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PNI 2014 SESSIONE SUPPLETIVA QUESTIONARIO
QUESITO 1
Si determini il dominio della funzione ๐‘“(๐‘ฅ) = โˆš๐‘’
๐‘’
โˆ’ 3๐‘’ + 2 โ‰ฅ 0
โŸน
๐‘’ โ‰ค 1,
๐‘’ โ‰ฅ2
โˆ’ 3๐‘’ + 2
โŸน ๐‘ฅ โ‰ค 0, ๐‘ฅ โ‰ฅ ๐‘™๐‘›2
DOMINIO: โˆ’โˆž < ๐‘ฅ โ‰ค 0, ๐‘™๐‘›2 โ‰ค ๐‘ฅ < +โˆž
QUESITO 2
La funzione: ๐’‡(๐’™) = ๐’”๐’†๐’ โˆš๐’™ è evidentemente continua nel punto x=0. Si dimostri che
nello stesso punto non è derivabile.
La derivata non esiste in x=0 ed è in particolare:
๐‘“ (๐‘ฅ) = +โˆž
Quindi in x=0 abbiamo un flesso a tangente verticale.
1
QUESITO 3
Si scriva lโ€™equazione della tangente al diagramma della funzione:
๐‘“(๐‘ฅ) =
๐‘ฅ
1
(2 + ๐‘’๐‘› )
3
๐‘ฅ
nel punto P di ascissa ๐‘ฅ = .
1
Risulta: ๐‘“ ( ) =
La derivata ๐‘“ (๐‘ฅ) della funzione è:
1
๐‘“ ( )=
3
La tangente in P ha quindi equazione:
โˆ’
=
1
(๐‘ฅ โˆ’ ) โŸน
=
๐‘ฅโˆ’
QUESITO 4
Data la parte finita di piano compresa tra le rette x+y-1=0 e x-1=0 ed il grafico della
funzione = ๐‘’ , si determini la sua area ed il volume del solido ottenuto facendola
ruotare di un giro completo attorno allโ€™asse x.
Lโ€™area della parte di piano richiesta è data da:
๐‘ฅ
3
โˆ’ ๐‘ฅ] = (๐‘’ โˆ’ )
1 22
2
2
Il volume richiesto si ottiene sottraendo al volume ๐‘‰ ottenuto dalla rotazione attorno
allโ€™asse x del trapezoide ABCD il volume ๐‘‰ del cono ottenuto dalla rotazione attorno
allโ€™asse x del triangolo T (che ha raggio AD=1 e altezza AB=1).
( ) = โˆซ (๐‘’ โˆ’ (โˆ’๐‘ฅ + 1)) ๐‘ฅ = [๐‘’ +
๐‘‰ =
โˆซ (๐‘’ )
๐‘ฅ= โˆซ ๐‘’
๐‘ฅ=
1
[ ๐‘’ ] =
2
2
1
1
( ๐‘’ โˆ’ ) = (๐‘’ โˆ’ 1)
2
2
2
๐‘‰ =
๐‘‰ โˆ’๐‘‰ =
2
1
3
(๐‘’ โˆ’ 1) โˆ’
1
1
3
1=
=
1
3
(3๐‘’ โˆ’ )
QUESITO 5
Un osservatore posto sulla riva di un lago a 236 m sopra il livello dellโ€™acqua, vede un
aereo sotto un angolo di elevazione di 42,4° e la sua immagine riflessa sullโ€™acqua sotto
un angolo di depressione di 46,5°. Si trovi lโ€™altezza dellโ€™aereo rispetto allโ€™osservatore.
BBโ€™ è perpendicolare alla linea dellโ€™orizzonte o, AO è perpendicolare a CBโ€™ e lโ€™angolo
ABโ€™C è uguale allโ€™angolo DABโ€™. Lโ€™altezza richiesta è BD.
๐ต ๐ถ = ๐ท = ๐ถ ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘” ๐›พ = 23
๐ต๐ท = ๐ท ๐‘ก๐‘”
22
๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”
๐‘ก๐‘” 2 °
°
22 ๐‘š
20 ๐‘š
QUESITO 6
Si disegni il grafico ๏ง della funzione:
f (x) = distanza di x dal più prossimo intero.
Si dica se f (x) è una funzione periodica e si calcoli lโ€™area della regione di piano delimitata
da ๏ง , dallโ€™asse x e dalla retta ๐‘ฅ =
nellโ€™intervallo [0, ].
