Introduzione al
comportamento complesso
e caotico dei sistemi
Luca D’Acci
Equazioni ricorsive
x0  f ( x0 )  x1
xt 1  f ( xt )
x1  f ( x1 )  x2
x2  f ( x2 )  x3
.
.
.
xn1  f ( xn1 )  xn
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Rappresentazione grafica
x0
 f ( x00 )  x1
 f ( x1 )  x2
y  f (x)
x1
Se
è
un’equazione
ricorsiva:
y
xt 1  f ( xt )
x1
x2
f ( x0 )
f ( x1 )
x1
x0
x
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f ( x0x=y
)
Reitero
Calcolo
la nuova
x1
Retta
bistettrice
Generica funzione
Parto da un valore iniziale x0
y
y
f ( x0 )
x1
x0
f ( x0 )
x
x0
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x
Che graficamente equivale a
y
y
f ( x0 )
x1
x0
f ( x0 )
x
x1
x0
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x
Percorso curva–bisettrice
bisettrice
curva
f(x)
y
f ( x2 )
f ( x1 )
x3
x2
f ( x0 )
x1
x0
x
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y = rx(1-x)
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la scriviamo come
y=
2
rx-rx
rx(1-x)
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che
graficamente
è
una:
y
x
y=
di h 
r
parabola…
2
rx-rx
… verso il basso
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x = popolazione al tempo t
y = rx (1-x)
xt+1=rxt(1-xt)
xt+1
tasso di crescita
termine correttivo
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La popolazione non
può essere negativa
xt+1=rxt (1-xt)
0≤r≤4
0≤x≤1
xt+1=rxt(1-xt)
se r=4 quando xt=0.5
si avrebbe: xt+1= 4 ∙ 0.5 (1-0.5) = 1
quando r > 4 → xt+1 >1
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xt+1=rxt(1-xt)
xt+1
1
0
r7=4
1
xt
r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7
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I valori ammessi sono quindi:
0≤x≤1
0≤r≤4
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Indipendentemente dal valore di r si ha :
per xt=0 → xt+1=0
xt+1=rxt(1-xt)=r0(1-0)=0
per xt=1 → xt+1=0
xt+1=rxt(1-xt)=r1(1-1)=0
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Come si comporta la
funzione al variare di r
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Proviamo con…
r=2
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F(x)=rx (1-x)
r=2 ;
partiamo ad esempio da x0=1/3
0,5
x = F(x )=2∙1/3(1-1/3)=4/9
0,4444….
x2= F(x1)=2∙4/9(1-4/9)=40/81
0,4938….
1
0
.
Punto fisso
.
.
x3= F(x2)=2∙40/81(1-40/81)=3280/6561
.
0,4999….
.
.
xn= F(xn-1)=1/2
0,5
xn+1= F(xn)= 2∙1/2(1-1/2)= 1/2
0,5
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Se r=2
partendo da qualunque valore
iniziale si ha lo stesso risultato
x0  xn  1 / 2
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x0
F ( x0 )
x1
F ( x1 )
x2 …
xn=1/2
F(x)
x=y
r=2
x2
x1
x0 x1 x2
x
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xn=1/2
F(x)
x=y
r=2
x0
x
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Quindi per r=2
½ è un punto fisso
attraente
x0  xn  1 / 2
Tranne, come detto,
per x0=0 e per x0=1
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Per
0  r 1
x0  xn  0
Quindi per
0  r 1
0 è un punto fisso attraente
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xn=0
F(x)
x=y
0  r 1
x0
x0
x
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0  r 1
→
xn = 0
r 1
→
xn =
1 r  3
dominio di xr r
xn
1
1/2
0
0
1
2
3
4 r
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0 e ½ sono attrattori di
Periodo 1
Perché se parto da x0 dopo
una iterazione torno ad x0
x0
F(x0)
x0
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xn
Un
attrattore
di
periodo
1
0<r<1
0
1
stabilizza (dopo
n
iterazioni) ilr=0.1
valore di x su
un solo
valore
r=0.5
x
0,5
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
(il punto fisso xn)
0,2
0,15
r
a=0.1
r=0.1
a=0.5
r=0.5
r=0.9
a=0.9
r=1
a=1
0,1
0,05
0
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
iterazione
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xn
x
r 1
1  r  3  xn 
r
0,5
r
0
1
2
3
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
a=1.5
r=1,5
0,3
a=2
r=2
a=2.5
r=2,5
0,2
r=2,9
a=2.9
0,1
r=3
a=3
0
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
iterazione
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xn
1
1/2
0
0
r 3
1
0  r 1
2
3
4 r
1 r  3
r 1
xn 
xn = 0
r
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In r=3 nasce un nuovo
attrattore di
Periodo 2
x0
F(x0)
x1
F(x1)
x0
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si ottengono i due valori che si
alternano infinitamente ad ogni
iterazione quando si raggiunge
il nuovo attrattore di periodo 2
r  1  r  2r  3

2r
2
x1, 2
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r  1  r  2r  3
x1 
2r
+
xn
1
0.5
x2 
0
1
2
x1
F(x1)
_
r 1
r  2r  3
2r
2
4 r
3
x2
2
F(x2)
x1
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Un attrattore di periodo 2
stabilizza
(dopo n iterazioni) il valore
di x su due valori
(due punti periodici xn)
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F(x)
r  3.1
xn
x1
x2
0
1
2 valori di xn
r
3
x1
x2
x1
F ( x1 )
x2
F ( x2 )
x1
F ( x1 )
x2
F ( x2 )
x1
F ( x1 )
x2 …∞
x
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xn
1
xn,1
1/2
xn,2
r
0
0
1
2
3
rr
1 1  r  2r
3 1 3 2
xnxn  r  r  3  xn  3  3
2
4
0
2r
2 soluzioni: 2 punti
periodici
r  1  r 2  2r  3
3 1 9  6  3
xn 
 r  3  xn 

