www.matefilia.it PNI 2014 SESSIONE SUPPLETIVA QUESTIONARIO QUESITO 1 Si determini il dominio della funzione ๐(๐ฅ) = โ๐ ๐ โ 3๐ + 2 โฅ 0 โน ๐ โค 1, ๐ โฅ2 โ 3๐ + 2 โน ๐ฅ โค 0, ๐ฅ โฅ ๐๐2 DOMINIO: โโ < ๐ฅ โค 0, ๐๐2 โค ๐ฅ < +โ QUESITO 2 La funzione: ๐(๐) = ๐๐๐ โ๐ è evidentemente continua nel punto x=0. Si dimostri che nello stesso punto non è derivabile. La derivata non esiste in x=0 ed è in particolare: ๐ (๐ฅ) = +โ Quindi in x=0 abbiamo un flesso a tangente verticale. 1 QUESITO 3 Si scriva lโequazione della tangente al diagramma della funzione: ๐(๐ฅ) = ๐ฅ 1 (2 + ๐๐ ) 3 ๐ฅ nel punto P di ascissa ๐ฅ = . 1 Risulta: ๐ ( ) = La derivata ๐ (๐ฅ) della funzione è: 1 ๐ ( )= 3 La tangente in P ha quindi equazione: โ = 1 (๐ฅ โ ) โน = ๐ฅโ QUESITO 4 Data la parte finita di piano compresa tra le rette x+y-1=0 e x-1=0 ed il grafico della funzione = ๐ , si determini la sua area ed il volume del solido ottenuto facendola ruotare di un giro completo attorno allโasse x. Lโarea della parte di piano richiesta è data da: ๐ฅ 3 โ ๐ฅ] = (๐ โ ) 1 22 2 2 Il volume richiesto si ottiene sottraendo al volume ๐ ottenuto dalla rotazione attorno allโasse x del trapezoide ABCD il volume ๐ del cono ottenuto dalla rotazione attorno allโasse x del triangolo T (che ha raggio AD=1 e altezza AB=1). ( ) = โซ (๐ โ (โ๐ฅ + 1)) ๐ฅ = [๐ + ๐ = โซ (๐ ) ๐ฅ= โซ ๐ ๐ฅ= 1 [ ๐ ] = 2 2 1 1 ( ๐ โ ) = (๐ โ 1) 2 2 2 ๐ = ๐ โ๐ = 2 1 3 (๐ โ 1) โ 1 1 3 1= = 1 3 (3๐ โ ) QUESITO 5 Un osservatore posto sulla riva di un lago a 236 m sopra il livello dellโacqua, vede un aereo sotto un angolo di elevazione di 42,4° e la sua immagine riflessa sullโacqua sotto un angolo di depressione di 46,5°. Si trovi lโaltezza dellโaereo rispetto allโosservatore. BBโ è perpendicolare alla linea dellโorizzonte o, AO è perpendicolare a CBโ e lโangolo ABโC è uguale allโangolo DABโ. Lโaltezza richiesta è BD. ๐ต ๐ถ = ๐ท = ๐ถ ๐๐๐ก๐ ๐พ = 23 ๐ต๐ท = ๐ท ๐ก๐ 22 ๐๐๐ก๐ ๐ก๐ 2 ° ° 22 ๐ 20 ๐ QUESITO 6 Si disegni il grafico ๏ง della funzione: f (x) = distanza di x dal più prossimo intero. Si dica se f (x) è una funzione periodica e si calcoli lโarea della regione di piano delimitata da ๏ง , dallโasse x e dalla retta ๐ฅ = nellโintervallo [0, ]. ๏ Se ๐ฅ ๐๐ก๐ ๐ ๐(๐ฅ) = 0 Se ๐ฅ = + , ๐๐๐ ๐(๐ฅ) = Risulta chiaramente: 0 โค ๐(๐ฅ) โค 3 lโintero più vicino ad x è 0, quindi ๐(๐ฅ) = |๐ฅ| Se โ < ๐ฅ < Analizziamo gli x positivi: Se < ๐ฅ < lโintero più vicino ad x è 1, quindi ๐(๐ฅ) = |1 โ ๐ฅ| Se < ๐ฅ < lโintero più vicino ad x è 2, quindi ๐(๐ฅ) = |2 โ ๐ฅ| In generale, per ogni intero ๐ โฅ 0 Se <๐ฅ< lโintero più vicino ad x è ๐ + 1, quindi ๐(๐ฅ) = |๐ + 1 โ ๐ฅ| Analizziamo gli x negativi: Se โ < ๐ฅ < โ lโintero più vicino ad x è -1, quindi ๐ (๐ฅ) = |1 + ๐ฅ| Se โ < ๐ฅ < โ lโintero più vicino ad x è -2, quindi ๐(๐ฅ) = |2 + ๐ฅ| 4 In generale, per ogni intero ๐ โฅ 0 Se โ lโintero più vicino ad x è โ๐, quindi ๐(๐ฅ) = |๐ + 1 + ๐ฅ| <๐ฅ<โ Notiamo che la funzione è simmetrica rispetto allโasse y e che è periodica di periodo 1. Calcoliamo lโarea della regione S di piano delimitata da ๏ง , dallโasse x e dalla retta ๐ฅ = nellโintervallo [0, ]. Lโarea della regione richiesta (AFLM) si può facilmente ottenere sottraendo allโarea del triangolo AFN lโarea del triangolo LMN. 1 1 2 1 ( )= = 2 1 1 1 10 10 = 1 ( )= = =1โ = โน 10 10 2 200 Pertanto: ( )= ( )โ ( )= 1 โ 1 = =02 200 200 QUESITO 7 Utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati, si calcoli un valore approssimato dellโarea della superficie piana delimitata dalla curva ๏ง di equazione (๐ฅ) = โ ๐ e dallโasse x nellโintervallo โ1 โค ๐ฅ โค 1 5 Trattandosi di una funzione pari, lโarea richiesta è data da: 2 โซ 1 โ2 ๐ ๐ฅ= 2 โ2 Consideriamo la funzione g(x) = ๐ ๐ฅ=โ โซ ๐ 2 โซ ๐ ๐ฅ e lโintervallo [0;1]; calcoliamo lโintegrale =โซ ๐ ๐ฅ utilizzando il metodo dei trapezi. Dividiamo lโintervallo in n=5 parti. โซ ๐ ๐ฅ โ[ ๐(๐ฅ ) + ๐(๐ฅ ) + ๐(๐ฅ ) + ๐(๐ฅ ) + ๐(๐ฅ ) + ๐(๐ฅ )] 2 Dove: โ = = = 0 2 ๐ฅ = 0, ๐ฅ = 0 + โ = 0 2, ๐ฅ = 0 , ๐ฅ = 0 , ๐ฅ = 0 , ๐ฅ = 1 โซ ๐ ๐(0) + ๐(1) 02[ + ๐(0 2) + ๐(0 ) + ๐(0 ) + ๐(0 )] = 2 = 0 2[ ๐ฅ 1+๐ 2 โซ 1 โ2 +๐ +๐ +๐ ๐ ๐ฅ =2 โซ 1 +๐ ] = 02 ๐ ๐ฅ =โ 2 2 0 0 0 0 è la distribuzione normale standard ( = 1, = 0) โ2 โซ ๐ 0 ๐ฅ N.B. La funzione (๐ฅ) = โ ๐ Lโarea richiesta rappresenta la probabilità che la variabile aleatoria X assuma valori tra -1 e 1 (๐ก โ ๐ + ) e tale probabilità, come è noto, è del 68%. QUESITO 8 Si consideri lโequazione ๐๐๐|๐ฅ| โ ๐ = 0 Si dimostri che essa ammette una soluzione reale appartenente allโintervallo โ2 โค ๐ฅ โค 1 e se ne calcoli un valore approssimato con due cifre decimali esatte. 