๏€ 
Se ๐‘ฅ ๐‘›๐‘ก๐‘’ ๐‘œ ๐‘“(๐‘ฅ) = 0
Se ๐‘ฅ = + , ๐‘๐‘œ๐‘›
๐‘“(๐‘ฅ) =
Risulta chiaramente: 0 โ‰ค ๐‘“(๐‘ฅ) โ‰ค
3
lโ€™intero più vicino ad x è 0, quindi ๐‘“(๐‘ฅ) = |๐‘ฅ|
Se โˆ’ < ๐‘ฅ <
Analizziamo gli x positivi:
Se < ๐‘ฅ <
lโ€™intero più vicino ad x è 1, quindi ๐‘“(๐‘ฅ) = |1 โˆ’ ๐‘ฅ|
Se < ๐‘ฅ <
lโ€™intero più vicino ad x è 2, quindi ๐‘“(๐‘ฅ) = |2 โˆ’ ๐‘ฅ|
In generale, per ogni intero ๐‘› โ‰ฅ 0
Se
<๐‘ฅ<
lโ€™intero più vicino ad x è ๐‘› + 1, quindi ๐‘“(๐‘ฅ) = |๐‘› + 1 โˆ’ ๐‘ฅ|
Analizziamo gli x negativi:
Se โˆ’ < ๐‘ฅ < โˆ’
lโ€™intero più vicino ad x è -1, quindi ๐‘“ (๐‘ฅ) = |1 + ๐‘ฅ|
Se โˆ’ < ๐‘ฅ < โˆ’
lโ€™intero più vicino ad x è -2, quindi ๐‘“(๐‘ฅ) = |2 + ๐‘ฅ|
4
In generale, per ogni intero ๐‘› โ‰ฅ 0
Se โˆ’
lโ€™intero più vicino ad x è โˆ’๐‘›, quindi ๐‘“(๐‘ฅ) = |๐‘› + 1 + ๐‘ฅ|
<๐‘ฅ<โˆ’
Notiamo che la funzione è simmetrica rispetto allโ€™asse y e che è periodica di periodo 1.
Calcoliamo lโ€™area della regione S di piano delimitata da ๏ง , dallโ€™asse x e dalla retta ๐‘ฅ =
nellโ€™intervallo [0, ].
Lโ€™area della regione richiesta (AFLM) si può facilmente ottenere sottraendo allโ€™area del
triangolo AFN lโ€™area del triangolo LMN.
1
1 2 1
(
)=
=
2
1 1
1
10
10 = 1
(
)=
=
=1โˆ’
=
โŸน
10 10
2
200
Pertanto:
(
)=
(
)โˆ’
(
)=
1
โˆ’
1
=
=02
200 200
QUESITO 7
Utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati, si calcoli un valore
approssimato dellโ€™area della superficie piana delimitata dalla curva ๏ง di equazione
(๐‘ฅ) =
โˆš
๐‘’
e dallโ€™asse x nellโ€™intervallo โˆ’1 โ‰ค ๐‘ฅ โ‰ค 1
5
Trattandosi di una funzione pari, lโ€™area richiesta è data da:
2 โˆซ
1
โˆš2
๐‘’
๐‘ฅ=
2
โˆš2
Consideriamo la funzione g(x) = ๐‘’
๐‘ฅ=โˆš
โˆซ ๐‘’
2
โˆซ ๐‘’
๐‘ฅ
e lโ€™intervallo [0;1]; calcoliamo lโ€™integrale
=โˆซ ๐‘’
๐‘ฅ
utilizzando il metodo dei trapezi. Dividiamo lโ€™intervallo in n=5 parti.
โˆซ ๐‘’
๐‘ฅ
โ„Ž[
๐‘”(๐‘ฅ ) + ๐‘”(๐‘ฅ )
+ ๐‘”(๐‘ฅ ) + ๐‘”(๐‘ฅ ) + ๐‘”(๐‘ฅ ) + ๐‘”(๐‘ฅ )]
2
Dove: โ„Ž =
= = 0 2 ๐‘ฅ = 0, ๐‘ฅ = 0 + โ„Ž = 0 2, ๐‘ฅ = 0 , ๐‘ฅ = 0 , ๐‘ฅ = 0 , ๐‘ฅ = 1
โˆซ ๐‘’
๐‘”(0) + ๐‘”(1)
02[
+ ๐‘”(0 2) + ๐‘”(0 ) + ๐‘”(0 ) + ๐‘”(0 )] =
2
= 0 2[
๐‘ฅ
1+๐‘’
2
โˆซ
1
โˆš2
+๐‘’
+๐‘’
+๐‘’
๐‘’
๐‘ฅ =2 โˆซ
1
+๐‘’
] = 02
๐‘’
๐‘ฅ =โˆš
2
2
0 0 0
0
è la distribuzione normale standard ( = 1,
= 0)
โˆš2
โˆซ ๐‘’
0
๐‘ฅ
N.B.
La funzione
(๐‘ฅ) =
โˆš
๐‘’
Lโ€™area richiesta rappresenta la probabilità che la variabile aleatoria X assuma valori tra -1
e 1 (๐‘ก
โˆ’
๐‘’ + ) e tale probabilità, come è noto, è del 68%.
QUESITO 8
Si consideri lโ€™equazione ๐‘™๐‘œ๐‘”|๐‘ฅ| โˆ’ ๐‘’ = 0
Si dimostri che essa ammette una soluzione reale appartenente allโ€™intervallo โˆ’2 โ‰ค ๐‘ฅ โ‰ค 1
e se ne calcoli un valore approssimato con due cifre decimali esatte.
