sezione frontale A:
D = ρU A ⋅ C D
1
2
2
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Profilo investito da un flusso U (3)
• Simulazione numerica della
portanza , che è la forza che
sostiene il corpo, attraverso la
valutazione delle pressioni.
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Profilo investito da un flusso U (4)
• La resistenza,che non può essere valutata con strumenti teorici –
non viscosi, si articola in due forme:
– Friction drag: la forza resistente dovuta all’attrito sulla superficie del corpo
che generano le azioni di taglio alla parete. Si valutano attraverso lo studio
dello strato limite
– Pressure (form) drag: la forza resistente dovuta alla pressione che si
esercita in direzione parallela al flusso ed è dovuta alla presenza di zone di
flusso separate
Laminare
Turbolento
Questa fenomenologia è comunque associata allo SL che vedremo poi.
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Lift e drag per profili alari (1)
• Spesso i profili alari vengono
caratterizzati da grafici, come
quelli sottostanti, riportanti i
valori di CL e CD in funzione
dell’angolo d’attacco.
• Nella figura a è facilmente
individuabile l’angolo di stallo,
ovvero l’angolo d’attacco oltre il
quale la portanza decresce
drasticamente pregiudicando il
funzionamento dell’ala.
CL
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NOMENCLATURA PROFILI ALARI
Max. spessore in
centesimi di corda
Serie NACA four-digits
NACA 2412
Max camber in
centesimi di corda
Posizione max.
camber in decimi
di corda
• NACA 00xx : serie simmetriche per
cui il lift per α = 0 e’ nullo.
• Per profili con camber positivo
l’angolo per cui il L = 0 e’ negativo
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NACA 4412
Re = 2.1·105
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• Un risultato importante e’ che sia per profili simmetrici che
cambered la pendenza teorica del CL e’ costante
• Thin airfoil theory: linea di camber in buona approssimazione
uguale alla corda:
𝑑𝑑𝐶𝐶𝐿𝐿
𝐶𝐶𝐿𝐿 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋
= 2𝜋𝜋
𝑑𝑑𝛼𝛼
• Per profili cambered si ottiene invece.
𝐶𝐶𝐿𝐿 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋 + 𝑓𝑓(𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔) ugualmente pero’
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𝑑𝑑𝐶𝐶𝐿𝐿
= 2𝜋𝜋
𝑑𝑑𝛼𝛼
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Lift e l’influenza dello Strato limite
Turbolento
Laminare
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Lift e drag per profili alari (4)
• I coefficienti di Lift e di Drag di un
profilo alare possono essere alterati,
a seconda delle condizioni di volo,
tramite l’utilizzo di flaps.
• Essi vengono utilizzati in fase di
decollo e di atterraggio, quando è
necessaria un’alta portanza anche a
basse velocità.
• Quando l’aereo si trova a velocità e
quota di crociera i flaps vengono
ritirati per ridurre il Drag.
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Trailing edge flap
(aumenta camber)
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Leading edge flap
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Leading edge slat
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Profilo investito da un flusso U –Mach >1
• Disturbo non trascurabile
– ostacolo cuneiforme o tale da non generare un urto ortogonale alla
corrente principale
• L’urto si dice obliquo perché generato in un punto del campo di
moto che poi si propaga con un angolo rispetto alla corrente
principale
• urti obliqui generati da:
– ostacoli non allineati con il flusso
– corpi non aerodinamici
– curvature del flusso indotte da pareti di confinamento non rettilinee
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Presenza di un ostacolo o perturbazione per M>1
Urto retto
Urto obliquo
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Tipi di urti: generalità
• Urti retti: teoria monodimensionale
– relazioni di Rankine-Hugouniot
• Urti obliqui: teoria bidimensionale di Prandtl-Meyer isentropica
– tabelle per la determinazione delle caratteristiche semplificate di urti
obliqui
• (Mach waves o onde di Mach)
• Urti obliqui: teoria non isentropica
– tabelle per la determinazione delle caratteristiche esatte di urti obliqui
• (onde diverse da quelle di Mach)
• Urti curvi: non è possibile una trattazione semplice
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Urti obliqui e ventagli di espansione su corpi aerodinamici
M=1.84
M=2.1
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Urti obliqui e ventagli di espansione su corpi non-aerodinamici
M=1.53
M=3.6
Flusso separato
Urto staccato
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