2r
6
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2
3
xn
1
1/2
r
0
0
1
2
3
4
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xn
1
1/2
r
0
0
1
2
3
4
DA PUNTO FISSO ATTRAENTE
DIVENTA
PUNTO FISSO REPELLENTE
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Quando r raggiunge il valore
1  6  3.44949
si ha un nuovo sdoppiamento
dell’attrattore
xn
1
1/2
r
0
0
1
2
3
4
1 6
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Abbiamo ora 4 valori che si
Attrattore di periodo 4
alternano infinitamente su cui la x
si stabilizza dopo n iterazioni
xn
1
Xn,1
Xn,2
Xn,3
1/2
Xn,4
r
0
0
1
2
3
4
1 6
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xn
x1
x3
x4
x2
F(x)
x1
x3
r  3.5
4 valori di xn
r
x4
x2
x1
F ( x1 )
x2
F ( x2 )
x3
F ( x3 )
x4
F ( x4 )
x1
F ( x1 )
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x2…
x
La
successione
delle
r
ha
n
Successive biforcazioni insorgono secondo lo
come limite
un di r via via
stesso meccanismo
per valori
crescenti
ma sempre
più vicini tra loro
n.irrazionale
r∞≈3.569934
r  r
r
r1
r2
r3 r4 …
r
∞
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r  r
Qualunque valore iniziale dà luogo a
traiettorie aperiodiche
“attrattore” con periodo infinito
nessun punto fisso
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x
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
a=3
r=3
a=3.25
r=3.25
a=3.5
r=3.5
a=3.75
r=3.75
r=4
a=4
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
iterazione
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xn
un unico stato finale
più stati ∞ stati
finali
finali
Per r>r∞ non si hanno
più attrattori, un punto
dovrebbe attendere un
tempo infinito prima di
tornare su se stesso
r∞
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r
128
iterazioni
256
iterazioni
1024
iterazioni
8192
iterazioni
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Il futuro del sistema è noto a
Variazioni del parametro non
priori indipendentemente
mutano la soluzione di equilibrio
dalle condizioni iniziali:
asintotico data dalla: (r-1)/r
EQUILIBRIO STABILE
L’evoluzione del sistema è
caoticamente imprevedibile:
CAOS DETERMINISTICO
Il futuro del sistema dipende dal valore
del parametro; piccole variazioni di r
determinano notevoli riassestamenti
della configurazione finale:
COMPLESSITA’
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La dinamica esposta non è peculiare della sola
mappa logistica, ma è generale per un’ampia
classe di mappe unidimensionali:
tutte le funzioni continue e derivabili nell’intervallo
considerato, unimodali, con un massimo di tipo quadratico.
Dinamiche simili possono
sussistere in modelli differenti
in apparenza ma non nella
sostanza matematica.
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L’ EVOLUZIONE DI UN SISTEMA DINAMICO
dipende da un insieme di parametri di controllo
stabilità
complessità
caos
Parametri di controllo
La dinamica di un comportamento complesso è
caratterizzata da traiettorie sensibili alle
perturbazioni (variazioni del parametro di controllo)
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Esempi di applicazione
della mappa logistica
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Modelli di interazione spaziale
Wi
= attrattività della zona i
Zona i
cij = costi di trasferimento
 = sensibilità dell’utente a cij
Zona j
WJ
= attrattività della zona j
 cij
WJ e
Pij 
 cik
 Wk e
= probabilità di trasferimento dalla
zona i alla zona j
k
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Assumendo per semplicità che:
Wk  1
Indicando con uj l’utilità della zona j
 c
La
WJ e ij
Pij 
 cik
W
e
 k
si può trasformare nella probabilità che j
riceva popolazione indipendentemente
dalla zona i di origine
k
2
j ,t 1
j
j ,t
j j ,t
j ,t
k k ,t
k j
uj
Chiamando αj la duj /dt e
e
assumendola costante (assumiamo
Pj 
uk
cioè che la uj cresca linearmente
e
con
j ,t 1
j ,t il tempo)
j j ,t
j ,t
j ,t
k k k .t
k j
P
 (  1) P   P  P
P
 P   P (1  P )  P



P
P

Pj   j Pj (1  Pj )  Pj   k Pk
k j
discretizzando
 j  u j ,t 1  u j ,t
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Attrattore di Lorenz
(1963)
Rimescolamento
fluido
dT orrizzontale
dT verticale
 dx
Parametri relativi

σ(y

x)
alla dinamica
 dt
atmosferica

dy
dy

 rx
rx 
 xz
xz 
 yy

dt
dt

dz

 xy  bz

 dt
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 dx
 dt  σ(y  x)

 dy
 rx  xz  y

dt

 dz  xy  bz

 dt
 x n1  x n  σ(y n  x n )dt

 yn 1  yn  (rx n  x n z n  yn )dt
z
 n1  z n  ( x n yn  bz n )dt
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Iterazione 500
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Iterazione 5.000
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Iterazione 50.000
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