6 Lโequazione può essere vista nella forma: ๐๐๐|๐ฅ| = ๐ Confrontiamo graficamente le due funzioni = ๐๐๐|๐ฅ| ๐ =๐ . Dal confronto grafico segue chiaramente che lโequazione ammette una ed una sola soluzione tra -2 e -1. Cerchiamo una valore approssimato con due cifre decimali esatte della soluzione. Utilizziamo il metodo di bisezione nellโintervallo [ , ๐] = [โ2, โ1]. ๐(๐ฅ) = ๐๐|๐ฅ| โ ๐ Servono 8 iterazioni per arrivare allโapprossimazione richiesta: ๐ = โ๐ ๐ โต ๐ ๐๐ 7 ๐๐๐๐ฃ๐ ๐๐๐๐ง Usando il metodo delle tangenti, sono sufficienti 2 iterazioni per arrivare alla precisione richiesta (1.31). ๐( ) = ๐(โ2) = n(2) โ ๐ ๐ (๐ฅ) = 1 โ๐ ๐ฅ >0 ๐ (๐ฅ) = โ ๐(๐) = ๐(โ1) = โ๐ <0 1 โ ๐ < 0 ๐ [ , ๐] = [โ2, โ1] ๐ฅ Essendo ๐( ) ๐ (๐ฅ) < 0 ๐ [ , ๐] = [โ2, โ1] dobbiamo assumere come punto iniziale di iterazione ๐ฅ = ๐ = โ1 ๐(๐ฅ ) ๐ฅ =๐ฅ โ ๐ (๐ฅ ) ๐ฅ =๐ฅ โ ๐(๐ฅ ) ๐(โ1) โ๐ = โ1 โ ( ) = โ1 โ ๐ (๐ฅ ) โ1 โ ๐ ๐ ๐ฅ =๐ฅ โ ๐(๐ฅ ) = โ1 2 ๐ (๐ฅ ) ๐ฅ =๐ฅ โ ๐(๐ฅ ) n(1 30 ) โ ๐ = โ1 30 โ 1 ๐ (๐ฅ ) โ 1 30 โ ๐ โ n(1 2 ) โ ๐ 1 โ1 2 โ ๐ = โ1 2 โ1 30 1 โ1 30 Quindi la radice approssimata con due cifre decimali è x๏ฝ๏ญ๏ฑ๏ฎ๏ณ๏ฑ๏ ๏ ๏ 8 ๏ Diagramma di iterazione: ๏ QUESITO 9 Un mazzo di โtarocchiโ è costituito da 78 carte: 22 carte figurate, dette โArcani maggioriโ, 14 carte di bastoni, 14 di coppe, 14 di spade e 14 di denari. Estraendo a caso da tale mazzo, lโuna dopo lโaltra con reinserimento, 4 carte, qual è la probabilità che almeno una di esse sia un โArcano maggioreโ? Determiniamo la probabilità ๐ che nessuna sia un โArcano maggioreโ: ๐=( 7 ) La probabilità che almeno una carta sia un โArcano maggioreโ è: = 1โ๐ = 1โ( 7 ) 0 73 73% QUESITO 10 Nel poscritto al suo racconto โIl Mistero di Marie Rogêtโ, Edgar Allan Poe sostiene che, โavendo un giocatore di dadi fatto doppio sei per due volte consecutive, vi è una ragione sufficiente per scommettere che gli stessi sei non usciranno ad un terzo tentativoโ. Ha ragione? Si motivi esaurientemente la risposta. No, Edgar Allan Poe NON ha ragione. La probabilità che esca un doppio 6 al terzo tentativo ( 2 %) è indipendente dal fatto che sia già uscito un doppio 6 le due volte precedenti; tale probabilità è comunque bassa, quindi scommettendo si ha unโalta probabilità di vincere (circa 97.2%), ma non perché il doppio 6 è già uscito le due volte precedenti! Con la collaborazione di Angela Santamaria, Simona Scoleri e Stefano Scoleri 9