6
Lโ€™equazione può essere vista nella forma: ๐‘™๐‘œ๐‘”|๐‘ฅ| = ๐‘’
Confrontiamo graficamente le due funzioni = ๐‘™๐‘œ๐‘”|๐‘ฅ|
๐‘’
=๐‘’ .
Dal confronto grafico segue chiaramente che lโ€™equazione ammette una ed una sola
soluzione tra -2 e -1. Cerchiamo una valore approssimato con due cifre decimali esatte
della soluzione.
Utilizziamo il metodo di bisezione nellโ€™intervallo [ , ๐‘] = [โˆ’2, โˆ’1].
๐‘“(๐‘ฅ) = ๐‘™๐‘›|๐‘ฅ| โˆ’ ๐‘’
Servono 8 iterazioni per arrivare allโ€™approssimazione richiesta: ๐’™ = โˆ’๐Ÿ ๐Ÿ
โŸต
๐‘”
๐‘š๐‘š
7
๐‘๐‘œ๐‘›๐‘ฃ๐‘’ ๐‘”๐‘’๐‘›๐‘ง
Usando il metodo delle tangenti, sono sufficienti 2 iterazioni per arrivare alla precisione
richiesta (1.31).
๐‘“( ) = ๐‘“(โˆ’2) = n(2) โˆ’ ๐‘’
๐‘“ (๐‘ฅ) =
1
โˆ’๐‘’
๐‘ฅ
>0
๐‘“ (๐‘ฅ) = โˆ’
๐‘“(๐‘) = ๐‘“(โˆ’1) = โˆ’๐‘’
<0
1
โˆ’ ๐‘’ < 0 ๐‘› [ , ๐‘] = [โˆ’2, โˆ’1]
๐‘ฅ
Essendo ๐‘“( ) ๐‘“ (๐‘ฅ) < 0 ๐‘› [ , ๐‘] = [โˆ’2, โˆ’1] dobbiamo assumere come punto iniziale
di iterazione ๐‘ฅ = ๐‘ = โˆ’1
๐‘“(๐‘ฅ )
๐‘ฅ
=๐‘ฅ โˆ’
๐‘“ (๐‘ฅ )
๐‘ฅ =๐‘ฅ โˆ’
๐‘“(๐‘ฅ )
๐‘“(โˆ’1)
โˆ’๐‘’
= โˆ’1 โˆ’ ( ) = โˆ’1 โˆ’
๐‘“ (๐‘ฅ )
โˆ’1 โˆ’ ๐‘’
๐‘“
๐‘ฅ =๐‘ฅ โˆ’
๐‘“(๐‘ฅ )
= โˆ’1 2
๐‘“ (๐‘ฅ )
๐‘ฅ =๐‘ฅ โˆ’
๐‘“(๐‘ฅ )
n(1 30 ) โˆ’ ๐‘’
= โˆ’1 30 โˆ’
1
๐‘“ (๐‘ฅ )
โˆ’ 1 30 โˆ’ ๐‘’
โˆ’
n(1 2 ) โˆ’ ๐‘’
1
โˆ’1 2 โˆ’ ๐‘’
=
โˆ’1 2
โˆ’1 30 1
โˆ’1 30
Quindi la radice approssimata con due cifre decimali è x๏€ฝ๏€ญ๏€ฑ๏€ฎ๏€ณ๏€ฑ๏€ 
๏€ 
๏€ 
8
๏€ 
Diagramma di iterazione:
๏€ 
QUESITO 9
Un mazzo di โ€œtarocchiโ€ è costituito da 78 carte: 22 carte figurate, dette โ€œArcani maggioriโ€,
14 carte di bastoni, 14 di coppe, 14 di spade e 14 di denari. Estraendo a caso da tale
mazzo, lโ€™una dopo lโ€™altra con reinserimento, 4 carte, qual è la probabilità che almeno una
di esse sia un โ€œArcano maggioreโ€?
Determiniamo la probabilità ๐‘ž che nessuna sia un โ€œArcano maggioreโ€:
๐‘ž=(
7
)
La probabilità
che almeno una carta sia un โ€œArcano maggioreโ€ è:
= 1โˆ’๐‘ž = 1โˆ’(
7
)
0 73
73%
QUESITO 10
Nel poscritto al suo racconto โ€œIl Mistero di Marie Rogêtโ€, Edgar Allan Poe sostiene che,
โ€œavendo un giocatore di dadi fatto doppio sei per due volte consecutive, vi è una ragione
sufficiente per scommettere che gli stessi sei non usciranno ad un terzo tentativoโ€. Ha
ragione?
Si motivi esaurientemente la risposta.
No, Edgar Allan Poe NON ha ragione.
La probabilità che esca un doppio 6 al terzo tentativo (
2 %) è indipendente dal fatto
che sia già uscito un doppio 6 le due volte precedenti; tale probabilità è comunque bassa,
quindi scommettendo si ha unโ€™alta probabilità di vincere (circa 97.2%), ma non perché il
doppio 6 è già uscito le due volte precedenti!
Con la collaborazione di Angela Santamaria, Simona Scoleri e Stefano Scoleri
9
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